2 ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC HAI
3.7.3 Đường cong (E) có phương trình y2 = x3 + ax và y2 = x3 +a
+ax và y2 =x3
+a Cho đường cong elliptic có phương trình y2 = x3 +ax, với a là số hữu tỉ khác 0. Đặt x = d2X, y = d3Y (với d là số hữu tỉ khác 0) khi đó phương trình trở thành
d6Y2 =d6X3+ad2X =d6(X3+ a d4X). Như vậy, ta có thể chọn d để cho hệ số a
d4 số là nguyên, hơn thế nữa nếu a có thể phân tích thành lũy thừa có bậc lớn hơn hoặc bằng 4 của một số nguyên nào đó, thì ta có thể đưa số a về một lũy thừa có bậc nhỏ hơn 4 của số nguyên đó. Do vậy, ta chỉ cần làm việc với đường cong y2 =x3+ax với alà số nguyên khác 0 và akhông thể phân tích thành lũy thừa có bậc lớn hơn hoặc bằng 4 của một số nguyên nào đó.
Cho đường cong elliptic có phương trình y2 = x3
+a, với alà số hữu tỉ khác 0. Bằng cách đổi biến tương tự như trên ta thu được phương trình
d6Y2 =d6X3+a=d6(X3+ a d6). Như vậy ta có thể chọn d để cho hệ số a
d6 là nguyên, hơn thế nữa nếu a có thể phân tích thành lũy thừa có bậc lớn hơn hoặc bằng 6 của một số nguyên nào đó thì ta có thể đưa số a về một lũy thừa có bậc nhỏ hơn 6 của số nguyên đó. Do vậy ta chỉ cần làm việc với đường cong y2 =x3+avới a là số nguyên khác 0 và akhông thể phân tích thành lũy thừa có bậc lớn hơn hoặc bằng 6 của một số nguyên nào đó.
Ví dụ 3.7.5. Tìm nhóm con xoắn của các điểm hữu tỉ trên đường cong (E)có phương trình cho bởi y2 =x3+ 26x.
Đặt x = 22X, y = 23Y, khi đó phương trình trở thành 26 Y2 = 26 X3+ 26 .22 X ⇔Y2 = X3+ 4X.
Đường cong (E’) này tồn tại duy nhất điểm bậc 2 là (0,0). Ta sẽ đi tìm các điểm có bậc 4, tức là các điểm (X, Y) là nghiệm của phương trình
2(X, Y) = (0,0) = −(0,0).
Giả sử đường thẳng đi qua điểm (0,0) có phương trình là Y = λX. Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong là nghiệm phương trình
Để đường thẳng tiếp xúc với đường cong thì phương trình X2
−λ2X + 4 = 0 có nghiệm kép, tức là ∆ = (−λ2)2
−4.4 = 0⇔λ=±2.
Với λ= 2 ta có điểm (2,4). Với λ=−2 ta có điểm (2,−4). Ta có hai điểm có bậc 4 đó là (2,4),(2,−4).
Dễ thấy, không tồn tại điểm hữu tỉ có bậc 8 vì phương trình2(X, Y) = (2,4) hoặc 2(X, Y) = (2,−4) không có nghiệm (X, Y).
Ta sẽ chứng minh đường cong này không tồn tại điểm hữu tỉ có bậc là 3. Thật vậy giả sử tồn tại điểm hữu tỉ P có bậc 3, khi đó 3P = O ⇔ −2P = P. Gọi Y = λX +β là đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại P. Vì −2P = P nên đường thẳng này sẽ gặp đường cong thêm hai lần nữa tại P (P là điểm uốn của đường cong). Hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình
(λX +β)2
=X3+ 4X
⇔ X3−λ2X2+ (4−2λβ)X −β2 = 0.
Gọi r là hoành độ của điểm P thì phương trình trên được viết lại như sau X3−λ2X2+ (4−2λβ)X −β2 = (X −r)3. Đồng nhất hệ số 2 vế của phương trình ta có 3r =λ2, r3 =β2 suy ra β2 = λ 6 27, 3r2 = 4−2βλ ⇔3(λ 4 9 ) = 4−2( λ 4 3√ 3).
Không tồn tại số hữu tỉ λ thỏa phương trình trên. Vậy không tồn tại điểm hữu tỉ có bậc 3. Suy ra không tồn tại điểm hữu tỉ có bậc 6, 9, 12.
Vì đường cong tồn tại điểm hữu tỉ có bậc 4 nên theo định lý Mazur không tồn tại điểm hữu tỉ có bậc nguyên tố p với p > 3 ( vì những điểm có bậc hữu hạn có bậc không vượt quá 12).
Vậy TorsE0(Q) ={O,(0,0),(2,4),(2,−4)}. Nhóm con xoắn của đường cong ban đầu là
TorsE(Q) ={O,(0,0),(8,32),(8,−32)}.
Khi cho một đường cong elliptic cụ thể ta dễ dàng chỉ ra được nhóm con xoắn của nó, vấn đề còn lại là tìm hạng của đường cong, đây là vấn đề phức tạp mà ta không đề cập ở đây. Chúng ta có thể tìm hiểu về vấn đề này ở các tài
liệu tham khảo [2], [3]. Dưới đây ta sẽ liệt kê một số hạng có giá trị nhỏ của các đường cong elliptic có phương trình y2
=x3
+ax, y2 =x3
+a [3, tr. 37], bảng này để giúp chúng ta mô tả được cấu trúc nhóm các điểm hữu tỉ trên một số ít các đường cong elliptic.
r=0 a=1 2 4 6 7 10 11 12 22 -1 -3 -4 -8 -9 -11 -13 -18 -19 r=1 a=3 5 8 9 13 15 18 19 20 -2 -5 -6 -7 -10 -12 -14 -15 -20 r=2 a=14 33 34 39 46 -17 -56 -65 -77 r=3 a=82
Bảng 3.1: Hạng của đường cong có phương trìnhy2
=x3 +ax. r=0 a=1 4 6 7 13 14 16 20 21 -1 -3 -5 -6 -8 -9 -10 -14 -432 r=1 a=2 3 5 8 9 10 11 12 18 -2 -4 -7 -13 -15 -18 -19 -20 -21 r=2 a=15 17 24 37 43 -11 -26 -39 -47 r=3 a=113 141 316 346 359 -174 307 -362 Bảng 3.2: Hạng của đường cong có phương trình y2
=x3
+a.
3.8 ĐỊNH LÍ FERMAT TRONG TRƯỜNG HỢP
N = 3, N = 4