Điểm hữu tỉ trên đường cong bậc hai, đường cong bậc ba : Khóa luận tốt nghiệp toán học

Điểm hữu tỉ trên đường cong bậc hai, đường cong bậc ba.

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN VĂN THÀNH ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC HAI VÀ ĐƯỜNG CONG BẬC BA KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP BỘ MƠN: ĐẠI SỐ GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS TS NGUYỄN CHÁNH TÚ HUẾ, THÁNG 5-2011 LỜI CẢM ƠN Với tất lịng kính trọng tơi xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo, PGS.TS Nguyễn Chánh Tú, người hướng dẫn tơi hồn thành khóa luận Qua tơi xin gửi lòng biết ơn sâu sắc đến q thầy khoa Tốn Trường Đại Học Sư Phạm Huế, người dạy dỗ suốt năm học vừa qua Cuối cùng, gửi trân trọng biết ơn đến tất người thân, bạn bè quan tâm, động viên, giúp đỡ cho tơi suốt q trình học tập vừa qua Tác giả i MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC iii KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 3 1.1.1 1.1.2 Nhóm aben hữu hạn sinh 1.1.3 Đồng cấu nhóm ĐƯỜNG CONG PHẲNG 1.2.1 Giới thiệu đường cong phẳng 1.2.2 1.2 NHÓM VÀ ĐỒNG CẤU NHÓM Định lý Bezout Định nghĩa nhóm ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC HAI 2.1 PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT ĐỂ TÌM ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONIC 2.1.1 Điểm hữu tỉ đường thẳng 2.1.2 2.2 Điểm hữu tỉ đường conic ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG CONIC TỒN TẠI ĐIỂM HỮU TỈ 2.2.1 2.2.2 2.3 Bài toán Định lý Legendre BỘ BA PITAGO 10 2.3.1 Định nghĩa ba Pitago 10 2.3.2 Điểm hữu tỉ đường tròn đơn vị 10 2.3.3 Công thức biểu diễn ba Pitago 11 ii ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC BA 3.1 16 PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ TÌM ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC BA 3.2 16 CẤU TRÚC NHÓM CỦA CÁC ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC BA KHƠNG CĨ ĐIỂM KỲ DỊ 3.2.1 Điểm kỳ dị trên đường cong 18 3.2.2 3.3 18 Cấu trúc nhóm đường bậc ba khơng có điểm kỳ dị 18 ĐƯỜNG CONG BẬC BA CHO DƯỚI DẠNG CÔNG THỨC WEIERSTRASS 3.3.1 Định nghĩa 21 3.3.2 3.4 21 Định lý 22 PHÂN LOẠI ĐƯỜNG CONG BẬC BA 22 3.4.1 22 3.4.2 3.5 Định nghĩa loại đường cong bậc ba Ý nghĩa hình học 23 ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC BA KỲ DỊ 24 3.5.1 3.5.2 3.6 Phương pháp tìm điểm hữu tỉ đường cong bậc ba kỳ dị 24 Nhóm điểm hữu tỉ đường cong bậc ba kỳ dị 25 ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC 29 3.6.1 29 3.6.2 Cơng thức tính tọa độ "tổng" hai điểm 30 3.6.3 3.7 Nhóm điểm hữu tỉ đường cong elliptic Định lí Mordell 32 NHÓM CON XOẮN CỦA E (Q) 33 3.7.1 33 3.7.2 Nhóm xoắn E (Q) 35 3.7.3 3.8 Bậc điểm Đường cong (E) có phương trình y = x3 + ax y = x3 + a 37 ĐỊNH LÍ FERMAT TRONG TRƯỜNG HỢP N = 3, N = 39 3.8.1 39 3.8.2 3.9 Định lý Fermat trường hợp n = Định lý Fermat trường hợp n = 41 SỐ ĐỒNG DẠNG 42 iii MỞ ĐẦU Chúng ta biết phương trình a2 + b2 = c2 , phương trình có xuất xứ từ hình học, ta biết cạnh tam giác vuông nghiệm phương trình Vấn đề đặt tìm tất nghiệm ngun phương trình Ta xét nghiệm khơng tầm thường phương trình này, tức nghiệm (a, b, c) = (0, 0, 0) Khi phương trình viết lại sau b a a2 + b2 = c2 ⇔ ( )2 + ( )2 = c c Như vấn đề tương đương với việc tìm tất điểm hữu tỉ đường tròn đơn vị Một cách tổng quát việc tìm tất điểm hữu tỉ đường cong bậc hai Chúng ta nghe qua định lý Fermat, định lý phát biểu phương trình X n + Y n = Z n khơng có nghiệm nguyên X, Y, Z khác tất với n > Ta xét định lý Fermat trường hợp n = 3, tức phương trình X + Y = Z khơng có nghiệm ngun X, Y, Z khác tất Với X, Y, Z khác tất phương trình viết lại sau X3 + Y = Z3 ⇔ ( Y X ) + ( )3 = Z Z Việc chứng minh định lý Fermat trường hợp tương đương với việc đường cong x3 + y = có điểm hữu tỉ (1, 0), (0, 1) Từ đặt vấn đề tìm tất điểm hữu tỉ đường cong bậc ba này, tổng quát cho đường cong bậc ba Vì vấn đề tìm điểm hữu tỉ đường cong bậc hai bậc ba có nhiều ứng dụng mặt số học, thêm việc nghiên cứu điểm hữu tỉ đường cong mang đến nhiều điều thú vị bất ngờ, kết hợp nhiều mảng toán học bao gồm số học, hình học đại số Được hướng dẫn thầy giáo, PGS TS Nguyễn Chánh Tú định chọn đề tài: Điểm hữu tỉ đường cong bậc hai đường cong bậc ba để khảo sát Mục tiêu khóa luận tìm tất điểm hữu tỉ đường cong bâc hai, đường cong bậc ba nêu số ứng dụng việc làm Nội dung khóa luận chia làm chương Chương 1: Trình bày số kiến thức chuẩn bị bao gồm kiến thức chuẩn bị bao gồm kiến thức nhóm, đồng cấu nhóm, nhóm abel hữu hạn sinh, giới thiệu đường cong phẳng, định lý Bezout Chương 2: Trình bày phương pháp để tìm điểm hữu tỉ đường cong bậc hai, điều kiện để đường cong bậc hai tồn điểm hữu tỉ, đưa công thức biểu diễn ba Pitago nêu số ứng dụng công thức ba Pitago Chương 3: Trình bày phương pháp chung để tìm điểm hữu tỉ đường cong bậc ba cho dạng tổng quát, không dừng lại cịn xây dựng cấu trúc nhóm điểm hữu tỉ đường cong bậc ba khơng có điểm kỳ dị Ở chương làm việc với đường cong bậc ba mà có điểm hữu tỉ nó, đường cong đưa dạng Weierstrass, tức y = P (x), với P (x) đa thức bậc ba hữu tỉ Vì sau ta làm việc với đường cong bậc ba có dạng Weierstrass Tiếp đến ta chia đường cong bậc ba làm loại, đường cong bậc ba kỳ dị đường cong elliptic, ta tìm cơng thức tính tọa độ điểm hữu tỉ xây dựng mơ tả cấu trúc nhóm điểm hữu tỉ hai loại đường cong Cuối nêu số ứng dụng, chứng minh định lý Fermat với n = 3, n = nêu số vấn đề số đồng dạng Tuy có nhiều cố gắng hạn chế thời gian khả thân nên khóa luận khơng tránh khỏi sai sót Rất mong quý Thầy Cô bạn quan tâm góp ý Tơi xin chân thành cảm ơn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 NHÓM VÀ ĐỒNG CẤU NHĨM 1.1.1 Định nghĩa nhóm Định nghĩa 1.1.1 Một nhóm cặp (G, +), G tập khơng rỗng (+) phép tốn G thỏa mãn điều kiện sau đây: i, G ổn định với phép toán (+), tức x, y ∈ G x + y ∈ G ii, Phép tốn (+) có tính kết hợp, nghĩa với x, y, z ∈ G (x + y ) + z = x + (y + z ) iii, Có phần tử ∈ G gọi phần tử trung hịa, có tính chất x + = + x = x, với x thuộc G iv, Với x ∈ G có phần tử x ∈ G gọi phần tử đối x cho x + x = x + x = 1.1.2 Nhóm aben hữu hạn sinh Định nghĩa 1.1.2 Nhóm G gọi nhóm aben hữu hạn sinh G nhóm aben có tập sinh hữu hạn Định nghĩa 1.1.3 Nhóm G gọi khơng xoắn phần tử trung hịa G phần tử G có cấp hữu hạn Định lí 1.1.1 ([5, tr 81]) Một nhóm aben hữu hạn sinh không xoắn nhóm aben tự do, tức đẳng cấu với tích số hữu hạn nhóm xyclic Z Phần chứng minh tham khảo tài liệu [5, tr 81] Định lí 1.1.2 ([5, tr 88]) Một nhóm aben hữu hạn sinh phân tích thành tổng trực tiếp nhóm khơng xoắn nhóm hữu hạn Chúng ta tham khảo phần chứng minh tài liệu [5, tr 88] 1.1.3 Đồng cấu nhóm Định nghĩa 1.1.4 Cho (G, +) (G, ∗) nhóm Một ánh xạ ϕ : G → G gọi đồng cấu nhóm ϕ(x + y ) = ϕ(x) ∗ ϕ(y ), với x, y ∈ G Nếu ϕ song ánh đồng cấu nhóm ϕ đẳng cấu nhóm từ G lên G 1.2 ĐƯỜNG CONG PHẲNG 1.2.1 Giới thiệu đường cong phẳng Chúng làm việc với đường cong phẳng có dạng f (x, y ) = 0, với f (x, y ) ∈ Q[x, y ] Chúng làm việc với đường cong mặt phẳng R2 Bậc đường cong bậc đa thức f Định nghĩa 1.2.1 Đường cong bậc (hay đường thẳng hữu tỉ) có phương trình dạng ax + by + c = với a, b, c số hữu tỉ cho trước a, b khơng đồng thời Định nghĩa 1.2.2 Đường cong bậc hai (hay đường conic) có phương trình dạng ax2 + bxy + cy + dx + ey + f = với a, b, c, d, e, f số hữu tỉ cho trước a, b, c không đồng thời Định nghĩa 1.2.3 Đường cong bậc ba (hay đường cubic) có phương trình dạng a1 x3 + a2 x2 y + a3 xy + a4 y + a5 x2 + a6 xy + a7 y + a8 x + a9 y + a10 = Với số hữu tỉ cho trước, a1 , a2 , a3 , a4 không đồng thời 1.2.2 Định lý Bezout Định lý cho ta biết số giao điểm hai đường cong phẳng, trước phát biểu định lý ta xem ví dụ sau Ví dụ 1.2.1 Cho đường cong có phương trình xy = (x2 + y )y = 0, hai đường cong có chứa thành phần chung đường cong y = 0, có vơ số giao điểm chung Vậy ta tìm số giao điểm hai đường cong khơng có thành phần chung Đường cong x − = đường cong x2 + y = có cắt điểm hai điểm có tọa độ phức Đường thẳng y − = đường thẳng y − = có giao điểm mặt phẳng xạ ảnh P , đường thẳng y − = y − = gặp điểm đường thẳng vô Vậy ta phải chấp nhận giao điểm có tọa độ phức giao điểm vơ Định lí 1.2.1 ([2, tr 237]) Cho X, Y hai đường cong phẳng có bậc m n mặt phẳng xạ ảnh trường số phức Nếu X, Y khơng có thành phần chung số giao điểm X, Y mn Đây định lý đường cong phẳng, phần chứng minh định lý khó, tham khảo tài liệu [2, tr 237] Chú ý: Dựa vào định lý ta thấy đường cong bậc ba khơng có thành phần chung có giao điểm, nhờ vào điều ta đưa định lý sau Định lí 1.2.2 ([2, tr 16]) Gọi C, C1 , C2 ba đường cong bậc ba, C qua giao điểm C1 C2 C qua giao điểm thứ C1 C2 Phần chứng minh tham khảo [2, tr 16] Chương ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC HAI 2.1 PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT ĐỂ TÌM ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONIC 2.1.1 Điểm hữu tỉ đường thẳng Chúng ta bắt đầu với việc tìm điểm hữu tỉ đường thẳng có phương trình dạng ax + by + c = Khơng tính tổng qt ta giả sử b = 0, tập điểm hữu tỉ đường thẳng a c E = {(x, − x − ), x ∈ Q} b b Ta dễ dàng mô tả tập điểm hữu tỉ đường thẳng 2.1.2 Điểm hữu tỉ đường conic Cho đường conic (C ) có phương trình ax2 + bxy + cy + dx + ey + f = Vấn đề đặt liệu có tồn điểm hữu tỉ đường conic có tìm cách Giả sử tồn điểm hữu tỉ O đường conic này, ta thực phép chiếu điểm đường conic lên đường thẳng Ta biết tập điểm hữu tỉ đường thẳng (d), ta lấy điểm hữu tỉ E (d), đường thẳng OE cắt conic điểm F , ta có F điểm hữu tỉ C Thật đường thẳng OE qua điểm hữu tỉ nên đường Đường thẳng qua điểm P, Q y = x + nên λ = 1, µ = Suy x3 = λ2 − a − x1 − x2 = −1, y3 = λx3 + µ = Vậy P + Q(−1, −4) Chú ý: Để tính tọa độ điểm 2P ta xác định λ sau: λ = P (x) 2y Ví dụ 3.6.2 Cho đường cong (E ): y = x3 + 17 có điểm hữu tỉ P (−2, 3) ta tính tọa độ 2P Ta có λ= P (−2) = 2, µ = − 2.(−2) = Thay vào 3.8.1 ta tìm −2P (8, 23) Suy 2P (8, −23) Chú ý: Ta thiết lập cơng thức tổng qt để tính hồnh độ điểm 2(x, y ) sau Hoành độ 2(x, y ) = x4 − 2bx2 − 8cx + b2 − 4ac 4x3 + 4ax2 + 4bx + 4c Phương trình có dạng y = x3 + c, c ∈ Z gọi phương trình Bachet [1, tr 43], tính tốn rút gọn ta cơng thức tính tọa độ điểm 2(x, y ) sau x4 − 8cx −x6 − 20cx3 + 8c2 2(x, y ) = ( , ) 4y 8y Công thức gọi cơng thức nhân đơi 3.6.3 Định lí Mordell Định lí 3.6.1 ([2, tr 88]) Nhóm điểm hữu tỉ đường cong elliptic (E (Q), +) nhóm aben hữu hạn sinh Việc chứng minh địi hỏi phải xây dựng nhiều lý thuyết tốn có liên quan, ta khơng đề cập phần chứng minh đây, tham khảo phần chứng minh tài liệu [2, tr 83] Như theo định lí nhóm điểm hữu tỉ đường cong elliptic E (Q) có tập sinh hữu hạn Nghĩa điểm hữu tỉ đường cong nhận từ tập hữu hạn điểm hữu tỉ cách sử dụng tổ hợp giao tuyến tiếp tuyến Như nhóm điểm hữu tỉ đường cong elliptic hồn tồn khác với nhóm điểm hữu tỉ đường cong bậc ba kỳ dị 32 Vấn đề cần điểm hữu tỉ để xây dựng tất điểm hữu tỉ Vì E (Q) nhóm aben hữu hạn sinh nên tổng trực tiếp nhóm hữu hạn nhóm aben tự hữu hạn sinh, hạng nhóm aben tự hữu hạn sinh gọi hạng đường cong elliptic Tất điểm có bậc hữu hạn E (Q) lập thành nhóm TorsE (Q) gọi nhóm xoắn E (Q) Khi E (Q) tổng trực tiếp TorsE (Q), với nhóm điểm có bậc vơ hạn Nhóm điểm có bậc vơ hạn nhóm hữu hạn sinh nên đẳng cấu với Zr , với r gọi hạng đường cong elliptic số ngun khơng âm Ta có E (Q) ≡ TorsE (Q) Zr Ta có định lý (3.7.1) cho phép tìm điểm có bậc hữu hạn E (Q) từ tìm TorsE (Q), cịn vấn đề tìm hạng đường cong vấn đề khó mà ta khơng đề cập Nếu đường cong có hạng E (Q) nhóm hữu hạn, hạng khác E (Q) có vơ hạn phần tử 3.7 3.7.1 NHĨM CON XOẮN CỦA E(Q) Bậc điểm Định nghĩa 3.7.1 Một điểm P thuộc E (Q) có bậc số nguyên dương n nP = O n số nguyên dương nhỏ thỏa mãn điều Một điểm có bậc n gọi điểm có bậc hữu hạn, ngược lại gọi điểm có bậc vơ hạn 1 Ví dụ 3.7.1 Cho đường cong elliptic có phương trình y = x3 + x2 − x + 4 Điểm P (1, 1) ∈ E (Q), ta tìm bậc điểm P Đường thẳng tiếp xúc với đường 1 cong điểm P cắt đường cong điểm (0, − ) = −(0, ), 2P (0, ) 2 Đường thẳng qua điểm P 2P cắt đường cong điểm (−1, 0) = −(−1, 0), 3P (−1, 0) Vì điểm (−1, 0) có bậc hai nên O = 2(−1, 0) = 2.3P = 6P Ta có 1 4P = −2P = −(0, ) = (0, − ), 5P = −P = −(1, 1) = (1, −1) 2 33 Hình 3.14: Điểm có bậc Vậy P điểm có bậc điểm O, P, 2P, 3P, 4P, 5P lập thành nhóm xyclic bậc E (Q) Hình 3.15: Điểm có bậc Ví dụ 3.7.2 Cho đường cong elliptic có phương trình y = x3 − x2 + , P (1, ) ∈ E (Q), ta tìm bậc điểm P Đường thẳng tiếp xúc với đường cong P cắt đường cong điểm (0, − ), điểm 2P (0, ) Đường thẳng qua điểm P 2P cắt đường cong 1 điểm (0, ), 3P (0, − ) Vậy 3P = −2P nên 5P = O 2 Vậy P điểm có bậc 5, sinh nhóm cyclic bậc E (Q) 34 3.7.2 Nhóm xoắn E (Q) Định lí Nagell-Lutz Cho đường cong elliptic có phương trình y = x3 + ax2 + bx + c Bằng cách đặt X = d2 x, Y = d2 y (với d số nguyên khác 0) phương trình trở thành ( X X X Y ) = ( )3 + a( )2 + b ( ) + c d3 d d d ⇔Y = X + ad2 X + bd4 X + d6 c Chọn số nguyên d đủ lớn để ad2 , bd4 , d6 c số nguyên Do ta cần làm việc với đường cong elliptic có dạng y = x3 + ax2 + bx + c với a, b, c hệ số nguyên Định lí 3.7.1 ([2, tr 56]) Cho đường cong elliptic có phương trình y = P (x) = x3 + ax2 + bx + c = với hệ số a, b, c nguyên D biệt thức đa thức bậc ba P (x) D = −4a3 c + a2 b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 Điểm hữu tỉ (x, y ) có bậc hữu hạn Khi x, y nguyên y = y chia hết D Phần chứng minh định lý dài phải xây dựng lý thuyết liên quan ta khơng đề cập đến Có thể tham khảo phần chứng minh tài liệu [2, tr 56] Chú ý: Định lí Nagell-Lutz khơng phải phát biểu "nếu nếu" nghĩa điểm (x, y ) có tọa độ ngun y chia hết D khơng điểm có bậc hữu hạn Định lí Nagell-lutz sử dụng để liệt kê tất điểm có bậc hữu hạn khơng sử dụng để chứng minh xem điểm có bậc hữu hạn khơng Để chứng minh điểm hữu hạn ta cần có số nguyên n > để nP = Định lí Nagell-Lutz cịn sử dụng để chứng minh điểm có bậc vơ hạn, ý tưởng tính điểm P, 2P, 3P nP mà tọa độ khơng cịn ngun suy điểm P có bậc vơ hạn Ví dụ 3.7.3 Cho đường cong (E ) có phương trình y = x3 + 4x2 + 16 Ta có P (0, 4) ∈ E (Q), ta chứng minh P điểm có bậc vơ hạn Ta tính 2P (−4, −4), −3P (4, 12), 3P (4, −12), 4P (8, 28), 5P (−3, 5), −6P (−0.89, 4.3) 35 Theo định lí Nagell-Lutz điểm P có bậc vơ hạn Ví dụ 3.7.4 Tìm điểm hữu tỉ có bậc hữu hạn đường cong (E ) cho phương trình sau y = x3 − x2 + x Ta có D = −3 nên điểm P (x, y ) có bậc hữu hạn x, y số nguyên y = y chia hết -3 Với y = ta có điểm (0, 0) điểm có bậc hai Vì y chia hết D y số nguyên nên y = ±1, y = ±3 Với y = ±1 vào phương trình đường cong ta x3 − x2 + x − = 0, phương trình có nghiệm ngun x = Như ta có điểm (1, −1), (1, 1) Với y = ±3 vào phương trình đường cong ta x3 − x2 + x − = Ta thấy nghiệm hữu tỉ phương trình có ngun chia hết -9 Ta kiểm tra số ±1, ±3, ±9 khơng phải nghiệm phương trình Như ngồi điểm (0, 0) có bậc hai điểm có bậc hữu hạn đường cong elliptic (1, 1), (1, −1) Dễ dàng kiểm tra 2(1, 1) = (0, 0) điểm (1, 1) có bậc 4, tức 4(1, 1) = O Suy 3(1, 1) = −(1, 1) = (1, −1) Vậy TorsE (Q) = {O, (0, 0), (1, 1), (1, −1)} Việc tìm nhóm xoắn E (Q) phải tính tốn vất vả, cho ta định lý giúp tìm nhóm xoắn E (Q) cách ngắn gọn Định lí Mazur Định lí 3.7.2 ([2, tr 58]) Giả sử E (Q) chứa điểm hữu tỉ có bậc hữu hạn m Khi ≤ m ≤ 10 m = 12 Một cách rõ ràng hơn, nhóm xoắn E (Q) hai dạng sau i, Một nhóm cyclic có bậc N với ≤ N ≤ 10 N = 12 ii, Tích nhóm cyclic có bậc nhóm cyclic có bậc 2N với ≤ N ≤ Chúng ta tham khảo phần chứng minh tài liệu [7, tr 306] 36 3.7.3 Đường cong (E) có phương trình y = x3 + ax y = x3 + a Cho đường cong elliptic có phương trình y = x3 + ax, với a số hữu tỉ khác Đặt x = d2 X, y = d3 Y (với d số hữu tỉ khác 0) phương trình trở thành d6 Y = d6 X + ad2 X = d6 (X + a X ) d4 a số nguyên, a có d4 thể phân tích thành lũy thừa có bậc lớn số nguyên Như vậy, ta chọn d hệ số đó, ta đưa số a lũy thừa có bậc nhỏ số nguyên Do vậy, ta cần làm việc với đường cong y = x3 + ax với a số ngun khác a khơng thể phân tích thành lũy thừa có bậc lớn số nguyên Cho đường cong elliptic có phương trình y = x3 + a, với a số hữu tỉ khác Bằng cách đổi biến tương tự ta thu phương trình d6 Y = d6 X + a = d6 (X + a ) d6 a nguyên, a d6 phân tích thành lũy thừa có bậc lớn số nguyên Như ta chọn d hệ số ta đưa số a lũy thừa có bậc nhỏ số nguyên Do ta cần làm việc với đường cong y = x3 + a với a số nguyên khác a khơng thể phân tích thành lũy thừa có bậc lớn số nguyên Ví dụ 3.7.5 Tìm nhóm xoắn điểm hữu tỉ đường cong (E ) có phương trình cho y = x3 + 26 x Đặt x = 22 X, y = 23 Y , phương trình trở thành 26 Y = 26 X + 26 22 X ⇔ Y = X + 4X Đường cong (E’) tồn điểm bậc (0, 0) Ta tìm điểm có bậc 4, tức điểm (X, Y ) nghiệm phương trình 2(X, Y ) = (0, 0) = −(0, 0) Giả sử đường thẳng qua điểm (0, 0) có phương trình Y = λX Hồnh độ giao điểm đường thẳng đường cong nghiệm phương trình (λX )2 = X + 4X 37 Để đường thẳng tiếp xúc với đường cong phương trình X − λ2 X + = có nghiệm kép, tức ∆ = (−λ2 )2 − 4.4 = ⇔ λ = ±2 Với λ = ta có điểm (2, 4) Với λ = −2 ta có điểm (2, −4) Ta có hai điểm có bậc (2, 4), (2, −4) Dễ thấy, không tồn điểm hữu tỉ có bậc phương trình 2(X, Y ) = (2, 4) 2(X, Y ) = (2, −4) khơng có nghiệm (X, Y ) Ta chứng minh đường cong không tồn điểm hữu tỉ có bậc Thật giả sử tồn điểm hữu tỉ P có bậc 3, 3P = O ⇔ −2P = P Gọi Y = λX + β đường thẳng tiếp xúc với đường cong P Vì −2P = P nên đường thẳng gặp đường cong thêm hai lần P (P điểm uốn đường cong) Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình (λX + β )2 = X + 4X ⇔ X − λ2 X + (4 − 2λβ )X − β = Gọi r hoành độ điểm P phương trình viết lại sau X − λ2 X + (4 − 2λβ )X − β = (X − r)3 λ6 Đồng hệ số vế phương trình ta có 3r = λ , r = β suy β = , 27 3r2 = − 2βλ ⇔ 3( 2 λ4 λ4 ) = − 2( √ ) 3 Không tồn số hữu tỉ λ thỏa phương trình Vậy khơng tồn điểm hữu tỉ có bậc Suy khơng tồn điểm hữu tỉ có bậc 6, 9, 12 Vì đường cong tồn điểm hữu tỉ có bậc nên theo định lý Mazur không tồn điểm hữu tỉ có bậc nguyên tố p với p > ( điểm có bậc hữu hạn có bậc khơng vượt q 12) Vậy TorsE (Q) = {O, (0, 0), (2, 4), (2, −4)} Nhóm xoắn đường cong ban đầu TorsE (Q) = {O, (0, 0), (8, 32), (8, −32)} Khi cho đường cong elliptic cụ thể ta dễ dàng nhóm xoắn nó, vấn đề cịn lại tìm hạng đường cong, vấn đề phức tạp mà ta không đề cập Chúng ta tìm hiểu vấn đề tài 38 liệu tham khảo [2], [3] Dưới ta liệt kê số hạng có giá trị nhỏ đường cong elliptic có phương trình y = x3 + ax, y = x3 + a [3, tr 37], bảng để giúp mô tả cấu trúc nhóm điểm hữu tỉ số đường cong elliptic r=0 a=1 -1 r=1 a=14 10 -4 -8 -9 -11 -13 -3 a=3 -2 r=2 13 15 18 -7 -10 -12 -14 46 -17 -56 -5 -6 33 34 39 11 12 22 -18 -19 19 20 -15 -20 -65 -77 a=82 r=3 Bảng 3.1: Hạng đường cong có phương trình y = x3 + ax r=0 a=1 -1 r=1 -3 r=2 a=15 r=3 a=113 -4 13 14 -6 -5 a=2 -2 -8 -7 17 141 -13 24 316 16 20 21 -9 -10 -14 -432 10 11 12 -15 43 37 -18 -11 346 359 -19 -26 -174 18 -20 -39 307 -21 -47 -362 Bảng 3.2: Hạng đường cong có phương trình y = x3 + a 3.8 ĐỊNH LÍ FERMAT TRONG TRƯỜNG HỢP N = 3, N = 3.8.1 Định lý Fermat trường hợp n = Theo định lý Fermat phương trình X + Y = Z có nghiệm nguyên X, Y, Z mà tất X, Y, Z khác 0, tức nghiệm ngun phương trình (0, 0, 0), (a, 0, a), (−a, 0, −a), (0, a, a), (0, −a, −a), (a, −a, 0), (−a, a, 0) với a số nguyên dương khác Ta kiểm chứng điều 39 Với Z = 0, ta đặt x= 3Z X −Y , y= ( )+ X +Y X +Y Khi phương trình trở thành 27 y − y = x3 − ⇔ (y − )2 = x3 − Đặt y = y − ta phương trình sau y = x3 − 27 ⇔ (8y )2 = (4x)3 − 432 Đặt y = 8y , x = 4x Khi phương trình trở thành y = x −432 Ta tìm điểm hữu tỉ đường cong (E ) Các nghiệm (a, 0, a), (−a, 0, −a) biến thành điểm (12, 36), nghiệm (0, a, a), (0, −a, −a) biến thành điểm (12, −36) đường cong (E ) Dễ dàng kiểm tra 3(12, 36) = 3(12, −36) = O Khi Hình 3.16: Điểm có bậc {O, (12, −36), (12, 36)} nhóm E (Q) Ta chứng minh nhóm xoắn E (Q) (TorsE (Q)) Ta thấy đường cong không tồn điểm hữu tỉ có bậc (vì phương trình x − 432 = khơng có nghiệm hữu tỉ), khơng tồn điểm hữu tỉ có bậc chẵn Đường cong khơng tồn điểm hữu tỉ có bậc Thật vậy, có điểm bậc 3(X, Y ) = (12, 36) (hoặc 3(X, Y ) = (12, −36)), đường thẳng qua điểm (12, 36) gặp đường cong lần điểm khác (12, 36) (vô lý) Đường cong không tồn điểm hữu tỉ có bậc p với p số nguyên 40 tố lớn 3, lúc TorsE (Q) chứa nhóm đẳng cấu với Z/(3p)Z (mâu thuẫn với định lí Mazur) Suy TorsE (Q) = {O, (12, 36), (12, −36)} Dựa vào bảng 2.2 ta thấy đường cong có hạng Vậy E (Q) = {O, (12, 36), (12, −36)} Dễ dàng suy phương trình X + Y = Z khơng có nghiệm ngun X, Y, Z mà tất X, Y, Z khác 3.8.2 Định lý Fermat trường hợp n = Định lý Fermat trường hợp n = phát biểu phương trình X4 + Y = Z4 (3.8.1) khơng có nghiệm ngun X, Y, Z mà tất X, Y, Z khác 0, phương trình có nghiệm nguyên (0, 0, 0), (±a, 0, ±a) , (0, ±a, ±a), với a số nguyên dương khác Ta kiểm chứng điều Với (X, Y, Z ) = (0, 0, 0) Ta đặt 2yZ , Y = Z (1 − ) X = x2 x Khi phương trình trở thành Z4 = 4y Z + Z (1 − )4 x4 x Vì Z = nên chia hai vế cho Z nhân vế cho x4 ta y = x3 − x2 + x − 1 ⇔ y = (x − )(x − x + ) 2 1 2 ⇔ y = (x − )[(x − ) + ] 2 1 ⇔ 64y = 64(x − )[(x − ) + ] 2 1 ⇔ (8y )2 = [(4(x − )] + 4[4(x − )] 2 Khi phương trình trở thành y = x + 4x với y = 8y, x = 4(x − ) Đây phương trình đường cong elliptic, ta tìm nhóm điểm hữu tỉ E (Q) đường cong Theo trước ta có TorsE (Q) = {O, (2, 4), (2, −4), (0, 0)} 41 Từ bảng 2.1 ta thấy hạng đường cong elliptic Suy E (Q) = {O, (2, 4), (2, −4), (0, 0)} Các nghiệm (0, 0, 0), (±a, 0, ±a) , (0, ±a, ±a) tương ứng với điểm hữu tỉ (2, 4), (2, −4), (0, 0) đường cong elliptic Do dễ dàng suy phương trình 3.8.1 khơng có nghiệm nguyên (X, Y, Z ) với X, Y, Z khác tất 3.9 SỐ ĐỒNG DẠNG Ở trình bày ứng dụng thú vị việc tìm điểm hữu tỉ đường cong elliptic vấn đề số đồng dạng, số mà lại chứa đựng thơng tin mặt hình học, giống sợi dây liên kết số học với hình học Ta thấy tam giác vng với cạnh hữu tỉ (tam giác vuông hữu tỉ) có diện tích số hữu tỉ Ngược lại, số hữu tỉ có phải diện tích tam giác vng hữu tỉ khơng có có tam giác vng hữu tỉ Định nghĩa 3.9.1 Một số hữu tỉ n gọi số đồng dạng diện tích tam giác vuông hữu tỉ, cụ thể tồn số hữu tỉ dương a, b, c thỏa a2 + b2 = c2 , ab = n Ví dụ 3.9.1 Các số 5, 6, số đồng dạng ta tìm tam giác vng hữu tỉ với diện tích 5, 6, cho tương ứng với hình vẽ 3.17 Định lí 3.9.1 ([4, tr 14]) Cho số n > ta có tương ứng − hai tập sau {(a, b, c) : a2 + b2 = c2 , ( )ab = n}, {(x, y ) : y = x3 − n2 x, y = 0} cho sau (a, b, c) −→ ( Chứng minh nb 2n2 x2 − n2 2nx x2 + n2 , ), (x, y ) −→ ( , , ) c−a c−a y y y Đặt A = {(a, b, c) : a2 + b2 = c2 , ( )ab = n}, B = {(x, y ) : y = x3 − n2 x, y = 0} 42 Hình 3.17: Các tam giác vng hữu tỉ với diện tích tương ứng 5,6,7 nb 2n2 Lấy điểm (a, b, c) thuộc A, a = c nên ta có điểm ( , ), c−a c−a ta chứng minh điểm thuộc B Thật vậy, ta thấy tọa độ điểm 2n2 2n2 nb , ) thỏa phương trình y = x3 − n2 x y = = 0, điểm ( c−a c−a c−a nb 2n2 ( , ) ∈ B c−a c−a Ngược lại, lấy điểm (x, y ) thuộc B Vì y = nên ta có x2 − n2 2nx x2 + n2 điểm ( , , ), ta thấy tọa độ điểm thỏa điều kiện y y y tập A, thuộc A Định lý chứng minh xong Chú ý: Ta xét n số hữu tỉ dương dựa vào tương ứng định lý ta thấy a, b, c dương x, y dương, a, b, c hữu tỉ x, y hữu tỉ Điểm (a, b, c) thuộc A a, b dấu suy điểm (a, b, −c), (−a, −b, c), (−a, −b, −c) thuộc A Vì vậy, đường cong elliptic y = x3 − n2 x có điểm hữu tỉ (x, y ) với y = ta điểm (a, b, c) thuộc A với a, b, c số hữu tỉ dương Vậy số hữu tỉ dương n số đồng dạng đường cong elliptic y = x3 − n2 x tồn điểm hữu tỉ (x, y ) với y = Ví dụ 3.9.2 Ta có diện tích tam giác vuông hữu tỉ (3, 4, 5), nên đường cong có phương trình y = x3 − 36x tồn điểm hữu tỉ có tọa độ (x, y ) với y = Theo định lý ta có điểm hữu tỉ tương ứng với (3, 4, 5) (x, y ) = (12, 36) 43 20 41 Ví dụ 3.9.3 Tam giác vng ( , , ) có diện tích 5, ta có điểm hữu tỉ 25 75 tương ứng đường cong có phương trình y = x3 − 25x (x, y ) = ( , ) 20 41 Điểm ( , , ) thuộc A nên điểm 20 41 20 41 20 41 ( , , − ), (− , − , ) (− , − , − ) 6 thuộc A, ba tương ứng với điểm hữu tỉ đường cong y = x3 − 25x (−4, −6), (−4, 6), ( 25 −75 , ) Ví dụ 3.9.4 Tìm tất tam giác vng hữu tỉ có diện tích Để tìm tất tam giác vng hữu tỉ có diện tích ta tìm tất điểm hữu tỉ đường cong elliptic y = x3 − x Ta có D = −4, nên điểm (x, y ) có bậc hữu hạn đường cong y = y số nguyên chia hết -4 Với y = 0, ta có điểm hữu tỉ (0, 0), (1, 0), (−1, 0) Với y nguyên chia hết cho -4 nên y = ±1, ±2, ±4 Thế giá trị vào phương trình đường cong elliptic ta thấy phương trình thu khơng tồn nghiệm hữu tỉ x Vậy trường hợp không tồn điểm hữu tỉ Dựa vào bảng 2.1 đường cong có hạng Như khơng tồn điểm hữu tỉ khác (0, 0), (1, 0), (−1, 0) Theo định lý 2.17.1 không tồn tam giác vng hữu tỉ có diện tích Suy số đồng dạng Như để tìm tam giác vng hữu tỉ có diện tích số hữu tỉ dương n ta tìm tập điểm hữu tỉ đường cong elliptic y = x3 − n2 x Nếu đường cong elliptic có vơ hạn điểm hữu tỉ có vơ hạn tam giác vng hữu tỉ có diện tích n Cịn đường cong khơng có điểm hữu tỉ (x, y ) với y = khơng tồn tam giác vng hữu tỉ có diện tích n, dẫn đến n khơng phải số đồng dạng 44 KẾT LUẬN Khóa luận gồm phần mở bài, nội dung kết luận Phần nội dung trình bày chương Chương kiến thức chuẩn bị Chương trình bày điểm hữu tỉ đường cong bậc hai Đối với đường cong bậc hai ta kiểm tra tồn điểm hữu tỉ đường cong nhờ sử dụng định lý Legendre, đường cong bậc hai tồn điểm hữu tỉ ta tất điểm hữu tỉ cịn lại Một đường cong bậc hai có điểm hữu tỉ có vơ số điểm hữu tỉ Vấn đề điểm hữu tỉ đường cong bậc hai giải trọn vẹn Chương trình bày điểm hữu tỉ đường cong bậc ba, trường hợp tổng qt ta khơng có phương pháp để kiểm tra tồn điểm hữu tỉ đường cong bậc ba Vì vậy, chúng tơi làm việc với đường cong bậc ba mà biết hay điểm hữu tỉ Trong chương chúng tơi đề cập đến nhóm điểm hữu tỉ đường cong elliptic, vấn đề khó mà ta khơng sâu tìm hiểu, đưa số định lý giúp cho việc TorsE (Q) liệt kê số hạng có giá trị nhỏ hai lớp đường cong elliptic có phương trình y = x3 + ax, y = x3 + a giúp cho việc tìm nhóm điểm hữu tỉ số đường cong elliptic, từ tiếp cận định lý Fermat trường hợp n = 3, n = Các định lý trình bày khóa luận khó liên quan đến nhiều mảng kiến thức kiến thức khác toán học, nên với điều kiện thời gian khả thân hạn chế nên không đề cập đến phần chứng minh, mong thông cảm quý Thầy Cô bạn 45 Tài liệu tham khảo [1] Gabor Toth, Glimpses of Algebra and Geometry, Springer, 2002 [2] Joseph H Silverman John Tate, Rational point on Elliptic Curves, Springer, 1994 [3] Dale Husemoller, Elliptic Curves, Springer, 2001 [4] Alovaro Lozanno-Robledo, Elliptic Curves, Modular Forms,and Their LFunction, American Mathematical Society, 2011 [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, 1997 [6] Andre Weil, Number Theory: An Approach Though History from Hammurapi to Legendre, Princeton, 2006 [7] Richard A Mollin, Number Thoery and applications, Springer, 1989 46 ... đề tài: Điểm hữu tỉ đường cong bậc hai đường cong bậc ba để khảo sát Mục tiêu khóa luận tìm tất điểm hữu tỉ đường cong bâc hai, đường cong bậc ba nêu số ứng dụng việc làm Nội dung khóa luận chia... việc đường cong x3 + y = có điểm hữu tỉ (1, 0), (0, 1) Từ đặt vấn đề tìm tất điểm hữu tỉ đường cong bậc ba này, tổng quát cho đường cong bậc ba Vì vấn đề tìm điểm hữu tỉ đường cong bậc hai bậc ba. .. Nhưng vấn đề khác biết điểm hữu tỉ đường cong bậc ba đó, đường thẳng qua điểm hữu tỉ cắt đường cong điểm thứ ba hữu tỉ Thật vậy, đường thẳng qua hai điểm hữu tỉ đường thẳng hữu tỉ, ta tiến hành rút