Khóa luận tốt nghiệp toán Hàm số tổng và bậc của hàm số học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN VŨ THÙY LIÊN HÀM SỐ TỔNG VÀ BẬC CỦA CÁC HÀM SỐ HOC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành Đại số HÀ NỘI-2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN VŨ THÙY LIÊN HÀM SỐ TỔNG VÀ BẢC CỦA CÁC HÀM SỐ HOC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành Đại số Ngưòi hướng dẫn khoa học Th.s. ĐỖ VĂN KIÊN HÀ NỘI - 2014 ■ Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này, em đã nhận được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy cô giáo trong tổ Đại số nói riêng và các thầy cô ừong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 nói chung. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy cô giáo, đặc biệt là Th.s Đỗ Văn Kiên người đã tận tình hướng dẫn em ttong suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận này. Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà em trình bày trong khóa luận này sẽ không tránh khỏi thiếu sót. Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên Trong quá trình nghiên cứu khóa "Hàm số tổng và bậc của các hàm số học" em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận của mình. Danh sách tài liệu tham khảo này em đã đưa vào mục tài liệu tham khảo của khóa luận. Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn tận tình của Th.s Đỗ Văn Kiên cũng như các thầy cô trong tổ Đại số. Đây là đề tài không tràng với đề tài của các tác giả khác. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN Vũ Thùy Liên LỜI CẢM ƠN Vũ Thùy Liên MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Số học luôn được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Bên cạnh việc giải đáp những bí ấn về các con số, nó còn có những ứng dụng vô cùng quan trọng trong hệ thống toán học, cũng như trong khoa học kĩ thuật, và đặc biệt là ứng dụng thông qua các hàm số học. Hàm số học là khái niệm giữ vai trò vị trí trung tâm trong khoa học toán học. Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số sẽ tăng cường tính thống nhất của môn toán phổ thông, góp phần xóa bỏ danh giới giả tạo giữa các phân môn của môn toán, giữa các phần khác nhau của chương trình. Do một số hàm số học không là chính qui. Nên ta xét hàm tổng của các hàm số học. Việc nghiên cứu hàm tổng và bậc của hàm số học giúp ta hiểu rõ nét hơn về tính chất của hàm và các ứng dụng của nó. Chính vì vậy nên em đã chọn đề tài " Hàm số tổng và bậc của các hàm số học" làm khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu: • • * s Đề tài nhằm hệ thống lại 1 số hàm số học cơ bản như: hàm euler, hàm mobius, hàm tổng ; bên cạnh đó là nghiên cứu về hàm tổng của các hàm và bậc của các hàm số học cũng như hàm tổng 3. Đổi tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: các hàm số học, hàm tổng, bậc của các hàm số học. - Phạm vi nghiên cứu: do hạn chế về thời gian cũng như năng lực của bản thân nên khóa luận này chỉ tập trung nghiên cứu về hàm tổng và bậc của 1 số hàm số học 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Nghiên cứu về bậc của các hàm số học cơ bản và hàm tổng của các hàm số học 5 5. Giả thuyết khoa học Đe tài nghiên cứu các vấn đề: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương 2. Hàm số học. Chương 2: Hàm tổng và bậc của các hàm số học. 6. Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu và phân tích các tài liệu. Hệ thống khái quát các vấn đề về điểm nguyên đã được định hướng. Tổng kết kinh nghiệm của các nhà khoa học và bản thân. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Số nguyên tố Định nghĩa 1.1.1.573 nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và không có ước tự nhiên nào khác ngoài 1 và chính nó. Tập sổ nguyên tổ kí hiệu là p Một số tự nhiên lớn hơn 1 và không phải là số nguyên tố được gọi là hợp sổ. Định nghĩa 1.1.2. Hai sổ nguyên a,b được gọi là nguyên tổ cùng nhau nấi chúng cỏ ước chung lớn nhất là phần tử khả nghịch. Kí hiệu là a,b = . 1.2. Một số tính chất của sổ nguyên tố Mệnh đề 1.2.1. Ước số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một sổ tự nhiên lớn hơn 1 là một sổ nguyên tố. Chứng minh. Giả sử a là một số tự nhiên, a > 1 và p > 1 là ước nhỏ nhất của a. Ta chứng minh p là số nguyên tố. Thật vậy, giả sử p không là số nguyên tố thì p phải là hợp số vì p Ф 1, nghĩa là nó có một ước thực sựPi,ĩ< Pi< P- Suy ra Pi cũng là ước của a (mâu thuẫn với giả thiết p là ước nhỏ nhất khác 1 của a). Vậy p phải là số nguyên tố. 6 Hệ quả 1.2.1(BỔ đề Euclid). Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều chia hết cho ít nhất một sổ nguyên tố. Mệnh đề 1.2.2. Có vô số số nguyên tổ hay tập sổ nguyên tổ là vô hạn. Chứng minh. Giả sử có hữu hạn số nguyên tố p h р ъ Pn. Xét số а = P iP 2- Pn . + 1 > 1 Suy ra, theo tính chất thì a có ít nhất một số ước nguyên tố q. Nhưng vì có hữu hạn số nguyên tố kể ttên nên q phải trùng với một ttong các số Pi, p- ъ—,Рп• Do đó q I PjP 2 —Pn• Mà q I a suy ra q I a - P!P 2 —Pn = 1 (vô lý). Vậy điều giả sử là sai. Do đó tập số nguyên tố là vô hạn. □ Mệnh đề 1.2.3. ước nhỏ nhất khác 1 của một hợp sổ n là mộtsố nguyên tố không lớn hơn л/п Chứng minh. Gọi p là ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của n. Theo tính chất 1 ta có p là số nguyên tố. Giử sử n = pq, khi đó do n là hợp số nên пФр, suy ra q > 1. Vậy q cũng là một ước lớn hơn 1 của n. Theo giả thiết ta có p < q => p 2 < p.q = n. Từ đó ta được p < 4n . Vậy định lý được chứng minh. Hệ quả 1.2.2. Neu số tự nhiên а > 1 không có ước nguyên tổ nào trong khoảng từ 1 đến Vã thì a là số nguyên tố. Mệnh đề 1.2.4. Cho p là số nguyên tố. Khi đó mọi số tự nhiên a thíp I a hoặc (iа, p) = 1 . Chứng minh. Gọi d = (a , p) => d I p. Mà p là số nguyên tố nên hoặc d = 1 hoặc d = p. + Nếu d = 1 thì (а, p) = 1. 7 + Nếu d = p ứủ p \ а. а Vậy định lý được chứng minh. Mệnh đề 1.2.5. Cho p là số nguyên tố và aj, Ü 2 , , a n là các số tự nhiên. Khi đó nếup I aia 2 a n thì tồn tại i e {ỉ, 2, , n} đểp I ữị Chứng minh. Neu p không là ước của dị với mọi ỉ = \,n ứiì ứieo mệnh đề 1.1.4 ta có (a p p) = 1, với mọi i = l,n. Suy ra ịa 1 a 2 a n , p) = 1. Điều này mâu thuẫn với giả thiếtp I aia 2 a n . Vậy tồn tại i G {1,2, л} đểp I dị. Hệ quả 1.2.3. Neu số nguyên tố p chia hết tích của nhiều sổ nguyên tố thì nó phải trùng với một trong các sổ nguyên tố đó. 1.3. Dạng phân tích tiêu chuẩn Định lý 1.3.1 (Định lý cơ bản của số học). Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất không kể thứ tự các thừa sổ. Chứng minh • Sự phân tích được: Giả sử a là một số tự nhiên lớn hơn 1 thế thì a phải có một ước nguyên tố p l và ta có а— < < . Nếu a, = thì a, = và là sự phân tích của а. Nếu a, > thì có ước nguyên tố p 2 và ta cóa, = Nếu a 2 — thì а — và là sự phân tích của а. Nếu a 2 > thìữ 2 có ước nguyên tố p 3 và ta có a 2 = Tiếp tục xét a 3 , Quá trình này phải kết thúc vì ta có а > > > nên sau hữu hạn bước sẽ 8 có а — và ta được a= 'là dạng phân tích của a thành tích các thừa số nguyên tố. • Tính duy nhất Giả sử a có phân tích а = = 6 p = =Khiđó có P 1 1 Suy ra P 1 trùng với một trong các thừa số q nào đó giả sử là g,. Vậy Pi - . giản ước Pl ta được p 2 p 3 p n = Lập luận tương tự như trên với p 2 ,p 3 , cho tới khi giản ước hết các thừa số ở Л,___A một vê. Vì p.,qÆp = = nên không thể xảy ra đẳng thức 1 = hoặc p + - = nên suy ra m— và p = V = Định nghĩa 1.3.1. Trong sự phân tích số tự nhiên a thành tích các thừa số nguyên tố. Gọi p Ị ,p 2 , ,p k là các số nguyên tố đôi một khác nhau có mặt trong sự phân tích của a với các bội tương ứng a a a a > = thì ta được a= > = Ep hay viết а = п • Dạng phân tích trên gọi là sự phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên а. Định lý 1.3.2 (Tiêu chuẩn chia hết). Cho a là một sổ tự nhiên với dạng phân tích tiêu chuẩn là а = . И 1 . Một sổ tự nhiên d là ước của a khi và chỉ khi nó có dạng а — .yl với0 < < Chứng minh • Điều kiện cần 9 Giả sử a chia hết cho d khi đó có q sao cho а = . Đẳng thức này chứng tỏ mọi ước nguyên tố của d đều là ước nguyên tố của a và số mũ của nó trong dạng phân tích tiêu chuẩn của d không lớn hơn số mũ của nó ữong dạng phân tích tiêu chuẩn của а, ta được kết quả càn chứng minh. • Điều kiện đủ Giả sử a và d thỏa mãn điều kiện của định lý khi đó ta được а — với q = ^ ” suy ra q<E N. Vậy d là ước của ữ. 1.4. Hệ thặng dư modun m 1.4.1. Vành các lớp thặng dư môđun m Cho tập thương z z các lớp ứiặng dư môđun m. Trên tập z ta trang bị hai phép toán như sau: ã + b :=a + b và ãb:=ab với mọi e z Khi đó z cùng với hai phép toán này lập ứiành một vành giao hoán có đơn vị 1, phần tử không 0. Định nghĩa 1.4.1. Cho một sổ nguyên dương m. Khi đó vành ъ cùng với hai phép toán cộng và nhân các lớp thặng dư môđun m, được gọi là vành các lớp thặng dư môđun m. Lớp ÃeZ được gọi là một lớp khả nghịch nếu tồn tại b để ãb =1. Mệnh đề 1.4.1. Lớp ãeZ là khả nghịch khi và chỉ khỉ {a,nì) = 1 Chứng minh. ãeZ là một lớp khả nghịch khi và chỉ khỉ tằn tại b để ăb = 1 hay ab = 1. Điều này tương đương với tồn tại b e z để ab = l(modm) hay tồn tại ez rà xgZ để ab + mx — 1. Vậy ãe2 khả nghịch khi và chỉ khỉ (a,m) = 1. Kí hiệu z là tập các phần tử khả nghịch của z . Mệnh đề 1.4.2. ъ là một nhóm giao hoán có cấp là Ф(m). 1 0 [...]... số ĨĨ1Ũ (fì,/32, ,/3k)ESai+vSa2+v Sak+1=S với Sữi+Ĩ là đoạn +1 số tự nhiên đầu tiên 214 Do đó các ước của n bằng số các phần tử của tập s 215 Từ đó ta có r(n) = Cartí? (í) = ]^[(«, +1) 216 i=1 217 Chương 3 Hàm tồng và bậc của các hàm số học 3.1 Hàm tổng 3.1.1 Định nghĩa hàm tổng 218 Định nghĩa 3.1.1 Nếu f là một hàm số học thì hàm tổng của f được định nghĩa ỉ à 219 220 F N = J2 Cho f và g là hai hàm. .. 10« = 2.2.6 Hàm ước d n 93 Hàm số học d n cho biết ước dương của sổ nguyên dương n 94 Công thức tính: d n —Ỵị 95 Định lý 2.2.12 Hàm ước d n là hàm nhân tính Chứng minh: 96 Ta dễ dàng thấy d 1 = Và nếu m,n — , khi đó ước số của tích sốmn là 97 số chia của m, và là ước của n 98 Ngược lại, mọi tích số là số chia của mn 99 100 Do đó d mn =n Vậy hàm d n là hàm nhân tính Định lý 2.2.13 Neu n> và có dạng... 234 • Hàm tổng của hàm Mangoldt Pi P2 1-p, 235 A(AT)=£;i(n)=££//(d)iogd ’ п ^ 1 236 n=1 n=1 d\n • Hàm tổng của hàm dàn điểm 237 Nói về mặt hình học, R N là so dàn điểm trong và trên đường tròn X 2 + 238 = 239 • RN=£ De thấy rằng độ lớn của R N xấp xỉ bằng diện tích của đường tròn đó Hàm tổng của hàm ước 240 241 D N = ■£ Tử d к =Ỵ2 X] , ta có 242 243 D N =z ЕЕ Hay 244 • DN=£ Hàm tổng của hàm tổng các... gọn Khi đó thặng dư dương bé nhất của hệ này sẽ là tập hợp rvr2, , г sắp xếp theo 1 thứ tự nào đó 1 2 Chương 2 Hàm số học 2.1 Khái niệm hàm sổ học Định nghĩa 2.1.1 Một hàm sổ học là một ánh xạ từ tập các số nguyên dương đến tập các sổ phức Ví dụ 2.1.1 Hàm f n — + € N là mộthàm s học Định nghĩa 2.1.2 Một hàm số học f khác không được gọi là hàm nhân tính nếu với mọi số nguyên dương m,n nguyên tổ cùng... nói f X — khi X ^ O Q khi và chỉ tồn tại hằng số 221 dương M và số thực xữ sao cho 222 223 \f X \ < • Small o: Ta nói f X e tồn tại 226 khi X —•> oo khi và chỉ khi với hằng số dương M sao cho 224 f n < 225 I với mọi X > mọi e > với mọi n > 227 228 Nếu g X ^ thì điều kiện trên tương đương 229 lin,^ = 230 x-^oo 3.1.2 Các hàm tổng của các hàm số học R N ,D N ,0 N • Hàm tổng của hàm Euler 231 N 232 = 1=... Từ d n là hàm nhân tính ta có 104 105 106 dn Ước dương duy nhất của pa' là a + , các số nguyên l,p ,p2, ,pa' Do đó 107 dn 108 Hàm ước d n có thể được giải thích về mặt hình học Ước dương của n bằng số các nghiệm của xy = , trong đó X, y là các số nguyên dương 109Do đó d n là số dàn điểm X, y trong góc phàn tư phía trên bên phải của mặt phẳng x,y , và nằm trên hyperbol xy = 2.2.7 110 Hàm tổng các ướcơ... nguyên tố thì ơ = + ЕЕ E 124 Một số vấn đề toán cố điển liên quan đến hàm tổng các ước ơ là vấn đề số 125 126 127 hoàn hảo Ta có định nghĩa số hoàn hảo: Định nghĩa 2.2.6 Một số nguyên dương n ^ được gọi là số hoàn hảo nếu ơ = ; hay nói cách khác n bằng tổng các ước dương mà nhỏ hơn n 128 Số hoàn hảo có liên quan chặt chẽ với số Mersenne 129 Ví dụ 2.2.6 Các số 6,28 là các số hoàn hảo vì 130 ơ =+ + + ==... 2.2.1 Hàm Euler tp là một hàm sổ học cho bởi công thức ¥> = E 1S s Tức là (fi biểu thị số các sổ nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n 1 5 Ví dụ 2.2.1.TÙ định nghĩa hàm Euler ta có: Từ định nghĩa trên ta có hệ quả trực tiếp Hệ quả 2.2.1 Với số nguyên tố p ta có (f =— Định lý 2.2.1 Hàm Euler là hàm nhân tính Chứng minh: Ta thấy là hàm số không đồng nhất không Giả sử m,n là 2 số dương... vô số các số nguyên tố có dạng 2" — không Thậm chí chúng ta còn chưa biết liệu có tồn tại số hoàn hảo lẻ hay không 2.2.8 181 Hàm ơ Định nghĩa 2.2.8 Hàm ơ NN được định nghĩa bởi 182 ơ =Ẹ k 183 184 Ví dụ 2.2.8 Hàm ơ =2] 186 -I Chú ý, ơ = và ơ 185 = 187 189 Công thức tính: = Y\ X 188 1 ỉ Định lý 2.2.18 Hàm số học ơ là hàm nhân tính 190 Định lý 2.2.19 Nếu n = nthì ta 191 n 192 Chứng minh: 193 Vì ơ là hàm. .. 82 k và 83 84 -Ẹ 85 86 k= _l Từ I n logn = cho tất cả n định lý hoàn toàn được chứng minh 2.2.5 Hàm điểm nguyên r n 87 Định nghĩa 2.2.4 (Hàm điểm nguyên trên đường tròn r n ) Với mọi số 88 nguyên dương n > , hàm sổ học r n cho ta sổ các cách biểu diễn n dưới dạng tổng của hai bình phương của số nguyên Nói cách khác: 89 90 91 92 Ta thấy rằng r n không là hàm nhân tính Ví dụ 2.2.4 Từ định nghĩa hàm điểm . phân môn của môn toán, giữa các phần khác nhau của chương trình. Do một số hàm số học không là chính qui. Nên ta xét hàm tổng của các hàm số học. Việc nghiên cứu hàm tổng và bậc của hàm số học giúp. tài nhằm hệ thống lại 1 số hàm số học cơ bản như: hàm euler, hàm mobius, hàm tổng ; bên cạnh đó là nghiên cứu về hàm tổng của các hàm và bậc của các hàm số học cũng như hàm tổng 3. Đổi tượng, phạm. tổng và bậc của 1 số hàm số học 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Nghiên cứu về bậc của các hàm số học cơ bản và hàm tổng của các hàm số học 5 5. Giả thuyết khoa học Đe tài nghiên