2 ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC HAI
3.7.2 Nhóm con xoắn của E(Q)
Định lí Nagell-Lutz
Cho đường cong elliptic có phương trìnhy2 =x3+ax2+bx+c. Bằng cách đặt X =d2x, Y = d2y (với dlà số nguyên khác 0) thì phương trình trở thành
(Y d3)2 = (X d2)3 +a(X d2)2 +b(X d2) +c ⇔Y2 =X3+ad2X2+bd4X +d6c. Chọn số nguyên d đủ lớn để ad2, bd4, d6c là các số nguyên. Do đó ta chỉ cần làm việc với đường cong elliptic có dạng y2 = x3 +ax2 +bx+c với a, b, c là các hệ số nguyên.
Định lí 3.7.1 ([2, tr. 56]). Cho đường cong elliptic có phương trình y2= P(x) =x3+ax2+bx+c= 0
với hệ số a, b, c nguyên và D là biệt thức của đa thức bậc ba P(x) D= −4a3c+a2b2+ 18abc−4b3−27c2.
Điểm hữu tỉ (x, y) có bậc hữu hạn. Khi đó x, y là nguyên và y = 0 hoặc y chia hết D.
Phần chứng minh của định lý khá dài và phải xây dựng các lý thuyết liên quan vì vậy ta sẽ không đề cập đến. Có thể tham khảo phần chứng minh ở tài liệu [2, tr. 56].
Chú ý: Định lí Nagell-Lutz không phải là một phát biểu "nếu và chỉ nếu" nghĩa là những điểm(x, y)có tọa độ nguyên vày chia hết D thì không chắc rằng điểm đó có bậc hữu hạn. Định lí Nagell-lutz có thể sử dụng để liệt kê tất cả các điểm có thể có bậc hữu hạn chứ không sử dụng để chứng minh xem một điểm nào đó có bậc hữu hạn không. Để chứng minh một điểm nào đó là hữu hạn ta cần chỉ ra có số nguyên n >1 để nP = 0. Định lí Nagell-Lutz còn được sử dụng để chứng minh điểm có bậc vô hạn, ý tưởng là tính các điểm P, 2P, 3P... cho đến nP mà tọa độ không còn nguyên nữa thì suy ra điểm P có bậc vô hạn.
Ví dụ 3.7.3. Cho đường cong (E)có phương trình y2 =x3
+ 4x2
+ 16. Ta có P(0,4)∈E(Q), ta sẽ chứng minh P là điểm có bậc vô hạn. Ta tính
Theo định lí Nagell-Lutz điểmP có bậc vô hạn.
Ví dụ 3.7.4. Tìm điểm hữu tỉ có bậc hữu hạn trên đường cong (E) cho bởi phương trình sau y2 =x3−x2+x. Ta cóD =−3 nên điểm P(x, y)có bậc hữu hạn thì x, y là số nguyên và y = 0 hoặc y chia hết -3.
Với y = 0 ta có điểm (0,0) là điểm có bậc hai duy nhất.
Vì y chia hết D và y là số nguyên nên y = ±1, y = ±3. Với y = ±1 thế vào phương trình đường cong ta được x3
−x2 +x −1 = 0, phương trình có nghiệm nguyên là x = 1. Như vậy ta có điểm (1,−1), (1,1). Với y = ±3 thế vào phương trình đường cong ta đượcx3
−x2
+x−9 = 0. Ta thấy rằng nghiệm hữu tỉ của phương trình này nếu có là nguyên và chia hết -9. Ta kiểm tra các số ±1, ±3, ±9 đều không phải là nghiệm của phương trình.
Như vậy ngoài điểm (0,0) có bậc hai thì những điểm có thể có bậc hữu hạn của đường cong elliptic là(1,1), (1,−1). Dễ dàng kiểm tra rằng2(1,1) = (0,0) như vậy điểm (1,1) có bậc 4, tức là 4(1,1) = O. Suy ra
3(1,1) =−(1,1) = (1,−1). Vậy TorsE(Q) ={O,(0,0),(1,1),(1,−1)}.
Việc tìm nhóm con xoắn của E(Q) như thế này sẽ phải tính toán rất vất vả, dưới đây sẽ cho ta một định lý giúp tìm nhóm con xoắn của E(Q)một cách ngắn gọn hơn.
Định lí Mazur
Định lí 3.7.2 ([2, tr. 58]). Giả sử E(Q) chứa một điểm hữu tỉ có bậc hữu hạn là m. Khi đó 1≤m≤10 hoặc m = 12.
Một cách rõ ràng hơn, nhóm con xoắn của E(Q) là một trong hai dạng sau i, Một nhóm cyclic có bậc N với 1≤N ≤10 hoặc N = 12.
ii, Tích của một nhóm cyclic có bậc 2 và một nhóm cyclic có bậc 2N với 1≤N ≤4.
3.7.3 Đường cong (E) có phương trình y2 =x3