Khóa luận tốt nghiệp toán Hàm tử Hom và dãy khớp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • • KHOA TOÁN TÀO THI DUYÊN HÀM TỬ HOM VÀ DÃY KHỚP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Sau một thòi gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, khóa luận của em đã hoàn thành. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đõ của các thầy cô ữong khoa toán, các thầy cô trong tổ đại số đã tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian em làm rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga SV: Tào Thị Duyên 1 K36B-Sưphạm Toán khóa luận. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô giáo, TS. Nguyễn Thị Kiều Nga - người đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình thực hiện khóa luận. Mặc dù có nhiều cố gắng song do hạn chế về thòi gian cũng như kiến thức, tài liệu, nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận đươc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Tào Thị Duyên LỜI CAM ĐOAN Trong quá trình thực hiện khóa luận ngoài sự nỗ lực của bản thân, em còn nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô giáo, TS. Nguyễn Thị Kiều Nga. Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng em và nó không trùng với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Tào Thị Duyên MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng ưong toán học. Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại. Vói nhu càu học hỏi của sinh viên khoa toán và nhiều người khác quan tâm đến toán học nói chung và đại số nói riêng thì việc nghiên cứu môn đại số cần có sự hiểu biết một cách sâu sắc về các cấu trúc đại số. Các cấu trúc đại số bao gồm nhóm, vành, trường, môđun, .Trong đó “môđun” là một trong những khái niệm quan trọng nhất của đại số hiện đại. Một trong những ứng dụng quan ttọng khi nghiên cứu lý thuyết môđun là xét dãy các R - đồng cấu mà thỏa mãn tính chất ảnh của đồng cấu vào trùng với hạt nhân của đồng cấu ra, khi đó ta có dãy khớp. Qua quá trình học tập và nghiên cứu, em thấy dãy khớp có ứng dụng rất rộng rãi. Trong đại số, dãy khớp và các tính chất của nó được sử dụng nhiều khi nghiên cứu về tích Tenxơ, hàm tử Hom, Trong Tôpô đại số, giải tích hàm thì nghiên cứu dãy khớp tôpô, dãy khớp ngắn của ánh xạ tuyến tính giữa các không gian như không gian Frechet, Ngoài ra, dãy khớp còn có ứng dụng rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga SV: Tào Thị Duyên 2 K36B-Sưphạm Toán trong nhiều ngành khác. Vì vậy em chọn đề tài “Hàm tử Hom và dãy khớp” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiền cứu Bước đàu làm quen vói công tác nghiên cứu khoa học đồng thời muốn đi sâu, tìm tòi, nghiên cứu về dãy khớp, hàm tử Hom và dãy khớp. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Sử dụng kiến thức môđun và dãy khớp để nghiên cứu hàm tử Hom và dãy khớp. 4. Phương pháp ngỉên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng họp và đánh giá. 5. Cấu trúc khóa luận Ngoài phàn Mở đàu, Kết luận, Tài liệu tham khảo,nội dung của khóa luận được chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Nội dung chủ yếu của chương này là trang bị những kiến thức cơ bản về môđun. Chương 2: Hàm tử Hom và dãy khớp. Ở chương này đưa ra một số định lý, hệ quả có tính chất quan trọng, một số nhận xét khái quát về dãy khớp, dãy khớp ngắn, dãy khớp chẻ ra, hàm tử Hom, hàm tử Hom và dãy khớp và một số bài tập ứng dụng. rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga SV: Tào Thị Duyên 3 K36B-Sưphạm Toán CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BI 1.1. Môđun, mô đun con, môđun thương 1.1.1. Môđun 1.1.1.1. Định nghĩa Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1. M là một nhóm cộng Abel. M gọi là một môđun trái trên R hay R - môđun trái nếu tồn tại ánh xạ ( gọi là tích vô hướng trên R) f:RxM —>M (a,x) I—> thỏa mãn các điều kiện sau: ịa+J3)x = ax+J3x a(x+y) = ax+ay {aP)x = aị K fĩx) l.x = x Với mọi a,p&R và mọi x,yeM. Tương tự, một môđun phải trên R hay R - môđun phải là một nhóm Abel cộng cùng với một ánh xạ f :M xR—>M (x,a) I—> ứiỏa mãn các điều kiện sau: xịa + p} = xa + xfi (x + y)a = xa + ya ^ — ( xa) p x.l- x Với mọi a,P&R và mọi x,y eM . Nhận xét: Nếu R là vành giao hoán thì khái niệm R - môđun trái trùng với khái niệm R - môđun phải. Sau đây ta chỉ xét R - môđun trái và gọi chúng là R - môđun. I.I.I.2. Tính chất ChoM làR - môđun, với mọi a,p&R, mọi X,ỵ eM ta có: a) Q’,Ũ.Q M 0 M b) a.(-x) - (~a).x — —ax c) {a—b)x = ax — bx r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga SV: Tào Thị Duyên 4 K36B-Sư phạm Toán d) a{x — y) = ax — ay I.I.I.3. Ví du về môđun ■ Vídụl Mỗi không gian vectơ trên một trường K là một môđun trên K và ngược lại. Nhận xét'. Khái niệm môđun là khái niệm tổng quát của không gian vectơ. Ví dụ 2 Mỗi nhóm Abel cộng M đều là z - môđun Thật vậy, mọiX&M,n eZ Ta đặt n>0 n- 0 n < 0 Do đó nx&M. Do đó ánh xạ z M (n,x) 1-^ xác định và thỏa mãn 4 điều kiện của môđun. r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga SV: Tào Thị Duyên 5 K36B-Sư phạm Toán Nhận xét : Ví dụ trên chứng tỏ lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết nhóm Abel. Ví dụ 3 Giả sửX là vành bất kỳ với đơn vị 1 vài? là vành giao hoán củaX chứa 1. Khi đó, với mọi a € R và mọi X e X . RxX^>X (ia,x ) h-> xác định, thỏa mãn 4 điều kiện của môđun. Do đó, mọi vành giao hoán có đơn vị là một môđun trên chính nó. Nhận xét: Lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết vành. Ví dụ 4 Cho R là vành giao hoán có đơn vị, /?[jc]là vành đa thức ẩn X. Với phép cộng hai đa thức thông thường và phép nhân đa thức với các vô hướng xác định bởi / (x) = a 0 + aiX + +a n x n af(x) = aa 0 + ac^x + + aa n x n Vói mọi -R. Khi đó R[x\ là R - môđun. Ví dụ 5: Cho R là vành có đợn vị. Kí hiệu: Rn ={(ai,a2,-;an)\ai£R },n^N*. Trên R n xác định hai phép toán cộng và nhân vô hướng như sau: u^ = (”'+hu ,an + bn) ^ (ữlỉ ữ2v,,,íứn) (ữữlỉ CLữ 25 ••••? dữ rì) với mọi aeR\(ai,.:;a n )>{bi,—;bn)eR n ’ Khi đó, R n là nhóm cộng Abel và thỏa mãn 4 điều kiện của R - môđun. Vì thế R n ìầR - môđun. 1.1.2. Môđun con 1.1.2.1. Định nghĩa rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga SV: Tào Thị Duyên 6 K36B-Sưphạm Toán Cho MỉầR- môđun, N c= M ,N gọi là môđun con của M nếu N là R - môđun với hai phép toán cảm sinh. 1.1.2.2. Điều kiện tương đương Cho M làR - môđun, N ^ 0 , N . Khi đó các mệnh đề sau tương đương: i) NỉầR- môđun con của M ii) Vói mọi a&R, mọi jt,}>eAfthì x+y&N, ax&N. iii) Với mọi a,p&R, mọi x,ỵ G. N thì ax + /3y G N 1.1.2.3. Ví du về môđun con Vídụl Cho M ỉầR- môđun tìủ M có ít nhất 2 môđun con là M và môđun {0}. Ví dụ 2 ■ Nếu M là một nhóm Abel cộng, xem như một T' - môđun thì các môđun con của nó là các nhóm con của nhóm cộng Abel M. Ví dụ 3 Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1 thì mọi idean của R đều là môđun con của R. 1.1.2.4. Tính chất Giao của một họ bất kì các môđun con của M là một môđun con của M. Nhân xét : Họp của một họ bất kì các môđun con của M nói chung không là môđun con của M. rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga SV: Tào Thị Duyên 7 K36B-Sưphạm Toán - Nếu MỉầR- môđun, yNi) đều là các môđun con củaM thỏa mãn Vỉ, j el , 3 k el sao cho N i c Nk và Nj c Nk thì u là một môđun con của M. 1.1.2.5. Tồng của một họ môđun con Cho M là R - môđun, ^ Ni ) là một họ các môđun con của M. Khi đó, môđun sinh bỏi|J được gọi là tổng của một họ các môđun con (W'L- Kí hiệu: £iV,. ỉ'e/ Nhân xét: - Ta có ^NịlầR - môđun con của M và đó là môđun con bé nhất ie/ của M chứa các môđun con ; e I. - Nếu I = { 1 , 2 n } thì ta viết là ^Nị i =1 Đặc biệt: +) Nếu Ni ^ N2 thì N1 + N2 = {N1 u N2) ={Ni) = N1 +) Nếu N là môđun con của M thì /at' ' 1 W\ = ÌM)=M +) Ar+{o} = (Nu{o}) = (jv)=;v 1.1.3. Môđun thưoug I.I.3.I. Xây dựng môđun thương Giả sử M là một R - môđun và N là một môđun con của nó. Khi đó, Mỵ^j = ịx + N\XGM} là một nhóm Abel cộng với phép cộng trong được định nghĩa như sau: (x + N) + (y + N) = x + y + N Trên xác định phép nhân vô hướng như sau: rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga SV: Tào Thị Duyên 8 K36B-Sưphạm Toán Với mọi a&R, mọi X + N e thì a(x + N) = ax + N. Khi đó, Mỵ/ là R - môđun. Thật vậy, vói mọi cc,J3gR, mọi X + N,y+N tacó / 'ĩ<ĩ\ —ry(x + V) + N = ax + ay + N -~ + N + ay + N '" + N) {a + 0)(x + N) = {a + Ị3)x + N =ax + Ịĩx + N = ax + N + fix + N = a(x + N) + /3(x + N) +) ' fírì + N = aĩfi(x + N)] +) l.(x + N) = l.x + N = x + N gọi là môđun thương của môđun M theo môđun con N. I.I.3.2. Định nghĩa Cho N là một môđun con của một R - môđun M. Khi đó, R môđun được xây dựng như trên gọi là môđun thương của M theo N. Phần tử X + N của thường được ký hiệu là X và được gọi là ảnh của X trong 'V V- Nhận xét: Nếu p là một môđun con của M chứa N thì R - môđun thương là một môđun con của ■ I.I.3.3. Ví dụ về môđun thương Ví dụ 1 Cho M là R - môđun, tồn tại các môđun con {0} và M. Do đó tồn tại các môđun thương M / M ={X + M\X<EM} = {M\X<EM} = {M} ^/ịóị = {{0} + -* Ie Af I = {jc IJC e Af } = M rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga SV: Tào Thị Duyên 9 K36B-Sưphạm Toán Ví dụ 2 Cho R là vành có đơn vị thì R là R - môđun. Ả là idean của R thì A Là R - môđun con của R. Khi đó, tồn tại môđun thương R / A = {X + A\X&R) Ví dụ 3 Q là z - môđun, z là nhóm cộng của Q nên z là môđun con của 0. Khi đó, tồn tại môđun ứiương ^ Q chỉ gồm các phần lẻ của các số hữu tỉ. 1.2. Môđun sinh bởi một tập, môđun hữu hạn sinh 1.2.1. Định nghĩa Cho M là R - môđun, - M, giao của tất cả các môđun con của M chứa s là một môđun con của M chứa s (đó là môđun con nhỏ nhất của M chứa tập hợp con s đã cho). Môđun này được gọi là môđun con sinh bởi tập s và kí hiệu là (5) rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga SV: Tào Thị Duyên 10 K36B-Sưphạm Toán [...]... môđun./ :M và g:N —>K là các R đồng cấu Khi đó, h = g° là đồng cấu tầm thường nếu và chỉ nếu Kerg CHƯƠNG 2 HÀM TỬ HOM VÀ DÃY KHỚP r Khóa luận tôt nghiệp 2.1 Dãy khớp 2.1.1 GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Định nghĩa dãy khớp Dãy các môđun và các R - đồng cấu : Mn >Mn-l — >Mn-2 ->••••(*) được gọi là dãy khớp nếu Im/ = Kerf pVỚi mọi n 2.1.2 .Dãy khớp ngắn 2.1.2.1 Định nghĩa Một dãy khớp bất kì... ta viêt F tìiay cho F 0 và F M Giả sử F :P—>Q, G:Q—>R Khi đó, bằng cách lấy họp thành ta được một hàm tử mới G ° R gọi là hàm tử hợp thành của của F và G Nếu F và G cùng hiệp biến hoặc nghịch biến thì G ° là hiệp biến, ngược lại thì G ° là nghịch biến Ví dụ về hàm tử Ví dụ 1 r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Hàm tử quên F từ phạm trù các nhóm Abel 31 vào phạm trù tập hợp (5... mọi dãy khớp ngắn 0 >A —- —>B —»c >0 những đồng cấu của những môđun trên R, ba phát biểu sau là tương đương i) Dãy khớp ngắn đó chẻ ra Đồng cấu / có một nghịch đảo trái i i i ) Đồng cấu g có một nghịch đảo phải 2.3 Hàm tử Hom và dãy khớp ii) 2.3.1 Môđun các đồng cấu Giả sử M, NỉầR - môđun Ta gọi tập họp tất cả các R - đồng cấu từ M tới N là Hom R (M, N) r Khóa luận tôt N) (Khi R đã rõ) hoặc Hom( M,... sẽ chứng minh (1) chẻ ra tại A và c nếu và chỉ nếu nó chẻ ra tại môđun B Chứng minh Ta có, lmợ? = ẹ?(0) = 01à/? - môđun con củaA vàA = 0© A -\mọ® A Do đó dãy khớp chẻ ra tại A Ta có Kerh = ĩmg =c mà c = c©0^>c = Kerh ©0 = Img ©0 Do đó dãy khớp chẻ ra tại c Vậy dãy khớp ưên chẻ ra nếu và chỉ nếu nó chẻ ra tại R - môđun B 2.2.2.2 Ví du Cho M và N là những R - môđun Xét dãy các R - môđun: 0 >M —® N —... —>y—ẵ—>z >0 được gọi là một dãy khớp ngắn 2.1.2.2 Điều kiện tương đương của dãy khớp ngắn Dãy khớp với 5 môđun 0—2—>X — — ẵ — » z — > 0 ( * ) là dãy khớp ngắn khi và chỉ khi / là đơn cấu, g là toàn cấu, Im/ = Kerg Chứne minh Vì (*) là dãy khớp nên ta có ” ^ T— f - ^rọ\\mg = Kerh Lai có í 2.I.2.3 flmẹ? = {0}\Kerf ={ 0} =>\ [Kerh = z [ Img - Z suy ra / là đơn cấu và g 1: Ví dụ Ví dụ 1 Cho M là R... đồng cấu tầm thường khi và chỉ khi Im g = 0 Ta có /ỉ là đơn cấu khi và chỉ khi Kerh = 0 Vì (*) là dãy khớp nên ta có Img = Kerh Do đó b c Hệ quả 1 Trong một dãy khớpKhóa luận Ítôt nghiệp r tùy ý A — —^B —i—»c—^—>D —t—>E những sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga GVHD: Tiến đồng cấu của các R - môđun, c = 0 nếu và chỉ nếu/là một toàn cấu và k là một đơn cấu Chứng minh =>) Với c = 0 ta có g và h là những đồng cấu... cấu xạ là ánh xạ hợp thành Ví dụ 3 Phạm trù các R - môđun -Ob(R ) là tập hợp gồm tất rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga cả các R - môđun - Tích các cấu xạ là tích các R - đồng cấu 23.2.2 Hàm tử a) Định nghĩa hàm tử Cho p và Q là hai phạm trù Một hàm tử hiệp biến (tương ứng nghịch biến) F từ p vào Q là một cặp các ánh xạ F = (F 0 ,F M )\ F0 : Ob(P) —> Ob(Q) F M : Mor(P) —» Mor( íor K (X, A) Khi đó, ( -*A) là một hàm tử nghịch biến 2.3.2.3 Hàm tử Hom . trọng, một số nhận xét khái quát về dãy khớp, dãy khớp ngắn, dãy khớp chẻ ra, hàm tử Hom, hàm tử Hom và dãy khớp và một số bài tập ứng dụng. rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều. thức môđun và dãy khớp để nghiên cứu hàm tử Hom và dãy khớp. 4. Phương pháp ngỉên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng họp và đánh giá. 5. Cấu trúc khóa luận Ngoài phàn Mở đàu, Kết luận, Tài. Toán ' 4 / — ỵ f N / CHƯƠNG 2. HÀM TỬ HOM VÀ DÃY KHỚP 2.1. Dãy khớp 2.1.1. Định nghĩa dãy khớp Dãy các môđun và các R - đồng cấu : Mn >Mn-l — >Mn-2 >••••(*) được gọi là dãy