2 ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC HAI
3.6.2Công thức tính tọa độ của "tổng" hai điểm
Cho đường cong (E) có phương trình y2 = x3 +ax2 +bx +c, với P1(x1, y1), P2(x2, y2) thuộc (E) ta đi tìm tọa độ(x3, y3) của điểm P1∗P2. Đường thẳng đi qua P1, P2 có phương trình là
y =λx+µ, với λ= y2−y1
Hình 3.12: Xác định tọa độ của P1+P2.
Thay y vào phương trình đường cong ta được y2 = (λx+µ)2
=x3+ax2+bx+c
⇔x3+ (a−λ2)x2+ (b−2λµ)x+ (c−µ2) = 0. Theo công thức Viet ta cóx1+x2+x3 =λ2
−a, suy ra
x3 =λ2−a−x1−x2, y3 =λx3+µ. (3.6.1) Vậy tọa độ của điểm P1+P2 là (x3,−y3) với x3, y3 được xác định như trên.
Hình 3.13: Tọa độ củaP +Q và điểm 2P.
Ví dụ 3.6.1. Cho đường cong(E):y2 =x3
+17, có 2 điểm hữu tỉ làP(−2,3), Q(4,9), tính tọa độ P +Q.
Đường thẳng đi qua điểm P, Q là y = x + 5 nên λ = 1, µ = 5. Suy ra x3 =λ2−a−x1−x2 =−1, y3 =λx3+µ = 4. Vậy P +Q(−1,−4).
Chú ý: Để tính tọa độ của điểm 2P ta xác định λ như sau: λ= P
0(x) 2y . Ví dụ 3.6.2. Cho đường cong (E):y2 =x3+ 17 có điểm hữu tỉ là P(−2,3) ta tính tọa độ của 2P. Ta có
λ = P0(−2)
6 = 2, µ= 3−2.(−2) = 7. Thay vào 3.8.1 ta tìm được −2P(8,23). Suy ra 2P(8,−23).
Chú ý: Ta cũng có thể thiết lập công thức tổng quát để tính hoành độ của điểm 2(x, y)như sau
Hoành độ của 2(x, y) = x 4
−2bx2
−8cx+b2−4ac 4x3+ 4ax2+ 4bx+ 4c .
Phương trình có dạngy2 =x3+c, c ∈Zđược gọi là phương trình Bachet [1, tr. 43], bằng tính toán và rút gọn ta được công thức tính tọa độ của điểm 2(x, y) như sau 2(x, y) = (x 4 −8cx 4y2 ,−x6−20cx3 + 8c2 8y3 ). Công thức này gọi là công thức nhân đôi.