UY BAN NHAN TINH SON LA SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
BAO CAO TOM TAT
KẾT QUA DE TAI NGHIEN CUU KHOA HOC
NGHIEN CUU BIEN SOAN CÁC PHƯƠNG PHÁP TIM GIA TRI LON NHAT VA NHO NHAT CUA HAM SO VA UNG DUNG - - GIẢNG DẠY MƠN TỐN TRONG CÁC TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀ CAO ĐẲNG SƯ PHẠM TỈNH SƠN LA
<Mã số KX 01.2001>
Chủ nhiệm đề tài : Thạc sĩ - Nguyễn Thị Thu Huyền Cơ quan chủ trì : Sở Giáo dục - Đào tạo Sơn La
Trang 2
BÁO CÁO TÓM TẮT |
KET QUÁ NGHIÊN CỨU ĐỀ FAI KHOA HOC
A-NHUNG VAN DE CHUNG ,
[Tên đề tài:
- Nghiên cứu biên soạn các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và thỏ nhất của hàm số và ứng dụng-Giảng dạy môn toán trong các trường TIIPT và cao đẳng sư phạm Tỉnh Son la
2,Cơ quan chủ trị: Sở Giáo dục và Đào lạo
3, Co quan quận tý: Sở khoa học công nghệ và môi trường
4,Thoi gian nghiên cứu :Bất đầu tháng 1/2001 kết thúc 7/2002
5,Người thực hiện :
-Chủ nhiệm để tài : Nguyễn Thị Thu Huyền Thạc sỹ toán học phòng THIPT sở GD-ĐT Sơn la &
-Các cộng tác viên :
+Đỗ Tiến Dũng Thạc sỹ toán học trường cao đẳng sư phạm Sơn la +Nguyễn Văn Bình cử nhân tốn học trường THPT Tô hiệu
+Nguyễn Ngọc Hà cử nhân toán học trường Năng khiếu +Nguyễn Thanh Tùng cử nhân toán học trường Năng khiếu 6,Mục tiêu đề tài:
Nghiên cứu và biệt soạn tài liệu : "Các phương phấp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có hầm số và ứng dụng”, nhằm cung cấp cho giáo viên và học si có tài ndệu để rực chọn được cách giải dễ hiểu _, ngắn gọn, chíth xác đối với các bài tốn ứng dụng có liên
quan
- Rèn luyện tư đ¿y sơ gíc tốn học cho học sinh
Trang 37-Nôi dụng và tiến độ :
-Tổ chức nghiên cứu và biên soạn :„
+Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bao gồm: ‹Phương pháp bất đẳng thức
Phương pháp miền giá trị
"Phương pháp đồ thị và hình học Phương pháp chiều biến thiên ‹Phương pháp hầm lồi
+ứng dụng của bài tốn tìm giá í; lớa nhất và nhỏ nhất
- Tổ chức hội thảo khoa học „giảng dạy thực :ghiệm ,tổ chức
° righiệm thu tổng kết
8-Phương pháp nghiên cứu :
-Nghiên cứu sưu tập ,dịch tài liệu tổng hợp hệ thống hoá tài liệu,biên soạn ,giảng dạy thực nghiệm
-Hội thảo khoa học
-Sử dụng ý kiến và hợp tác với chuyên gia toán học trong nước và cộng tác viên là: giáo viên môn tốn các trường THPT Tơ hiệu, trường Năng khiếu và trường CĐSP Son la ˆ
B-QUA TRINH TRIEN KHAI ĐỀ TÀI
I-Tiến độ:
-Từ tháng ! đến tháng 3/2001 được sự ủng hộ đồng tình của cơ quan chủ trì là Sở GD và ĐT ,đề tài được hội đồng khoa học tỉnh phê duyệt, Sở KHCN và MT đã ra quyết định triển khai đề tài
-Tháng 4-5/2001 chủ nhiệm đề tài và nhón: phối hợp đã sưu tập,biên dịch hệ thống hoá tài liệu với số lượng tài liệu dịch trên [00 trang và Hơn 40 cuốn tài ,tệu toán cớ 1›ân quan đến nội dung đề tài -Từ tháng 6 đến ::.‹árp 0/206 với sự 5 :#c của cá nhân và cán bộ phối hợp,nhóm tác giả đã aoàn thàt.a biên, soạn để cương chỉ tiết của tập tài liệu và được s+; đồng ý của sở KHCN và MT đã tổ chức hội thảo khoa học để thống nhất để cương trên
-Từ tháng I1/2001 đến tháng 1/2002 nhóm tác giả đã hoàn thành bản thảo lần một , tổ chức hội thảo khoa học lần hai để thông qua bản thảo lần một Hội thảo đã được các thành viên tham gia ý kiến bổ sung về nội đung cần chỉnh sửa để trình hội đồng khoa học trước
Trang 4
- Được sự đồng ý của sở KHCN và MT ,Sở GD và ĐT từ tháng 2 đến tháng 4/2002 ban chủ nhiệm để tà: đã tiến hành tổ chức giảng dạy thực nghiệm ở trường THPT Tô hiệu ,trường Năng khiếu
tỉnh,trường cao đẳng sư phạm Sơn la Trong quá trình giảng dạy đã tiến hành đánh giá kết quả của học sinh bằng phiếu trắc nghiệm ,kết
quả như sau:
-Nâng cao rèn luyện tư duy ,lơgíc toán học cho học sinh 99,1 % trả lời có
-Giúp học sinh lựa chọn cách giải tốt nhất 98,7 % trả lời có
-Nang cao chất lượng dạy và học 100 % trả lời có
Đi đôi với việc đánh giá bằng phiếu trắc nghiệm đối với học sinh ,tại ' các trường cũng tổ chức các cuộc hội thảo khoa học trao đối chun mơn giữa nhóm đề tài và dội ngũ cộng tác viên là giáo viên đứng lớp
để rút kinh nghiệm và bổ sung bản tài liệu khoa học
-Sau khi giảng dạy tại các trường ,chủ nhiệm ‹đề tài đã chỉnh sửa bản thảo và đã được hội đồng Koa học ngành ,Tỉnh cho phép tổ chức hội thảo khoa học sau giảng say thực nghiệm „nhằm tổ chức đánh giá những ru điểm: và änữtg sô” Jung cần bổ sung đối với kết quả đề tài Qua hộ: tháo ẩn thắc ¿ „ề tš: ¿§ được cán bộ lãnh đạo các phòng ban ˆ, các cán bộ suấn ,ý và độ: ‘nga giáo viên đánh giá bản thảo có chất lượng cao về chuyêt môn, giáo viên và học sinh phấn khởi khi có tài liệu đã được ¡gEiên cứu một cách hệ thống phù hợp ˆ với trình độ học sinh và bản thảo là t2; :iệu đảm bảo tính Khoa học , tính sư phạm , nó đã góp phần tích cực cho việc nâng cao chất lượng đạy và học đối với giáo viên và học sinh , hội thảo khẳng định tập bản thảo là những hệ thống kiến thức ngấn gọn , chính xác đễ hiểu giúp cho học sinh lựa chọn được cách giải thích hợp nhất đối với các bài toán liên quan
-Sau khi hội thảo khoa học lần cuối chủ nhiệm đề tài đã chính sửa
văn bản,xây dựng báo cáo tổng kết đề tài tổ chức nghiệm thu vào
tháng 7/2002
2-Kết quả nghiên cứu :
Đề tài đã biên soạn tập bắt: thảo đãi 109 trang 26m 3 chương (có
Trang 5-4-
CHUONG I : z
CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1 ĐỊNH NGHĨA :
Cho hầm số f(x) xác định trên miền D,
aSố M_ gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D, , (ki hiéu là M= maxf($&x) ) nếu như đồng thời thoả mãn hai điều kiện sau đây :
xe Dy G *
1 f(*%) <M VxeD,
2 Tồn tại xạ c Dr, sao chơM =f(xạ)
b Số m gọi là giá trị bé nhất của hầm số f(x) trên D;, (kí hiệu là m= min f(x).) nếu như đồng thời thoả mãn hai điều kiện sau đây :
xeD, - -
1 f&x)>m VxeD =
_ 2 Téntai x, e D, , saochom = f(X,) II.CÁC TÍNH CHAT
1.Đinh lý L:
Hàm số f(x) xác đỉnh và liên tục trên [a, b] thì tồn tại giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn ấy
2.Dinh tý 2:
Gia sit f(x) IA ham số xác định trên D, Khi đó ta có :
max f(x) = - min (-f(x))
xeD, x<D,
3.Dinh ly 3:
Giả sử f(x) x4c dinh tren D, vi A cB ; A,B là 2 tập con của D;
Giả thiết tồn tại :
Trang 6-5 - max f(x) < max f(x) © (1) xeA xeB min f(x) > min f(x) (2) xeA xeB 4.Dinh lý 4:
Gia str f(x) , g (x) 1a hai hàm số cùng xác định trên miền xác định D, tồn tại
max f(x) , max g(x) va thod man diéu kiện f(x) > gŒ) Vx e Dự Khi đó ta có :
D, D,
- max f(x) = max g(x)
xeD, xeDb,-
3.Đinh lý 5 : (nguyên iý'phân rã)
Giả sử f(x) xác định trên m¡ền xác định D, và D, có thể biểu diễn dưới đạng sau ;
Dị =:Ð, C2 D¿ (C2 Q2 2,
Giả thiết tổn tại: max f(x) va min f(x) với moi i= i,n (*)
xeD, ' xeED, Khi đó ta có:
max Í(x) = max { max Í(x), max f(x), «,, max f(x) } (1)
xéeD, xe D, xe D, xeD,
min f(x) = min { min f(x) , min f(x), , min f(x) }
a xéeD, xe D, xe D, xeD,
6.Dinh ly 6:
Cho ham s6 f(x,y) xác định trên miề.› (x, y) € D, x D, va gia thiét t6n
tai
max f(x,y) , win (x,y)
Dx D, D,xd,
\ ˆ ` a
Dat ly) = max Kx,y, pvayed,,
Xe
Trang 7-6 -
và giả thiết là @ (y) , W (y) xdc dinh trên toàn D, ngoài ra tồn tại
maxo(y) , min W (y)
yeD, yeD,
Khi đó ta có :
max Í(x,y) = max0(y) = max {max f(x,y) } ad)
D, x D, yeD, yeD, xeD, '
min f(x,y) = min ‘Y (y) = min {min £(x,y) } @)
- D, x D, yeD, yeD, x eD,
- -7 Đỉnh lý 7:
._ Cho các hàm số £,(x) , f,(x) , , £,(x) cting xdc dinh trén miễn xác
định D Đặt : f@) =f{Œ) + ÍŒ&) + + f2) Khí đó ta có : max f(x) < >" max #œ) (1) ;=I xeD xeD min f(x) > Yimin f(x) (2) i=1 xe D xeD
Với giả thiết tôn tại :
max f(x) , min f(x) , max f,(x) , min f,(x) i=I,n xe D xeD xeD xeD
Dấu bằng trong (1) xẩy ra khi và ¿hỉ khi tổn tại xẹeD, Vi=l,n
ta CĨ : max Í(x) = Í(%g) xeD
Dấu bằng trong (2) xẩy ra khi và chỉ khi tổn tạ xạ eD, Vi= 1n
Trang 8fy (x) 4, f(x) = fx) + f(x) “5 8.Dinh lý § :
Giả sử f(x) xác định trên D, Khi đó có các công thức sau: I
max f(x) = (max / 2 *1(y))2m +1
xeDr xeDy *
- 1
min ƒ(x) = (min ƒ?"* !(x)) 2n+1
xeD/ xeDr
Nếu thêm vào giả thiết f(x) > 0 V x e D thì ta có :
mS) = (mạx/Qyjễn
xeDy xeD/
mins) = Gin gy)
zeÐ/ xeDr
Ở đây n là số nguyên dương tuỳ ý + 9.Đỉnh lý 9
Giả sử f(x) là hàm số xác định trên D, khi đó ta có :
max | f(x)! = max {Imax f(x) |, | min f(x)! } (1)
xeD, xeDb, xeD,
10.Dinh ly 10
Trang 9-8-
min f(x) , max f(x) sự
xeD, xeD,
Trong đó D,={ xe D,: fx)>0)} vaD, = {x eD,: f(x) <0} lúc đó ta có : ˆ min If(x)Ì = min{ mịn f{x), lmax f(Œ)l}
xeD, xéD, xeD,
Trang 10-9 -
CHƯƠNG II sự
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT § 1 PHUONG PHAP BAT BANG THUC
LNOI DUNG PHUONG PHAP
Phương pháp bất đẳng thức dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của một bầàm số
-Cho hàm số f(x) xác định trên miễn D Ta nói rằng M là giá trị lớn
nhất của f(x) trên Ð, nếu như đồng thời thoả mãn hai điều kiện sau đây : 1 fŒx) <M V xeD
2 Tén tai x) € D, sao cho f(x,)=M Khi ấy ta sẽ ký hiéu M = max f(x)
xeD
Số m gọi là giá trị bé nhất của f(x) tren D, nếu như đồng thời thoả mãn hai điều kiện sau đây :
l f(x)> m VxeD
2 Téntaix, € D, sao cho f(x,) =m Khi ấy ta sẽ ký hiệu m = min f(x)
xeD
Nhu vậy khi sử dụng phương pháp bất đẳng thức để tìm giá trị lớn
nhất hoặc bé nhất của một hàm số f{x) trên một miền D nào đó, ta tiến
hành theo hai bước,
-Chứng minh một bất đẳng thức
~Tìm một điểm thuộc miền D sao cho ứng với giá trị ấy , bất
Trang 11-10- &
II.CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ : sử :
1.Bất đẳng thức Cô Sỉ :
Nếu a,, a;, ley a, là các số không âm ta có :
a, + a +t.u.ta,
® ——————————_——_> lÌaya; 4„ qd)
n
@Dấu bằng trong (1) xẩy ra khi và chỉ khi a, =a; = = a, 2;Bất đẳng thức Bunhiacopski
Nếua,, a;, , a„, và b,, b;, , b„ là 2n số tuỳ ý, ta có :
® (a)? +a," + 4a,’)(b?? + bạ? + + b,2) > (ayb, + .+ a,b,)? (2) @®_ Dấu bằng trong (2) xẩy ra khi a = m= we ¬ (với qui ước
† 2 an
rằng trong phân số nếu b, = 0 thì a, = 0 ) 3.Bất đẳng thức Trebusep
Néua,2a,> 2a, va b,<b,< <b, tacó:
® (a;ta, + +-.a,) (b+ b, + ,+b,) = n(ajb, + + a,b,) @)
@ Dau bang trong (3) xẩy ra kh: và chỉ khi hoac-a, = ay= = a„
hoặc bị = b; = = bạ ‘
Tương tự :
Nếu ai > a; > >a, và bị > bạ > >b,
ai Š a¿ Š Sa, va b, <S bạ < <S by, Thìtacó nm › hoặc
(a, + .+a,) (b, + +b,) < nab, + + a,b,)
1 VLDU MINH HOA
Vidu:
Cho hàm số f(x, y) = x?y(4 - x- y) xác định trên miền
D={G,y):x >0, y>0,x+y<6}
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x, y) trên miễn ấy
Trang 12-11-
Giải,
Néu D=D, UD, thi theo dinh ly 5 nguyén ly phan rd ta cé:
max f(x) = max { max f(x) , mae f(x) }
xe D xebD, xeD;
min f(x) =min { min f(x), min f(x) }
xeD xeD, xeD,
Ở đây ta phân miền D ra làm hai tập D, , D„ như sau :
D,=[Œ,y):x 20,y20 4<x+y<6}
D=((%y):x 20,y20 x+y<4 }
Khi đó đễ thấy : D=D, UD,
Nếu (x,y) < D, thì 4 - x - y <0 và do y > 0 nên f(x, y ) < 0 Mặt khác (2,2) œ Dạ và f(2,2) =0 vì vậy theo định nghĩa 1 ta có :
max f(x, y) =0 (x, yyeD, Nếu (x, y) e D, thì 4- x - y >0 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : fay) = 4 4 5 5 y4 - x - yy s 4 3 + 3 + y + (4-x-p) 4 = f@&,y)<4 V @œ,y)eD, (1)
Lại có f(2,1) = 4 (đĩ nhiên (2, 1) € D,), theo dinh nghia 1: max f(x, y) =4
(x,y) € D,
Theo định lí 6 ta có : ©
max f(x,y) = max{ max f(x,y) , max f(x,y)} =max {0; 4} =4
Trang 13-12-
Bây giờ ta tinh giá trị bé nhất Theo định lý 2 ta có :
min f(x,y) = -z⁄4x (-Í(x,y)) “ (2)
(x,y) € D (x,y)-E€ D
- f(x, y) = x?y(x + y - 4)
Bay gid ta phan mién D ra lam hai tap D, , D, nhu sau:
D,={ (x, y):x 20, y20 , X†+y<4}]
-Ư D,=‡(,y):x>0,y>0 ,4<x+y<6 }
Như vậy ta có: D =D,;(/D, vàD, ¬D, = $
Với (x,y) € D, thi - f(x, y) <0.Ta lai c6 £(2,2) =0 ma (2, 2) € D;, nén ta cé:
max (-f(x,y)) =0
_@&,y) =D,
Với (x, y) e D, thì x+y -4*0, nên theo bất đẳng thức Cô si ta CỔ : -
4
- f(x, y) =-4* x 45 ay aty 4< 4[ 2 -4)< sty?)
Dox+y <6 nên suy ra - f(x,y)<64 V (x,y) € D, Mat khac
-4,2) =64_ nên suy ra: max ( -Í(x,y)) = 64
(xy) € D,
Theo định lý 2 nêu trên ta được :
min {(x,y) = - max (- {(x,y)) = - max (0; 64] = - 64
(x,y) € D (xy) eD
Trang 14-13-
§ 2 PHƯƠNG PHÁP MIỂM GIÁ TRỊ HÀM SỐ
ILNỘI DỤNG PHƯƠNG PHAP
Việc xác định giá trị lớu nhất, ah3 nhất của hàm số y = f(x), x e'D bằng phương pháp miết, g:á trị ta tiến hành như sau :
Gọi yọ là một giá trị tuỳ ý của ham số thuộc miền giá trị của hàm số Điều đó có nghĩa là hệ phương trình sau đây (Ẩn x) có đghiệm
{ f~)= yo (1)
xeD (2)
Tuy dang cia hé (1) , (2) mà ta có các điều kiện có nghiệm thích “ hợp: Điều kiện ấy (sau khi biến đổi và rút gọn) thường sẽ được đưa về
đạng : :
asyosB (3)
Vì yọ là một giá trị bất kỳ của Í(x) nên từ (3) ta thu được :
2
_min f(x) =a va max f(x) = B
xeD: xeD
Như vậy để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số nếu dùng phương pháp này, ta qui về việc tìm điều kiện để một phương trình (có thêm điều kiện phụ) có nghiệm
ivi DU MINH HOA
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số : 2x +x - ] f(x) = x -x +1 Trén mién xe R Giai Trước hết theo định lý 9 ta có :
max | F(x)l = max {I max F(x) I, min E@) Ì }
xeD xeD xeD
Gọi yạ là giá trị tuỳ ý của hầm số :
- 2x7 +x - 1
y=
Trang 15-14-
Khi đó ta có phương trình sau (ấp x) có nghiệm : 2x +x - 1
Yo = (1)
x? -x +1
Dé thay : Ầ
)© (ys-2)4”- @ạ+ Dx + yo t 1 =O (2)
1.Nếu yạ =2 thì yạ + 1z 0, do vậy (2) có nghiệm 2.Nếu yạ # 2 thì (2) có nghiệm khi :
‘A= (Yot 17% - 400+ D (yo-2) 2 0 > (yo + 1) C3y9 + 9) 20 ~
<> -1< yoS 3 VA yy # 2
Kết hợp lại ta thấy (2) có nghiệm kh: và chỉ khi - Ï < yạ <3 Vì thế
như các lập luận trên ta có : : max y = 3 tai x=2 'và miny =-1 taix=0
xeR xeR
Theo định ly 9 suy ra:
maxf(x) = max {| max yl, | min y/ J= max (131,1- 1) J=3 tại x =2
xeR xeR xeR
Ta có f(x)>0 VxeR ,mặt khác f(-l) =0
Vậy
min f(x) =0
Trang 16-15-
§ 3 PHUONG PHAP CHIEU BIEN THIEN HAM SO
1.Noi dung phượng pháp
Phương pháp chiều biến thiên của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hầm số xét trên miên D, được tiến hành như sau :
Bằng cách sử dụng các kiến thức về đạo hàiw ta lập bảng biến thiên
của hầm số trên miền D đã cho :
Dựa vào bằng biến thiên và so sánh các giá trị đặc biệt (các giá trị
đó thường là cực đại, cực tiểu của hàm số, các đầu mút của những đoạn đặc biệt nằm trong miền xác định của hàm số .) để tìm ra đáp số cho bài
toán
„ Khi sử dụng phương pháp này cần đặc biệt lưu ý điều sau đây : nếu trong quá trình giải ta đùng phép đổi biến (để cho bài tốn đơn giản hơn) thì trong bài toán mới tương đương ta rhải xác định lại miên xác định của biến mới mà trên đó ta sẽ tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số theo biến mới đã được đơn giản hoá
2.Vi du minh hoa Ví dụ :
Cho một mạch điện như hình vẽ: Khảo sát sự biến thiên cơng suất của dịng điện trên điện trở R„ khi cho điện trở này thay đổi trong khoảng từ 0 —> 10 Q Tính giá trị cực đại của cơng suất đó
Trang 17-16 -
Cuong d6 dong dién quaRy: *
U_ RT 8
Ie = R,+Ry -34Ry 15+4Ry *
Cơng suất dịng điện trên dién tro Ry :
= 2 36”.Ry
Pax = Rellx (15+4Ry)?
Khảo sát hàm số : P,(R,) : 1 _ 362(15—-4Ry) Py = (15+ 4R,) P„ =0 khi R, = _ =3,75 Q Ta có bằng biến thiên : Rx 0 3,75 10 Py ; + 0 - Ps 0 _ max oe? 4,3 5,4 Đồ thị : P, A Prnax 7 | > 3,75 10 Rx
Công suất của đồng dién trén R, ting từ 0 đến 5,4 W khi Ry„ tang
từ đến 3/75 O, giảm từ 5,4 W dén 4,3 wkhi Ry tang tir 3,75 Q
đến 10 O
Trang 18-17-
ue
§ 4 PHUONG PHAP ĐỒ THỊ VÀ HÌNH HỌC
I.NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phương pháp
đồ thị và hình học, người ta thường sử dụng các tính chất về hình học
bằng một phép biến đổi nào đó có thể qui về các sự kiện hình học thì ta
nên dùng phương pháp đồ thị và hình học để giải chúng Phép giải này
nói chung đơn giản hơn so với các phương pháp khác Lẽ dĩ nhiên phương pháp này chỉ thích hợp cho các bài toán , mà trong nội dung của nó đã
tiểm ẩn những yếu tố hình học, mà thoạt tiên ta chưa tìm ra nó
ILKIEN THUG BỔ TRỢ
1.Trong tất cả các đường gấp khúc nối hai điểm A, B cho trước thì đoạn thẳng nối AB là đoạn có độ dài bé nhất
2.Trong một tam giác , tổng hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba
3.Cho điểm M ở ngoài một đường thẳng d cho trước khi đó độ dài đường vng góc kẻ từ M xuống d ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ M | xuống cùng đường thẳng ấy
4 Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường trịn, thì tam giác
đều có chu vi và diện tích lớn nhất
5.Phương trình đường trịn có tâm tại điểm O,(a, b) và bán kính R fa:
(x-ay? + (y-b) = RỶ (1)
(x, y)
Trang 19
-18 -
6.Đường tròn (1) chia mặt phẳng toa độ thành hai phần:
D,=([Œ,y): &-a)” + (y-b} < R?} D,= ( (x,y) : (x-a)? + (y-b)? >R?)
-Trong đó D, gồm các điểm nằm trong đường tròn (kể cả biên) còn D, 1a các điểm nằm ngồi đường trịn
7.Đường thẳng ax + by + c= 0 (1) Chia mặt phẳng toa độ
làm hai phần :
D, = {(xy): ax+ by +c <0} "¬ D, = { (x,y): ax + by +c 20}
Để xác định D,, D, trong thực tế ta chỉ cần xét miễn chứa gốc toạ
độ riếu như đường thẳng ax + by + c = 0O không đi qua gốc toạ độ Còn
trong trường hợp ngược lại thì xét một trong hai miền
8.Công thức khoảng cách từ một điểm M (xạ, yạ) đến đường thẳng
ax+ by +c =0
M (Xp » Yo)
ax + by +c=0 Nếu gọih là khoảng cách ấy thì :
laxy + byyg + cl
Va +h?
9.Cho doan thang AB, My 14 mét diém bat ky ngoai doan AB khi -đó ta có kết quả sau đây :
h=
max MạM = max { M,A, M,B}
10.Từ đó suy ra ta có đa giác A, A; A, và Mạ là một điểm bất
kỳ trên mặt phẳng Khi đó nếu gọi D là đa giác ấy, thì ta có : ~ max MạM = max { MạÁ, , MạẹA;, , MẹA„ }
Trang 20
- -_ HLVÍ DỤ MINH HOA Ví du :
` Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x, y) = 4x + 3y xét
trên mién D= { (x,y): x? +y? +16= 8x +6y)
Néu (x, y) eDtacó:
x? +y? +16 = 8x+6y hay œ-4# + (y-3)= 9
Vậy D chính là đường tròn tâm tại điểm O,{4,3) và bán kính bằng 3
Khi (x,y) e Dtacó:
x+y? +16
f(x,y) =4x4+3y = 2 =8+;@œ+y) Œ)
Xét điểm M(x, y} e D Nối OO, cắt đường tròn D tại M,,M;
Khi đó dễ thấy :
min OM =OM, =OO, - M,O, = 5-3=2
M(x,y)eD
max OM =OM; =OO, + MO; = 5+3=8 M(x,y)eD
Chú ý: x? + y? = OM? vadodétir(1) suyra:
max f(x,y) =40 và min f(x,y) = 10 (x,y)<Ð (x,y) eD
Trang 21
§ 5 PHUONG PHAP HAM LO!
J.NỘI DỤNG PHƯƠNG PHÁP
_ Trong chương này đùng phương pháp hàm lổi để tim giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của một lớp các hàm số trong toán học sơ cấp Sử dụng các kiến thức của giải tích lôi (đã được sơ cấp hoá) để áp dụng vào việc tìm cực trị của hàm số Để áp dung phương pháp hàm lồi trước tiên ta xét
xem hàm số f(x, y) có phải là hầm lồi trên miễn xác định Ð (D là tập lôi)
hay không ?
Nếu thoả mãn điều kiện này ta tiếp tục như sau :
-Để tìm giá trị lớn nhất của f(x, y) trên miễn D (mà D là đa giác lơi)
thì chỉ cần xét các giá trị của hàm số đó tại các đỉnh A,(x„ yj) của D Khi
đó ta có :
max f(x, y) = max [f(x,, y,) 3 £(%,, yo), F(X,» Y,) |
(x,y) € D '
-Dé tim gia tri nhé nhat cha hàm s6 f(x, y) ta 4p dụng các định lý
về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hầm lôi và hàm số để giải
II.CÁC KIẾN THUG BO TRO °
1.Đinh nghĩa 1:
Giả sử hàm f(x) xác định trên tập hợp lôi D, œ IR" Ham f : D, > IR goi 14 ham lồi trên D; nếu như thoả mãn điều kiện sau
đây :
Với Vx;,X; € D, ,vGiVA,,A, 20 vaA, + AQ = lthì; FA, xX, + AX.) S A, f(x) + A, f(x.)
wet
Trang 2221 - Cho ham s6 f(x) xác định trên miễn D;
a.Hàm số f(%) gọi là đạt cực tiểu địa phương tại xạ œ D, nếu như t6n tai lan can V(x) cla xp sao cho f(x») < f(x) V xe D; ¬ VŒ)
(lic nay f(x,) goi 1A gid tri cực tiểu địa phương của bàm f(x) tai x9) b.Hàm số f(x) gọi là đạt cực đại địa phương tại xạ e D; nếu như tồn
tại lân cận V(Xạ) của xạ sao cho f(x,) = f(x) V x œ D; V@«q) (lúc này f(xạ) gọi là cực đại địa phương của hàm sé f(x) tai x) , 3.Dinh ly 1
_ Chof:.D, -> R_ là hàm lồi trên tập lồi D, C R" khi đớ bất kỳ
điểm cực tiểu địa phương của f trên D, cũng là cực tiểu toàn cục của f
trên D, , =
Nhân xét :
Như ta biết, nói chung cực tiểu địa phương khác cực tiểu toàn cục
Nhưng nếu f(x) là hàm lồi, thì chúng trùng nhau Đó chính là tính chất quan trọng bậc nhất của hàm lồi Nhờ nó mà việc tìm giá trị nhỏ nhất của hàm lồi trên miễn xác định của nó là đơn giản trong nhiêù trường hợp
4.Đinh lý 2 “5
Giả sử f(x, y) là hàm lồi xác định trên đa giác lơi D khi đó tồn tại dinh A, (x¿, y„) của đa giác lồi D sao cho :
max f(x, y) = f(x, y,)
(x,y) eD
Hé qua :
Gia stt f(x, y) = ax + by + c xác định trên đa giác lồi D Khi đó : a.Tồn tại đỉnh A,(x,, y„) của đa giác lồi D sao cho :
max f(x, y) = ÍŒ, Yà
xeD
b.Tồn tại đỉnh A/Œ¿, yj) của đa giác lồi D sao cho :
min f(x, y) = f(x; , Vị)
xeD
WU.Vi du minh hoa:
Ví du;
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : Í(x,y) = Jx?+y? trên
Trang 23-22 -
4x+ 3y-6 50>
6x-y +24 >0
D= { (x, y) x-.y +2<0 }
y20
Trước hết ta chứng minh f(x, y) = fx? +)? là hàm lồi trên toàn mặt
phẳng
- That vay, lay:
(1s Ya) s On Yq) © R? Ay Ay 20 Ay HAQ=T
'Ta cần chứng minh :
fÀ¡Œ¡, y) + À¿Œ¿, Y2)]| < Ay X, Vị) + + ÍŒ, Y2) (3)
Thật vậy ta có :
(3) <> fx, + 2%, Myr Ae Yo) < Rifle Yi) + Raf y2)
€ 44x + Ax,} + (Ây, t+42y¿}` < Ay {x+y +, di ty > (AyXy + Ax)? + Ayy + Any2)?
< A(x? + yy?) + Ag? (2) + yo?) FIMAD fen? +9202 + 92) A? (KY + y2) +2 (x22 + y2”) + 2ÀJÀ¿(X¡X; + YVIY2)
Trang 24Do A, , A422 0 nên ta có : sự : ở 4x+3y-6=0 ) ©xiX;¿+Yi V2 Š ýJGŒ ty? +) — (4)
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski thì (4) đúng, vậy (3) đúng, vậy f(x,y) = vx?+>y? là hàm lôi trên R? _
Trên hệ trục Oxy, D chính là tứ giác lồi ABCD (hình vẽ), trong đó
toa độ các đính là: A(-2;0), B(-4; 0), CC 3, 6), D(0; 2) Định lý 2 cho
ta : : "
maxf(x,y)=max (-2;9),f(-4;0),f£3,6),f(0;2)]=max {2,4,3 ⁄5;2}=3 vs
(x,y) <D :
Gọi Mộx, y) tà điểm, M có noành độ x, tung độ y, ta có : f(x,y) = sx? +? =OM
Gọi HŒxạ, yọ) là hình chiếu của O lên AD, thì (xạ, yạ) là điểm cực tiểu địa phương của hàm f(x, y) = +? + y? trên miền D Do f(x, y) 1a ham lôi, nên theo định lý 1 thì đó cũng là cực tiểu toàn cục của hàm f(x, y) trên - miễn D, vì thế ta có :
min f(x, y) = f(xy, yo) = OH = 42
Trang 25-24 -
CHUONG Ill aad
UNG DUNG
§ 1 UNG DYNG CUA CAC PHUONG PHAP
TiM GIA TRI LON NHAT VÀ NHỎ NHẤT ĐỂ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH'CĨ THAM SO
Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đã nêu ở các
chượng trên, cùng với các định lý về điều kiện cần và đủ để phương trình, - bất phương trình có nghiệm có nhiều ứng dụng vào việc biện luận phương trình và bất phương trình có tham số Đây là một trong các phương pháp
thông dụng để giải các bài toán loại này Trong phần này dành để trình
bày một số ví dụ điển hình minh hoạ cho phương pháp sử dụng giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất để biện luận phương trình và bất phương trình có tham SỐ
1.CAC KIEN THUG BO XUNG
Dinh ly 1:
Xét phương trình f@=ơœ ~ (1)
, xeD (2)
ở đây DCD,, trong đó D; là miễn xác định của hàm số f Giả sử f(x) liên tục trên D và tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đó Khi đó phương
trình (1) và (2) có nghiệm khi và chỉ khi : " min f(x).S a@ S< max f(x) xéeD xeD Dinh ly 2: Xét bất phương trình : { f(x) 20 (1) xeD (2)
Oo day Dc D,, trong đó Dự là miền xác định của hàm số f Giả sử _ f(x) liên tục trên D và tổn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đó
1.Bất phương trình (1) và (2) có nghiệm khi và chỉ khi : max f(x) > a
xeD - L
2.Bất phương trinh f(x) >œ đúng với Vx e D khi và chỉ khi :
Trang 26-25- Định lý 3 :
Xét bất phương trình : "
f(x) < B (1)
{ xeD (2)
Ở day Dc D,, trong d6 D, lA miễn xác định của hàm số f Giả sử f(%x) liên tục trên D và tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đó
1.Bất phương trình (1) và (2) có nghiệm khi và chỉ khi :
~ ‘minf(x) < B
xeD
2.Bất phương trình f(x) < ÿ_ đứng V x e D khi và chỉ khi :
max f(x) <B xeD
2.vi DU MINH HOA | Vidu:
Tima dé bat phương trình sau đúng với mọi x :
3 cos* x - 5cos 3x - 36 sin? x -l5 cosx + 36 + 24a-12a?>0
Bất phương trình đã cho có thể viết dưới dạng tương đương sau : 3.cos* x-5 4.008’ x -3cosx) - 36(L -cos?x) - [So0sx + 364-24a - 122 > 0
<> 3cos'x -20cos* x + 36cos?x + 24a - 12a > 0
Dat cos x =f Bai tofn trở thành ; Tìm a để bất phương trình
ft) = 3É - 20 +36 + 24a - 12a 20
“ đúng với mọi - Í < t < 1
Gọi =(t: -I]s t S$ []}.Khi đó, theo định lý 2 bài toán đưa về : oon ima dé
Trang 27-26 -
f'(Œ) = 127 -G0Ử + 72t = 12t( - 5t+ 6)
Taco:
Chú ý rằng :
v -5t+6>0 VteD
Nên ta có bảng biến thiên sau : ©
f' ¬ Nhhv—= `xRAAaxee=
Từ bảng biến thiên trên suy ra :
min f(t) = f(0) = 24 a - 12a
teD
Vậy từ (1) ta có :
Trang 28-27 -
§ 2 UNG DUNG CUA CAC PHUONG.PHAP TiM GIA TRILON NHAT VA
NHỎ NHẤT ĐỂ GIAIMOTSO BAITOAN HINH HOC
1.KIEN THUG B6 TRG :
u
Các bài tốn tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình học liên quan chặt chẽ với các bất đẳng thức hình học tương ứng và chỉ ra khi nào thì nó trở thành đẳng thức Nên khi giải các bài toán tìm giá trị lớn - nhất và nhỏ nhất ta sử đụng các bất đẳng thức và các phương pháp tìm giá ˆ trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất đã nêu ở chương trên để giải
2:VÍ DU MINH HỌA
Ví du _:
Từ một tấm tơn hình chữ nhật kích thước a, b, Cắt bố đi bốn hình vng bằng nhau ở bốn góc , rồi gị thành hình hộp chữ nhật không nấp
Cạnh của hình vng phải bằng bao nhiêu để hình hộp có thể tích lớn
nhất ? (Khơng tính phần ráp nối) Giải : ®——x—> 2
Gợi x là độ đài cạnh của hình vng đã cắt bở đi khi đó hình hộp
chữ nhật có ba kích thước là a -2x, b-2x ; x
Giả sử a < b khi đó điểu kiện 0< x < 5 và thể tích V của hình
hộp là :
V= x(a-2x)(b- 2x)
Bài toán đã cho trở thành : Tìm x để hàm số
Trang 29
-28-
C6 f(x) = 12x? -4(a+b)x + ab
f(x) = 0 cónghiệm là :
_ a+b—|A x = a+b+|A
6 ’
Voi Ai = 4(a@ +b? -ab)
'Ta có :
N/a
(4) = a(@-b)<0
0<x,< 5 < xX,
{0) = ab >0
Ta có bang biến thiên sau :
x “00 0 xX 5 X; — +ờ
Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x, Hay thể tích của hình hộp chữ
nhật tạo thành lớn nhất khi cất đi 4 hình vng bằng nhau có cạnh là :
a+b-vda`+b~ab
Trang 30“
C-KẾT LUẬN KIÊN NGHỊ
-Được sự đồng ý của UBND Tỉnh ,Sở KHCN và MT Sở GD- ĐT đã quan tâm thường xuyên chỉ đạo chủ nhiệm đề tài thực hiện tot các nội dung đã được phê duyệt
_ "Sở KHCN và MT đã kịp thời kiểm tra đơn đốc § giám sát tiến độ đề tài ,do vậy quá trình triển khai dé tài đảm bảo quy trình$ nghiên cứu khoa học chuyên ngành ,đảm bảo tính chính xác,tính hệ thống,tính khoa học và tính sư phạm
-Cán bộ phối hợp nhiệt tình ,có chun, mơn tốt và say sưa nghiên cứu biên soạn ,giảng dạy thực nghiệm góp phần thúc day hồn thành tiến độ và nội dung đề tài Sự phối hợp của cán bộ phối hợp và cộng tác viên ở trường THPT Tô hiệu ,trường Năng khiếu tỉnh và trường CĐSP Sơn la là một trong yếu tố giúp đề: tài hoàn thành nội dung thử nghiệm qua giảng đạy trực tiếp Qua đó chủ nhiệm đề tài đã kịp thời chỉnh sửa những nội dung chưa phù hợp
„góp phần làm cho chất lượng đề tài được nâng cao
-Về nội đung : Bản thảo đề tài gồm 3 chương giúp học sinh và giáo viên tham khảo để lựa chọn được cách giải dễ nhất ,ngắn gọn
„chính xác đối với các bài tốn tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
hàm số, thông qua đó đề tài đã góp phần nâng cao chất lượng giảng đạy và học tập món tốn cho giáo viên và học sinh Tạo điều kiện cho học sinh có ý thức rèn luyện tư duy lơ gíc trong q trình học mơn tốn tại các trường THPT,
-Hội đồng nghiệm thu cấp tỉnh đã nghiệm thu đề tài đúng thời gian qui định Đề tài được xếp loại : Xuất sắc
-Đề tài đang chuẩn bị,làm thủ tục để triển khai áp dụng trong
các trường THPT va CDSP Son la
CƠ QUAN CHỦ TRÌ ĐỀ TÀI CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
ne
Nuyén Thi Thu Huyén