2 ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC HAI
3.5.1 Phương pháp tìm điểm hữu tỉ trên đường cong bậc ba kỳ dị
Ta biết rằng đường cong bậc ba kỳ dị có chứa một điểm kỳ dị có tọa độ hữu tỉ. Vì vậy, một đường thẳng hữu tỉ đi qua điểm này sẽ cắt đường cong bậc ba tại một điểm hữu tỉ khác. Như vậy, ta sẽ nghĩ đến việc chiếu các điểm hữu tỉ trên đường cong bậc ba lên đường thẳng từ điểm kỳ dị này như đã làm với đường conic.
Giả sử đường cong bậc ba (C) có phương trình y2
=P(x) = a(x−r)2
(x−s), với a, r, s là các số hữu tỉ, a 6= 0. Đường cong (C) có một điểm kỳ dị là (r,0), như vậy một đường thẳng hữu tỉ đi qua điểm này sẽ cắt đường cong tại một điểm hữu tỉ khác, ta sẽ tìm tọa độ điểm này.
Đường thẳng hữu tỉ đi qua điểm(r,0)có dạngy = m(x−r). Thay y= m(x−r) vào phương trình đường cong ta được
m2(x−r)2
=a(x−r)2
Do đó x =s+ m 2 a y = m(s−r+ m 2 a ). Chú ý: Khi r =s thì công thức trên trở thành
x =s+ m 2 a y = m 3 a .
Như vậy, với mỗim ∈Qta sẽ có một điểm hữu tỉ (x, y)trên đường cong, ngược lại với mỗi điểm hữu tỉ (x, y)trên đường cong khác điểm (r,0) thì ta tìm được số hữu tỉ m= y
x−r. Vậy công thức trên cho ta tất cả các điểm hữu tỉ còn lại trên đường cong.
Ví dụ 3.5.1. Tìm các điểm hữu tỉ trên đường cong bậc ba (C): y2 =x3
+x2. Phương trình đường cong (C) được viết lại
y2= x3+x2 =x2(x+ 1).
Đường cong có điểm kỳ dị là A(0,0), áp dụng công thức tính ở trên ta có các điểm hữu tỉ trên đường cong được cho bởi
x= −1 +m2
y =m(−1 +m2) ,(m∈Q). Ví dụ 3.5.2. Đường cong bậc ba có phương trình y2
= x3 có điểm kỳ dị là (0,0), các điểm hữu tỉ trên đường cong được cho bởi
x =m2
y =m3 ,(m ∈Q).
3.5.2 Nhóm các điểm hữu tỉ trên đường cong bậc ba kỳ dị
Bài trước chúng ta đã xây dựng cấu trúc nhóm các điểm hữu tỉ đối với các đường cong bậc ba không có điểm kỳ dị, vậy đối với đường cong bậc ba có điểm kỳ dị thì có thể xây dựng cho nó một cấu trúc nhóm không.
Điểm tại vô cùng
Ta xét trong không gian xạ ảnh P2, tức là không gian mà mỗi điểm là một lớp tương đương của các bộ ba (x, y, z), một bộ ba (x, y, z) tương đương với bộ ba (λx, λy, λz)với λ 6= 0. Như vậy, nếu z 6= 0 thì lớp tương đương của (x, y, z) chứa bộ ba (x
z, y
z,1). Ta có thể đồng nhất mặt phẳng xạ ảnh P2 với mặt phẳng thông thường (aphin) cùng với các "điểm tại vô cùng" ứng với z= 0.
Một đường cong trong mặt phẳng thông thường có thể tương ứng với đường cong trong mặt phẳng xạ ảnh bằng cách thêm vào các điểm tại vô cùng. Để làm việc đó trong phương trình đường cong ta chỉ cần thayx bởi x
z, ybởi y
z và nhân hai vế với một lũy thừa thích hợp để khử mẫu số.
Với đường cong bậc ba (C) cho bởi công thức Weierstrass có phương trình y2 =x3+ax2+bx+c.
Đặt x = X
Z, y = Y
Z, khi đó phương trình trở thành
Y2Z =X3+aX2Z+bXZ2+cZ3. (3.5.1) Ta tìm giao điểm của đường cong với đường thẳng vô cùngZ = 0. ThayZ = 0 vào phương trình 3.5.1 ta được X3
= 0. Do đó, đường thẳng vô cùng cắt đường cong 3 lần tại điểm O[0 : 1 : 0]. Bởi vậy đường cong (C) có một điểm tại vô cùng nằm trên các đường thẳng đứng (x=constant).
Điểm tại vô cùng này là điểm uốn của đường cong (C), điểm tại vô cùng này không phải là điểm kỳ dị, ta xem điểm này là điểm hữu tỉ. Như vậy với đường cong bậc ba cho bởi công thức Weierstrass có một điểm tại vô cùng đó là O(0 : 1 : 0).
Xây dựng cấu trúc nhóm các điểm hữu tỉ trên đường cong bậc ba kỳ dị Ta biết rằng đường cong bậc ba kỳ dị (C) có duy nhất một điểm kỳ dị có tọa độ hữu tỉ, như vậy nếu xây dựng cấu trúc nhóm của các điểm hữu tỉ trên (C) với phép toán (+) như đã định nghĩa ở mục 3.2 là không được. Vì vậy, muốn xây dựng được cấu trúc nhóm với phép toán (+) đó ta phải nghĩ đến việc loại đi điểm kỳ dị này.
kỳ dị của nó. Ta sử dụng phép cộng điểm như đã là ở mục 3.2 với lưu ý rằng điểm O không phải là điểm hữu tỉ tùy ý mà nó là điểm tại vô cùng. Lấy hai điểm bất kỳ P, Q thuộc Cns(Q)ta định nghĩa P +Q như sau, vẽ đường thẳng qua P, Q cắt đường cong tại một điểm ta đặt là P ∗Q, đường thẳng đi qua O và P∗Q (đường thẳng thẳng đứng đi quaP ∗Q) cắt đường cong tại một điểm, đó là điểm P +Q, ta có P +Q= O∗(P ∗Q).
Dễ dàng chứng minh được với mọi P, Q ∈ Cns(Q) thì P +Q ∈Cns(Q). Thật vậy, nếu P +Q không thuộc Cns(Q) thì P +Q là điểm kỳ dị suy ra P ∗Q là điểm kỳ dị nên một trong hai điểm P, Qlà điểm kỳ dị (vô lí).
Ta có (Cns(Q),+) là một nhóm aben. Chứng minh tương tự như trong bài 2. Bây giờ ta sẽ đi mô tả một cách rõ ràng nhóm Cns(Q) này.
Đối với đường cong bậc ba kỳ dị chúng ta có hai loại dựa vào việc P(x) có nghiệm bội hai hay bội ba. Trường hợp P(x) có nghiệm bội hai ta sẽ làm việc với đường cong đại diện có phương trình lày2 =x2(x+ 1), cònP(x)có nghiệm bội ba ta sẽ làm vệc với đường cong đại diện có phương trình là y2
=x3. Cấu trúc nhóm trên đường cong (C): y2
=x2
(x+ 1).
Ta đã biết tham số hóa của các điểm hữu tỉ trên (C), ta có tương ứng sau
Q → C(Q) → Q r 7→ (r2 −1, r3 −r) (x, y) 7→ yx (với x6= 0) (0,0) 7→ ±1. Định lí 3.5.1 ([2, tr. 100]). Cho đường bậc ba (C): y2 = x2 (x+ 1). Khi đó ta có ánh xạ φ: Cns(Q)→Q∗ φ(P) = y−x y+x , P 6=O 1 , P =O
là một đẳng cấu nhóm từ Cns(Q) vào nhóm Q∗ với phép nhân thông thường. Chứng minh
Với mọi P(x, y)∈Cns(Q)thì y+x6= 0 nên φ(P)tồn tại. Dễ thấy φ là ánh xạ. Với mỗi số hữu tỉ t ∈ Q∗ ta tìm được duy nhất một điểm P thuộc Cns(Q) để
φ(P) = t. Thật vậy, với t = 1 thì ta có P = O. Với t6= 1, ta có t= y−x y+x suy ra y = 1 +t
1−tx thay y vào phương trình đường cong, ta được x = 4t
(1−t)2, do đó P 4t (1−t)2,4t(1 +t) (1−t)3
. Như vậy ta có ánh xạ ngược củaφ như sau ψ: Q∗ →Cns(Q) ψ(t) = 4t (1−t)2,4t(1 +t) (1−t)3 , nếu t6= 1 O , nếu t= 1. Ta chứng minh ψ là một đồng cấu nhóm từ Q∗ vào Cns(Q). Ta có
ψ(1 t) = 4t−1 (1−t−1)2,4t−1 (1 +t−1 ) (1−t−1)3 = 4t (1−t)2,−4t(1 +t) (1−t)3 =−ψ(t). Tiếp theo ta chứng minh ψ(t1t2) = ψ(t1) +ψ(t2), ∀t1, t2 ∈ Q∗. Với bất kì P1, P2, P3 thuộc Cns(Q) khác O. Ta biết rằng P1 +P2+P3 = O khi chỉ khi P1, P2, P3 là thẳng hàng. Gọi Pi(xi, yi), đường thẳng đi qua P1, P2 có dạng
(x−x1)(y2−y1) = (y−y1)(x2−x1). Thay tọa độ của P3 vào phương trình trên ta được
x1y2−x2y1+x2y3−x3y2+x3y1−x1y3 = 0. (3.5.2) Gọi t1, t2, t3 là 3 phần tử thuộc Q∗ khác 1 thỏa
P1 =ψ(t1), P2 = ψ(t2), P3 =ψ(t3). Mà ψ(t) = 4t (1−t)2, 4t(1 +t) (1−t)3
, thay tọa độ của P1, P2, P3 vào 3.5.2 và rút gọn ta được 32(t1−t2)(t1−t3)(t2−t3)(t1t2t3−1) (1−t1)3(1−t2)3(1−t3)3 = 0. Suy ra t1t2t3 = 1. Do đó ψ(t1t2t3) =O =ψ(t1) +ψ(t2) +ψ(t3). Với mọi t1, t2 ∈Q∗ khác 1 ta có ψ(1 t1 1 t2t1t2) =−ψ(t1)−ψ(t2) +ψ(t1t2) ⇔ψ(t1t2) =ψ(t1) +ψ(t2). Điều đó hiển nhiên đúng nếu t1 = 1 hoặc t2 = 1.
Tóm lại, ta có Cns(Q)≡Q∗, như vậy những tính chất của nhómQ∗ cũng là tính chất của nhóm Cns(Q). Chẳng hạn nhóm Q∗ không phải là nhóm hữu hạn sinh nên nhóm Cns(Q)cũng không phải là nhóm hữu hạn sinh.
Cấu trúc nhóm trên đường cong y2
=x3
Ta đã biết cách tham số hóa cho đường cong này như sau
Q → C(Q) → Q
r 7→ (r2, r3)
(x, y) 7→ xy (x 6= 0) (0,0) 7→ 0.
Định lí 3.5.2 ([2, tr. 100]). Cho đường cong bậc ba (C) y2
=x3. Khi đó ánh xạ φ: Cns(Q)→Q φ(P) = x y , P 6= O 0 , P =O
là một đẳng cấu nhóm từ Cns(Q) vào nhóm Q với phép cộng thông thường. Lặp lại chứng minh tương tự như đối với đường cong y2 = x2(x+ 1). Ta nghiên cứu những tính chất của nhómCns(Q)thông qua nhóm Q, nhómCns(Q) không phải là nhóm hữu hạn sinh.