2 MẶT TRONG KHÔNG GIAN R4
2.4.2Mặt tròn xoay loại 2 cực tiểu
Xét mặt tròn xoay loại 2 khi quay đường congc(u) = (f(u),0, g(u),0);u∈J ⊂R.
khi cố định hai mặt phẳngOe1e2 và Oe3e4 cho bởi
X(u, v) = (f(u) cosαv, f(u) sinαv, g(u) cosβv, g(u) sinβv);
với u ∈J ⊂R, v ∈[0,2π), α, β là các hằng số dương, f và g là hai hàm trơn thỏa mãn
α2f2(u) +β2g2(u)> 0, f02(u) +g02(u)>0, u∈J.
Mặt tròn xoay loại 2 là mặt cực tiểu khi và chỉ khi
( a E = − Gc e E = − Gg ⇔ g 0f00−f0g00 f02+g02 = − β 2gf0−α2f g0 α2f2+β2g2 . (2.4.1) Kết hợp phương trình (2.4.1) và điều kiện (2.3.3), ta có nhận xét sau.
Nhận xét 2.4.9. Nếu f(u) = 0 thì g 6= const. Khi đó, M là một phần của mặt phẳng.
Nếu chọn α = β, f = kg, k 6= const., g 6= const. thì theo phần chứng minh của Mệnh đề 2.3.2, mặt thu được là mặt phẳng.
KẾT LUẬN
Khóa luận bao gồm 3 phần: Mở đầu, nội dung và kết luận. Phần nội dung được trình bày trong hai chương.
Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu khái niệm đường tham số và trường mục tiêu Frenet của đường trong không gianR4. Trong không gianR4, đường tham số được đặc trưng bởi ba độ cong; nếu đường cong có độ cong thứ ba bằng 0 thì nó nằm trong siêu phẳngR3. Công thức Frenet của đường trong không gian R4 là mở rộng của công thức Frenet của đường trong không gianR3. Sau đó, chúng tôi trình bày điều kiện để một đường cong thuộc một siêu cầu. Cuối chương, chúng tôi tổng quan được một số đường có tính chất tương tự như các đường đặc biệt trong không gian
R3.
Trong chương 2, chúng tôi giới thiệu khái niệm mặt chính quy trong không gian
R4, khái niệm ellipse độ cong và các bất biến địa phương trong không gian R4. Sau đó, chúng tôi khảo sát hai loại mặt tròn xoay trong không gian R4. Ellipse độ cong của mặt tròn xoay loại 1 luôn suy biến thành một điểm hoặc một đoạn thẳng. Trong Mệnh đề 2.3.2, chúng tôi tìm được điều kiện cần và đủ để ellipse độ cong của mặt tròn xoay loại 2 suy biến thành một điểm và trong Mệnh đề 2.3.5 là một trường hợp để ellipse độ cong suy biến thành một đoạn thẳng. Cuối chương, chúng tôi khảo sát các loại mặt tròn xoay cực tiểu. Mặt tròn xoay cực tiểu loại 1 chính là mặt phẳng hoặc là mặt catenoid trong không gian R3.
Sau một thời gian tìm hiểu về đường và mặt trong không gian R4, chúng tôi nêu một số hướng phát triển của đề tài là tìm hiểu công thức tính các độ cong của đường trong không gianR4; tìm hiểu một số đường đặc biệt khác trong không gian
R4 như đường xoắn trụ (cylindrical helices hay inclined curves), đường có tỉ số độ cong hằng (ccr-curves hay W-curves), đường túc bế, đường thân khai, . . . Mặt cực tiểu cũng là một lớp mặt khá thú vị, cần được quan tâm; có thể khảo sát thêm mặt tròn xoay cực tiểu loại 2, mặt kẻ khả triển cực tiểu.
Do thời gian cũng như năng lực còn hạn chế nên còn nhiều vấn đề của khóa luận chưa được giải quyết triệt để. Kính mong quý thầy cô, các bạn đọc quan tâm góp ý, bổ sung để đề tài được hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các bạn đã góp ý cho tác giả và quan tâm đến khóa luận này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. A. T. Ali, Position vectors of slant helices in Euclidean space E3, preprint 2009: arXiv:0907.0750v1 [math.DG].
2. A. T. Ali, R. L´opez, Slant helices in Euclidean 4-space E4, preprint 2009: arXiv:0901.3324v1 [math.DG].
3. A. T. Ali, M. Turgut,Some characterizations of slant helices in the Euclidean space En, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, Volume 39 (3), 327-336, 2010.
4. M. Babaarslan, Y. Yayli,On helices and Bertrand curves in Euclidean 3-space, preprint 2010: arXiv:1010.3555v2 [math.DG].
5. M. P. do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1976.
6. F. N. Cole, On rotations in space of four dimensions, American Journal of Mathematics, Vol. 12, No. 2, 191-210, 1890.
7. B. Eisenberg, Surfaces of revolution in four dimensions, Mathematics maga- zine, Vol. 77, No. 5, 379-386, 2004.
8. G. Ganchev, V. Milousheva, Chen rotational surfaces in R4 with meridians lying in two-dimensional plane, preprint 2010: arXiv:1003.0550v1 [math.DG]. 9. G. Ganchev, V. Milousheva, Geometric interpretation of the invariants of a surface in R4 via the tangent indicatrix and the normal curvature ellipse, preprint 2009: arXiv:0905.4453v1 [math.DG].
10. G. Ganchev, V. Milousheva, Invariants of lines on surface in R4, preprint 2010: arXiv:1002.3749v1 [math.DG].
11. G. Ganchev, V. Milousheva, Minimal surfaces in the four-dimensional Eu- clidean space, preprint 2008: arXiv:0806.3334v1 [math.DG].
12. G. Ganchev, V. Milousheva,On the theory of surfaces in the four-dimensional Euclidean space, preprint 2007: arXiv:0708.3480v1 [math.DG], Kodai Math. J., 31 , 183-198, 2008.
13. ˙I. G¨ok,C.Cami,H.H.Hacisalihoˇglu, Vn-slant helices in Euclidean n-space (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
En, Math. Commun., Vol 14, No. 2, pp. 317-329, 2009.
14. L. Haizhong, C. Weihuan, Surfaces with spherical lines of curvature in R3, China Academic Journal Electronic Publishing House, Vol.28, No.3, 211-220, 1999.
15. N. V. Hoàng, Một số tính chất địa phương và toàn cục của mặt chính quy trong R4, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Sư phạm, Đại học Huế, 2008. 16. K. ˙Ilarslan,E.Neˇsovi´c, Some characterizations of rectifying curves in Eu-
clidean space E4, Turk J Math, 2008.
17. S. Izumiya, N. Takeuchi, New special curves and developable surfaces, Turk J Math, 28, 153-163, 2004.
18. L. Kula, N. Ekmeckci, Y. Yayli, K. ˙Ilarslan, Characterizations of slant helices in Euclidean 3-space, Turk J Math, 34, 261-273, 2010.
19. W. Ku¨hnel, Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds, Student Mathematical Library, vol. 16, 2006.
20. J. A. Little, On sigularities of submanifolds of higher dimensional Euclidean spaces, Ann. Mat. Pura Appl, 83, 261-335, 1969.
21. V. Milousheva, General rotational surfaces inR4 with meridians lying in two- dimensional planes, preprint 2009: arXiv:1003.0550v1 [math.DG].
22. J. Monterde, Curves with constant curvature ratios, preprint 2004: arXiv:math0412323v1 [math.DG].
23. C. L. E. Moore, Rotation surfaces of constant curvature in space of four di- mensions, Amer. Math Soc, 454-460, 1920.
24. C. L. E. Moore, Surfaces of revolution in four dimensions, The Annals of Mathematics, Seconseries, Vol. 21, No. 2, 81-93, 1919.
25. M.Onder¨ ,M.Kazaz,H. Kocayiˇgit,O. Kilic, B2-slant helix in Eulidean 4-
26. M. C. Romeo-Fuster, E. Sanabria-Codesal, Generalized helices, twistings and flattenings of curves in n-space, Universitat de Valencia, Mat. Contemporanea, 17, 267-280, 1999.
27. R. Sulanke, The fundamental theorem for curves in the n-dimension Euclidean space, Mathematica Notebook, http://www-irm.mathematik.hu- berlin.de/∼sulanke/diffgeo/euklid/ECTh.pdf, 2009.
28. M. Turgut, S. Yilmaz, Suur Nizamoglu, On the spherical curves and the components of the position vector of a space-like curve on the Frenet axis in
E41, Volume 45, No. 3, 339-347, 2008.
29. M. Turgut, A. T. Ali,Some characterizations of special curves in the Euclidean space R4, Acta Univ. Sapientiae, Mathematica, 2, 111-122, 2010.
Email address: ngocthangpro@gmail.com Tel: +841695377526