một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và ví dụ

Đồngthời môn toán còn giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chấttrí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo,giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đ

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo - ThS.Nguyễn Thanh Tùng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình

để em hoàn thành khoá luận này

Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em luôn nhận được sự độngviên, giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Lý - Tin, đặc biệt

là các thầy cô trong bộ môn Hình học và các bạn sinh viên lớp K50ĐHSPToán Đồng thời để hoàn thành khóa luận em cũng nhận được sự tạo điềukiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian, tài liệu tham khảo của PhòngĐào Tạo, Phòng QLKH và QHQT, thư viện và một số phòng, ban, khoatrực thuộc trường Đại Học Tây Bắc Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới BGH nhà trường, thầy cô, gia đình, bạn bè - tất cả nhữngngười đã động viên, giúp đỡ công sức và tinh thần cho công việc nghiêncứu của em được hoàn thành tốt đẹp Em xin chúc sức khỏe tất cả cácthầy cô, chúc thầy cô luôn hoàn thành tốt các nhiệm vụ được giao

Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thủy

Mục lục

Mục lục 2

0.1 Lí do chọn đề tài 4

0.2 Mục đích nghiên cứu 5

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu 5

0.4 Phạm vi đề tài 5

0.5 Đối tượng nghiên cứu 5

0.6 Phương pháp nghiên cứu 6

0.7 Cấu trúc khóa luận 6

1 Kiến thức cơ sở 7 1.1 Định nghĩa và tính chất 7

1.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 7

1.1.2 Bất đẳng thức 9

1.1.3 Các bất đẳng thức thông dụng 9

1.2 Định lí về dấu tam thức bậc hai 12

1.3 Định lí Viét 12

1.4 Tích vô hướng của hai vectơ 12

1.5 Tích có hướng của hai vectơ 12

1.6 Cực trị của hàm số 13

1.6.1 Định lí 13

1.6.2 Dấu hiệu 1 13

1.6.3 Dấu hiệu 2 13

1.7 Các bước cơ bản để giải bài toán cực trị 13

1.8 Phương trình 14

2 Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 16

2.1 Phương pháp bất đẳng thức 16

2.2 Phương pháp miền giá trị của hàm số 20

2.3 Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số 24

2.4 Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ chẵn 27

2.5 Phương pháp hình học 29

2.6 Phương pháp lượng giác hóa 31

3 Bài tập 35 Tài liệu tham khảo 46

Mở đầu

0.1 Lí do chọn đề tài

Trong trường phổ thông, môn Toán có một vị trí rất quan trọng Cáckiến thức và phương pháp toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh họctốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Đồngthời môn toán còn giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chấttrí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo,giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân.Chương trình toán trung học có rất nhiều dạng bài tập khác nhau.Trong đó có nhiều dạng rất khó như chứng minh bất đẳng thức, biện luận

về số nghiệm của phương trình, bất phương trình, Và dạng bài : “ Tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng ” cũng nằm trong số

đó Các dạng bài tập này được gọi chung là bài toán tìm cực trị hay bàitoán cực trị Đây thực sự là một chuyên đề khó của chương trình toántrung học bởi vì các bài toán cực trị rất phong phú, phạm vi nghiên cứucủa vấn đề này lại rất rộng Và nó lại là một trong những dạng toán đượcquan tâm đến nhiều nhất trong các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi trongnước và quốc tế Thế nhưng, sách giáo khoa có rất ít các bài tập dạng này

và do những điều kiện khách quan mà sách giáo khoa không hệ thống lạicác phương pháp giải Do đó, việc cần thiết là phải cung cấp cho học sinhcác phương pháp giải dạng toán: “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất”.Việc này sẽ giúp các em dễ dàng hơn trong việc giải bài toán cực trị

Để giải được một bài toán cực trị bên cạnh việc phải nắm vững đượccác kiến thức cơ bản của chương trình phổ thông còn phải biết vận dụnglinh hoạt các kiến thức đó vào giải bài tập Điều đặc biệt là thông qua cácbài toán cực trị người học có thể vận dụng linh hoạt vào giải các loại toánkhác như giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, chứng minhmột yếu tố hình học

Trên thực tế, qua khảo sát việc giải bài toán cực trị ở các trường phổthông tôi nhận thấy rằng chất lượng học sinh vẫn còn thấp, đa số các emchưa biết cách giải một bài toán cực trị Điều này phần nào ảnh hưởng tới

chất lượng giáo dục.

Xuất phát từ những lí do trên và với tư cách là một giáo viên dạy toántrong tương lai, tôi xin hệ thống lại các phương pháp tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất thông qua việc nghiên cứu đề tài: "Một số phương pháptìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và ví dụ."

0.2 Mục đích nghiên cứu

• Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn Toán nói chung

và việc giải toán cực trị nói riêng được tháo gỡ phần nào những khókhăn.Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản nhằm nâng caokhả năng tư duy và học tập bộ môn một cách chủ động

• Tạo thêm hứng thú cho học sinh trong học tập môn Toán cũng như

kích thích sự đam mê tự học và tự tìm tòi nghiên cứu

• Giúp bản thân người học nắm được các bước cơ bản để tìm cực trị.

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Đề tài đưa ra một số dạng toán cơ bản về bài toán cực trị phù hợp

với trình độ nhận thức của học sinh

• Đề tài sẽ trang bị cho học sinh một số phương pháp giải các bài toán

tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để học sinh vận dụng làm bàitập

• Chọn lọc có hệ thống những bài tập mang tính tiêu biểu phù hợp với

từng nội dung phương pháp

0.4 Phạm vi đề tài

Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua giải toán tìm giátrị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất đối với các học sinh chuyên và không chuyêntoán

0.5 Đối tượng nghiên cứu

Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và ví dụ

0.6 Phương pháp nghiên cứu

• Phương pháp khách quan: Qua kết quả học tập của bản thân trong

quá trình học tập ở THCS, THPT và trong quá trình học Đại học

• Phương pháp đọc và nghiên cứu từ các nguồn tài liệu khác nhau.

Trích dẫn từ nguồn internet và các sách tham khảo

• Phương pháp tham khảo, trao đổi ý kiến với thầy giáo hướng dẫn và

bạn bè

0.7 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục các tài liệu thamkhảo, khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương 2: Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtChương 3: Bài tập

(b) Tồn tại (x01, x02,· · · , x0n) ∈ D sao cho f(x01, x02,· · · , x0n) = M

2 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x1, x2,· · · , xn) trên

D, kí hiệu m = min

(x 1 , ··· ,x n )∈Df(x1,· · · , xn) nếu hai điều kiện sau đâyđồng thời thỏa mãn:

(a) f(x1, x2,· · · , xn) ≥ m, ∀(x1, x2,· · · , xn) ∈ D

(b) Tồn tại (x01, x02,· · · , x0n) ∈ D sao cho f(x01, x02,· · · , x0n) = m

Để đơn giản vấn đề mà không làm mất tính tổng quát, ta xét đối với hàm

số một biến y = f (x) với x ∈ D ⊂ R, và sau đây là một số tính chất.Tính chất 1.1 Giả sử f(x)xác định trênD vàA, B là hai tập con của D,

trong đó A ⊆ B Giả sử tồn tại max

Tính chất 1.3 Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số cùng xác định trên D

và thỏa mãn điều kiện: f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ D

Khi đó ta có: max

x ∈D f(x) ≥ max

x ∈D g(x)

Tính chất 1.4 (Nguyên lí phân rã) Giả sử f(x) xác định trên D và

D được biểu diễn dưới dạng D = D1 ∪ D2 Giả sử tồn tại max

Tính chất 1.5 Giả sử f(x) là hàm số xác định trên D và f(x) ≥ 0 Khi

đó với mọi n nguyên dương ta có:

Tính chất 1.8 Giả sử f(x) là hàm số xác định và liên tục trên D Khi

đó nếu gọi M, m tương ứng là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

số f(x) trên D thì:

min |f(x)| =

(

0, nếu M m ≤ 0min |M|, |m| nếu M m ≥ 0

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an

Trong trường hợp đặc biệt n = 2 thì a1 + a2 ≥ 2√a1a2

Ta có một số kết quả đặc biệt

1 Với mọi a, b ∈ R ta có a2 + b2 ≥ 2ab Dấu bằng xảy ra khi a = b

2 Với mọi a, b ≥ 0 ta có a+ b ≥ 2√ab Dấu bằng xảy ra khi a = b

3 Với mọi a, b > 0 ta có (a + b)



1

a + 1b

Dấu bằng xảy ra khi a = b

4 Với mọi a, b, c ∈ R ta có a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca Dấu bằng xảy

ra khi a = b = c

5 Với mọia, b, c ∈ R ta có (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) Dấu bằng xảy



≥ 9 và do đó1

b2 + · · · + a

2 n

Bất đẳng thức với giá trị trung bình

Với n số dương a1, a2,· · · , an ta luôn có

Bất đẳng thức Trêbưsep

Cho hai dãy số thực a1, a2,· · · , an và b1, b2,· · · , bn

1 Nếu hai dãy cùng tăng (cùng giảm) thì ta có

(a1+ a2 + · · · + an)(b1+ b2+ · · · + bn) ≤ n(a1b1 + a2b2+ · · · + anbn)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · an hoặc b1 = b2 = · · · bn

2 Nếu có một dãy tăng, một dãy giảm thì ta có

(a1+ a2 + · · · + an)(b1+ b2+ · · · + bn) ≥ n(a1b1 + a2b2+ · · · + anbn)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · an hoặc b1 = b2 = · · · bn

Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

• |a| ≥ 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0

• −|a| ≤ a ≤ |a| Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0

• |a + b| ≤ |a| + |b| Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0 (a,b cùng

Cho ba điểm bất kì A, B, C khi đó ta luôn có AB + BC ≥ AC Dấu

bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C theo thứ tự thẳng hàng

Cho hai vectơ bất kì −→u , −→v ta luôn có:

1.2 Định lí về dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a 6= 0) Khi đó:

• Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a,∀x ∈ R

• Nếu ∆ = 0 thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a,∀x ∈ R, x 6= −b

1.4 Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ −→u , −→v là một số thực ( kí hiệu bởi −→u −→v )

được xác định bởi biểu thức sau

1.5 Tích có hướng của hai vectơ

Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ −→u = (a; b; c), −→v =(a′; b′; c′) là một vectơ, được kí hiệu là [−→u , −→v ] được xác định bởi biểu

thức sau:

[−→u , −→v ] = 

b c

b′ c′

;

1

2 + x

2 − x

−

1

2 + x

... 2

Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất< /h2>

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f(x) mộtmiền D cho trước, sử dụng nhiều phương pháp khác nhau.Trong... số< /sup>

• Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ chẵn

để xác định lời giải cho toán

Khi sử dụng phương pháp bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá tr? ?nhỏ biểu thức f(x1,... xin trình bày phương pháp sau đây:

• Phương pháp bất đẳng thức

• Phương pháp miền giá trị hàm số< /sup>

• Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số< /sup>

•