Luận văn sư phạm Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tr ng HSP Hà N i TR Khóa lu n t t nghi p NG IH CS PH M HÀ N I KHOA TOÁN TR N TH THÚY M TS PH NG PHÁP TỊM GIÁ TR L N NH T VÀ GIÁ TR NH NH T C A HÀM S KHÓA LU N T T NGHI P Chuyên nganh: Ng IH C is ih ng d n khoa h c: Th c s NGUY N TH KI U NGA HẨ N I ậ 2010 Tr n Th Thúy K32D Toán Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p L IC M N Sau m t th i gian nghiên c u v i s h ng d n ch b o t n tình c a giáo, Th c s Nguy n Th Ki u Nga, khóa lu n c a em đ n đƣ hoàn thành Qua đơy em xin bày t lòng bi t n sơu s c c a t i Nguy n Th Ki u Nga, ng i đƣ tr c ti p h ng d n ch bào cho em nhi u kinh nghi m quí báu th i gian em th c hi n khóa lu n Em c ng xin chân thành c m n s giúp đ c a th y cô khoa Toán đƣ t o u ki n t t nh t cho em th i gian em làm khóa lu n Do l n đ u tiên làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c, h n n a th i gian vƠ n ng l c c a b n thân h n ch nên m c dù đƣ có nhi u c g ng song không tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y, cô giáo c a b n sinh viên đ khóa lu n c a em đ c hoàn thi n h n Em xin chân thành c m n! Hà N i, tháng 05 n m 2010 Sinh viên Tr n Th Thúy Tr n Th Thúy K32D Toán Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p L I CAM OAN Tôi kh ng đ nh r ng: ơy lƠ cơng trình nghiên c u c a riêng tơi, tơi đƣ nghiên c u vƠ hoƠn thƠnh c s nh ng ki n th c đƣ h c tài li u tham kh o Nó khơng trùng v i k t qu c a b t c ng i khác Hà N i, tháng 05 n m 2010 Sinh viên Tr n Th Thúy Tr n Th Thúy K32D Toán Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p M cl c TRANG M đ u Ch ng : Ki n th c chu n b 1.1 HƠm s đ n u m t đo n 1.2 i u ki n c n vƠ đ đ hƠm s đ n u đo n [a,b] 1.3 C c tr c a hƠm s nh lí Lagange 1.4 1.5 T p l i vƠ hƠm l i, tính ch t 10 Ch ng 2:M t s ph ng pháp tìm giá tr l n nh t vƠ hƠm s 2.1 S d ng tính đ n u vi c tìm giá tr l n nh t vƠ giá tr nh nh t c a hám s 15 2.2 S d ng đ nh lí Lagange 27 2.3 áp d ng b t đ ng th c Cauchy vƠ Bunhiacơpxki bƠi tốn c c tr c a hƠm s 32 2.4.Ph ng pháp hƠm l i 49 2.5.Ph ng pháp mi n giá tr 63 2.6.Ph ng pháp hình h c 72 K t lu n 82 TƠi li u tham kh o Tr n Th Thúy K32D Toán Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p M U Lí ch n đ tài Trong ch ng trình tốn ph thơng, tốn v giá tr l n nh t giá tr nh nh t tốn h p d n, lơi cu n t t c nh ng ng i h c Toán làm Toán Các toán r t phong phú vƠ đa d ng v y tốn tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s th ng xuyên có m t k thi ph thơng trung h c, c ng nh k thi h c sinh gi i kì thi i h c, cao đ ng gi i quy t địi h i ng i h c Toán làm toán ph i linh ho t v n d ng m t cách h p lý t ng tốn T t nhiên đ ng tr tốn tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t m i ng h c m t i đ u có m t xu ng xu t phát riêng c a Nói nh v y có ngh a lƠ có r t nhi u ph pháp đ đ n k t qu cu i c a lo i bƠi toán nƠy ph i l a ch n ph ng i u quan tr ng ng pháp nƠo cho l i gi i t i u c a tốn Th t khó nh ng th t thú v n u ta tìm đ cđ ng l i đ n đ gi i quy t V i nh ng lý trên, s đam mê c a b n thân, v i s h ng d n nhi t tình c a cô giáo Nguy n Th Ki u Nga, em m nh d n th c hi n khóa lu n t t nghi p c a v i t a đ : “M T S PH NG PHÁP TỊM GIÁ TR L N NH T VÀ GIÁ TR NH NH T C A HÀM S ” M c đích nghiên c u Nghiên c u m t s ph ng pháp tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s it ng nghiên c u Các tốn tìm giá tr l n nh t nh nh t, giá tr l n nh t c a hàm s ch Ph ng trình tốn THPT ng pháp nghiên c u Tr n Th Thúy K32D Tốn Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p c tài li u, phân tích so sánh, t ng h p CH NG KI N TH C CHU N B 1.1 HƠm s đ n u m t đo n inh nghia 1.1: Cho ham sô f  x xác đ nh  a; b v i moi x1 , x2   a ; b gi s x1  x2 + Nêu f  x1   f  x2  f  x đ c goi la ham t ng (đông biên )  a; b + Nêu f  x1   f  x2  f  x đ + Nêu f  x1   f  x2  f  x đ c goi la ham khơng giam  a ; b  c goi la ham giam (ngh ch bi n)  a; b + Nêu f  x1   f  x2  f  x đ - Các hƠm s đ c goi la ham không t ng  a ; b  c goi chung la cac ham sô đ n điêu môt kho ng - HƠm s t ng ho c gi m m t kho ng đ c g i lƠ hƠm đ n u th c s khoang ơy 1.2 iêu kiên va đu đê ham sô t ng ho c giam (đ n điêu)  a ; b Gi s hƠm s y  f  x liên tuc  a ; b vƠ có đ o hƠm h u h n  a ; b  đo: a) Nêu f  x lƠ hƠm t ng (gi m)  a ; b f '  x   f '  x  0 , x   a ; b  b) Nêu f '  x   f '  x  0 , x   a; b  f  x lƠ hƠm t ng (gi m)  a ; b Tr n Th Thúy K32D Toán Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p 1.3 C c tri cua ham sô 1.3.1 inh nghia c c tri inh nghia 1.2: Cho ham sô f  x xác đ nh mi n D f  x (kí hi u M  max f  x ) nêu M lƠ giá tr l n nh t c a hƠm s xD th a mƣn hai u ki n:  f  x  M , x  D  T n t i x0  D cho M  f  x0  f  x (kí hi u m  f  x ) nêu m lƠ giá tr nh nh t c a hƠm s xD th a mƣn hai u ki n:  f  x  m, x  D  T n t i x0  D cho m  f  x0  inh nghia 1.3: Cho ham sô f  x xác đ n h miên D , x0  D Ta noi r ng f  x c c tiêu đia ph ng tai x0 nêu nh tôn tai lơn V  x0  cho: f  x  f  x0  , x  D  V  x0  HƠm s f  x, y xác đ nh D đ c goi la đat c c tiêu đia ph ng t i  x0 ; y0   D nêu nh tôn tai lơn V  x0 , y0  cho: f  x, y  f  x0 , y0  ,   x; y  D  V  x0 , y0  inh nghia ham sô đat c c tiêu đia ph môt cach t ng tơp xac đinh cua no ng t Nhân xet: Nêu f  x đat c c tiêu đia ph ng tai x0  D nói chung ta có : f  x0   m , v i m  f  x xD Tr n Th Thúy K32D Toán Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p Nêu f  x đat c c đai đia ph ng tai x0  D ta có: f  x  M v i M  max f  x xD Vơy giá tr l n nh t (nh nh t) c a hƠm s ph ng (c c tiêu đia ph f không trung v i c c đai đia ng) miên xac đinh D nƠo 1.3.2 iêu kiên va đu đê ham sô co c c tri đia ph inh ly 1.1: ( iêu kiên cân đê ham sô co c c tri đia ph Nêu ham sô f  x đat c c tri đia ph ng ng) ng tai x0   a ; b th̀ ch x y m t cac kha n ng sau: a f  x không co đao ham tai x0 b f  x ć đ o h̀m t i x0 th̀ f  x0   inh ly 1.2: ( iêu kiên đu th nhât đê ham sô co c c tri đia ph Gi s h̀m s ng) f  x liên tu c  a ; b ć ch a m x0 v̀ ć đ o h̀m kho ng  a ; b  (ć th tr t i m x0 ) a Nêu x qua x0 m̀ f '  x đôi dâu t d ng sang âm thi f  x đat c c đai tai x0 b Nêu x qua x0 m̀ f '  x đôi dâu t âm sang d ng th̀ f  x đat c c tiêu tai x0 c Nêu x qua x0 m̀ f '  x không đôi dâu thi ham sô f  x không đat c c tri tai x0 inh ly 1.3: ( iêu kiên đu th hai đê ham sô co c c tri) Gi s f  x ć đ o h̀m liên t c đ n c p lân c n c a m x0 - Khi f '  x0   0, f ''  x0   th̀ f  x đat c c tiêu tai x0 - Khi f '  x0   0, f ''  x0   th̀ f  x đat c c đai tai x0 Tr n Th Thúy K32D Toán Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p 1.3.3 Môt sô tinh chơt f  x liên tuc môt đoan inh ly 1.4: H̀m s  a ; b th̀ đ t gí tr l n nhât, nh nh t đo n đ́ inh ly 1.5: Cho ham sô f  x x́c đinh mi n D v̀ A, B l̀ tâp c a D đo A  B Ngòi t n t i max f  x ,max f  x ,min f  x ,min f  x xA xA xB xB (i) max f  x  max f  x Khi đo ta co: xA xB (i i) f  x  f  x xA xB Ch ng minh: Bơy gi ta ch ng minh (i), (ii) ch ng minh t ng t Thơt vơy: gi s max  f  x0  , x0  A xA Do A  B , nên t x0  A ta suy x0  B T đo theo đinh nghia ta suy f  x0   max f  x hay max f  x  max f  x xB xA inh ly 1.6: Gi s h̀m s xB f  x x́c đ nh mi n D Khi đo ta co: max f  x     f  x  xD xD Ch ng minh: Thơt vơy gia s M  max f  x xD Theo đinh nghia GTLN ta co:  f  x  M , x  D  f  x   M , x  D     f  x0   M , x0  D  f  x0    M , x0  D Theo đinh ngh a GTNN, t th c suy ra:   f  x    M xD Tr n Th Thúy K32D Toán Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p Nh vơy ta co: max f  x     f  x  (đpcm) xD xD Nhân xet: Tính ch t nƠy cho ph́p ta chuy n bƠi tốn tìm GTLN thƠnh bƠi tốn tìm GTNN ho c ng c l i f  x , g  x l̀ hai h̀m s c̀ng x́c đ nh D v̀ th a inh ly 1.7: Gi s m̃n u ki n f  x  g  x , x  D Khi đo ta co: max f  x  max g  x xD xD Ch ng minh: Gi s max g  x  g  x0  v i x0  D xD T gt ta co f  x0   g  x0  , x0  D (1) Vì x0  D nên theo đinh nghia GTLN f  x0   max f  x (2) xD T (1), (2) ta co max f  x  max g  x xD xD o la điêu phai ch ng minh inh ly 1.8: (Nguyên ly phân ra) Gi s f  x x́c đ nh mi n D v̀ miên D đ c biêu diên d i d ng D  D1  D1   Dn Gi s t n t i: max f  x , f  x , i  1, n xDi xDi Khi đo ta co:   f  x  min f  x , f  x , , f  x max f  x  max max f  x , max f  x , , max f  x xD xD xD1 xD1 xD2 xD2 xDn xDn (3) (4) Ch́ ́: T tinh chơt cho phep ta biên đôi bai toan tim GTLN va GTNN cua hƠm s m t mi n xác đ nh ph c t p thƠnh m t dƣy bƠi tốn tìm Tr n Th Thúy K32D Toán 10 Tr ng HSP Hà N i  x2  3x4 1  x  2 Khóa lu n t t nghi p  y0 (14) (14)   x2  3x4  y0 1  x2    y0  3 x4   y0   x2  y0   (15) TH1: y0    y0  đo (15) tr thanh: x2   x  Vơy (15) có nghi m TH2: y0   đo (15) có nghi m vƠ ch h sau:   y0  3 t   y0   t  y0   16  có nghi m   t  Tr c hêt đê (16) có nghi m  '   y0     y0  3  2  y0    y0  Khi đo theo đinh ly Viet ta co: p   đo hai nghiêm cua (16) d u v i Vơy đê ph ng trình có nghi m u ki n lƠ:  '     y0     y0    y0   s  y   2  y0   Kêt h p c hai tr ng h p (16) có nghi m Vơy max f  x  3, f  x  ฀ ฀  y0  x2  px  q BƠi 2.5.5 Cho ham sô f  x  x2  Tìm p, q : max f  x  9, f  x  1 x฀ x฀ Tr n Th Thúy K32D Toán 73 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p Gi i: Lơy y0 thuôc miên gia tri cua ham sơ Khí x R đ ph ng trình: x2  px  q  y0 (17) có nghi m x2  (17)   y0  1 x2  px  y0  q  (18) + Nêu y0  (18) có nghi m p  ho c p  0, q  + Nêu y0  (18) có nghi m vƠ ch khi:  '   p   y0  1 y0  q    y02  y0  q  1   p  4q   X́t ph  (19)  ng trình 4t  4t  q  1  p  4q  G i t1, t2 lƠ hai nghi m c a ph (20) ng trình nƠy nghi m cua bơt ph ng trinh (19) lƠ: t1  y0  t2 Kêt h p ca hai tr ng h p ta th y ph ng trinh (18) có nghiêm t1  y0  t2 t đo ta co max f  x  t2 ,min f  x  t1 Khi đo bai toan đa cho tr thanh; tìm p, q đ ph ng trinh (20) có nghi m lƠ vƠ -1 Theo đinh ly Viet ta co: t1  t2  q   q     p q     9  p  8 t t   1  p 8 Vơy co c p gia tri tim  ;  q   p  8   q  BƠi 2.5.6 Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hƠm s : f  x, y   x2  y2 miên D    x; y :  x2  y2  1   x2 y2  x2  y2  Gi i: Tr n Th Thúy K32D Toán 74 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p G i t0 lƠ giá tr b t kì c a hƠm s ph f  x, y miên D iêu đo t c la ng trinh sau co nghiêm ( n x, y)  x2  y2  t0  2    x2 y2  x2  y2  x y     x2  y2  t0  2 2 2  x  y    x  y   x    x2  y2  t0   2  t0  3t0  x   ê (22) có nghi m n x  21  22  t02  3t0  0  t02  3t0    3 3  t0  2 t02  3t0  Thay x  vƠo (21) ta đ  23 c: y2  4t0  t02  3t0   t02  t0  Do t02  t0   0, t0 nên hiên nhiên  21 đung Vơy v i điêu kiên (23) h (21), (22) có nghi m Nh vơy miên gia tri cua t0 lƠ: M ax f  x, y   D BƠi t p t 3 3  t0  2 3 3 , f  x, y   D 2 ng t BƠi 2.5.7 Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hƠm s y Tr n Th Thúy K32D Toán x   1 x 1 x   1 x 1 75 Tr ng HSP Hà N i H ng dân: Do    x3  Khóa lu n t t nghi p 2t  x    1 t2   x  nên đ t  (  t  1) t    x   1 t2   BƠi 2.5.8 Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hƠm s x2  xy  y2 f  x, y  x  xy  y2 H ng dân: x t2  t  t t  Khi đo F  t   y t  t 1 (lƠm t f  x, y  x  y BƠi 2.5.9 Tìm giá tr l n nh t c a hƠm s X́t miên D  H  x; y : x ng t )  y2  1 ng dân: Ta gia s t0 lƠ giá tr tùy Ủ c a hƠm s f  x, y Khi đo sau co nghiêm ( n x, y):   x  y  t0  2  x  y  t  x  y    2  x  y    x  y  t0  2   x  y  T đơy ta tim miên gia tri c a t0 c a t ng h , sau đo ap dung nguyên ly phơn rƣ đ tìm giá tr l n nh t c a hƠm s 2.6 PH NG PHAP HINH HOC A C s ly thuyêt: - Bơt đ ng th c tam giac: V i điêm A, B, C bơt ki ta ln có: AB  BC  AC Tr n Th Thúy K32D Toán 76 ng HSP Hà N i Tr Khóa lu n t t nghi p (Dơu đ ng th c xay va chi B n m đoan AC ) AB  AC  BC (Dơu đ ng th c xay va chi C n m ngoai đoan AB ) - Cách áp d ng + a ham sô đa cho vê dang f  x y  x2  a  y2  b2 + Sau đo chon chuc toa đô, ch n điêm A, B, C có t a đ th a mƣn rôi s dung hai bơt đ ng th c đ tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nhơt cua ham sô V i moi tam giac ABC ta co: AB  BC  AC  AB  BC B BƠi t p BƠi 2.6.1 Tìm giá tr l n nh t c a hƠm s : f  x  x2  x  34  x2  x  10, x ฀ Gi i: Ta co: f  x  x2  x  34  x2  x  10   x  3  25   x  3 1 f  3    Trong m t ph ng Oxy ta đ t: A x;0 , B 3;5 , C  3;1 đo: BA   x  3  52 CA   x  3  12 BC  02  42  Vơy f  x  BA CA A, B, C ta co bơt đ ng th c: BA CA BC   x  3  52  Tr n Th Thúy K32D Toán  x  3 1  77 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p Hay f  x  mƠ f  x  x  Vơy max f  x  x฀ BƠi 2.6.2 Tìm giá tr nh nh t c a hƠm s : f  x  x2  x   x2  3x  1, x  ฀ Gi i: 2  1  3 3  x   Ta co: f  x   x         2      2  1  3      x   x   0        0    2         Trên m t ph ng toa đô Oxy đ t: y A O  C0 B 1 3  1 A ; ;   , C  x;0  Khi đo:  , B 2 2    Tr n Th Thúy K32D Toán 78 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p 1  3  CA   x       2    2      CB   x    0         AB  2 Vơy f  x  CA CB V i moi A, B, C ta co CA CB  AB  f  x  2, x ฀ Gi s AB  Ox  C0 thì: C0 A C0 B  AB Nêu goi C0  x0 ,0  f  x0   nên f  x  xR BƠi 2.6.3: Tìm giá tr nh nh t c a hƠm s f  x  x2  x   x2  x  1, x ฀ Gi i: 2 1  3 1  3   Ta co: f  x   x       x    2   2     2 2 1  3          x      0       x       2 2            Trong m t ph ng t a đ Oxy x́t m:  3 1 3 A  ;  , B ;  , C  x;0  đo: 2 2     Tr n Th Thúy K32D Toán 79 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p 1  3  AC   x      2    1  3  BC   x      2    AB  2 V i moi A, B, C ta co: AC  BC  AB 2 1  3 1  3     x      x     2x  ฀ 2   2      f  x  2, x ฀ Dơu “=” xay va chi C  AB , ta thơy O  AB  C  O hay f  0  Vơy f  x  2, x ฀ BƠi 2.6.4 Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hƠm s f  x, y  x  y X́t mi n D   x; y : x  y2  16  8x  y Gi i:   x; y  D ta co: x2  y2  16  8x  y  x2  8x  16  y2  y     x     y  3  32 Nh vơy miên D lƠ đ ng trịn có tơm I  4,3 , bán kính R  Khi đo   x; y  D ta co: x2  y2 2 f  x, y  x  y   x  y  16    2 Tr n Th Thúy K32D Toán 80 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p   x; y  D , ta nôi OI c t đ ng tron tai M1, M2 Khi đo OM  OM1  OI  M1I     x; yD  OM   x; yD y Max OM  OM2  OI  M2 I     x; yD M  max OM  64 M2  x; yD M t khac ta co I OM  x2  y2 M1   x2  y2  64 Hay  O x x y  32  10  f  x, y  40 2 Vơy max f  x, y  40, f  x, y   10  x; yD  x; yD BƠi 2.6.5 Tìm giá tr l n nh t c a hƠm s : f  x, y, z, t    x  y   z  2t   xz  yt miên: D   x, y, z, t  : x2  y2  z2  t  5 Gi i: f  x, y, z, t    x  1   y  2    z  1   t  2 2  Gi s M  x; y , N  z; t   D M , N s n m đ  x  z   y  t 2 ng tròn t i g c O , bán kính R  toa Oxy X́t P 1;2  n m đ ng tron đo Khi đo ta co: Tr n Th Thúy K32D Toán 81 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p MP   x  1   y  2 NP   z  1  t  2 MN   x  z Vơy ta co f  x, y, z, t   2   y  t  MP  NP  MN  ,   x, y, z, t   D  Do ฀ MNP nôi tiêp đ  ng tron O; Ta đa biêt môt tam giac nôi tiêp đ ng tron nêu no la tam giac đêu thi chu vi l n nhơt MƠ ฀ MNP đ u MP  NP  MN l i n i ti p đ ng trịn có bán kính ฀ MNP có đ dƠi c nh la a   15 (theo đinh ly sin tam giac) Vơy f  x, y, z, t    max f  x, y, z, t   15  30 30 ,  x, y, z, t   D BƠi 2.6.6 Cho ham sô f  x  5x2  8x  13  x2  x  4, x  ฀ Tìm giá f  x tr nh nh t c a hƠm s Gi i: Ta co: f  x   x  2    x   x  2   1x Trong toa đô Oxy ta đ t: A 2,3 , B 2,0 , M  x  2x Khi đo: AM  BM  AB   x  2  x  2   2 2    x   2 x 2  32  16   Tr n Th Thúy K32D Toán 82 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p V i moi A, B, C ta co bơt đ ng th c: AM  BM  AB   x  2    x   x  2 2   2 x  Vơy f  x  ฀ BƠi 2.6.7 Tìm giá tr l n nh t c a hƠm s : f  x, y, z  x 1  y  y 1  z   z 1  x X́t mi n D   x, y, z :  x  1,0  y  1,0  z  1 Gi i: D ng ฀ ABC đ u có c nh b ng S฀ ABC  A P Trên AB, BC, CD lơy lơn l M t cac điêm M , N, P cho: AM  x, BN  z, CP  y B Do  x  1,0  y  1,0  z  nên M N C có th trùng v i A ho c B N có th trùng v i B ho c C P có th trùng v i C ho c A Trong ฀ MAP ta co: S฀ MAP   S฀ BMN  AM AP.sin ฀A 3 x 1  y   x 1  y  2 ฀  z 1  x BN.BM sin B ฀  y 1  z  S฀ NCP  CN.CP sin C Tr n Th Thúy K32D Toán 83 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p MƠ S฀ ABC  S฀ AMP  S฀ BMN  S฀ NPC  S฀ MNP  S฀ AMP  S฀ BMN  S฀ NPC  S฀ ABC  3 3 x 1  y   z 1  x  y 1  z   4 4  x1  y  z 1  x  y 1  z  1,   x, y, z  D M t khac: f 1,0,0  Vơy max f  x, y, z    x; yD BƠi t p t ng t : BƠi 2.6.8 Cho ham sô f  y  y2  y   y2  y  10, y  ฀ , Tìm giá tr nh nh t c a hƠm s f  y ng dân: HƠm f  y viêt d i dang H f  y   y  2  y  3  22   12 Ch n A 2, 2 , B 1,3 , M  0, y Ta co: AM  BM  AB  f  y  10 ฀ BƠi 2.6.9: Cho ham sô f  x  x2  x  13  x2  12 x  45, x  ฀ Tìm giá tr nh nh t c a hƠm s H f  x ng dân: Ta co: f  x   x  3 4  x  6 9 Trong truc toa đô Oxy , x́t A 3; 2 , B 6;3 , M  x;0  Áp d ng b t d ng th c AM  BM  AB ( /S f  x  34 ) ฀ Tr n Th Thúy K32D Toán 84 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p f  x  x2  10 x  25  x2  x  24, x  ฀ BƠi 2.6.10 Cho ham s f  x Tìm giá tr nh nh t c a hƠm s H ng dân: Ta co: f  x   x  5   x2   2  x  x2   Trong toa đô Oxy , x́t m A 0;5 ; B 6;0 ; M  x; x Áp d ng b t đ ng th c AM  BM  AB Suy GTNN ( /S f  x  ) ฀ BƠi 2.6.11 Cho ham sô f  x  10 x2  12 x  10  10 x2  20 x  10, x  D f  x Tìm giá tr nh nh t c a hƠm s H ng dân: Ta co: f  x   x  3   x  1   x  2   3x  4 Trong t a đ l y m A 3;2 ; B 2; 1 ; M  x;3(1  x Áp d ng b t đ ng th c tam giác AM  BM  AB suy GTNN ( /S f  x  ) ฀ BƠi 2.6.12 Tìm giá tr nh nh t c a hƠm s : f  x, y, z, t   z2  t  xz  yt  X́t mi n D  H  x, y, z, t  : x  y2  1, z2  t   0 ng dân:   x, y, z, t   D ta co: f  x, y, z, t    z  x   y  t   x2  y2  2   z  x   y  t  2 Tr n Th Thúy K32D Toán 85 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p   x, y, z, t   D t p h p nh ng m M  x; y n m đ ng tron tâm O  0;0 , bán kính R  Tơp h p nh ng điêm N  z, t  n m parabol: v  u   f  x, y, z, t   D K T LU N Trong ch ng trình tốn ph thơng, tốn v giá tr l n nh t giá tr nh nh t ph n h p d n, lôi cu n t t c nh ng ng i h c Toán làm Toán Các toán r t phong phú vƠ đa d ng Trong khóa lu n nƠy em đƣ trình bày m t s ph s Khóa lu n đ ng pháp tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm c th c hi n v i mong mu n đóng góp kinh nghi m vi c nghiên c u h c t p mơn tốn T khóa lu n có th giúp b n đ c bi t thêm m t s ph ng pháp tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s Do l n đ u làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c, th i gian n ng l c b n thân h n ch m c dù đƣ r t c g ng nh ng ch c ch n không th tránh kh i nh ng thi u sót Em kính mong nh n đ c s ch b o c a th y, giáo khoa Tốn v i s đóng góp c a b n sinh viên đ khóa lu n c a em đ c hồn thi n h n Em xin chân thành c m n Tr n Th Thúy K32D Toán 86 Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p TƠi li u tham kh o V n L u, Phan Huy Kh i, Gi i t́ch l i, Nxb Khoa h c vƠ K thu t HƠ N i Phan Huy Kh i, Ćc b̀i tón c c tr c a h̀m s , Nxb HƠ N i Võ Giang Mai, Võ Kh c Th ng, Lê Quang Tu n, ng d ng ćc t́nh ch t c a h̀m s đ gi I b̀i tón: B t đ ng th c, t̀m gi tr l n nh t v̀ nh nh t T p ch́ tón h c tu i tr , Nxb Giáo d c Tr n Th Thúy K32D Toán 87 ... PH NG PHÁP TỊM GIÁ TR L N NH T VÀ GIÁ TR NH NH T C A HÀM S ” M c đích nghiên c u Nghiên c u m t s ph ng pháp tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s it ng nghiên c u Các tốn tìm giá tr... t nghi p CH M TS PH NG PHÁP TỊM GIÁ TR L N NH T VÀ GIÁ TR NH 2.1 S D NG TệNH NH T C A HÀM S N I U TRONG VI C TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH A Ph NG NH T ng phap chung - Tìm m t i h n c a hƠm s... CAUCHY VÀ BUNHIACOPXKI TRONG BÀI TOÁN C C TR C A HÀM S Ph ng pháp chung: M t s ph ng pháp thông d ng hi u qu nh t đ tìm giá tr l n nh t nh nh t c a hàm s lƠ ph ng pháp s d ng b t đ ng th c, ph ng pháp