Các hàm lượng giác, hàm Hypebolic và ứng dụng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LƯU ĐÌNH ANH CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC, HÀM HYPEBOLIC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2010 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƯƠNG HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ HÀM HYPEBOLIC 1.1 Hµ m chØnh h×nh 1.1.1 .Đị nh nghĩa hàm chỉnh hình .5 1.1.2 .TÝ ch ph©n Cauchy 11 1.1.3 án h xạ bảo giác 16 1.1.4 .Th Ỉng d 18 1.2 Hàm lợng giác vµ hµm hypebolic .21 1.2.1 .Đị nh nghĩa hàm lợng giác 21 1.2.2 .Đị nh nghĩa hàm hypebolic 26 1.2.3 .Hµ m lợng giác hyperbolic ngợc 26 1.2.4 .Kh triển hàm lợng giác hypebolic thành chuỗi 27 Chơng ứng dông 31 2.1 ứn g dụng để giải qut mét sè vÊn ®Ị vỊ lý thut 31 2.1.1 .án h xạ hình tròn có khía đoạn theo bán kính thành hình tròn 31 2.1.2 .¸n h xạ mặt phẳng có khía theo hai tia thành d¶i 33 2.1.3 .án h xạ dải bị khía đoạn thành dải 34 2.1.4 .án h xạ miền cung thành miền cña cung .37 2.1.5 .án h xạ nửa mặt phẳng bỏ vòm cung thành nửa mặt phẳng 40 2.1.6 ánh xạ hình tròn có khía lỗ nhỏ thành hình tròn 43 2.2 ứng dụng để giải qut mét sè vÊn ®Ị thùc tiƠn 45 2.2.1 Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi 45 2.2.2 øng dơng gi¶i số toán 51 Kt lun 69 Danh mục tài liệu tham khảo .70 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Những nghiên cứu lý thuyết hàm biến phức có nhiều ứng dụng việc giải số vấn đề Toán học thực tiễn Từ năm đầu kỷ XX nhiều nhà tốn học có thành cơng việc nghiên cứu lý thuyết hàm biến phức để giải tốn khí động lực học thuỷ động lực học Nhờ ứng dụng bước đầu to lớn lý thuyết hàm phức thu hút nhiều quan tâm, nghiên cứu nhà Tốn học Đặc biệt lý thuyết có hàm lượng giác, hàm hypebolic với tính chất đặc trưng ứng dụng nhiều việc giải số vấn đề lý thuyết, vật lý, kỹ thuật thực tiễn Việc nghiên cứu hàm lượng giác, hàm hypebolic giúp tìm hiểu sâu sắc lý thuyết hàm biến phức, đồng thời sử dụng kết để giải số toán thực tiễn khác Hơn nữa, giáo viên giảng dạy trường phổ thơng, việc tìm hiểu hàm lượng giác, hàm hypebolic giúp em nhìn nhận kiến thức Tốn Giải tích áp dụng rộng rãi môn khoa học khác, đặc biệt với toán vật lý, kỹ thuật thực tiễn, đáp ứng yêu cầu đổi dạy học Bởi vậy, em chọn đề tài “ Các hàm lượng giác, hàm hypebolic ứng dụng” nhằm tổng hợp khái niệm, tính chất ứng dụng hàm lượng giác, hàm hypebolic việc giải vấn đề vật lý, kỹ thuật thực tiễn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết hàm số biến số phức, trình bày cách hệ thống khái niệm, tính chất hàm lượng giác, hàm hypebolic Tổng hợp ứng dụng hàm lượng giác, hàm hypebolic Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu hàm lượng giác, hàm hypebolic ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu hàm lượng giác, hàm hypebolic ứng dụng số vấn đề lý thuyết, thực tiễn Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu chuyên khảo Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu ứng dụng Dự kiến đóng góp Nghiên cứu hàm lượng giác, hàm hypebolic tổng hợp, hệ thống ứng dụng CHƯƠNG HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ HÀM HYPEBOLIC 1.1 Hàm chỉnh hình 1.1.1 Định nghĩa hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.(Định nghĩa đạo hàm) Cho hàm f (z) xác định miền D Xét giíi h¹n sè f  z  z   f  z  lim , ( z, z  z D) z0 z Nếu điểm z giới hạn tồn đợc gọi đạo hàm phức f (z) z, ký hiệu lµ f  z hay Nh vËy f df (z) ' ' dz  z   lim z0 f z f  z  z   z (1.1) Hà f (z) có đạo hàm phức z đợc gọi khả vi phức hay m khả vi z Cũng nh hàm biến thùc, theo quy n¹p ta viÕt: f k  (z)   f   (z) k 1 ' Nếu vế phải tồn gọi đạo hàm phức cấp k hàm Định lí 1.1 Nếu f z z0 g z khả vi phức f z  g  z ,  f  z   g  z  f z /g z vµ khả vi phức , Khi ®ã: z0 víi mäi a)  f   g '  z b)  fg '  z 0  g  z   0    f ' z    g ' z  0   f '  z  g  z   f  z  g ' z  0 0 (1.2) f (z) trªn D  z  g z   f z c)  f / g '  z   f gz  ' ' 0 d) NÕ w  f  z khả vi phức u z0 w0 f z hàm hợp gf 02 g z0 khả vi phức khả vi phức z0 ' g f g  w z0  g '   ' f z0 f z0 Định lý 1.2.(Điều kiện Cauchy - Riemann) Giả sử D f  z   u  x, y   iv x, y , zx iy xác định miền Hàm f (z) đợc gọi khả vi t¹i z  x  u  x, y  iy hàm v x, y khả vi x, y (theo nghĩa biết giải tích thực) Để hàm f (z) khả vi phức z x iy D điều kiện cần đủ hà m f (z) khả vi z điều kiện Cauchy - Riemann sau đợc thoả v u mãn z x, y   x, y  , lµ:  y  x   u  x, y   v  x, y  y x (1.3) ý nghĩa hình học acgumen môđun đạo hàm Giả sử f (z) xác định miền D khả vi điểm z0 D , víi f '  z   Xét đờng cong trơn tuỳ ý z gọi L ảnh f (z) , l qua l qua z z0 z chạy l vµ xÐt  f  z0  z   f  z0  L  f  l Cho f điểm Giả sử góc tiếp tuyến z0 với trục hoành, góc l tiếp tuyến L f z với trục hoành Khi đó: 0  lim arg  z  z0   lim arg z   zo z0 zl zz0 zl vµ lim arg  f  z   f  z0    lim arg z   (1.4) zo z0 zl zz0 zl VỊ mỈt ý nghĩa hình học, hiệu góc tiếp tuyến l z0 góc tiÕp tuyÕn cña L f  z  Mét cách hình thức góc mà hàm f (z) quay đờng cong z0 với l t¹i     lim arg f – arg z  zo z0 zl lim arg zo z0 zl f (1.5) z ' Tõ ®ã, nÕu f '  z   kei th     arg f (z 0)   viÕt × Nh vËy, nÕu f ' z 0 l z0 qua th arg f ì ' z lµ gãc quay cđa tiÕp tun cđa f (z) Giả sử l1 l2 đờng cong tùy ý qua hai đờng cong trơn tùy z0 L1 ý qua , L2 hai f (z0 góc 1,2 ,1,2 tơng ứng l Theo ) nghĩa hình học góc l1 l2 tạ z0 i , góc L1 L2 Hệ thức thu đợc, đợc gọi phép tích phân Bersel, cho ta biết hàm trụ dới dạng tích phân Bài toán 2.10 Phép chia chuỗi luỹ thừa Giả sử ngời ta cho chuỗi luỹ thừa: f1 z an z , f2  z   b z  n n n0 §ång thêi (2.39) n n0 f2 b0 (Để đơn giản cách viết coi nh tâm chuỗi (2.39) trùng với gốc toạ độ) đờng tròn z R , mà R giá trị nhỏ số môđun f z , điểm đặc biệt f2 z Trờng hợp cá biệt chuỗi này, ta hình dung dạng chuỗi luỹ thừa: f z f1  z   f2 (z)  cz  n n n0 Muốn xác định cn cách chÝnh x¸c ta sư dơng hƯ thøc:    bn zn  cn zn  n0 n0   an z n , n0 tõ hƯ thøc ®ã sau so sánh hệ số tìm ®ỵc: b0c0  a0 , b0c1  b1c0    a1     b0cb b1cn bnc an (2.40) Hệ (2.40) đợc giải cách c0 ,c1 , ,cn , , phơng trình míi hƯ sè míi cn ®Ịu tham gia cïng víi thõa sè b0  f  z  tgz Chẳng hạn, 0, a2k Tõ (2.30) suy ra: sin z ta cã: cos z b2 1k ,  2k  1! a2k 1  1k ,  2k !  k   tgz  z  z3  z5  15 b2k 1  17 z7  315 Nhận xét: Chúng ta thấy chuỗi số Lôrang có mối liên quan với chuỗi số biết Fourier Giải tích Giả sử hàm f z chỉnh hình vòng    z    th× vòng hàm số đợc xem nh chuỗi Lôrang: f z n cn z , n ®ã cn   2 i  1 f   d n1  Đặc biệt, z it ®iĨm e  t   f e  e i d (2.41) đờng tròn đơn vị có: f e it (2.42) n chuỗi Fourier hàm số t in cn eint đợc viết díi d¹ng phøc ThËt vËy, ta cã:  t   c   c e  int n  c eint  n n1 a0  ®ã ta ®·     a cos nt  b n sin nt  , n n c0  a0 / 2, an  cn  cn , bn  i  cn  cn  Nên ấn định vào (2.41) suy ra: a0  2     d  ,  an  2     cos n d , b     sin n d , n  sÏ lµ chuỗi Fourier hàm số it fe t Bài toán 2.11 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số t a 1 a sin t   2a cost  a §Ĩ thùc hiƯn chóng ta cho (2.43) it e z tìm đợc phép khai triển hàm số thu đợc thành chuỗi Lôrang Ta có: f z đó, mÉu sè lµ 1z   , 2i z    z    a  1 a    thµn z1  a, z  Sau ph©n f  z h tích a phân số đơn giản nhÊt, chóng ta sÏ cã:  1  1   ,   z 2i    az   a  f z đặt đó, az dới dạng tổng cấp số z 1a z a  a 1 z   nhân trùng Khi z 1, điều a  nªn chóng ta sÏ cã: kiƯn fz n1 Đặt z it e n n a z    1  z n ta có đợc phép khai triển Fourier phải tìm lµ:  a sin t n  2a cost  a   a sin nt , n a0 vµ    cos nz   a cos nz  b n n n1 Với hệ số phức biến phức z sau thay vào chuyển thành chuỗi Lôrang c  a0 (2.44) cn iz e  n , ®ã n , c  ,n an  ibn c  n an  ibn  n 1, 2, Mặt khác, theo chứng minh chuỗi Lôrang trùng khớp vòng tròn R , nên chuỗi lợng giác (2.44) trùng khớp r dải ln r   y  ln R , song song víi trơc thùc (chóng ta gi¶i thÝch r»ng z  x  iy , nªn  y  e ) dải tổng chuỗi (2.44) hàm chỉnh hình Điểm quan trọng thực tiễn trờng hợp r R 1, nghĩa dải biến hoá thành đờng thẳng trục thực Trong trờng hợp qua giải thích ta thấy rõ chuỗi (2.44) có trùng khớp xem nh không hàm không chỉnh hình mà hàm gián đoạn Cuối đa đợc dạng tổng quát chuỗi Tay- lo, mà ngời ta gọi chuỗi Bu-rơ-mau La-gờrăng Các chuỗi ta có đợc khai triển hàm chỉnh hình theo lũy thừa hàm chỉnh hình khác z  víi f  z   d0  d1  z    dn n  z   (2.45) B©y giê chóng ta sÏ có công thức hệ số chuỗi Bu-rơ-mau La-gờ-răng tổng quát công thức hệ số chuỗi Tay-lo Giả sử f z (z) điểm a đó, z đồng thời điểm có điểm không cấp Chúng ta lấy ®êng C khÐp kÝn miÒn D cho D cã chứa điểm a, hai hàm số đứng D z D chiếm giá trị có lần Bây cố định điểm z tùy ý D xem xét phép tích phân sau: d f     '   fz 2 i C     z Theo giả thiết chúng ta, hàm dới tích phân đợc xem xét phụ thuộc vào có D điểm đặc biệt z cực điểm bậc cã lỵng: f  z   ' z  f z     ' z  Theo định lý lợng giảm phép tích phân mà ta xem xét nh nhau, ta cã c«ng thøc: f z   d , f     '   (2.46) 2 i C        z khái quát chung công thức tích phân Cauchy Chúng ta giả thiết điểm z đợc lựa chọn t- z ơng đối gần với a,     q  ®èi víi tÊt điểm C Do đó, ta khai triển hàm dới tích phân (2.46) thành chuỗi trùng cách đặn là: f    '         z 1    n  z f     '     z      n   1             Sau lÊy tÝch ph©n thành phần, thu đợc chuỗi Bu-rơ- mau La-gờ-răng (2.45) thấy hệ số nh sau: dn  2 i C f     '   n1   d n 0,1, 2, (2.47) Các công thức khái quát chung công thức Cauchy hệ số chuỗi Tay-lo Các công thức ta biến đổi cách dễ dàng, nên nhớ hàm dới tích phân theo giả thiết có bên C điểm đặc biệt a cực điểm bậc n Sau tính toán lợng giảm công thức, tìm đợc biểu thức hệ số chuỗi Bu-rơ-mau La-gờ-răng là: d lim d n  f  z   '  z  z  a  n  n   n! za dz  n1  z n1  n  0,1, 2,  (2.48)    Kh¸i quát đợc công thức biết Tay-lo với thøc (2.47) cã thĨ biÕn ®ỉi b»ng n  công cách lấy tích phân Ta có: dn  2n i  f C  f '  d  1    d   n d n 2n i     d        , nªn thay cho (2.48) cách tơng tự ta có: n n1   f ' z   z  a   d  limd  2, n n n1 za  z n! dz       n  1,  (2.49) Ch¼ng hạn, xem xét cách f z   ebz theo c¸c khai triĨn l thõa cđa   ze z , a  ta sÏ cã lÊy d0  f  0  vµ theo công thức (2.49) nên d d n1 bz   n b b  nn1 lim be   n n! z0 dz n1 z  ze   n!   VËy khai triĨn ph¶i tìm có dạng: e b bz n0 b  z nenz nn n! Kết luận Luận văn sâu nghiên cứu lý thuyết hàm lượng giác, hàm hypebolic Luận văn hệ thống ứng dụng hàm lượng giác, hàm hypebolic: - Ứng dụng giải số vấn đề lý thuyết - Ứng dụng giải số vấn đề vật lý - Ứng dụng giải số tốn Luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên học viên cao học, người yêu thích hàm biến phức, đặc biệt hàm lượng giác, hàm hypebolic với ứng dụng vật lý, kỹ thuật thực tiễn Danh mục tài liệu tham khảo [A]Tài liệu tiếng Việt [1]I.I.Privalov (1964), Nhập môn lý thuyết hàm số biến số phức, tập 1,2, Nxb Giáo dục, Hà Nội (sách dịch) [2] B.V.Sabat (1974), Nhập mơn giải tích phức, tập 1, 2, Nxb ĐH & TH Chuyên nghiệp, Hà Nội (sách dịch) [3] Đậu Thế Cấp (2003), Bài tập hàm biến phức, Nxb Giáo dục, Hà Nội [4] Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải (2001), Hàm biến phức, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội [5] Trương Văn Thương (2003), Hàm số biến số phức, Nxb Giáo dục, Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Nga М.A Лаврентьев и Б.B Шабат (1973) , Методы Теорuu Функuuй комплексного переменного, издательство наука физико-матеметческой литературы, Москва ... thuyết hàm số biến số phức, trình bày cách hệ thống khái niệm, tính chất hàm lượng giác, hàm hypebolic Tổng hợp ứng dụng hàm lượng giác, hàm hypebolic Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu hàm lượng giác,. .. cầu đổi dạy học Bởi vậy, em chọn đề tài “ Các hàm lượng giác, hàm hypebolic ứng dụng nhằm tổng hợp khái niệm, tính chất ứng dụng hàm lượng giác, hàm hypebolic việc giải vấn đề vật lý, kỹ thuật... kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu ứng dụng Dự kiến đóng góp Nghiên cứu hàm lượng giác, hàm hypebolic tổng hợp, hệ thống ứng dụng CHƯƠNG HÀM LƯỢNG GIC V HM HYPEBOLIC 1.1 Hàm chỉnh hình