Phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên

Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Thanh Huyền K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *****&***** VŨ THỊ THANH HUYỀN PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NH KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP Chun ngành: Tốn ứng dụng Hà Nội, 2009 Vũ Thị Thanh Huyền K31B CNKH Toán TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *****&***** VŨ THỊ THANH HUYỀN PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NH KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Th.s Nguyễn Trung Dũng Hà Nội, 2009 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm phân phối xác suất 1.1.1 Một số định nghĩa 1.1.2 Hàm phân phối xác suất số b.n.n độc lập .6 1.2 Hàm sinh mômen 1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen 1.2.2 Hàm sinh mômen số b.n.n độc lập 10 Chƣơng Phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên 13 2.1 Kĩ thuật dựa hàm phân phối xác suất đồng thời 13 2.1.1 Mô tả phương pháp .13 2.1.2 Phân phối xác suất Max Min .14 2.1.3 Phân phối tổng hiệu hai biến ngẫu nhiên 18 2.1.4 Phân phối tích thương .21 2.2 Kĩ thuật dựa hàm sinh mômen 24 2.2.1 Mô tả phương pháp .24 2.2.2 Phân phối tổng biến ngẫu nhiên độc lập 27 2.3 Kĩ thuật dựa phép biến đổi Y g X  32 2.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối rời rạc .32 2.3.2 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục 34 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khố luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biếy ơn sâu sắc đến thầy, giáo khoa tốn nói chung thầy, giáo tổ Tốn ứng dụng nói riêng tạo điều kiện cho em suốt thời gian làm khoá luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Trung Dũng- người giúp đỡ em tận tình q trình chuẩn bị hồn thành khoá luận LỜI CAM ĐOAN Khoá luận em hoàn thành sau thời gian miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo, Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng Trong trình làm khố luận em có tham khảo số tài liệu nêu mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khoá luận kết nghiên cứu khoa học riêng em khơng trùng với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2009 Sinh viên Vũ Thị Thanh Huyền LỜI NÓI ĐẦU Ngày nay, “ Lý thuyết xác suất” khơng lĩnh vực tốn học mẻ mà trở thành ngành Toán học lớn toán học giới Người ta biết đến lý thuyết xác suất khơng ngành tốn học chặt chẽ lý thuyết mà có ứng dụng rộng rãi nhiều ngành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội nhân văn Đặc biệt gắn liền với khoa học thống kê, khoa học phương pháp thu thập, tổ chức phân tích liệu, thông tin định lượng Với đề tài : “ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN” luận văn trình bày số phương pháp tìm phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên Luận văn gồm hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số biến ngẫu nhiên thường gặp hàm sinh mơmen Chương Phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên Trong chương trình bày số phương pháp để tìm phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên Với khóa luận này, em mong tài liệu bổ ích cho quan tâm đến vấn đề Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 1.1.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1 Hàm số FX xP  : X  x , x  gọi hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Định nghĩa 1.2 Cho vectơ ngẫu nhiên định x ,  P X F x X1 , X 2 x ,X 1 X X1, X  Hàm số FX , X x1, x2  xác x   gọi hàm phân x , x  , 2 2 phối xác suất đồng thời vectơ ngẫu nhiên X Từ phân phối xác suất đồng thời X1, X ta tìm phân phối X1 X Khi phân phối X1 X gọi phân phối biên duyên 1.1.2 Phân phối số biến ngẫu nhiên thƣờng gặp a Phân phối nhị thức Định nghĩa 1.3 B.n.n X gọi có phân phối nhị thức với tham số n,p với * n  ,0 p 1, Kí hiệu X  Bn, p P  k X C k p k 1 pnk , k 0, n n 2y Ví dụ 2.18 Giả sử X có phân phối Pareto với hàm mật độ f Y y x I1,  x   Tìm hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Y ln X Giải Ta có g x ln x g 1 d g  dy y 1 y e y e y  Theo định lý 2.7, biến ngẫu nhiên Y ln X có hàm phân phối X fY y  d  1  g  f  g y dy 1 y  e y , y 0 Đặc biệt, giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất F  X  Trong phép biến đổi Y g X ta thay hàm g hàm FX     hàm FX  liên tục ta hồn tồn xác định phân phối biến ngẫu nhiên Y FX X  Định lý 2.8 Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất FX x  Y FX  có phân phối khoảng 0,1 Ngược lại, Y có phân X phối khoảng 0,1 X  FX 1 Y  có hàm phân phối FX  Chứng minh Ta có P Y y P F Ngược lại, X yP  X F  X   P X x P F 1 F y   F X  Y xP Y F X    1  X y y,0 y X  x   x  1 F X  X Ví dụ 2.19 Cho biến ngẫu nhiên X hàm phân phối xác suất F x  1e Giải Chứng minh rằng: X có hàm phân phối   x , x 0  0, x 0 X Ta F có x    1 e X   x FX x khi Y FX X  U 0,1 1 , x 0 y  ln 1 y   F  0, x 0 Khi F y PY y P F X  X yP   Y X F   1 y  X X F  F X X 1 y y,0 y 1  Vậy Y FX X  U 0,1 Ngược lại, Y  F X  U 0,1 X F X Nên P  X x P F Y xP Y  F Vậy X có hàm phân phối FX y  Y    x  x 1 X 1 F  X X x  b Trƣờng hợp có nhiều biến Bài toán : Giả sử f X1 ,, X n x ,, x  hàm mật độ xác suất đồng thời n  x g ,, , hàm đo n biến ngẫu nhiên Y1,,Yn x ,,  :  ,, x n biến ngẫu nhiên X1 ,, Xn f n  x X1 ,, X n n n □ Vấn đề đặt tìm hàm mật độ xác suất với Yj g j X1,, X n , j 1, 2, , n Dưới trình bày kết ứng với n= với n> tổng quát hoá n= Định lý 2.9 Giả sử X1, X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất đồng thời fX ,X x1,  x2 Đặt   x , f x2 (i) : X1 , X2  x1, 0 Giả sử x2 y1 g1  x1, x2 , y2 g2  x1, x2 là phép biến đổi 1-1 từ A vào B (ii) Các đạo hàm riêng cấp x g y , y 1 , 1 x 2 tục B x1 x1  (iii) Định thức Jacobian J  y1 y2 0,y1, y2 x2 x2 y1 y2 hàm mật độ xác suất Y1 g1 X1, X2   liên  g y , y   Y2 g2 X1, X là J f y1, y2 , g2 y1, y2  , y1, y2   g     X ,X   y1, y2  0,y      fY ,Y , y2 Ví dụ 2.20 Giả sử X1, X hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc Tìm f y , của Y  y Y1 ,Y2 X , Y X 1 2 X Giải Vì Y2 x X1  N x22 nên f x2  X2  Vì X  N 0,1  e 2 , x2   x x  Do X1, X độc lập nên f X , X x1, x2  Ta có y 1 x , y  g x , x  x 2  e 2 2 x g y y 1 y , y  1 2  g x , x 2 e21 , x  2 nên f x1  X1  0,1 y  f  X1 y2 x g 1 y , y  y1 2 y2 x2 ,1x , 2x x1     y2 y J det    1  y y y y  1     2   1  y  1 y 3  1 y 2   y  1 y1 y2  y exp  y1 Y1 ,Y2 1 y y , y  f  y1 1 y  2  2 2    y     2  1 2 y    1 y y   1 exp 1  2 21    1 y2  y2    1  y  y   f  y  Y Y, Y   y , y dy  f 1 1 Đặt u 1 y  y  dy 1 y2     1 y 2 1 1 1 y2  11 u e du  2 1  y y2    2 1 y  X1, X hai biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất x  2e  X1 , X 2  f y  fx  Ví dụ 2.21 Giả sử  1 y dy du  y 1 y 2  21 y2    Y2 y exp 1  x1 x2 ,0 x1 x2 , 0, x x 0  Tìm f  y , , Y X y Y1 ,Y2 Giải Ta có 2 2 y1 g1  x1, x2 x1 x2 , y2 g2  x1, x2 x2 x 1  g y , y 11 x  y g ,y X X , Y 1 y 2 y J 1 Do f y y , 2e y1 y Y1 ,Y2 y Trong định lý 2.8 hàm g , trường hợp g , y 2y 2 phải thoả mãn phép biến đổi 1-1 Vậy khơng phép biến đổi 1-1 làm nào? , Định lý 2.10 Giả sử X1, X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất đồng thời fX ,X x1,  x2 Giả sử A phân tích thành tập 1,, cho phép biến đổi y g x , 1 m x  , y2   đổi 1-1 từ  ,i i 1, m g2x1, x 2 phép biến  vào B Giả sử x1 y1, y2 , x2  g1i g2i y1, y2  phép biến đổi ngược từ B vào i ,i 1, m Giả sử đạo hàm riêng cấp 1 g1 , g  2i 1 g g 1i1i Ji  y1y2  0,i hàm mật độ 1, m1 1 g 2i g 2i y1 y2 liên tục B i Y1 g1 X1, Y2 g2 X1, có dạng X2  X2  y , y f  Y1 ,Y2 m  Ji f X X  g1   y1, y2 , g2  1, y2  , y1, y2 y ,    i1 0, y , y      Ví dụ 2.22 Giả sử X1  N 0,1, X  N 0,1 f y Y1 ,Y2 y ,  X X Y 1 ,Y  f X 2 độc lập Tìm y  2 X1, X Y1 Giải y x x x  Ta có 1  y  x2 y y  1  x2 y2 2 Ta thấy phép biến đổi không 1-1 Ở x1, x2 : x1 ,x2   y , y : y1 , Nếu A phân tích thành  với 1,  y1 y2  y1  1 x1, x2 : x1 , x2  2 x1, x2 : x1 0,x2  phép biến đổi 1-1 từ vào B với i= 1, i Ta có 1 g  g  11 1 y , y 2  J det 2     y     J  det 2    Y1 ,Y2 2 ,y y y 21 1 y y ,g    y y y,y   Do f 1 ,y 2 y y 22 2 1 y y    2 y   2   y y y y y y , y  12 1 y y ,g y   1      y 2 1 y2 e , y1, y2   y y    0,y1, y2    y       2 f Y y1   YY ,  f  y1, y2 dy2 e 2 2  y   e arcsin   y1 y   y 1  y e 2  1 y   e , y1 0 f Y y 1  0, y 0  1 dy2 y y  y1  2 y1   Vậy  y1 2  y1      e 2 2    y1 , y1 0 KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận “ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN” Khóa luận mang tính chất tổng quan nên em cố gắng chứng minh số định lý, bổ đề đưa số ví dụ áp dụng để làm bật vấn đề mà khóa luận đề cập Do lấn làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn thời gian lực thân hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO (*) Tiếng Việt [1] Đào Hữu Hồ (2007), “ Xác suất thống kê ”, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), “ Lý thuyết xác suất ”, Nhà xuất giáo dục (*) Tiếng Anh [1] M., Graybill F.A., Boes D.C., (1974), “ Introduction to the theory of Statistics”, MC Graw- Hill [2] William C Rinaman, (1994), “ Foundations of Probability and Statistics”, Sounders College [3] George G Roussas, (1998), “ A course in Mathematical Statistics”, Academic Press ... Chƣơng 2: PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Cho biến ngẫu nhiên c g , , , g , , , , g  2  1 k hàm , , đo □ n Vấn đề đặt tìm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Yj g... trình bày số biến ngẫu nhiên thường gặp hàm sinh mơmen Chương Phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên Trong chương trình bày số phương pháp để tìm phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên Với khóa... thập, tổ chức phân tích liệu, thông tin định lượng Với đề tài : “ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN” luận văn trình bày số phương pháp tìm phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên Luận