Hàm số tổng và bậc của hàm số học

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* VŨ THÙY LIÊN HÀM SỐ TỔNG VÀ BẬC CỦA CÁC HÀM SỐ HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành Đại số HÀ NỘI – 2014 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* VŨ THÙY LIÊN HÀM SỐ TỔNG VÀ BẬC CỦA CÁC HÀM SỐ HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Th.S ĐỖ VĂN KIÊN HÀ NỘI – 2014 LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu hồn thành khóa luận này, em nhận quan tâm, động viên, khích lệ thầy giáo tổ Đại số nói riêng thầy khoa Tốn trường Đại học sư phạm Hà Nội nói chung Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo, đặc biệt Th.S Đỗ Văn Kiên người tận tình hướng dẫn em suốt thời gian qua để em hồn thành khóa luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà em trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Vũ Thùy Liên LỜI CAM ĐOAN Trong q trình nghiên cứu khóa "Hàm số tổng bậc hàm số học" em có sử dụng số tài liệu tham khảo để hồn thành khóa luận Danh sách tài liệu tham khảo em đưa vào mục tài liệu tham khảo khóa luận Em xin cam đoan khóa luận hồn thành cố gắng nỗ lực thân hướng dẫn tận tình Th.S Đỗ Văn Kiên thầy cô tổ Đại số Đây đề tài không trùng với đề tài tác giả khác Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để khóa luận hồn thiện Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Vũ Thùy Liên MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số nguyên tố 1.2 Một số tính chất số nguyên tố 1.3 Dạng phân tích tiêu chuẩn 1.4 Hệ thặng dư modun m Chƣơng Hàm số học 10 2.1 Khái niệm hàm số học 10 2.2 Một số hàm số học 11 2.2.1 Hàm Euler 11 2.2.2 Hàm Mobius n 14 2.2.3 Công thức nghịch đảo Mobius 16 2.2.4 Hàm Mangoldt n 18 2.2.5 Hàm điểm nguyên r n 19 2.2.6 Hàm ước d n 19 2.2.7 Hàm tổng ước 2.2.8 Hàm k n 20 n 25 2.2.9 Hàm   n  26 Chƣơng 27 Hàm tổng bậc hàm số học 27 3.1 Hàm tổng 27 3.1.1 Định nghĩa hàm tổng 27 3.1.2 Các hàm tổng hàm số học R N , D N ,Φ N 27 3.2 Bậc hàm số học 29 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Số học nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Bên cạnh việc giải đáp bí ấn số, có ứng dụng vơ quan trọng hệ thống toán học, khoa học kĩ thuật, đặc biệt ứng dụng thông qua hàm số học Hàm số học khái niệm giữ vai trò vị trí trung tâm khoa học tốn học Đảm bảo vị trí trung tâm khái niệm hàm số tăng cường tính thống mơn tốn phổ thơng, góp phần xóa bỏ danh giới giả tạo phân mơn mơn tốn, phần khác chương trình Do số hàm số học khơng qui Nên ta xét hàm tổng hàm số học Việc nghiên cứu hàm tổng bậc hàm số học giúp ta hiểu rõ nét tính chất hàm ứng dụng Chính nên em chọn đề tài " Hàm số tổng bậc hàm số học" làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu: Đề tài nhằm hệ thống lại số hàm số học như: hàm euler, hàm mobius, hàm tổng…; bên cạnh nghiên cứu hàm tổng hàm bậc hàm số học hàm tổng Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: hàm số học, hàm tổng, bậc hàm số học - Phạm vi nghiên cứu: hạn chế thời gian lực thân nên khóa luận tập trung nghiên cứu hàm tổng bậc số hàm số học Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Nghiên cứu bậc hàm số học hàm tổng hàm số học Giả thuyết khoa học Đề tài nghiên cứu vấn đề: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Hàm số học Chương 2: Hàm tổng bậc hàm số học Phƣơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu phân tích tài liệu Hệ thống khái quát vấn đề điểm nguyên định hướng Tổng kết kinh nghiệm nhà khoa học thân Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số nguyên tố Định nghĩa 1.1.1.Số nguyên tố số tự nhiên lớn ước tự nhiên khác ngồi Tập số ngun tố kí hiệu Một số tự nhiên lớn số nguyên tố gọi hợp số Định nghĩa 1.1.2 Hai số nguyên a, b gọi nguyên tố chúng có ước chung lớn phần tử khả nghịch Kí hiệu a, b 1.2 Một số tính chất số nguyên tố Mệnh đề 1.2.1 Ước số tự nhiên nhỏ khác số tự nhiên lớn số nguyên tố Chứng minh Giả sử a số tự nhiên, a > p > ước nhỏ a Ta chứng minh p số nguyên tố Thật vậy, giả sử p không số nguyên tố p phải hợp số p  1, nghĩa có ước thực p1,1< p1< p Suy p1 ước a (mâu thuẫn với giả thiết p ước nhỏ khác a) Vậy p phải số nguyên tố Hệ 1.2.1(Bổ đề Euclid) Mọi số nguyên lớn chia hết cho số ngun tố Mệnh đề 1.2.2 Có vơ số số nguyên tố hay tập số nguyên tố vơ hạn Chứng minh Giả sử có hữu hạn số nguyên tố p1, p2,…, pn Xét số a = p1 p2…pn + > Suy ra, theo tính chất a có số ước ngun tố q Nhưng có hữu hạn số ngun tố kể nên q phải trùng với số p1, p2,…,pn Do q | p1 p2…pn Mà q | a suy q | a – p1 p2…pn = (vô lý) Vậy điều giả sử sai Do tập số ngun tố vơ hạn Mệnh đề 1.2.3 Ước nhỏ khác hợp số n số nguyên tố không lớn n Chứng minh Gọi p ước tự nhiên nhỏ khác n Theo tính chất ta có p số nguyên tố Giử sử n = pq, n hợp số nên n  p, suy q > Vậy q ước lớn n Theo giả thiết ta có p  q  p2  p.q = n Từ ta p  n Vậy định lý chứng minh Hệ 1.2.2 Nếu số tự nhiên a > khơng có ước ngun tố khoảng từ đến a a số nguyên tố Mệnh đề 1.2.4 Cho p số nguyên tố Khi số tự nhiên a p | a (a, p) = Chứng minh Gọi d = (a , p)  d | p Mà p số nguyên tố nên d = d = p + Nếu d = (a , p) = + Nếu d = p p | a Vậy định lý chứng minh Mệnh đề 1.2.5 Cho p số nguyên tố a1, a2,…, an số tự nhiên Khi p | a1a2…an tồn i  {1, 2,…, n} để p | Vậy số nguyên tố Mersenne số nguyên tố có dạng 2n không xét số nguyên tố dạng tổng quát a n ? Vì a mà a n a 1 a n Bởi a số nguyên tố a Tại mà a an Thực trường hợp đó, n phải số nguyên tố Giả sử n 1 2n n Thế 2k kl , k 2k , mà 1 2n Theo nghiên cứu tài liệu, tận ngày chưa có nghiên cứu cho biết liệu có tồn vơ số số ngun tố có dạng 2n khơng Thậm chí chưa biết liệu có tồn số hồn hảo lẻ hay không 2.2.8 Hàm k n Định nghĩa 2.2.8 Hàm n d n Ví dụ 2.2.8 Hàm 0,1,2, dn n n d4 n Cơng thức tính: dk k n k Chú ý, định nghĩa n : k dn k r n i Định lý 2.2.18 Hàm số học n hàm nhân tính pia i i 1k i k r Định lý 2.2.19 Nếu n pi a pik ta có pi a k pik r i n k i Chứng minh: Vì k hàm nhân tính, ta có r k n r k i i p r k i 2k i p p i k i p i Định lý chứng minh 25 pi a k pik i Chú ý: Nếu k ta có r n n i pi a 1 pi i 2.2.9 Hàm   n  Định nghĩa 2.2.9 Với số nguyên dương n ta định nghĩa   n  hàm số biểu thị số ước nguyên dương n   n   1 dn Ví dụ 2.2.9     có bốn ước nguyên dương 1,2,3,6 Hàm   n  hàm nhân tính Cơng thức tính k Giả sử n có phân tích tiêu chuẩn n  p1 p2 pk hay n   pii ,   n   1, 1 2 k i 1 dn k d ước n d có dạng d   pii ,0  i   i , i  1, k i 1 Với số mũ  1, 2 , , k   S1 1.S2 1 Sk 1  S với Si 1 đoạn  i  số tự nhiên Do ước n số phần tử tập S k Từ ta có   n   Card  s     i  1 i 1 26 Chƣơng Hàm tổng bậc hàm số học 3.1 Hàm tổng 3.1.1 Định nghĩa hàm tổng Định nghĩa 3.1.1 Nếu f hàm số học hàm tổng f định nghĩa N F N f n n Cho f g hai hàm xác định số thực  O g x x Big O: Ta nói f x tồn số dương M số thực x0 cho f x  Small o: Ta nói f x M g x với x x o g x x0 với tồn số dương M cho f n Nếu g x g x với n N điều kiện tương đương lim x f x g x 3.1.2 Các hàm tổng hàm số học R N , D N ,Φ N  Hàm tổng hàm Euler N  1     n           p1   p2   pn  n 1 1 k  n; k ,n 1 n 1  N N   N     n    n 1  Hàm tổng hàm Mangoldt 27 N N   N      n      d  log d ; n  n 1  n 1 dn Hàm tổng hàm dàn điểm N R N r n , r n Nói mặt hình học, R N số dàn điểm đường tròn x2 y2 N Dễ thấy độ lớn R N xấp xỉ diện tích đường tròn  Hàm tổng hàm ƣớc N D N d k k Từ d k tk , ta có xy k N D N d k k 1 k N xy k Hay D N 1 xy N  Hàm tổng hàm tổng ƣớc   n  + Với n số nguyên dương pii 1  ( N )    n    d   n 1 n 1 dn n 1 pi  N N N k Với n   pii ; pi  ; i  1; i  1, k i 1 + Đặc biệt  N  N    n  n 1,n N  n 1,n  Hàm tổng hàm   n  28 (n  1) N k N   N    (n)    i  1 n 1 n 1 i 1 k với n   pii i 1 3.2 Bậc hàm số học  Bậc hàm dàn điểm r n Định lý 3.2.1 liminf r n n Chứng minh: Ta có liminf r n n Vì r 4k lim inf r n n N lim kinf r 4k N N với k dương n ,ta có liminf n N Mặt khác, r n 0 với số nguyên Như chứng tỏ liminf n r n r n Định lý 3.2.2 r n O n với  Bậc hàm tổng R n Định lý 3.2.3 (Gauss) R N N O N Chứng minh: Chứng minh định lý cách đánh giá số điểm nguyên miền với thể tích miền a Thiết lập song ánh: để xác định R N , cần ước lượng số điểm nguyên nằm đường tròn x y2 N Đây tốn đếm, cách tiếp cận tự nhiên thiết lập song ánh Ta ý điểm nguyên ứng với góc tây nam hình vng đơn vị Như vậy, số điểm nguyên nằm đường tròn x 29 y2 N diện tích phủ hình vng đơn vị tương ứng chúng Bài toán đếm điểm nguyên trở thành tốn tính diện tích Một vài hình vng nằm ngồi hình tròn chút Một vài phần hình tròn lại khơng bị hình vng phủ Chặn trên: Vì đường chéo hình vng có độ dài b hình vng nằm đường tròn x 2 ,nên tất y2 N Vậy nên ta có R N N c Chặn dưới: Mặt khác, tất hình vng phủ đường tròn bán kính , nên ta có: N R N N với N d Ta có: N 2 R N N R N N 2N Suy ra, 2 2 N 2 N Vì ta có: R N N 2 N Nói cách khác R N N O N  Bậc hàm ước d n Định lý 3.2.4 liminf d n n 30 2 N 2 Chứng minh: ( " " n nguyên tố), Ta thấy n , d n nên liminf n d n Mặt khác, ta lại có liminf d n n lim inf d n n N lim inf d n p N N lim inf p N N N Với p số nguyên tố Vì ta kết luận liminf d n n Định lý 3.2.5.Với , tồn dãy số nguyên ni thỏa mãn d ni i log ni Định lý 3.2.6 d n o n với Chứng minh: d n n Chúng ta muốn chứng minh f n Giả sử Từ định lý 2.1.1, ta biết cần chứng minh f p m n d pm pm ( p nguyên tố, m nguyên dương) pm Ta có f p m m pm Định lý 3.2.7.Cho 2m pm log p m p m log p ,tồn N d n 2 log p m p m log cho log n log log n với n Mặt khác, tồn vô số số nguyên n cho 31 N p m d n log n log log n  Bậc hàm tổng D N Định lý 3.2.8 D N N log N O N Chứng minh: N D N Ta có d n n 1 n N xy n 1 xy N Như vậy, D N số điểm nguyên góc phần tư thứ mặt phẳng x, y mà thuộc nằm đường hyperbol xy N , không nằm trục x, y Như điểm nguyên thuộc phần mặt phẳng bên trái đường x N bên đường y N góc phần tư thứ Chúng ta đếm điểm nguyên nói theo cách sau Từ điểm xy a N đếm nguyên thuộc đường x a mà nằm hyperbol N trục x , sau cộng số điểm nguyên tất 32 đoạn x a lại Ta dễ thấy số điểm nguyên thuộc đoạn x a N Vậy ta có a N D N a Đặt N a a N (suy o a a N D N N a Vì N a a 1 a N a ), N N a a N a 1 a N Từ hệ 2.2.1 mệnh đề 2.2.1, suy D N N log N O N Định lý 3.2.9 (Dirichlet) D N N log N Với O N số Euler Chứng minh: 33 1N O N Bây đếm số điểm nguyên tương ứng với D N theo cách khác Ta nhận thấy số điểm nguyên nói hai lần số điểm nguyên ABGEO trừ số điểm nguyên FGE D N Vì ta có: 1 x N xy N N 2 1 x Đặt x N x N x D N Ta có x N x N x N x N x 2N x N N (suy N x 2N N1 y N x N 2N N x N x N ) , N x x N x x O N N N Vì x x O N , O1 N Từ hệ 2.2.1 mệnh đề 2.2.1 ta suy định lý chứng minh  Bậc hàm Euler n Định lý 3.2.10 n n limsup n Định lý 3.2.11 Với , ta có n nn , n Chứng minh: Nếu điều cần phải chứng minh hiển nhiên 34 Nếu n1 ta đặt f n n Thế f có tính nhân, theo định lý 2.1.1, ta cần chứng minh f pm p m Trên thực tế, với f pm  , ta có pm p p pm m1 m p , p m Bậc hàm tổng  N 3t Φ t Định lý 3.2.12 (Mertens) O t log t Chứng minh: Chúng ta dùng công thức nghịch đảo Mobius thứ hai (định lý 2.2.9) để viết lại công thức Φ t Tức Φt d g d với g d d t d t Φt Nếu sử dụng trực tiếp hàm Φ cơng thức g khơng đẹp 2 t Vì thay dùng Φ , ta xét hàm ψ t Chú ý, xét ý nghĩa hình học, ta có: Ф t 1 n t1 m n m ,n 1 m n t m ,n Vì Φ t cho ta có điểm nguyên có tọa độ nguyên tố nhau, nằm tam giác vuông o y nguyên hình vng x t Dễ dàng nhận thấy x t ,0 Bây giờ, ta có 35 y t t số điểm t d d t t 1 d t m t n t m ,n d m t n t Vì theo cơng thức nghịch đảo Mobius ta có t d d t d t , t Khai triển biểu thức ta t d t t d d d t2 O1 d t d 2t.O d t d Ta ước lượng số hạng vế trái  Số hạng thứ ba O O t d t  Số hạng thứ hai 2t d t d 2t.O log t O t O t log t Theo hệ 2.2.1 mệnh đề 2.2.1  Số hạng thứ Ta có d d t d d 2 d d d d t d2 Mặt khác d t d t d t du u2 t O t Ngoài n2 m m m2 kv v 36 v2 k O 1 d t Vậy n n n 1 n n Vì vậy, kết luận 3t t  Bậc hàm n Ta xét mối quan hệ O t log t n k n từ suy bậc n n từ bậc n Định lý 3.2.13 Tồn số C thỏa mãn n n n2 C , với n Chứng minh: Giả sử n ap pn p , ta có pa 1 p n pn n p a1 p pn Mặt khác, ta có n n pn p Nên ta suy bất đẳng thức thứ hai sau n n n2 Ngoài ra, pn pa 1 pn 1 p2 ,bất đẳng thức thứ suy sau 1 pa 1 pn p2 p 37 p2 C const KẾT LUẬN Khóa luận có trình bày số vấn đề hàm số học, hàm tổng bậc hàm số học Trong phần em đưa định nghĩa định lý liên quan Tuy nhiên bé nhỏ so với lượng kiến thức dồi phong phú hàm số học Khóa luận thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm giúp bạn đọc hiểu sâu số hàm số học phân mơn số học Do thời gian có hạn kinh nghiệm thân có hạn nên nhiều vấn đề khác chưa đề cập tới chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO (1) Tom M.Apostol,(1976),Introduction to Analytic Number Theory, Springer- verlag New York (2) K.Chandrasekharan,( 1968), Introdution to Analytic Number theory Springer- Verlag New york (3) Jean – Pierre Serre,(1973), A course in Anthmetic, Springger – Verlag New York (4) N.V.Lương – N.L.Sơn – N.N.Thắng – P.V.Hùng, Các giảng số học, NXB ĐHQGHN (5) Lại Đức Thịnh, Số học, NXBGD (6) Dương Quốc Việt – Đ.V.Nhỉ, Cơ sở lý thuyết số đa thức, NXB ĐHSP, 2007 39 ... lại số hàm số học như: hàm euler, hàm mobius, hàm tổng ; bên cạnh nghiên cứu hàm tổng hàm bậc hàm số học hàm tổng Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: hàm số học, hàm tổng, bậc hàm số học. .. hàm tổng bậc số hàm số học Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Nghiên cứu bậc hàm số học hàm tổng hàm số học Giả thuyết khoa học Đề tài nghiên cứu vấn đề: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Hàm số. .. khơng qui Nên ta xét hàm tổng hàm số học Việc nghiên cứu hàm tổng bậc hàm số học giúp ta hiểu rõ nét tính chất hàm ứng dụng Chính nên em chọn đề tài " Hàm số tổng bậc hàm số học" làm khóa luận