KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TOÁN HỌC: Vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai

LÍI C.M ÌN Trong qu¡ tr¼nh ho n th nh kha luªn, em ¢ nhªn ÷đc s h÷ỵng d¨n, ch¿ b£o tªn t¼nh ca gi£ng vi¶n Nguy¹n Th H£i, s giĩp , t¤o i·u ki»n ca c¡c gi£ng vi¶n khoa To¡n - Lþ - Tin ni chung v  c¡c gi£ng vi¶n gi£ng d¤y b mỉn ¤i s ni ri¶ng v  s ng vi¶n, giĩp , ng h ca c¡c b¤n sinh vi¶n K50 HSP To¡n Tr÷íng ¤i hc T¥y B­c. çng thíi º ho n th nh kha luªn n y em cơng ¢ nhªn ÷đc s giĩp , t¤o i·u ki»n v· cì sð vªt ch§t, thíi gian v  t i li»u tham kh£o ca Phng  o t¤o, c¡c phng ban, th÷ vi»n Tr÷íng ¤i hc T¥y B­c. Em xin b y t lng bi¸t ìn ch¥n th nh tỵi c¡c Th¦y, Cỉ gi¡o, c¡c b¤n sinh vi¶n v  c¡c ìn v ni tr¶n ¢ ng h v  giĩp  em ho n th nh kha luªn trong thíi gian qua. Em xin ch¥n th nh c£m ìn! Sìn La, th¡ng 5 n«m 2013 Ng÷íi thc hi»n: çng Th Ngc Mai 1

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã nhận được sự hướngdẫn, chỉ bảo tận tình của giảng viên Nguyễn Thị Hải, sự giúp đỡ, tạođiều kiện của các giảng viên khoa Toán - Lý - Tin nói chung và các giảngviên giảng dạy bộ môn Đại số nói riêng và sự động viên, giúp đỡ, ủng hộcủa các bạn sinh viên K50 ĐHSP Toán Trường Đại học Tây Bắc Đồngthời để hoàn thành khóa luận này em cũng đã nhận được sự giúp đỡ, tạođiều kiện về cơ sở vật chất, thời gian và tài liệu tham khảo của Phòng đàotạo, các phòng ban, thư viện Trường Đại học Tây Bắc

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo, các bạnsinh viên và các đơn vị nói trên đã ủng hộ và giúp đỡ em hoàn thành khóaluận trong thời gian qua

Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013Người thực hiện:Đồng Thị Ngọc Mai

Mục lục

1.1 Module 7

1.1.1 Định nghĩa 7

1.1.2 Module tự do 8

1.1.3 Module kiểu hữu hạn 9

1.1.4 Hạng của một module 10

1.1.5 Module trên vành chính 12

1.1.6 Chuẩn và vết 12

1.2 Phần tử nguyên trên một vành 13

1.2.1 Phần tử nguyên trên một vành 13

1.2.2 Vành đóng nguyên 18

1.3 Iđêan phân 18

1.4 Một số vành trong số học 20

1.4.1 Vành Euclide 20

1.4.2 Vành chính 21

1.4.3 Vành Gauss 23

1.4.4 Vành Noether 24

1.4.5 Vành Dedekind 24

1.5 Chuẩn của một iđêan 28

2 VÀNH CÁC PHẦN TỬ NGUYÊN CỦA TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI K = Q( √ d) VỚI d LÀ SỐ

NGUYÊN KHÔNG CÓ NHÂN TỬ BÌNH PHƯƠNG

2.1 Vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai K =

Q(√

d) 312.2 Một số trường hợp vành các phần tử nguyên là vành chính;

vành Euclide 362.2.1 Trường toàn phương K =Q[√

−19] 362.2.2 Trường toàn phương K =Q(√

5) 402.2.3 Trường toàn phương K = Q[√

13] 41

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một bộ môn khoa học có nhiều ứng dụng với các ngànhkhoa học cũng như thực tiễn Toán học giúp cho người học phát triển cácnăng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho người học óc tư duy trừutượng, tư duy chính xác, hợp logic, phương pháp khoa học trong suy luận,trong học tập Nhưng nó cũng là một môn học mang tính trừu tượng cao

và khô khan

Trong quá trình học môn "Đại số đại cương" ở trường Đại học TâyBắc, do thời gian có hạn và chưa có các phương pháp tốt để nghiên cứumôn này nên một số nội dung của nó chưa được các sinh viên nghiên cứusâu

Vành các phần tử nguyên là vành quan trọng trong số học Chươngtrình Đại số đại cương đã trình bày những kiến thức tổng quát và chỉ ramột số trường hợp vành các phần tử nguyên là vành chính và vành Euclide,trong đó trình bày ví dụ, tính chất và đã kết luận được nếu A là một vànhEuclide thì A là một vành chính Chúng ta đã biết điều ngược lại khôngđúng qua chứng minh vành Z

"

192

#

là vànhchính mà chưa chứng minh, vì vậy tôi chọn vấn đề "Vành các phần tửnguyên của trường đại số bậc hai" và chỉ ra một số trường hợp cụ thể vềvành các phần tử nguyên là vành chính và vành Euclide

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của khóa luận này là nghiên cứu vành các phần

tử nguyên của trường đại số bậc hai và chỉ ra một số trường hợp cụ thểvành các phần tử nguyên là vành chính, vành Euclide

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai

K = Q(√

d) và chỉ ra một số trường hợp cụ thể d = −19; 5; 13 vành cácphần tử nguyên là vành chính, vành Euclide

- Nghiên cứu vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai mộtcách có hệ thống, logic, chứng minh một số định lý một cách chi tiết

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Các định nghĩa, tính chất về vành các phần tử nguyên của trườngtoàn phương Q(√

d) ở đó d là số nguyên không có nhân tử bình phươngkhác 1 đưa ra các ví dụ về một số vành các phần tử nguyên với d là một

số cụ thể: -19; 5; 13

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm và tập hợp tài liệu, đọc, nghiên cứu, lựa chọn để thu thập cácthông tin, dữ liệu liên quan sau đó trao đổi, thảo luận với Thầy, Cô giáo

và bạn bè

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục, danh mục tài liệu tham khảonội dung của khóa luận có 2 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Trình bày các kiến thức cơ sở chuẩn bị cho chương 2 đó là các kiếnthức về module, phần tử nguyên trên một vành, iđêan phân, một số vànhtrong số học và chuẩn của một iđêan

Chương 2: Vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai

đód là số nguyên không có nhân tử bình phương là một số nguyên khác 1

và khẳng định vành các phần tử nguyên ứng với một số trường hợp cụ thể

là vành chính hay không là vành chính, vành Euclide hay không là vànhEuclide

7 Đóng góp của khóa luận

- Khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Toán ở trườngĐại học Tây Bắc, giúp sinh viên có thể hiểu sâu hơn về vành các phần

tử nguyên của trường đại số bậc hai K = Q(√

d) với d là một số nguyênkhông có nhân tử bình phương khác 1

- Chứng minh được vành các phần tử nguyên K = Q(√

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Các vành ở đây được giả sử là vành giao hoán có đơn vị, ngoài ra mộtvành con của vành có đơn vị chứa đơn vị của vành ấy Chương này sẽ cungcấp những kiến thức cơ sở phục vụ cho quá trình nghiên cứu vành cácphần tử nguyên của trường đại số bậc haiK = Q(√

d) ở đód là số nguyênkhông có nhân tử bình phương là một số nguyên khác 1

1.1 Module

Khái niệm module trên một vành là sự mở rộng của khái niệm khônggian vectơ trên một trường, nói rõ hơn nếu vành đã cho là một trường thìmodule trên trường này sẽ là không gian vectơ trên trường đó

Định nghĩa 1.1 Giả sử E là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệubằng x, y, z, và A là một vành (vẫn giả sử là vành giao hoán có đơn vịnhư đã quy ước ban đầu) mà các phần tử được ký hiệu bằng λ, µ, γ, Giả

sử cho hai phép toán

- Phép cộng:

E × E −→ E(x, y) 7−→ x + y

- Phép nhân một phần tử của A với một phần tử của E:

A × E → E(λ, x) 7→ λx

thỏa mãn các tính chất sau với mọi x, y ∈ E và mọi λ, µ ∈ A

1) E cùng với phép cộng là một nhóm aben

2) Phép nhân phân phối đối với phép cộng của vành A:

Lúc đó ta nói E cùng với phép cộng trong E và phép nhân với một phần tửcủa vành A, thỏa mãn các tính chất 1), 2), 3), 4), 5) là một module trênvành A, hay A- module, hay module khi A được hiểu ngầm

Như vậy, ta thấy định nghĩa module là một mở rộng của định nghĩakhông gian vectơ vì trường K được thay bằng vành A; đồng thời lớp cácmodule chứa lớp các nhóm aben vì mỗi nhóm aben có thể coi như mộtmodule trên vành số nguyên Z

Cho một module ta cũng có khái niệm module con, module thương,module tích, ánh xạ tuyến tính hay đồng cấu (module) như trong khônggian vectơ Cũng vậy, ta cũng có khái niệm độc lập tuyến tính, phụ thuộctuyến tính, hệ sinh, cơ sở Nhưng vì thay trường K bằng vành A nên khôngphải module nào cũng có cơ sở như trong không gian vectơ Một module

có cơ sở được gọi là module tự do, đó là một hệ (ei)i∈I(I có thể hữu hạn hay

vô hạn) những phần tử của module, sao cho mọi phần tử x của moduleđược viết duy nhất dưới dạng:

với cấu trúc A - module xác định bởi các thành phần:

Ta ký hiệu bằng A(I) module con sau đây của AI:

Trong A(I) ta xét phần tử ej = (δji)i∈I sao cho δji = 1 và δji = 0

dạng một tổ hợp tuyến tính hữu hạn các ej (do aj = 0 tất cả trừ một sốhữu hạn):

j∈I

ajej

Người ta bảo (ej)j∈I là cơ sở chính tắc của A(I) vàA(I) là một module

tự do vì có cơ sở Khi I hữu hạn thì AI = A(I) = A là A - module tự dovới cơ sở chính tắc là {1}, phần tử đơn vị là vành A

Giả sử M là một A - module, và(xi)i∈I là một họ phần tử của M Cũngnhư trong không gian vectơ, ánh xạ ei 7→ xi với i ∈ I, mở rộng một cáchduy nhất thành một ánh xạ tuyến tính từ module tự doA(I) vào module M

và ta cũng có các tương đương sau đây:

(xi)i∈I độc lập tuyến tính ⇔ f đơn ánh

(xi)i∈I là hệ sinh ⇔ f là toàn ánh

(xi)i∈I là cơ sở ⇔ f song ánh

Định nghĩa 1.2 Một module gọi là kiểu hữu hạn nếu nó có một hệ sinhhữu hạn

Chúng ta hãy đặc trưng các module có các module con kiểu hữu hạn(như vậy trước hết các module đó phải là kiểu hữu hạn) để làm cơ sở choviệc nghiên cứu vành và module nơte.

Bổ đề 1.1 Giả sử E là một tập hợp sắp thứ tự Các điều kiện sau là tươngđương:

a) Mọi họ không rỗng những phần tử của E có một phần tử tối đại.b) Mọi dãy tăng (xn)n≥0 những phần tử của E là dừng (nghĩa là tồntại n0 sao cho xn = xn0 với mọi n ≥ n0)

Định lý 1.1 Giả sử M là một A - module Các điều kiện sau đây là tươngđương:

a) Mọi họ không rỗng những module con của M có một phần tử tốiđại (đối với quan hệ bao hàm)

b) Mọi dãy tăng (Mn)n≥0 (đối với quan hệ bao hàm) những modulecon của M là dừng

c) Mọi module con của M có kiểu hữu hạn

Hệ quả 1.1 Trong một vành chính A, mọi họ không rỗng những iđêancủa A có một phần tử tối đại

Thậy vậy, các module con của A - module A là các iđêan của nó.Các iđêan này có dạng Ax vì A là vành chính, vậy là những module kiểuhữu hạn Áp dụng c) ⇒ a) của định lý

Giả sử A là một miền nguyên và K là trường các thương của nó XétA- module tự do A(I) và K - không gian vectơ K(I), với I là một tập hợpnào đó Hiển nhiên ta cũng có thể coi K(I) như một A - module và lúc

đó A(I) là một A - module con của A - module K(I) Bây giờ ta xét mộtmodule con M của A(I), nó cũng là một module con của A - module K(I).Gọi E là K - không gian sinh bởi A- module con M trong K(I); các phần

Thậy vậy E là một không gian con của K(I):

Giả sử ta có một module con N của A(I) đẳng cấu với M bởi đẳng

N trong K(I) Thế thì f có thể mở rộng thành đẳng cấu (K- không gianvectơ) ϕ : 1

sử (xi)i∈I là một cơ sở của X Ta có song ánh xi 7→ ei với i ∈ I, từ cơ sở

(xi)i∈I lên cơ sở chính tắc (ei)i∈I của A - module tự do A(I) cho ta đẳngcấuf giữa A - module tự do X và A - module tự do A(I) Lúc đóf hạn chếvào M cho ta M w f (M ) Nếu ta đổi cơ sở của X, lấy (x0i)i∈I chẳng hạn,thì song ánh x0i 7→ ei cho ta một đẳng cấu f0 : X w A(I) và M w f0(M ).Như vậy, nếu M là một module con của một module tự do, ta có thể nhúng

M vào module tự do A(I) và phép nhúng có thể không duy nhất, nhưngcác ảnh nhúng đều đẳng cấu

Định nghĩa 1.3 Giả sử M là một module con của một module tự do

X w A(I) trên một miền nguyên A và K là trường các thương của A.Nhúng M vào A(I) và coi M như một module con của A(I) và A(I) đượcnhúng trong K(I) Chiều của không gian con sinh bởi M gọi là hạng của M.

Định lý 1.2 Mọi module con M của một module tự do X trên một vànhchính A là một A - module tự do

Hệ quả 1.2 Nếu X là một module tự do có hạng n trên một vành chính

A thì mọi module con M của X là một module tự do có hạng nhỏ hơn hoặcbằng n

Định lý 1.3 Giả sử X là một module tự do trên một vành chính A và M

là một module con của X có hạng hữu hạn n Thế thì có một cơ sở B của

X, n phần tử ei của B và n phần tử của αi khác 0 thuộc A (1 ≤ i ≤ n)saocho:

a) Các αiei lập thành một cơ sở của M

b) αi chia hết αi+1 với 1 ≤ i ≤ n − 1

Hệ quả 1.3 Giả sử X là một module kiểu hữu hạn trên một vành chính

A Thế thì X đẳng cấu với tích A/Aα1 × A/Aα2 × × A/Aαn trong đócác αi thuộc A và αi chia hết αi+1 với 1 ≤ i ≤ n − 1

Hệ quả 1.4 Mọi module X trên một vành chính A không xoắn và có kiểuhữu hạn đều là module tự do

Hệ quả 1.5 Trên một vành chính A, mọi module X kiểu hữu hạn đẳngcấu với một tích hữu hạn những module Xi, trong đó mỗi Xi bằng A haybằng thương A/Aps với p là nguyên tố trong A

Đối với không gian vectơ n chiều ta có khái niệm vết, định thức và đathức đặc trưng của một tự đồng cấu u Bây giờ ta mở rộng khái niệm đóbằng cách xét một tự đồng cấu u của một module tự do M trên một miền

nguyên A có hạng n Nếu {mi}1 ≤ i ≤ n là một cơ sở của M và (aij) là

ma trận của u đối với cơ sở đó, thì ta định nghĩa vết, định thức và đa thứcđặc trưng của u như đã làm đối với không gian vectơ, đó là các đại lượngsau:

Các đại lượng trên độc lập đối với cơ sở đã chọn

Công thức (1.1) cho ta: T r(u + u0) = T r(u) + T r(u0)

nói một cách khác x là nghiệm của một đa thức đơn vị (đúng ra phải nói

đa thức có hệ tử cao nhất bằng đơn vị) trên A

b) Vành A[x] là một A - module kiểu hữu hạn

c) Có một vành con B của R chứa A và x, B là một A- module kiểuhữu hạn

Chứng minh

của R sinh bởi 1, x, , xn−1 Theo (1) xn ∈ M Ta hãy chứng minh bằngquy nạp theo k rằng mọi xn+k ∈ M, với mọi k ∈ N Hiển nhiên điều đó

đúng với k = 0 Giả sử xn+k−1 ∈ M, nghĩa là ta có

theo như ta vừa chứng minh các xm, xm−1, của f (x) đều thuộc M, vậy

Vậy A[x] có kiểu hữu hạn

B, như vậy ta có B = Ay1 + + Ayn Vì x ∈ B; yi ∈ B và B là mộtvành con của R nên xyi ∈ B với i = 1, 2, , n do đó tồn tại những phần

Ta được một hệnphương trình tuyến tính thuần nhất đối với(y1, y2 , yn)

thức Cramer, ta được dyi = 0 với mọi i Vì B = Ay1 + + Ayn tasuy ra Bd = Ady1 + + Adyn = 0 Như vậy bd = 0 với mọi b ∈ B;

đượcxn từ tích (x − a11)(x − a22) (x − ann) các phần tử trên đường chéochính

Chú ý Ở chứng minh trên ta đã xét định thức d với các thành phần

là các phần tử của một vành B giao hoán có đơn vị Nếu chú ý, ta sẽ thấy

ta có thể định nghĩa định thức với các thành phần của nó lấy từ một vànhgiao hoán và ta có các tính chất đa tuyến tính, thay phiên như đối vớitrường K, tiếp theo ta cũng có thể khai triển định thức theo các thànhphần của một dòng hay một cột, điều mà ta đã làm để đi tới công thứcCramer cho nghiệm của một hệ n phương trình với n ẩn

Định nghĩa 1.4 Giả sử R là một vành và A là một vành con của R Mộtphần tử x của R gọi là nguyên trên A nếu nó thỏa mãn ba điều kiện tươngđương a), b), c) của định lý 1.4 Giả sử f (X) ∈ A[X] là một đa thức đơn

vị sao cho f (x) = 0 (điều kiện a), quan hệ f (x) = 0 gọi là phương trìnhphụ thuộc nguyên của x trên A

Ví dụ:

−x = √7 ∈ R là nguyên trên Z, phương trình phụ thuộc nguyên của

√

7 trên Z là x2− 7 = 0 và x = i ∈ C là nguyên trên Z, phương trình phụ

thuộc nguyên của x = i ∈Z là x2 + 1 = 0

Định lý 1.5 Giả sử A là một vành con của vành R và x1, , xn là n phần

tử của R Nếu với mọi i, xi nguyên trên A[x1, , xi−1] chẳng hạn nếu mọi

xi đều nguyên trên A thì điều kiện đó được thỏa mãn, thì A[x1, , xn] làmột A- module kiểu hữu hạn

Chứng minh

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n Với n = 1 khẳng định là đúngtheo định lý 1.4, b) Giả sử đúng tới n − 1, lúc đó B = A[x1, , xn−1] là

một A - module kiểu hữu hạn, B =

p

P

j=1

Abj Theo định lý 1.4, b), B[xn] làmột B - module kiểu hữu hạn, B[xn] =

Hệ quả 1.6 Giả sử A là một vành con của vành R, x và y là những phần

tử của R nguyên trên A Thế thì x + y, x - y, xy là nguyên trên A

Chứng minh

Theo định lý 1.5, A[x, y] là một A - module hữu hạn sinh Mặt khác

trên A

Như vậy nếu lấy A = Z (theo thứ tự Q) và R = C, hệ quả 1.5 cho ta

biết tổng, hiệu, tích của hai số nguyên đại số (theo thứ tự đại số) là một

số nguyên đại số ( theo thứ tự đại số)

Hệ quả 1.7 Giả sử A là vành con của vành R Tập hợp B các phần tửcủa R nguyên trên A là một vành con của B chứa A

Chứng minh

Giả sử x, y ∈ B theo hệ quả 1.5; x − y ∈ B và xy ∈ B vậy B là mộtvành con của R Mặt khác mọia ∈ A là nghiệm của đa thức đơn vị X − a

vậy là nguyên trên A, từ đó B chứa A

Định nghĩa 1.5 Giả sử A là một vành con của vành R; vành B gồm cácphần tử của R nguyên trên A gọi là cái đóng nguyên của A trong R Giả sử

A là một miền nguyên và K là trường các thương của A; cái đóng nguyêncủa A trong K gọi là cái đóng nguyên của A Giả sử A là một vành con củamột vành C; ta bảo C là nguyên trên A nếu mọi phần tử của C là nguyêntrên A, nói một cách khác: nếu cái đóng nguyên của A trong C trùng với C

Định lý 1.6 Giả sử A là một vành con của một vành B và B là mộtvành con của một vành C Nếu B nguyên trên A và C nguyên trên B, thì

C nguyên trên A (tính chất bắc cầu)

Chứng minh

Giả sử x ∈ C Vìx nguyên trên B nên x thỏa mãn phương trình phụthuộc nguyên:

B0 là một A-module kiểu hữu hạn Mặt khác, từ phương trình phụ thuộcnguyên của x, ta có x nguyên trên B0

Theo định lý 1.5, B0 = A[b0, b1, , bn−1, x] là một A - module kiểu hữuhạn Áp dụng định lý 1.4, c) ta có x nguyên trên A

Định lý 1.7 Giả sử A là một vành con của miền nguyên B và B là nguyêntrên A Thế thì B là một trường khi và chỉ khi A là một trường

Chứng minh

Giả sử A là một trường và0 6= x ∈ B Vì B là nguyên trên A thì A[x]

là một không gian hữu hạn chiều trên trường A (định lý 1.4, b)) Xét ánh xạ

ϕ : A[x] → A[x]

y 7→ xy

ϕ là tuyến tính và đơn ánh vì B là miền nguyên Do A[x] có chiều hữuhạn nên một đơn cấu là một đẳng cấu, vì vậy tồn tại z ∈ A[x] để

B, ta suy ra miền nguyên B là một trường

Đảo lại, giả sử B là một trường và 0 6= x ∈ A Xét nghịch đảo

x−1 ∈ B Vì B nguyên trên A nên x−1 thỏa mãn phương trình

Nhân hai vế với xn

Giả sử A là một vành chính và K là trường các thương của A Giả

nhau Từ đó thay x bằng a/b trong (1.2) và nhân với bn

Như vậy b chia hết an, nhưng b nguyên tố với a, vậy b chia hết an−1 Tiếptục lý luận, ta được b chia hết a; vậy x = a/b ∈ A và A là đóng nguyên

1.3 Iđêan phân

Định nghĩa 1.7 Cho A là một miền nguyên, K là trường các thương của

A Ta gọi iđêan phân của A mọi A - module con I của K (K có thể coinhư một A - module) sao cho tồn tại 0 6= d ∈ A, thỏa mãn I ⊂ d−1A

Định lý 1.9 Mọi A - module con I có kiểu hữu hạn là một iđêan phân.

Ta cũng có định nghĩa tích của hai iđêan phân như đối với haiiđêan thông thường

Định nghĩa 1.8 Tích của hai iđêan phân I, J của A ký hiệu là IJ là mộtiđêan phân gồm các tổng hữu hạn P

aibi

+ Ta có IJ ⊂ I ∩ J nhưng không luôn có đẳng thức

+ Các iđêan phân khác (0) của A lập thành một vị nhóm giao hoánđối với phép nhân

Định nghĩa 1.9 Cho A là miền nguyên, K là trường các thương của A.Iđêan phân I của A gọi là iđêan phân chính nếu tồn tại x ∈ K sao cho

⇐ Rõ ràng dI = J ⊂ A nên I ⊂ d−1A Hơn nữa I là A - module con của

K, trong đó K là trường các thương của A

1

Vậy I là iđêan phân của A.

Mệnh đề 1.2 Cho A là miền nguyên, K là trường các thương của A Tập

I 6= ∅ của K được gọi là iđêan phân chính khi và chỉ khi tồn tại a ∈ A và

1

Hay có thể phát biểu I là iđêan phân chính khi và chỉ khi tồn tại

1.4 Một số vành trong số học

Trong bài này chúng ta sẽ đề cập tới một số vành đóng vai trò quantrọng trong số học, đó là các vành: Euclide, vành chính, vành Gauss, vànhNoether và vành Dedekind Các vành này đã được trình bày trong giáotrình Đại số của các trường Đại học sư phạm, ở đây ta sẽ nhắc lại

1) Nếu b|a và a 6= 0 thì δ(b) ≤ δ(a)

2) Với hai phần tử tùy ý a và b của A, b 6= 0, có q và r thuộc A sao

2) Nếu a|b và δ(a) = δ(b), thì a và b liên kết Thật vậy lấy a chia cho

b ta được a = bq + r Nếu r 6= 0 thì δ(r) < δ(b) = δ(a) Mặt khác, vì a|bnên a chia hết r = a − bq; vậy δ(a) < δ(r), mâu thuẫn với δ(r) < δ(a)

Từ đó r=0, a=bq, nghĩa là b|a Kết hợp giả thiết a|b, ta được a và b liênkết

3) Nếu u là một đơn vị (phần tử khả nghịch trong A) thì δ(u) = δ(1)

và đảo lại Thật vậy, nếu u là một đơn vị thì u và 1 liên kết, nênδ(u) = δ(1)

(theo 1) Đảo lại, giả sử δ(u) = δ(1); vì 1|u, nên theo 2) ta có u liên kết,nghĩa là u là một đơn vị

Trước hết vì A là vành Euclide nên nó là một miền nguyên Giả sử

J là một iđêan của A Nếu J = 0 thì J = (0) Nếu J 6= 0 thì tồn tại

J∗ = J {0}

và a0 là phần tử thuộc J∗ sao cho δ(a0) ≤ δ(x) ∀x ∈ J∗ Ta sẽ chứng tỏ

Do a0 6= 0 và do A là vành Euclide nên tồn tại q, r ∈ A sao cho

trong đó r = 0 hoặc δ(r) < δ(a0) nếu r 6= 0 Do a, a0q ∈ J nên

trái với giả thiết về a0 Vậy r = 0, do đó a = a0q ∈ (a0) Điều này chứng