Phân bố giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập

MỤC LỤC Những kí hiệu dùng trong luận văn 4 Mở đầu 5 1 Phân phối xác suất và hàm đặc trưng 6 1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất . . . . . . . . . . . 6 1.2 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Một số tính chất của hàm đặc trưng . . . . . . . . . 13 1.2.2 Một số ví dụ về hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Các công thức ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Sự hội tụ của dãy các hàm phân phối và các hàm đặc trưng 20 2 Các phân phối chia vô hạn 25 2.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản của các phân phối chia vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Một số ví dụ về phân phối chia vô hạn . . . . . . . . 25 2.2 Biểu diễn chính tắc của hàm đặc trưng chia vô hạn . . . . . 27 2.3 Định lí bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Một số bất đẳng thức về phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập 37 3.1 Hàm tập trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Bất đẳng thức về hàm tập trung của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3 Bất đẳng thức về giá trị lớn nhất của phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4 Các ước lượng mũ cho phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4 Sự hội tụ yếu tới phân phối chia vô hạn 57 2 4.1 Các phân phối chia vô hạn như là phân phối giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 Điều kiện hội tụ yếu tới phân phối chia vô hạn cho trước. . 70 4.3 Các phân phối thuộc lớp L và các phân phối ổn định . . . . 77 Kết luận 87 Tài liệu tham khảo 88 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN N Tập hợp các số nguyên dương R Tập hợp các số thực Z Tập các số nguyên BĐT Bất đẳng thức 4 MỞ ĐẦU Tác phẩm: "Phân phối giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập" đã được hai nhà toán học B.V.Gnedenko và A.N.Kolmogorov công bố năm 1949. Từ đó, lý thuyết về tổng các biến ngẫu nhiên độc lập đã được phát triển một cách nhanh chóng. Cho đến nay, các công trình nghiên cứu trong lĩnh vực này và những kết quả của nó đã đạt được nhiều thành tựu to lớn, đóng vai trò quan trọng không thể thiếu trong học tập, nghiên cứu và ứng dụng của lý thuyết xác xuất. Với lí do đó, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình là: Phân bố giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 4 chương có nội dung tương ứng như sau: • Chương 1: Phân phối xác suất và hàm đặc trưng Trình bày một số khái niệm cơ bản như biến ngẫu nhiên, hàm phân phối, hàm đặc trưng và sự hội tụ của dãy các hàm phân phối và hàm đặc trưng. • Chương 2: Các phân phối chia vô hạn Trình bày định nghĩa, tính chất và ví dụ minh họa về phân phối chia vô hạn cùng với một số kết quả của nó. • Chương 3: Một số bất đẳng thức về phân phối giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. Trình bày định nghĩa về hàm tập trung của một biến ngẫu nhiên. Giới thiệu và chứng minh một số bất thức về phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. • Chương 4: Sự hội tụ yếu tới phân phối chia vô hạn. Trình bày sự hội tụ yếu tới phân phối chia vô hạn, các phân phối thuộc lớp L và phân phối ổn định. 5 CHƯƠNG 1 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG 1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất Cho tập Ω = ∅. Các phần tử của Ω được gọi là các điểm hoặc biến cố sơ cấp và được kí hiệu là ω (có hoặc không có chỉ số). Tập Ω được gọi là không gian các biến cố sơ cấp. Cho A là tập các tập con của không gian Ω các biến cố sơ cấp. A thỏa mãn các tính chất: (i) Ω ∈ A (ii) Nếu A ∈ A thì (Ω\A) ∈ A (iii) Nếu A 1 , A 2 , ··· là dãy hữu hạn hoặc vô hạn các tập con chứa trong A thì  n A n ∈ A. Tập A được gọi là một σ-đại số các biến cố hoặc trường Borel của các biến cố và các phần tử của A được gọi là các biến cố. Nhận xét: Nếu A là một σ-đại số các biến cố, ta dễ thấy rằng tập ∅ và giao hữu hạn hoặc đếm được các biến cố trong A cũng chứa trong A. Một hàm không âm và cộng tính đếm được P(A) được định nghĩa trên một biến cố A ∈ A và được chuẩn hóa bởi điều kiện P(Ω) = 1 được gọi là một độ đo xác suất. Giá trị P(A) được gọi là xác suất của biến cố A. Bộ ba (Ω, A, P) được gọi là một không gian xác suất. Một hàm thực X : Ω → R ω → X = X(ω) Cho B ⊂ R. Đặt X −1 (B) = {ω ∈ Ω|X(ω) ∈ B}. Tập X −1 (B) là tập con của không gian các biến cố sơ cấp Ω và được gọi 6 7 là nghịch ảnh của B. Nếu X −1 (B) ⊂ A với ∀ tập Borel B ⊂ R thì hàm X(ω) được gọi là đo được. Một hàm thực - hữu hạn - đo được được gọi là một biến ngẫu nhiên. Một hàm P X (B) = P({ω : X(ω) ∈ B}) được định nghĩa với mọi tập Borel B ⊂ R được gọi là một hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X. Chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu ngắn gọn hơn P(X ∈ B) thay cho P({ω : X(ω) ∈ B}). Cho (Ω, A, P) là một không gian xác suất mà trên đó biến ngẫu nhiên X được định nghĩa. Biến ngẫu nhiên X sinh ra một không gian xác suất mới (R, B, P X ) (ở đây B là σ-đại số Borel trên R). Chúng ta xem xét xác suất P(X ∈ B) khi B là khoảng (−∞; x) chứa các điểm y ∈ R thỏa mãn y < x. Chúng ta kí hiêu: F (x) = P(X < x) với ∀x ∈ R. Hàm F (x) được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. Một hàm phân phối có tính chất sau: (i) F (x) là hàm không giảm và liên tục trái. (ii) lim x→−∞ F (x) = 0. (iii) lim x→+∞ F (x) = 1. Ngược lại, một hàm F (x) có đủ 3 tính chất trên cũng là hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất nào đó. Chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ " Phân phối xác suất của biến X" và "hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X" thay cho " hàm xác suất P X (B)" hoặc "Hàm phân phối F (x)". Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối rời rạc nếu tồn tại một tập hữu hạn hoặc đếm được B ⊂ R sao cho P(X ∈ B) = 1. Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối bước nhảy nếu nó lấy giá trị dạng a + kh(k = 0, ±1, ±2, . . .) với xác suất 1. Ở đây, a, k > 0 là các hằng số. Đại lượng h được gọi là một bước nhảy của phân phối. Nếu không có các số a 1 và h 1 > h sao cho các giá trị của X với xác suất 1 có dạng a 1 + kh 1 (k = 0, ±1, ±2, . . .) thì bước nhảy h được gọi là lớn nhất. Phân phối của biến X được gọi là liên tục nếu với ∀B ⊂ R, (B hữu hạn hoặc đếm được) thì P(X ∈ B) = 0 8 và được gọi là liên tục tuyệt đối nếu với ∀ tập Borel B có độ đo không thì P(X ∈ B) = 0 và được gọi là kì dị nếu nó liên tục và tồn tại tập Borel B có độ đo Lebesgue bằng 0 sao cho P(X ∈ B) = 1. Phân phối của biến ngẫu nhiên X được gọi là gián đoạn nếu và chỉ nếu hàm phân phối F (x) không liên tục và liên tục nếu và chỉ nếu hàm phân phối F (x) liên tục khắp nơi. Phân phối F (x) liên tục tuyệt đối nếu và chỉ nếu: F (x) = x  −∞ p(t)dt , ∀x với p(x) là một hàm không âm và khả tích trên R. Hàm p(x) được gọi là hàm mật độ của phân phối F (x). Bằng định lí tích phân Lebesgue, một hàm phân phối bất kì F (x) có thể được phân tích duy nhất thành tổng của 3 thành phần F (x) = c 1 F 1 (x) + c 2 F 2 (x) + c 3 F 3 (x) (1.1) với c k ≥ 0(k = 1, 3), 3  i=1 c i = 1 và F 1 (x), F 2 (x), F 3 (x) tương ứng là phân phối rời rạc, phân phối liên tục tuyệt đối và phân phối kì dị. Điểm x được gọi là điểm tăng của phân phối F (x) nếu F (x + ε) −F (x − ε) > 0, ∀ε > 0. Tập tất cả các điểm tăng của hàm phân phối F (x) được gọi là phổ của F (x). Có 4 phân phối đóng vai trò quan trọng, trong đó: phân phối suy biến, phân phối nhị thức, phân phối poisson là rời rạc và phân phối thứ tư - phân phối chuẩn là liên tục tuyệt đối. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối suy biến nếu với ∀c sao cho P(X = c) = 1 hàm phân phối của X thỏa mãn: F (x) = 0, ∀x ≤ c, F (x) = 1, ∀x > c. 9 Cho n là một số nguyên dương và p thỏa mãn 0 < p < 1. Biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức với tham biến (n, p) nếu: P(X = m) = C m n p m (1 − p) n−m , ∀m = 0, 1, 2, . . . , n Cho λ > 0, a, b = 0 là các số thực. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối poisson với tham biến (a, b, λ) nếu P(X = a + bm) = λ m m! e −λ với m ∈ Z. Cho a, σ là số thực và σ > 0. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với tham biến (a, σ) nếu có mật độ: p(x) = 1 σ √ 2π e − (x−a) 2 2σ 2 với −∞ < x < +∞. Hàm phân phối chuẩn (0, 1) được kí hiệu là: Φ(x) = 1 √ 2π x  −∞ e − t 2 2 Cho X = X(ω) là một biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên không gian (Ω, A, P). Nếu  Ω |X|dP < ∞ thì ta nói rằng kì vọng toán hoặc trung bình của X tồn tại và được kí hiệu là EX và được xác định theo công thức: EX =  Ω XdP Ta có EX = +∞  −∞ xdF (x), ở đây tích phân bên phải là Stieltjes; F (x) là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. Giả sử X có hàm phân phối F(x) và g(x) là một hàm Borel. Nếu một trong hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) Eg(x) tồn tại. Hoặc: (ii) ∞  −∞ |g(x)|dF (x) < ∞ 10 thì điều kiện còn lại được thỏa mãn và hơn nữa: Eg(X) = +∞  −∞ g(x)dF (x) Cho k là một số dương. Kì vọng toán của biến ngẫu nhiên X k (nếu nó tồn tại) được gọi là moment gốc cấp k của X và được kí hiệu là α k . Vì vậy: α k = EX k = +∞  −∞ x k dF (x) Ở đây F (x) là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. Nếu moment cấp k tồn tại thì moment gốc tuyệt đối cấp k xác định, và được kí hiệu là β k và được cho bởi công thức: β k = E|X| k = +∞  −∞ |x| k dF (x) Nếu moment α k tồn tại đối với k cho trước thì rõ ràng moment α m , β m tồn tại với ∀m : 0 < m ≤ k. Moment trung tâm và moment trung tâm tuyệt đối cấp k được định nghĩa tương ứng bởi: µ k = E(X − EX) k = +∞  −∞ (x − α 1 ) k dF (x) ν k = E|X − EX| k = +∞  −∞ |x − α 1 | k dF (x) Moment trung tâm tuyệt đối cấp 2 được gọi là phương sai của X và được kí hiệu là DX. Nếu biến ngẫu nhiên X có moment cấp k là α k thì β 1 m m ≤ β 1 k k và ν 1 m m ≤ ν 1 k k với ∀m : 0 < m ≤ k. Từ đó ⇒ β m β l ≤ β m+l và ν m β l ≤ ν m+l với ∀l, m Cho biến ngẫu nhiên X bất kì có moment cấp 2 với ∀t > 0 ta có BĐT Cheybyshev: P (|X|) ≥ EX 2 t 2 11 Hàm moment sinh của biến ngẫu nhiên X được kí hiệu là M(t) = Ee tX . Kì vọng toán ở vế phải luôn tồn tại với t = 0 nhưng không luôn tồn tại trong một khoảng không suy biến. Nếu nó tồn tại trong khoảng 0 ≤ t ≤ a thì trong khoảng đó ta có: M(t) = 1 + ∞  k=1 α k k! t k Nếu tồn tại hằng số C sao cho P(|X| ≤ C) = 1 thì hàm moment sinh tồn tại với ∀t. Median của biến ngẫu nhiên X là số mX mà P(X ≥ mX) ≥ 1 2 và P(X ≤ mX) ≥ 1 2 . Nếu X 1 = X 1 (ω), . . . , X n = X n (ω) là các biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên không gian xác suất thường (Ω, A, P) thì véc tơ X = (X 1 , . . . . . . . . . , X n ) được gọi là véc tơ ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên n−chiều. Miền giá trị của véc tơ ngẫu nhiên X là không gian Euclid n-chiều R n . Với mọi tập Borel B ⊂ R n , xác suất P(X ∈ B) = P({ω : (X 1 (ω), . . . , X n (ω)) ∈ B}) xác định và được gọi là hàm xác suất của của véc tơ ngẫu nhiên X. Trong trường hợp đặc biệt x 1 , x 2 , . . . , x n ∈ B thì hàm: F (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = P( n  k=1 {ω : X k (ω) < x k }) xác định và được gọi là hàm phân phối của véc tơ ngẫu nhiên X(X 1 , X 2 , . . . , X n ). Cho (Ω, A, P) là không gian xác suất, giả sử A k ∈ A với k = 1, 2, 3, . . . , n. Khi đó, các biến cố A 1 , . . . , A n được gọi là độc lập với nhau nếu: P( k  s=1 A i s ) = k  s=1 P(A i s ) với ∀k ∈ Z, 2 ≤ k ≤ n và i 1 , . . . , i n ∈ Z : 1 ≤ i 1 < i 2 , . . . < i k ≤ n. Cho X 1 , X 2 , . . . , X n là các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω, A, P). Các biến ngẫu nhiên này được gọi là độc lập nếu biến cố {ω : X k (ω) ∈ B k } với k = 1, . . . , n là độc lập với các tập Borel bất kì B 1 , . . . , B n ⊂ R. [...]... trưng của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích các hàm 15 đặc trưng của các biến ngẫu nhiên đó Do đó bán bất biến cấp k của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng các bán bất biến cấp k của các biến ngẫu nhiên này nếu nó tồn tại Nếu f (t) là một hàm đặc trưng của một phân phối có moment αk cấp k, ∀k ∈ R thì: k log f (t) = ν−1 γν (it)ν + o(|t|)k ν! (1.3) khi t → 0 Cho phân phối chuẩn với tham biến. .. gian xác suất được gọi là các biến ngẫu nhiên độc lập nếu X1 , X2 , độc lập với nhau với ∀n Cho một dãy bất kì các hàm phân phối F1 , F2 , , Fn Khi đó tồn tại không gian xác suất (Ω, A, P) và một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập X1 , X2 , xác định trên nó và tương ứng với n hàm phân phối của Xn là Fn Nếu X1 , X2 , , Xn+m là các biến ngẫu nhiên độc lập và nếu f, g là các hàm Borel với giá trị... trưng của biến ngẫu nhiên đối xứng là thực Cho X là một biến ngẫu nhiên với hàm đặc trưng f (t) Xét biến ngẫu nhiên 14 đối xứng X = X −Y với Y là một biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với X Biến ngẫu nhiên X có hàm đặc trưng không âm f (−t) = |f (t)|2 1.2.2 Một số ví dụ về hàm đặc trưng a) Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc với các giá trị x1 , x2 , , xn với xác suất tương ứng p1... phức liên hợp của f (t) • Nếu f (t) là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X và g(t) là hàm đặc trưng của Y = aX + b thì g(t) = eibt f (at) • Nếu biến ngẫu nhiên X có moment cấp k là αk = EX k , k ≥ 1 thì hàm đặc trưng f (t) của nó là đạo hàm cấp k và f (m) (0) = im αm , ∀m ≤ k • Nếu các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , , Xn độc lập và có hàm đặc trưng f1 , f2 , , fn thì hàm đặc trưng của tổng X1 + X2... g(Xn+1 , Xn+2 , , Xn+m ) là độc lập Nếu X1 , X2 , , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng thì E(X1 X2 Xn ) = EX1 EX2 EXn 13 1.2 Hàm đặc trưng Định nghĩa 1.2.1 Cho X là biến ngẫu nhiên và t là số thực Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X được kí hiệu là f (t) = EeitX +∞ eitx dF (x) Nếu X có hàm phân phối là F (x) thì f (t) = −∞ 1.2.1 Một số tính chất của hàm đặc trưng (i) f (0) =... với ∀k1 , , kn ∈ Z Nếu biến ngẫu nhiên X1 và X2 độc lập và có hàm phân phối F1 (x), F2 (x) thì tổng X1 + X2 có hàm phân phối F (x) được xác định bởi: +∞ F1 (x − y)dF2 (y) F (x) = −∞ Tích phân ở vế phải được gọi là tích chập hay tích của phân phối F1 và F2 và được kí hiệu là: F1 ∗ F2 Tích chập n-lần của hàm với biến bị chặn F (x) được kí hiệu bởi F ∗n Một dãy các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , được... biến bất kì, các bán bất biến cấp ≥ 3 đều bằng 0 Nếu γ là một bán bất biến cấp k đối với biến ngẫu nhiên X và γk là bán bất biến cấp tương tự của biến ngẫu nhiên X = aX + b với a, b là các hằng số thì: γ = aγ1 + b, γk = ak γk , ∀k ≥ 2 Công thức dạng: ∞ log[1 + ν=1 αν (it)ν ] = ν! ∞ ν=1 γν (it)ν ν! cho chúng ta công thức dưới đây cho phép mô tả bán bất biến bậc k tùy ý trong các số hạng của các moment... Nếu biến ngẫu nhiên X với hàm đặc trưng f (t) và có một moment cấp k là αk = EX k , k ≥ 1 thì: k f (t) = 1 + αm (it)m + o(|t|k ) m! m=1 khi t → 0 Một biến ngẫu nhiên X và phân phối của nó được gọi là đối xứng nếu X và −X có phân phối giống nhau Nếu X là một biến ngẫu nhiên đối xứng đối xứng và f (t) là một hàm đặc trưng thì f (t) = EeitX = Ee−itX = f (−t) = f (t) Vì vậy hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên. .. trưng của phân phối nhị thức với tham biến (n, p) là: f (t) = (peit + 1 − p)n c) Hàm đặc trưng của phân phối Poision với tham biến (a, b, λ) là: f (t) = eiat+λ(e ibt −1) (1.2) d) Hàm đặc trưng của phân phối chuẩn với tham biến (a, σ) có dạng: 1 f (t) = eiat− 2 σ 2 2 t Cùng với các moment, có những số đặc trưng khác của một biến ngẫu nhiên giữ vai trò quan trọng đó là bán bất biến Định nghĩa 1.2.2 Nếu biến. .. 1.4.6 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên Đặt F (x) = P(X < x); G(x) = P(X + Y < x) Khi đó: F (x − ε) − P(|Y | ≥ ε) ≤ G(x) ≤ F (x + ε) + P(|Y | ≥ ε) (1.9) với ∀x và ∀ε Chứng minh Biến cố X < x − ε là tổng của các biến cố X + Y < x và Y ≥ ε Do đó: P(X < x − ε) ≤ P(X + Y < x) + P(Y ≥ ε) vế trái của (1.9) là hiển nhiên Để chứng minh vế phải ta cần chỉ ra biến cố X + Y < x là tổng của các biến cố X < x + ε . độc lập bằng tích các hàm 15 đặc trưng của các biến ngẫu nhiên đó. Do đó bán bất biến cấp k của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng các bán bất biến cấp k của các biến ngẫu nhiên này nếu nó tồn. của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. Trình bày định nghĩa về hàm tập trung của một biến ngẫu nhiên. Giới thiệu và chứng minh một số bất thức về phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. •. giá trị lớn nhất của phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4 Các ước lượng mũ cho phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . .