Đường và mặt trong không gian R4: Khóa luận tốt nghiệp toán học

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN NGỌC THẮNG ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN R 4 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP BỘ MÔN HÌNH HỌC VI PHÂN GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS. ĐOÀN THẾ HIẾU HUẾ, THÁNG 5-2011 LỜI CẢM ƠN Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, PGS.TS. Đoàn Thế Hiếu. Tôi xin gửi đến Thầy sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc cũng như nguyện vọng được tiếp tục tìm hiểu Toán học dưới sự hướng dẫn của Thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Hoàng - Trường Đại Học Kiến Trúc Đà Nẵng vì sự tận tình giúp đỡ, góp ý trong suốt thời gian làm khóa luận. Xin gửi sự biết ơn đến nhóm Seminar bộ môn Hình học, nơi tôi đã học hỏi được nhiều điều. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể quý Thầy Cô trong khoa Toán, Đại học Sư phạm, Đại học Huế, những người đã dạy bảo chúng tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Cuối cùng, tôi gửi sự biết ơn đến tất cả người thân, bạn bè vì sự quan tâm, động viên, giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua. Ngày 05 tháng 5 năm 2011 Sinh viên thực hiện Nguyễn Ngọc Thắng i MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii MỞ ĐẦU 1 1 ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN R 4 2 1.1 Đường tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Công thức Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Điều kiện để đường thuộc một siêu cầu . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Một số đường đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1 Đường chỉnh lưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.2 Đường xoắn xiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.3 Đường B 2 -xoắn xiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 MẶT TRONG KHÔNG GIAN R 4 27 2.1 Mặt chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Ellipse độ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2 Các bất biến địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1 Mặt tròn xoay loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2 Mặt tròn xoay loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Mặt cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4.1 Mặt tròn xoay loại 1 cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4.2 Mặt tròn xoay loại 2 cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 ii MỞ ĐẦU Đường tham số và mặt chính quy là những đối tượng cơ bản của hình học vi phân. Liệu rằng trong không gian R 4 , những đối tượng đó có các tính chất tương tự như trong không gian R 3 hay không? Được sự hướng dẫn của Thầy giáo, PGS.TS. Đoàn Thế Hiếu, tôi chọn đề tài "Đường và mặt trong không gian R 4 " để tiến hành khảo sát. Nội dung của khóa luận được chia thành hai chương. Chương 1 giới thiệu về đường tham số, trường mục tiêu Frenet, từ đó xây dựng công thức Frenet của đường tham số trong không gian R 4 . Sau đó, chúng tôi tổng quan điều kiện để đường thuộc một siêu cầu và một số đường đặc biệt có các tính chất tương tự như trong không gian R 3 , đó là đường chỉnh lưu, đường xoắn xiên, đường B 2 -xoắn xiên. Việc khảo sát các đường đặc biệt trong không gian R 4 đang được quan tâm nhiều hiện nay. Năm 2008, K. ˙ Ilarslan, E. Neˇsovi´c khảo sát đường chỉnh lưu trong không gian R 4 [16]. Đường xoắn trụ trong không gian R 4 được tìm hiểu bởi A. T. Ali, R. L´opez năm 2009 và tổng quát trong không gian R n vào năm 2010. Đường xoắn xiên trong không gian R 4 được khảo sát bởi A. T. Ali, R. L´opez (2009) [2] và được A. T. Ali, M. Turgut tổng quát cho trường hợp R n (2010) [3]. Đường B 2 -xoắn xiên trong không gian R 4 được khảo sát bởi M. ¨ Onder, M. Kazaz, H. Kocayiˇgit, O. Kilic (2008) [25] và được ˙ I. G¨ok, C. Cami, H. H. Hacisalihoˇglu tổng quát cho trường hợp R n (2009) [13]. Chương 2 giới thiệu sơ lược về mặt chính quy trong không gian R 4 , trình bày khái niệm ellipse độ cong, một số bất biến địa phương trong không gian R 4 . Sau đó, chúng tôi khảo sát các loại mặt tròn xoay và mặt tròn xoay cực tiểu trong không gian R 4 . Từ năm 2008 đến nay, lớp mặt tròn xoay trong không gian R 4 đang được quan tâm khá nhiều bởi G. Ganchev, V. Milousheva [8, 9, 10, 11, 12, 21]. 1 Chương 1 ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN R 4 Chúng ta đã khá quen thuộc với đường tham số trong không gian R 3 . Một đường cong được đặc trưng bởi độ cong và độ xoắn của nó. Người ta đã xây dựng một trường mục tiêu Frenet dọc đường cong, từ đó xây dựng công thức Frenet để khảo sát các đường tham số trong không gian R 3 . Tương tự như vậy, đường cong trong không gian R 4 được đặc trưng bởi các độ cong của chúng. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu về đường tham số, trường mục tiêu Frenet và công thức Frenet của đường tham số trong không gian R 4 . Cuối chương, chúng tôi giới thiệu một số đường cong trong không gian R 4 có các tính chất tương tự như các đường đặc biệt trong không gian R 3 . 1.1 Đường tham số Định nghĩa 1.1.1. Cho ánh xạ c : I −→ R 4 t −→ c(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t), x 4 (t)), với I là một khoảng trên R, các hàm thành phần x i : I −→ R, i = 1, 4. Gọi C = c(I) là ảnh của toàn bộ tập I qua ánh xạ c. Khi đó, (C, c) được gọi là đường tham số với tham số hóa c và tham số t trong không gian R 4 và C được gọi là vết của đường tham số. Nếu ánh xạ c là hàm khả vi, liên tục lớp C k thì ta nói c là đường tham số khả vi, liên tục lớp C k . Từ đây trở về sau, ta luôn giả sử các đường tham số khả vi, liên tục đến lớp cần thiết. Để đơn giản, thay vì dùng ký hiệu đầy đủ (C, c) để chỉ đường tham số, ta có thể nói C là đường tham số nếu tham số hóa đã biết. Khái niệm đường cong trong khóa luận này được hiểu là vết của một đường tham số nào đó. 2 Ví dụ 1.1.2. Cho hai điểm rời nhau P và Q trong không gian R 4 , đặt v = −→ P Q. Xét đường tham số với tham số hóa α : R −→ R 4 t −→ α(t) = P + vt. Khi đó α(0) = P, α(1) = Q. Ta gọi α là đường thẳng qua điểm P nhận v làm vector chỉ phương hay α là tham số hóa của đường thẳng P Q. Ví dụ 1.1.3. Cho đường tham số với tham số hóa α : [0, 2π) −→ R 4 t −→ α(t) = 1 √ 2 (sin t, cos t, sin t, cos t). Khi đó, α là đường tham số có vết nằm trên siêu cầu đơn vị S 3 = {x(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ R 4 : x, x = 1}. Định nghĩa 1.1.4. Đường tham số c : I ⊂ R → R 4 được gọi là đường tham số chính quy nếu c  (t) = 0, ∀t ∈ I. Với mỗi t mà c  (t) = 0, ta gọi tiếp tuyến của c tại t là đường thẳng qua điểm c(t) nhận c  (t) làm vector chỉ phương. Đường tham số chính quy c : I ⊂ R → R 4 được gọi là đường tham số độ dài cung nếu c  (t) = 1, ∀ t ∈ I. Từ đây trở về sau, ta luôn xét các đường tham số chính quy. Định nghĩa 1.1.5. Cho c : I ⊂ R → R 4 là đường tham số độ dài cung. Không gian vector trong R 4 sinh bởi {c  (s), , c (k) (s)} được gọi là không gian mật tiếp Φ k (s) thứ k của đường cong c tại s, k = 1, 3; Φ k (s) = Lin{c  (s), , c (k) (s)}, k = 1, 3, với Lin là ký hiệu của không gian vector sinh bởi. k-phẳng mật tiếp của đường cong c tại s là phẳng trong không gian R 4 đi qua điểm c(s) và có phương Φ k (s), k = 1, 3. Nhận xét 1.1.6. Tại mọi s, ta có Φ 1 (s) ⊂ Φ 2 (s) ⊂ Φ 3 (s) ⊂ R 4 . Định nghĩa 1.1.7. Đường tham số độ dài cung c : I ⊂ R → R 4 được gọi là song chính quy nếu dim Φ 2 (s) = 2, ∀s ∈ I; tức là hệ gồm hai vector {c  , c  } độc lập tuyến tính tại mọi s. 3 Định nghĩa 1.1.8. Đường tham số độ dài cung c : I ⊂ R → R 4 được gọi là tam chính quy nếu dim Φ 3 (s) = 3, ∀s ∈ I; tức là hệ gồm ba vector {c  , c  , c  } độc lập tuyến tính tại mọi s. Nhận xét 1.1.9. Đường tham số tam chính quy thì song chính quy và chính quy. 1.2 Công thức Frenet Trong không gian R 3 , người ta đã xây dựng công thức Frenet của đường, đây là một công cụ quan trọng để khảo sát các đường tham số. Tương tự như vậy, chúng tôi giới thiệu khái niệm trường mục tiêu Frenet và công thức Frenet của đường tham số trong không gian R 4 . Mệnh đề 1.2.1 ([19, p. 13]). Cho c : I ⊂ R → R 4 là đường tham số tam chính quy. Khi đó qua mỗi điểm s, tồn tại duy nhất một hệ vector {T (s), N(s), B 1 (s), B 2 (s)} trực chuẩn, xác định dương, thỏa mãn các điều kiện sau: (i) T (s) = c  (s), N(s) = c  (s) c  (s) , B 1 (s) ∈ Φ 3 (s), (ii) c  (s), T (s) > 0, c  (s), N(s) > 0, c  (s), B 1 (s) > 0. Chứng minh. Đặt T(s) = c  (s), khi đó  c  (s), T (s)  =  c  (s), c  (s)  > 0. Vì c là tham số độ đài cung nên T (s) = 1. Ta có c  (s) = 1, suy ra  c  (s), c  (s)  = 0 hay c  (s) ⊥ c  (s). Đặt N(s) = c  (s) c  (s) , khi đó N(s) ⊥ T (s), N(s) = 1 và  c  (s), N(s)  = 1 c  (s)  c  (s), c  (s)  > 0. Xét vector đơn vị B 1 (s) ∈ Φ 3 (s) = Lin{c  (s), c  (s), c  (s)} sao cho B 1 (s) ⊥ Φ 2 (s). Khi đó c  (s), B 1 (s) = 0. Chọn vector B 1 (s) sao cho nó được xác định bởi điều kiện c  (s), B 1 (s) > 0; vector B 1 (s) được chọn là duy nhất. Chọn vector B 2 (s) ∈ R 4 sao cho {T (s), N(s), B 1 (s), B 2 (s)} là hệ hệ vector trực chuẩn, xác định dương; vector B 2 (s) được chọn là duy nhất. 4 Định nghĩa 1.2.2. Hệ vector {T, N, B 1 , B 2 } được xác định duy nhất trong mệnh đề trên được gọi là trường mục tiêu Frenet dọc c trong không gian R 4 . Ta gọi T (s) là vector tiếp xúc đơn vị, N (s) là vector pháp chính, B 1 (s) là vector trùng pháp thứ nhất, B 2 (s) là vector trùng pháp thứ hai tại s của đường cong. Định lí 1.2.3 ([19, p. 27]). (Công thức Frenet của đường trong không gian R 4 ) Cho c : I → R 4 là một đường tam chính quy trong không gian R 4 với {T, N, B 1 , B 2 } là trường mục tiêu Frenet dọc c. Khi đó, tồn tại các hàm k 1 , k 2 , k 3 với k 1 , k 2 > 0 sao cho       T  N  B  1 B  2       =       0 k 1 0 0 −k 1 0 k 2 0 0 −k 2 0 k 3 0 0 −k 3 0             T N B 1 B 2       . Các hàm k 1 = T  , N, k 2 = N  , B 1 , k 3 = B  1 , B 2  tương ứng được gọi là độ cong thứ nhất, độ cong thứ hai và độ cong thứ ba của đường tam chính quy c. Chứng minh. Ta có T  =  T  , T  T +  T  , N  N +  T  , B 1  B 1 +  T  , B 2  B 2 . Mặt khác T  = 1 ⇒  T  , T  = 0; T = c  ⇒ T  ∈ Lin{c  , c  } = Lin{T, N} ⇒  T  , B 1  = 0 T  , B 2  = 0 . Đặt k 1 = T  , N, khi đó dấu của k 1 cùng dấu với c  , N. Do đó T  = k 1 N, k 1 > 0. (1.2.1) Ta có N  =  N  , T  T +  N  , N  N +  N  , B 1  B 1 +  N  , B 2  B 2 . Mặt khác N = 1; ⇒  N  , N  = 0; N = c  c   ⇒ N  ∈ Lin{c  , c  } = Lin{T, N, B 1 } ⇒  N  , B 2  = 0; N, T  = 0 ⇒  N  , T  = −  N, T   = −k 1 . Đặt k 2 = N  , B 1 , khi đó dấu của k 2 cùng dấu với c  , B 1 . Do đó N  = −k 1 T + k 2 B 1 , k 2 > 0. (1.2.2) 5 Ta có B  1 =  B  1 , T  T +  B  1 , N  N +  B  1 , B 1  B 1 +  B  1 , B 2  B 2 . Mặt khác B 1  = 1 ⇒  B  1 , B 1  = 0; B 1 , T  = 0 ⇒  B  1 , T  = −  B 1 , T   = 0; B 1 , N = 0 ⇒  B  1 , N  = −  B 1 , N   = −k 2 . Đặt k 3 = B  1 , B 2 . Khi đó B  1 = −k 2 N + k 3 B 2 . (1.2.3) Ta có B  2 =  B  2 , T  T +  B  2 , N  N +  B  2 , B 1  B 1 +  B  2 , B 2  B 2 . Mặt khác B 2  = 1 ⇒  B  2 , B 2  = 0; B 2 , T  = 0 ⇒  B  2 , T  = −  B 2 , T   = 0; B 2 , N = 0 ⇒  B  2 , N  = −  B 2 , N   = 0; B 2 , B 1  = 0 ⇒  B  2 , B 1  = −  B 2 , B  1  = −k 3 . Vì vậy B  2 = −k 3 B 1 . (1.2.4) Từ (1.2.1), (1.2.2), (1.2.3) và (1.2.4) ta được công thức trên. Nhận xét 1.2.4. Nếu c là đường tham số không là độ dài cung thì công thức Frenet được viết lại       T  N  B  1 B  2       = c         0 k 1 0 0 −k 1 0 k 2 0 0 −k 2 0 k 3 0 0 −k 3 0             T N B 1 B 2       . Nhận xét 1.2.5. Trong không gian R 3 , công thức Frenet của đường tham số độ dài cung là    T  N  B     =    0 k 1 0 −k 1 0 k 2 0 −k 2 0       T N B    , với k 1 là độ cong và k 2 là độ xoắn của đường cong. Như vậy, công thức Frenet của đường trong không gian R 4 là mở rộng của công thức Frenet của đường trong không gian R 3 . 6 Nhận xét 1.2.6. Nếu k 3 = 0 thì đường cong c nằm trong siêu phẳng 3 chiều trực giao với trường vector cố định B 2 . Thật vậy, giả sử đường cong c có độ cong k 3 = 0. Khi đó, theo công thức Frenet ta có B  2 = −k 3 B 1 = 0. Suy ra, B 2 là một trường vector hằng và c nằm trong siêu phẳng 3 chiều trực giao với B 2 . Ví dụ 1.2.7. Một đường cong α : I ⊂ R → R 4 trong không gian R 4 là đường thẳng khi và chỉ khi hàm độ cong thứ nhất k 1 (s) bằng 0 tại mọi điểm. Thật vậy, xét đường thẳng tổng quát có tham số hóa dộ dài cung cho bởi α(t) = a + vs, s ∈ R, với a là một điểm và v là vector đơn vị cố định trong không gian R 4 . Ta có α  (s) = T (s) = v = const. Theo công thức Frenet, ta có 0 = T  (s) = k 1 (s)N(s). Suy ra k 1 (s) = 0 tại mọi s. Ngược lại, giả sử đường tham số độ dài cung α có độ cong thứ nhất k 1 = 0. Khi đó T  = k 1 N = 0. Suy ra T = T 0 là một trường vector hằng. Do đó α(s) =  s 0 T (u)du + α(0) = s T 0 + α(0) là tham số hóa của đường thẳng. Định lí 1.2.8 ([27, p. 11]). (Định lý cơ bản của lý thuyết địa phương về đường) Cho k 1 (s), k 2 (s), k 3 (s) là các hàm khả vi với k 1 , k 2 > 0. Khi đó, tồn tại duy nhất một đường tham số tam chính quy c : I → R 4 nhận các hàm k i (s) làm các độ cong tại s. 1.3 Điều kiện để đường thuộc một siêu cầu Điều kiện cần và đủ để một đường cong nằm trên mặt cầu trong không gian R 3 được nhiều tác giả nghiên cứu như P. do Carmo [5], L. Haizhong, C. Weihuan [14]. Gần đây, J. Monterde cũng đưa đưa được điều kiện cần và đủ để một đường cong nằm trên siêu cầu trong không gian R 4 [22]. 7 [...]... vậy, đường cong α nằm trên siêu cầu S3 có tâm m bán kính r 1.4 Một số đường đặc biệt Trong mục này, chúng tôi tổng quan một số đường đặc biệt trong không gian R4 có các tính chất tương tự như trong không gian R3 , đó là đường chỉnh lưu, đường xoắn xiên, đường B2 -xoắn xiên 1.4.1 Đường chỉnh lưu Trong không gian R3 , đường chỉnh lưu α : I ⊂ R → R3 được Bang-Yen Chen giới −− −→ thiệu (2003) là đường. .. phương trong không gian R4 Sau đó, chúng tôi tìm điều kiện để ellipse độ cong suy biến thành một điểm hay một đoạn thẳng của hai loại mặt tròn xoay trong không gian R4 Cuối cùng, chúng tôi khảo sát các loại mặt tròn xoay cực tiểu trong không gian R4 2.1 Mặt chính quy Trong mục này, chúng tôi giới thiệu sơ lược về mặt chính quy trong không gian R4 , dạng cơ bản thứ nhất, dạng cơ bản thứ hai của mặt. .. Cho α : I ⊂ R → R4 là một đường tham số độ dài cung trong không gian R4 Nếu α là một đường xoắn xiên thì G2 + G2 + G2 + G2 = C, 1 2 3 4 với C là hằng số khác 0 Mệnh đề 1.4.16 ([3, p 333]) Không tồn tại đường xoắn xiên với độ cong hằng trong không gian R4 Mệnh đề 1.4.17 ([3, p 334]) Không tồn tại đường xoắn xiên với các tỷ số độ cong bằng hằng số trong không gian R4 1.4.3 Đường B2 -xoắn xiên ¨ Năm... nằm trong mặt phẳng trực đạc, sinh bởi trường vector pháp T và trường vector trùng pháp tuyến B của đường cong α Khi đó α(s) = λ(s) T (s) + µ(s) B (s), với λ(s) và µ(s) là các hàm khả vi tùy ý xác định trên I ˙ Tương tự như trong R3 , Kazim Ilarslan và Emilija Neˇovi´ đưa ra khái niệm đường s c −− −→ 4 chỉnh lưu α trong không gian R (2008), đó là đường cong có vector Oα(s) luôn nằm trong không gian. .. 10 (1.4.1) Định lý sau mô tả đường chỉnh lưu α qua các hàm độ cong k1 (s), k2 (s), k3 (s) và đưa ra điều kiện cần và đủ để một đường bất kỳ trong không gian R4 là đường chỉnh lưu Định lí 1.4.3 ([16, p 24]) Cho α : I ⊂ R → R4 là một đường tham số độ dài cung trong không gian R4 với các độ cong k1 (s), k2 (s), k3 (s) khác không tại mọi s Khi đó, α là một đường chỉnh lưu nếu và chỉ nếu k1 (s) k3 (s) (s... 2.1.7 Trong không gian R3 , với mỗi điểm p = X (u, v ), vector w = w1 Xu + w2 Xv ∈ Tp M , dạng cơ bản thứ hai IIp : Tp M −→ R của M tại p trong không gian R3 cho bởi 2 2 IIp (w) = e w1 + 2 f w1 w2 + g w2 , trong đó e = Xuu , N , f = Xuv , N , g = Xvv , N (N là pháp vector đơn vị của mặt M tại p) Do đó, dạng cơ bản thứ hai của mặt trong không gian R4 là mở rộng của dạng cơ bản thứ hai của mặt trong không. .. nhiều trong không gian R3 Chúng được định nghĩa bởi tính chất các tiếp tuyến của đường tạo một góc không đổi với một đường thẳng cố định (gọi là trục của đường xoắn ốc tổng quát) Gần đây, Izumiya và Takeuchi đã đưa ra khái niệm đường xoắn xiên (slant helix) trong không gian R3 được đặc trưng bởi trường vector pháp chính N tạo một góc không đổi với một hướng cố định [17] Các ông đã tìm điều kiện cần và. .. dụ minh họa sau Ví dụ 1.4.9 Xét đường cong trong không gian R4 cho bởi α(s) = √ a (sin s, cos s, sin s, cos s), a ∈ R0 , s0 ∈ R 2 cos(s + s0 ) Đường cong này có dạng α(s) = ρ(s)y (s), a 1 với ρ(s) = √ và y (s) = √ (sin s, cos s, sin s, cos s) là đường cong 2 cos(s + s0 ) 2 3 nằm trên siêu cầu S Do đó, α là đường chỉnh lưu trong không gian R4 1.4.2 Đường xoắn xiên Đường xoắn ốc tổng quát (curves of... Darboux của đường α cho bởi D=− Vì ( 1 k1 k3 k2 T+ k3 N + B2 k2 k3 k3 ) = 0, nên ta viết D = N + B2 Suy ra k2 k2 D = k3 k3 k1 k3 N + B2 = (−k1 T + k2 B1 ) − k3 B1 = − T k2 k2 k2 Do đó, D không là một trường vectorhằng Theo Định lí 1.4.23, α không là một đường B2 -xoắn xiên 26 Chương 2 MẶT TRONG KHÔNG GIAN R4 Trong chương này, chúng tôi giới thiệu sơ lược về mặt chính quy trong không gian R4 , trình... Do đó, α là một đường chỉnh lưu 16 Trong định lý tiếp theo, chúng ta tìm điều kiện của một đường có tính chất đặc biệt để nó là một đường chỉnh lưu Định lí 1.4.8 ([16, p 27]) Cho α : I → R4 là một đường cong trong không gian R4 cho bởi α(t) = ρ(t)y (t), với ρ(t) là hàm dương tùy ý và y (t) là đường tham số độ dài cung nằm trong siêu cầu đơn vị S3 Khi đó, α là một đường chỉnh lưu nếu và chỉ nếu a ρ(t)