i) Vói mọi (p eHomR (A,B) ta có:
2.4. Một số bài tập 1 Bài tập về môđun
2.4.1. Bài tập về môđun
Bài 1
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
Nếu M chỉ có hai môđun con là {0} và M thì M gọi là R - môđun đơn. Giả sử ,/f —» AMà đồng cấu của môđun đơn M và môđun N. Chứng minh rằng Im / là môđun đơn con của N và / là đơn ánh trong trường hợp Im/ * 0.
Giải
Ta có Im/là môđun con của N ( tính chất của đồng cấu môđun). Gọi A là môđun con của Im/thì /_1(A) là môđun con của M. Do M là môđun đơn nên
71(A) = {0} r/-1(A) = {0}
J-\A) = M^ L f ( M ) = A
Xét trường hợp /_1(A)={0} .Ta có f~ l (A) = { x e M I/(jc) G A} = {0} . Mà ^ = 0nên - í0}. Thật vậy, giả sử ^ 0 tức tồn tại 4 v^o
sao cho y - f(x),x G A,x * Ovì nếu X - 0 thì y = /(0) = 0 (mâu thuẫn). Do f ( x ) nên •C“1(A) tức ' M*{0} (mâu thuẫn)
Suy ra A = {OỊhoặc A = Im/. Vậy Im/ là môđun con đơn của N.
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
Giả sử Im/ ^0 . Ta có Keĩf = { x e M \ f ( x ) = 0} = f là môđun con của M. Suy ra Kerf = 0 hoặc Kerf = M .
Neu Kerf =M =>/ = ớ=> Im/ =0 (mâu thuẫn). Vậy Kerf =0 hay / là đơn cấu.
Bài 2
Cho M là R - môđun, N là môđun con của M, M/N và N là các R - môđun hữu hạn sinh. Chứng minh rằng M là R - môđun hữu hạn sinh. Giải
Do N là hữu hạn sinh nên tồn tại x l ,x ĩ ,....x €= N thỏa mãn N.-
Rx.,Vi-ì,2,....,n N-N1+.... +N .
Do 1 là các R - môđun hữu hạn sinh nên tồn tại - (= M/^Ị
(X =xt +N,X. eM)để M/N = Rxn+l +...+ Rxm .
Vói VaeM thì .Do đó tồn tại r + v ...,r G R sao cho: « = r n + i* n + i + +r m x m = r n + iX n + i + + r m x m. Suy ra
+ rjcJeiV. Dođótồntại '■T'+.... +r n x n âể
a - (rn+ixn+1 +...+ VJ = í,A+-' + rẢ Suy ra a = (r^x ^ +...+ r X ) + r.x, + .... + r X =>ae/òc. + ... + /ÒC . J V mm' 11 n 1 m Đặt N. = Rx.,\/i = n +1 ,m ta có .^1 Hiển nhiên ' c M .
D o đóM=2> hay M ỉ ầ R - môđun hữu hạn sinh.
i=1
Bài 3
Cho dãy khớp ngắnO--->A --->B ---->c--->0 trong đó A, c
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
là môđun hữu hạn sinh. Chứng minh rằng B cũng là môđun hữu hạn sinh.
Giải
0--->A —-—>B —2—»c--->0 (1). Vì dãy đã cho là dãy khớp ngắn nên /là đơn cấu, g là toàn cấu, Im/ = Kerg . Do g là toàn cấu nên
34 = c . Vì Chữu hạn sinh suy ra _ - c hữu hạn sinh. Vì / Kerg J / Kerg
Kerg = Im/ n ^ n ỵ / j m ý hữu hạn sinh.
Vì / là đơn cấu nên cảm sinh đẳng cấu từ Im / vào A, do đó Im/ hữu hạn sinh (do Ả
hữu hạn sinh). Giả sử {jq + + Im/}là tập
sinh của J2’—»37 } là tập sinh của Im/. Với IĨ1ỌÌJC G B ,
( n \
ta có: X + Im/ = ^rx + Im/ (do r. GR ) V Í=1 1 ' )
f n \ f n \ n
Suy ra X - ỵ r .x. e Im/ hay X - “ X5 y (dor G ■ Suy ra
V i=l 1) \i=l ’ j=l 1 1
(*)
Đẳng thức (*) chứng tỏ tập (jc15jc2,....,jc ,y l ,y 2 , ...,y ) là tập sinh của B. Vậy B hữu hạn sinh.