Các hàm lượng giác, hàm Hypebolic và ứng dụng

1 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI LU èNH ANH CC HM LNG GIC, HM HYPEBOLIC V NG DNG LUN VN THC S TON HC H NI, 2010 MC LC Trang M U CHNG HM LNG GIC V HM HYPEBOLIC 1.1 Hàm chỉnh hình 1.1.1 Định nghĩa hàm chỉnh hình 1.1.2 Tích phân Cauchy 11 1.1.3 ánh xạ bảo giác 16 1.1.4 Thặng dư 18 1.2 Hàm lượng giác hàm hypebolic 21 1.2.1 Định nghĩa hàm lượng giác 21 1.2.2 Định nghĩa hàm hypebolic 26 1.2.3 Hàm lượng giác hyperbolic ngược 26 1.2.4 Khai triển hàm lượng giác hypebolic thành chuỗi 27 Chương ứng dụng 31 2.1 ứng dụng để giải số vấn đề lý thuyết 31 2.1.1 ánh xạ hình tròn có khía đoạn theo bán kính thành hình tròn 31 2.1.2 ánh xạ mặt phẳng có khía theo hai tia thành dải 33 2.1.3 ánh xạ dải bị khía đoạn thành dải 34 2.1.4 ánh xạ miền cung thành miền cung 37 2.1.5 ánh xạ nửa mặt phẳng bỏ vòm cung thành nửa mặt phẳng 40 2.1.6 ánh xạ hình tròn có khía lỗ nhỏ thành hình tròn 43 2.2 ứng dụng để giải số vấn đề thực tiễn 45 2.2.1 Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi 45 2.2.2 ứng dụng giải số toán 51 Kt lun 69 Danh mc cỏc ti liu tham kho 70 M U Lý chn ti Nhng nghiờn cu v lý thuyt hm bin phc cú nhiu ng dng vic gii quyt mt s ca Toỏn hc cng nh thc tin T nhng nm u ca th k XX nhiu nh toỏn hc ó cú nhng thnh cụng vic nghiờn cu lý thuyt hm bin phc gii quyt cỏc bi toỏn v khớ ng lc hc v thu ng lc hc Nh nhng ng dng bc u to ln ú lý thuyt hm phc ó thu hỳt nhiu s quan tõm, nghiờn cu ca cỏc nh Toỏn hc c bit lý thuyt ny cú cỏc hm lng giỏc, hm hypebolic vi cỏc tớnh cht c trng ca nú ó c ng dng nhiu vic gii quyt mt s lý thuyt, vt lý, k thut v thc tin Vic nghiờn cu cỏc hm lng giỏc, hm hypebolic giỳp chỳng ta tỡm hiu sõu sc hn v lý thuyt hm bin phc, ng thi s dng kt qu ú gii quyt mt s bi toỏn thc tin khỏc Hn na, l mt giỏo viờn ging dy trng ph thụng, vic tỡm hiu v cỏc hm lng giỏc, hm hypebolic cú th giỳp em nhỡn nhn kin thc Toỏn Gii tớch c ỏp dng rt rng rói cỏc mụn khoa hc khỏc, c bit l vi nhng bi toỏn vt lý, k thut v thc tin, ỏp ng yờu cu i mi dy hc hin Bi vy, em chn ti Cỏc hm lng giỏc, hm hypebolic v ng dng nhm tng hp nhng khỏi nim, tớnh cht v ng dng ca cỏc hm lng giỏc, hm hypebolic vic gii quyt nhng ca vt lý, k thut v thc tin Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu v lý thuyt hm s bin s phc, trỡnh by mt cỏch h thng cỏc khỏi nim, tớnh cht ca hm lng giỏc, hm hypebolic Tng hp nhng ng dng ca cỏc hm lng giỏc, hm hypebolic Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu cỏc hm lng giỏc, hm hypebolic v ng dng ca nú i tng v phm vi nghiờn cu Nghiờn cu cỏc hm lng giỏc, hm hypebolic v ng dng i vi mt s v lý thuyt, thc tin Phng phỏp nghiờn cu c sỏch, nghiờn cu ti liu chuyờn kho Tng hp cỏc kin thc, dng cho mc ớch nghiờn cu v ng dng ca nú D kin úng gúp mi Nghiờn cu v hm lng giỏc, hm hypebolic v tng hp, h thng cỏc ng dng ca nú CHNG HM LNG GIC V HM HYPEBOLIC 1.1 Hàm chỉnh hình 1.1.1 Định nghĩa hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.(Định nghĩa đạo hàm) Cho hàm số f ( z ) xác định miền D lim z f z z f z , z Xét giới hạn ( z , z z D ) Nếu điểm z giới hạn tồn gọi đạo hàm phức df ( z ) f ( z ) z, ký hiệu f ' z hay dz f ' z lim Như z f z z f z z (1.1) Hàm f ( z ) có đạo hàm phức z gọi khả vi phức hay khả vi z Cũng hàm biến thực, theo quy nạp ta viết: f ( z) f k k ' ( z) (1.2) Nếu vế phải tồn gọi đạo hàm phức cấp k hàm f ( z ) D Định lí 1.1 Nếu f z g z khả vi phức z0 f z g z , f z g z f z / g z g z khả vi phức z0 với , Khi đó: ' a) f g z0 f ' z0 g ' z0 ' b) fg z0 f ' z0 g z0 f z0 g ' z0 f ' z0 g z f z0 g ' z0 c) f / g z0 g z0 ' d) Nếu w f z khả vi phức z0 g w khả vi phức w0 f z0 hàm hợp g f khả vi phức z0 ' g f z0 g ' f z0 f ' z Định lý 1.2.(Điều kiện Cauchy - Riemann) Giả sử D f z u x, y iv x, y , z x iy xác định miền Hàm f ( z ) gọi khả vi z x iy hàm u x, y v x, y khả vi x, y (theo nghĩa biết giải tích thực) Để hàm f ( z ) khả vi phức z x iy D điều kiện cần đủ hàm f ( z ) khả vi z điều kiện Cauchy - Riemann sau thoả mãn z là: v u x , y x, y , x y u x, y v x, y y x (1.3) ý nghĩa hình học acgumen môđun đạo hàm Giả sử f ( z ) xác định miền D khả vi điểm z0 D , với f ' z0 Xét đường cong trơn tuỳ ý l qua z0 gọi L ảnh l qua f ( z ) , L f l Cho điểm z z0 z chạy l xét f f z0 z f z0 Giả sử góc tiếp tuyến l z0 với trục hoành, góc tiếp tuyến L f z0 với trục hoành Khi đó: lim arg z z0 lim arg z z z0 zl z o z0 zl lim arg f z f z0 lim arg z z z0 zl z o z0 zl (1.4) Về mặt ý nghĩa hình học, hiệu góc tiếp tuyến l z0 góc tiếp tuyến L f z0 Một cách hình thức góc mà hàm f ( z ) quay đường cong l z0 với lim arg f arg z lim arg z o z0 zl z o z0 zl f z (1.5) Từ đó, viết f ' z0 kei arg f ' ( z0 ) Như vậy, f ' z0 arg f ' z0 góc quay tiếp tuyến l z0 qua f ( z ) Giả sử l1 l2 hai đường cong trơn tùy ý qua z0 , L1 L2 hai đường cong tùy ý qua f ( z0 ) góc ,2 ,1 ,2 tương ứng l Theo nghĩa hình học góc l1 l2 z0 , góc L1 L2 f z0 Nếu f ' z0 kei thì: , Tức góc hai đường cong trơn tuỳ ý qua z0 bảo toàn (cả hướng độ lớn) qua ánh xạ f Hàm số có tính chất sau gọi hàm bảo toàn góc z0 Bây xét ý nghĩa hình học môđun đạo hàm f ' z0 Xét đường cong trơn tuỳ ý l qua z0 Ta có: f ' z0 lim z o z0 zl f z (1.6) Nếu giới hạn khác theo ý nghĩa hình học hệ số co dãn f ( z ) dọc theo l z0 f k với đường cong trơn l qua z o z z zl Nếu f ' z0 kei lim z0 Như vậy, trường hợp hệ số co dãn f ( z ) z0 dọc theo đường cong trơn qua z0 f ' z0 Một hàm f ( z ) có tính chất gọi hàm có hệ số co dãn z0 Định nghĩa 1.2.(Định nghĩa hàm chỉnh hình) 10 Hàm f ( z ) xác định miền D gọi chỉnh hình z0 D khả vi z D z0 , r D tồn r để f ( z ) Nếu f ( z ) chỉnh hình z D ta nói f ( z ) chỉnh hình D Tính chỉnh hình hàm f ( z ) điểm vô hiểu tính chỉnh hình hàm z f z z Định nghĩa cho phép ta xét hàm chỉnh hình tập hợp mặt phẳng phức đóng Định lí 1.3 Nếu hình tròn {|z - z0 | < R } hàm f ( z ) biểu diễn tổng chuỗi luỹ thừa f ( z ) Cn ( z z ) n , (1.7) n hệ số chuỗi xác định đơn trị theo công thức: Cn f ( n ) ( z0 ) với f ( n ) ( z0 ) n! (n 0,1, 2, ) , n! f ( )d i r ( z0 ) n (n 1, 2, ) (1.8) Định lí 1.4 Nếu hàm f z biến số phức z có đạo hàm bậc nơi miền G, có tất đạo hàm cấp cao miền Chứng minh 57 Ta chuyển đường tròn r cos sang hình trái tim hình 2.12 với cos (1 cos ) Hình 2.12 Theo nguyên lý tương ứng giới hạn hàm số (2.28) thực ánh xạ bảo giác đường tròn lên mặt hình trái tim Bài toán 2.6 ánh xạ phần hình tròn đơn vị thành phần nhánh phải lemnitcat Hàm số: r , (2.29) z , arg z thay đổi từ - đến Chuyển dịch đường tròn sang nhánh đường lemnitcat cos Theo nguyên lý tương ứng giới hạn hàm số (2.29) thực ánh xạ mặt đường tròn lên mặt nhánh bên phải đường lemnitcat Bài toán 2.7 Khai triển số hàm số sơ cấp biểu thị trực tiếp phép tích phân thành chuỗi số Tay-lo Hàm xác suất sai số xác định phép tích phân: 58 erfz z e d , (2.30) phép tích phân không biểu thị hàm sơ cấp Để có khai triển erfz thành chuỗi số Tay-lo với tâm điểm a ta cần thay cho vào khai triển e sau lấy tích phân phần Ta có: erfz k z k k ! 2k k Khai triển thu hội tụ tất z cuối cùng, x theo bán trục dương hàm số hướng giới hạn: erf e x2 dx 1, dễ thấy erfz khác với erf 0,5% Tuy vậy, với hướng tới tự z đến giới hạn erfz ta thấy rõ khai triển thu z điểm đặc biệt quan trọng erfz Đồ thị hàm số erfx giá trị thực đối số (agumen) biểu diễn hình 2.13 Đường chấm chấm đồ thị đạo hàm 59 Hình 2.13 Cũng hàm số erfz , phần bù thường xét đến là: Erfz erfz e d z Tương tự thế, ta có khai triển sin tích phân: z Siz sin k z k k k 2k 1! d (2.31) Đồng thời gặp tất giá trị cuối z Đồ thị Si x giá trị thực acgumen trình bày hình 2.14 Hình 2.14 60 Đường chấm chấm đồ thị đạo hàm x theo bán trục dương Si x hướng giới hạn: sin x dx , x Si (2.32) lim siz z điểm đặc biệt quan trọng z Si z Cũng hàm Sin ta xét hàm số z Si z sin d Siz , (2.33) Côsin tích phân là: z Ciz cos d Bài toán 2.8 Đa thức Trê-bi-sép Tn z xác định hệ số với n phép khai triển: Tn z n z n Chúng ta khẳng định n tự nhiên thì: Tn z cos n arccos z 2n (2.34) 61 Thật vậy, lấy z cos phân tích vế trái (2.34) thành phân số đơn giản nhất, có: 1 i i 4cos e e 2 Với giá trị cố định môđuyn nhỏ hai phân số ta khai triển thành cấp số nhân theo luỹ thừa , ta có: cos n n1 n 4cos n Sau so sánh phép khai triển với biểu thức (2.34) thì: Tn (cos ) cos n 2n1 Bài toán 2.9 Hàm trụ loại J n z bậc nguyên n xác định hệ số với n khai triển Lôrang e z ( ) J z n n (2.35) n Hàm số J n z xem dạng chuỗi luỹ thừa Để thực z cần nhân chuỗi e e e Từ đó, với n z z1 Ta có: n n n 1z z n n! n n n ! n n 0,1,2, hệ số 62 k n k z Jn z n n k !k ! Còn với n (2.36) n 1,2, hệ số n J n z J n z Bây tìm biểu thức J n z cách trực tiếp công thức (2.35) hệ số chuỗi số Lôrang: z d Jn z e i C n1 Bây biến đổi biểu thức Để thực lấy chu vi thay cho C đặt eit , ta có: Jn z i 2 e iz sin t nit e idt i cos nt z sin t dt 2 sin nt z sin t dt (2.37) Nhưng phép tích phân thứ không theo tính chất phép tích phân từ hàm số tuần hoàn khoảng tích phân 0,2 ta thay khoảng , , hàm dấu tích phân lẻ Như vậy, Jn z 2 cos nt z sin t dt (2.38) 63 Hệ thức thu được, gọi phép tích phân Bersel, cho ta biết hàm trụ dạng tích phân Bài toán 2.10 Phép chia chuỗi luỹ thừa Giả sử người ta cho chuỗi luỹ thừa: f1 z an z n , n f z bn z n (2.39) n0 Đồng thời f b0 (Để đơn giản cách viết coi tâm chuỗi (2.39) trùng với gốc toạ độ) đường tròn z R , mà R giá trị nhỏ số môđun điểm đặc biệt f1 z , f z Trường hợp cá biệt chuỗi này, ta hình dung dạng chuỗi luỹ thừa: f z f1 z cn z n f ( z ) n Muốn xác định cn cách xác ta sử dụng hệ thức: bn z n cn z n an z n , n0 n n từ hệ thức sau so sánh hệ số tìm được: b0c0 a0 , b0c1 b1c0 a1 b0cb b1cn bn c0 an (2.40) Hệ (2.40) giải cách c0 , c1 , , cn , , phương trình hệ số cn tham gia với thừa số b0 64 sin z ta có: cos z Chẳng hạn, f z tgz a2 k 0, a2 k k 2k 1! k , b2 k 2k ! , b2 k Từ (2.30) suy ra: tgz z z 17 z z 15 315 Nhận xét: Chúng ta thấy chuỗi số Lôrang có mối liên quan với chuỗi số biết Fourier Giải tích Giả sử hàm f z chỉnh hình vòng z vòng hàm số xem chuỗi Lôrang: f z c z n n , n f d 1 cn n i 2 f e e i in d (2.41) Đặc biệt, điểm z eit đường tròn đơn vị có: t f eit ce int n n chuỗi Fourier hàm số t viết dạng phức Thật vậy, ta có: (2.42) 65 t c0 cneint c ne int n a0 an cos nt bn sin nt , n1 ta ấn định c0 a0 / 2, an cn c n , bn i cn c n Nên vào (2.41) suy ra: a0 d , an bn cos n d , sin n d , chuỗi Fourier hàm số t f eit Bài toán 2.11 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số t a sin t 2a cos t a a (2.43) Để thực cho eit z tìm phép khai triển hàm số thu thành chuỗi Lôrang Ta có: f z z2 , 2i z a z a đó, mẫu số z1 a, z2 phân số đơn giản nhất, có: Sau phân tích f z thành a 66 1 , f z z az 2i a đó, đặt 1 dạng tổng cấp số z z a az 1 a a z nhân trùng Khi z , điều kiện a nên có: f z n n a z z n 2i n1 Đặt z eit ta có phép khai triển Fourier phải tìm là: a sin t a n sin nt , 2a cos t a n a0 an cos nz bn cos nz n (2.44) Với hệ số phức biến phức z sau thay vào eiz chuyển thành chuỗi Lôrang c n n , n c0 a0 a ibn a ibn , cn n , c n n n 1,2, 2 Mặt khác, theo chứng minh chuỗi Lôrang trùng khớp vòng tròn r R , nên chuỗi lượng giác (2.44) trùng khớp dải 67 ln r y ln R , song song với trục thực (chúng ta giải thích z x iy , nên e y ) dải tổng chuỗi (2.44) hàm chỉnh hình Điểm quan trọng thực tiễn trường hợp r R , nghĩa dải biến hoá thành đường thẳng trục thực Trong trường hợp qua giải thích ta thấy rõ chuỗi (2.44) có trùng khớp xem không hàm không chỉnh hình mà hàm gián đoạn Cuối đưa dạng tổng quát chuỗi Taylo, mà người ta gọi chuỗi Bu-rơ-mau La-gờ-răng Các chuỗi ta có khai triển hàm chỉnh hình theo lũy thừa hàm chỉnh hình khác z với f z d0 d1 z d n n z (2.45) Bây có công thức hệ số chuỗi Bu-rơ-mau La-gờ-răng tổng quát công thức hệ số chuỗi Tay-lo Giả sử f z ( z ) điểm a đó, đồng thời z điểm có điểm không cấp Chúng ta lấy đường C khép kín miền D cho D có chứa điểm a, hai hàm số đứng D z D chiếm giá trị có lần Bây cố định điểm z tùy ý D xem xét phép tích phân sau: f z f ' d i C z 68 Theo giả thiết chúng ta, hàm tích phân xem xét phụ thuộc vào có D điểm đặc biệt z cực điểm bậc có lượng: f z ' z f z ' z Theo định lý lượng giảm phép tích phân mà ta xem xét nhau, ta có công thức: f z f ' d , i C z (2.46) khái quát chung công thức tích phân Cauchy Chúng ta giả thiết điểm z lựa chọn tương đối gần với a, z q tất điểm C Do đó, ta khai triển hàm tích phân (2.46) thành chuỗi trùng cách đặn là: f ' f ' z n z n z 1 Sau lấy tích phân thành phần, thu chuỗi Bu-rơmau La-gờ-răng (2.45) thấy hệ số sau: dn f ' d i C n1 n 0,1, 2, (2.47) Các công thức khái quát chung công thức Cauchy hệ số chuỗi Tay-lo 69 Các công thức ta biến đổi cách dễ dàng, nên nhớ hàm tích phân theo giả thiết có bên C điểm đặc biệt a cực điểm bậc n Sau tính toán lượng giảm công thức, tìm biểu thức hệ số chuỗi Bu-rơ-mau La-gờ-răng là: n 1 d n f z ' z z a d n lim n n! z a dz n1 z n 0,1,2, (2.48) Khái quát công thức biết Tay-lo với n công thức (2.47) biến đổi cách lấy tích phân Ta có: dn f ' d f d d , n 2n i C d 2n i n nên thay cho (2.48) cách tương tự ta có: n z a d n1 d n lim n f ' z n n! z a dz z n 1,2, (2.49) Chẳng hạn, xem xét cách khai triển f z ebz theo luỹ thừa ze z , lấy a ta có d f theo công thức (2.49) nên n n d n1 bz b b n d n lim n1 be z n! z dz n! ze bz Vậy khai triển phải tìm có dạng: e b n b n n! n z n e nz 70 Kt lun Lun ó i sõu nghiờn cu v lý thuyt cỏc hm lng giỏc, hm hypebolic Lun ó h thng c nhng ng dng ca cỏc hm lng giỏc, hm hypebolic: - ng dng gii quyt mt s v lý thuyt - ng dng gii quyt mt s v vt lý - ng dng gii quyt mt s bi toỏn Lun cũn cú th l ti liu tham kho hu ớch cho sinh viờn v hc viờn cao hc, nhng ngi yờu thớch v hm bin phc, c bit l cỏc hm lng giỏc, hm hypebolic vi nhng ng dng vt lý, k thut v thc tin 71 Danh mc cỏc ti liu tham kho [A]Ti liu ting Vit [1]I.I.Privalov (1964), Nhp mụn lý thuyt hm s bin s phc, 1,2, Nxb Giỏo dc, H Ni (sỏch dch) [2] B.V.Sabat (1974), Nhp mụn gii tớch phc, 1, 2, Nxb H & TH Chuyờn nghip, H Ni (sỏch dch) [3] u Th Cp (2003), Bi hm bin phc, Nxb Giỏo dc, H Ni [4] Nguyn Vn Khuờ Lờ Mu Hi (2001), Hm bin phc, Nxb i hc Quc gia, H Ni [5] Trng Vn Thng (2003), Hm s bin s phc, Nxb Giỏo dc, H Ni [B] Ti liu ting Nga .A .B (1973) , uu uu , - ,