2 ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC HAI
3.8.1 Định lý Fermat trong trường hợp n =3
Theo định lý Fermat phương trình X3+ Y3 = Z3 chỉ có các nghiệm nguyên X, Y, Zmà tất cảX, Y, Z đều khác 0, tức là các nghiệm nguyên của phương trình đó là (0,0,0), (a,0, a), (−a,0,−a), (0, a, a), (0,−a,−a), (a,−a,0), (−a, a,0) với a là số nguyên dương bất kỳ khác 0. Ta sẽ kiểm chứng điều này.
Với Z 6= 0, ta đặt x = 3Z X +Y, y = 9 2( X −Y X +Y) + 1 2. Khi đó phương trình trên trở thành
y2−y =x3−7⇔(y− 12)2 =x3− 274 . Đặt y0 =y− 12 ta được phương trình sau
y02 =x3−27 4 ⇔(8y0)2= (4x)3−432. Đặty00 = 8y0, x00= 4x.Khi đó phương trình trở thànhy002 =x003 −432. Ta sẽ tìm các điểm hữu tỉ trên đường cong(E)này. Các nghiệm(a,0, a), (−a,0,−a)biến thành điểm (12,36), nghiệm (0, a, a), (0,−a,−a) biến thành điểm (12,−36) trên đường cong (E). Dễ dàng kiểm tra rằng 3(12,36) = 3(12,−36) = O. Khi
Hình 3.16: Điểm có bậc 3.
đó {O, (12,−36), (12,36)} là một nhóm con của E(Q).Ta chứng minh đây là nhóm con xoắn củaE(Q) (TorsE(Q)). Ta thấy rằng đường cong này không tồn tại điểm hữu tỉ có bậc 2 (vì phương trình x003
−432 = 0 không có nghiệm hữu tỉ), vì vậy không tồn tại điểm hữu tỉ có bậc chẵn. Đường cong không tồn tại điểm hữu tỉ có bậc 9. Thật vậy, nếu có điểm bậc 9 thì 3(X, Y) = (12,36)(hoặc 3(X, Y) = (12,−36)), do đó đường thẳng đi qua điểm (12,36) sẽ gặp đường cong 3 lần tại một điểm khác (12,36) (vô lý).
tố lớn hơn 3, vì lúc đó TorsE(Q)sẽ chứa một nhóm con đẳng cấu với Z/(3p)Z
(mâu thuẫn với định lí Mazur). Suy ra TorsE(Q) ={O,(12,36),(12,−36)}. Dựa vào bảng 2.2 ta thấy đường cong này có hạng 0.
Vậy E(Q) = {O,(12,36),(12,−36)}. Dễ dàng suy ra phương trình X3 + Y3
=Z3 không có nghiệm nguyên X, Y, Z mà tất cả X, Y, Z đều khác 0. 3.8.2 Định lý Fermat trong trường hợp n= 4
Định lý Fermat trong trường hợp n= 4 phát biểu rằng phương trình
X4+Y4 =Z4 (3.8.1)
không có nghiệm nguyênX, Y, Z mà tất cảX, Y, Z đều khác 0, do đó phương trình có nghiệm nguyên là (0,0,0), (±a,0,±a),(0,±a,±a), với alà số nguyên dương bất kỳ khác 0. Ta sẽ kiểm chứng điều này.
Với (X, Y, Z)6= (0,0,0) . Ta đặt X2 = 2yZ 2 x2 , Y =Z(1−x1). Khi đó phương trình trở thành Z4 = 4y 2 Z4 x4 +Z4(1− 1x)4.
Vì Z4 6= 0 nên chia hai vế cho Z4 và nhân 2 vế cho x4 ta được y2 =x3− 32x2+x− 14 ⇔y2 = (x− 12)(x2 −x+ 1 2) ⇔y2 = (x− 1 2)[(x− 1 2) 2 + 1 4] ⇔64y2 = 64(x−12)[(x−12)2 + 1 4] ⇔(8y)2 = [(4(x− 12)]3 + 4[4(x− 12)].
Khi đó phương trình trở thành y02 =x03+ 4x0 với y0 = 8y, x0 = 4(x− 12). Đây là phương trình của đường cong elliptic, ta sẽ đi tìm nhóm các điểm hữu tỉ E(Q) trên đường cong này. Theo bài trước ta có
Từ bảng 2.1 ta thấy rằng hạng của đường cong elliptic này bằng 0. Suy ra E(Q) ={O,(2,4),(2,−4),(0,0)}.
Các nghiệm (0,0,0), (±a,0,±a) ,(0,±a,±a) tương ứng với các điểm hữu tỉ (2,4),(2,−4),(0,0) trên đường cong elliptic. Do đó dễ dàng suy ra phương trình 3.8.1 không có nghiệm nguyên (X, Y, Z)với X, Y, Z khác 0 tất cả.
3.9 SỐ ĐỒNG DẠNG
Ở bài này sẽ trình bày một ứng dụng thú vị của việc tìm điểm hữu tỉ trên đường cong elliptic đó là vấn đề số đồng dạng, con số mà lại chứa đựng những thông tin về mặt hình học, đây giống như một sợi dây liên kết giữa số học với hình học vậy. Ta thấy rằng một tam giác vuông với các cạnh hữu tỉ (tam giác vuông hữu tỉ) có diện tích là số hữu tỉ. Ngược lại, một số hữu tỉ thì có phải là diện tích của tam giác vuông hữu tỉ không và nếu có thì có bao nhiêu tam giác vuông hữu tỉ như vậy.
Định nghĩa 3.9.1. Một số hữu tỉ n được gọi là số đồng dạng nếu nó là diện tích của một tam giác vuông hữu tỉ, cụ thể là tồn tại số hữu tỉ dươnga, b, c thỏa a2+b2 = c2, 1
2ab=n.
Ví dụ 3.9.1. Các số 5, 6, 7 là các số đồng dạng bởi vì ta có thể tìm được các tam giác vuông hữu tỉ với diện tích là 5, 6, 7 được cho tương ứng với các hình vẽ 3.17 dưới đây.
Định lí 3.9.1 ([4, tr. 14]). Cho số n >0 khi đó ta có sự tương ứng 1−1 giữa hai tập sau
{(a, b, c) :a2+b2= c2, (1
2)ab=n}, {(x, y) : y2 = x3−n2x, y 6= 0}
được cho như sau
(a, b, c)7−→ ( nb c−a, 2n2 c−a), (x, y)7−→(x 2 −n2 y , 2nx y , x2+n2 y ). Chứng minh Đặt A= {(a, b, c) :a2+b2= c2, (1 2)ab=n}, B ={(x, y) :y2 =x3−n2x, y 6= 0}.
Hình 3.17: Các tam giác vuông hữu tỉ với diện tích tương ứng là 5,6,7.
Lấy điểm(a, b, c)bất kỳ thuộcA, vìa6=cnên ta có duy nhất điểm( nb c−a,
2n2 c−a), ta sẽ chứng minh điểm này thuộc B. Thật vậy, ta thấy tọa độ của điểm ( nb c−a, 2n2 c−a) thỏa phương trình y2 = x3 −n2x và y = 2n 2 c−a 6= 0, vậy điểm ( nb c−a, 2n2 c−a)∈B.
Ngược lại, lấy một điểm (x, y) bất kỳ thuộcB. Vì y 6= 0 nên ta có duy nhất điểm (x 2 −n2 y , 2nx y , x2+n2
y ), ta thấy tọa độ của điểm này thỏa điều kiện của tập A, vậy nó thuộc A.
Định lý đã được chứng minh xong.
Chú ý: Ta xét n là số hữu tỉ dương dựa vào sự tương ứng của định lý ta thấy rằng a, b, c là dương nếu và chỉ nếu x, y là dương, a, b, c là hữu tỉ nếu và chỉ nếu x, y là hữu tỉ. Điểm (a, b, c)thuộc Athì a, b cùng dấu và suy ra các điểm (a, b,−c), (−a,−b, c), (−a,−b,−c)cũng thuộcA. Vì vậy, nếu đường cong elliptic y2 =x3
−n2x có điểm hữu tỉ (x, y)với y 6= 0 thì ta có thể chỉ ra điểm (a, b, c)thuộc Avới a, b, c là số hữu tỉ dương. Vậy số hữu tỉ dương nlà số đồng dạng nếu và chỉ nếu đường cong elliptic y2 =x3−n2x tồn tại điểm hữu tỉ(x, y) với y 6= 0.
Ví dụ 3.9.2. Ta có 6 là diện tích của tam giác vuông hữu tỉ (3,4,5), nên đường cong có phương trìnhy2
=x3
−36xtồn tại điểm hữu tỉ có tọa độ(x, y)vớiy 6= 0. Theo định lý trên ta có điểm hữu tỉ tương ứng với (3,4,5) là (x, y) = (12,36).
Ví dụ 3.9.3. Tam giác vuông (3 2,
20 3 ,
41
6 ) có diện tích là 5, ta có điểm hữu tỉ tương ứng trên đường cong có phương trình y2= x3−25x là (x, y) = (25
4 , 75 8 ). Điểm (3 2, 20 3 , 41
6 )thuộc A nên các điểm (3 2, 20 3 ,−41 6 ), (−3 2,−20 3 , 41 6 ).(−3 2,−20 3 ,−41 6 )
cũng thuộc A, các bộ ba này tương ứng với các điểm hữu tỉ trên đường cong y2= x3−25x là (−4,−6), (−4,6), (25 4 , −75 8 ). .
Ví dụ 3.9.4. Tìm tất cả các tam giác vuông hữu tỉ có diện tích là 1.
Để tìm tất cả các tam giác vuông hữu tỉ có diện tích là 1 ta sẽ đi tìm tất cả các điểm hữu tỉ trên đường cong elliptic y2 =x3
−x.
Ta cóD = −4, nên các điểm(x, y)có bậc hữu hạn trên đường cong thìy = 0 hoặc y là số nguyên và chia hết -4.
Với y = 0, ta có các điểm hữu tỉ là (0,0), (1,0), (−1,0).
Với y nguyên và chia hết cho -4 nên y = ±1, ±2, ±4. Thế các giá trị này vào phương trình đường cong elliptic ta thấy phương trình thu được không tồn tại nghiệm hữu tỉ x. Vậy trong trường hợp này không tồn tại điểm hữu tỉ.
Dựa vào bảng 2.1 đường cong này có hạng bằng 0. Như vậy không tồn tại điểm hữu tỉ nào khác (0,0), (1,0), (−1,0). Theo định lý 2.17.1 sẽ không tồn tại tam giác vuông hữu tỉ có diện tích là 1. Suy ra 1 không phải là số đồng dạng. Như vậy để tìm các tam giác vuông hữu tỉ có diện tích là số hữu tỉ dương n thì ta đi tìm tập các điểm hữu tỉ trên đường cong elliptic y2 = x3−n2x. Nếu đường cong elliptic này có vô hạn điểm hữu tỉ thì sẽ có vô hạn tam giác vuông hữu tỉ có diện tích là n. Còn nếu đường cong này không có điểm hữu tỉ (x, y) với y 6= 0 thì không tồn tại tam giác vuông hữu tỉ có diện tích là n, dẫn đến n không phải là số đồng dạng.
KẾT LUẬN
Khóa luận gồm 3 phần là mở bài, nội dung và kết luận. Phần nội dung được trình bày trong 3 chương. Chương 1 là kiến thức chuẩn bị. Chương 2 trình bày về điểm hữu tỉ trên đường cong bậc hai. Đối với đường cong bậc hai thì ta có thể kiểm tra sự tồn tại của điểm hữu tỉ trên đường cong nhờ sử dụng định lý Legendre, nếu đường cong bậc hai tồn tại một điểm hữu tỉ thì ta sẽ chỉ ra được tất cả các điểm hữu tỉ còn lại. Một đường cong bậc hai có một điểm hữu tỉ thì sẽ có vô số điểm hữu tỉ. Vấn đề điểm hữu tỉ trên đường cong bậc hai được giải quyết khá trọn vẹn. Chương 3 trình bày về điểm hữu tỉ trên đường cong bậc ba, trong trường hợp tổng quát ta không có phương pháp để kiểm tra sự tồn tại của điểm hữu tỉ trên đường cong bậc ba. Vì vậy, chúng tôi chỉ làm việc với đường cong bậc ba mà đã biết hay có thể chỉ ra một điểm hữu tỉ trên nó. Trong chương này chúng tôi đề cập đến nhóm các điểm hữu tỉ trên đường cong elliptic, đây là vấn đề khó mà ta không đi sâu tìm hiểu, chỉ đưa ra một số định lý giúp cho việc chỉ ra TorsE(Q) và liệt kê một số hạng có giá trị nhỏ trên hai lớp đường cong elliptic có phương trình y2
= x3
+ax, y2 =x3
+agiúp cho việc tìm nhóm các điểm hữu tỉ trên một số đường cong elliptic, từ đó tiếp cận định lý Fermat trong trường hợp n= 3, n = 4.
Các định lý được trình bày trong khóa luận là khá khó và nó liên quan đến nhiều mảng kiến thức kiến thức khác nhau của toán học, nên với điều kiện về thời gian và khả năng của bản thân còn hạn chế nên chúng tôi không đề cập đến phần chứng minh, mong được sự thông cảm của quý Thầy Cô và các bạn.
Tài liệu tham khảo
[1] Gabor Toth, Glimpses of Algebra and Geometry, Springer, 2002.
[2] Joseph H. Silverman John Tate,Rational point on Elliptic Curves, Springer, 1994.
[3] Dale Husemoller, Elliptic Curves, Springer, 2001.
[4] Alovaro Lozanno-Robledo, Elliptic Curves, Modular Forms,and Their L- Function, American Mathematical Society, 2011.
[5] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục, 1997. [6] Andre Weil, Number Theory: An Approach Though History from Hammu-
rapi to Legendre, Princeton, 2006.