i) Vói mọi (p eHomR (A,B) ta có:
2.3.3. Mối liên hệ giữa hàm tử Hom và dãy khớp Định lý
Với các đồng cấu/ :A' —» A và g: 2? —» 5' của những môđun ừên R, hạt nhân của đồng cấu h = Homự,g): H o m ( A , H o m ( A B') là môđun con K của
Hom(A,B ) xác định bởi
K = {ọe Hom(A, B ) I ^Im(f)] c= í:er(g)} Chứng
minh
Giả sử ọeKìầ tùy ý cho trước. Gọi X là phàn tử bất kì của A'. Ta có f(x ) eIm/,
<p<= K=><p( f(x)) e Kerg => g(ọ(f(x)) = 0.
Suy ra [h{ạ>)]{x) = gọf(x) = g(ọ(f(x)) = 0 , hay h{<p) = 0 . Do đó K d Kerh. Đảo lại, giả sử v erh là tùy ý cho trước. Khi đó, " ~ h (fò) = ữ. Theo tính chất 7 của đồng cấu môđun ta có Im( ọ f ) CI Kerg. Suy ra
/'1 ^ ^Tm c= Kerg ^>ọ<=K. (2) Do đó Kerh c K.
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả
Nếu /:A' —»A là một toàn cấu, g.B^B' là một đơn cấu của những môđun trên R
thì: ' " X fíì—>Hom(A',B') là
một đơn cấu.
Định lý 2
Nếu M là một môđun tùy ý trên R và A — — ẵ — > c --->0 (*) là một dãy khớp những môđun trên R ứiì dãy:
0 —^Hom(C,M) 8 ' >Hom(B,M) f' >Hom(A,M)(**) với f* = Hom(f,i)\ầ
g* = Hom(g,i ) trong đó Ỉ:M —tự đồng cấu đồng nhất của môđun M cũng là khớp.
Chứng minh
Vì g là một toàn cấu, i là một đơn cấu nên theo hệ quả trên ta có g* -
Hom{g,i )là một đơn cấu. Vì g*là một đon cấu nên Kerg* = {0}. Lại có Im ố = £(0) = {0}, do đó ta có Im ố = Kerg *. (1)
Ta chứng minh Img* = Kerf* .Vì (*) là dãy khớp nên ta có
~---s ĩtn f d Kerg . Theo tính chất 7 của đồng cấu môđun ta có
gf = 0 .Ta có
Hom(gf,i) = Hom(0,i) = 0 => f*g* = Hom(gf,ii) = Hom(gf,i) = 0. Theo tính chất 7 của đồng cấu môđun ta có Im(g*) c Ker(f*). (2)
Đảo lại, gọi ọ G Hom(B,M ) là phần tử tùy ý trong Kerự*). Đặt K = ỉmf =
Kerg . Vì f* = Hom(f,i ) nên theo định lý 1 ta có ọ{K) - ộ?(Imf) c= Ken - 0( Kerì = 0 do ỉ là tự đồng cấu đồng nhất nên ỉ là một đẳng cấu, do đó i là một đơn cấu), do đó <p(K) = 0. Vì vậy <p :B—>M
cảm ứng ra một đồng cấu Xự-.Q^M củamôđun thương <2=
Vì g là một toàn cấu với K là hạt nhân của g nên g cảm ứng ra một đẳng cấu h:Q=C. Gọi p: B —» Q là phép chiếu tự nhiên. Như vậy ta được biểu đồ:
c
ở đây hai tam giác là giao hoán.
Vì h là một đẳng cấu nên ta có thể định nghĩa một đồng cấu M
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
x = ự° ►M.Khiđó
Hom(C,M) và g*(z) = z° o Do đó ọ e Im(g*) và Ker{f*) c= Im(g*). (3)
Từ (1), (2), (3) ta có (**) là dãy khớp.
Định lý 3
Nếu M là một môđun tùy ý trên R và f v R — ẵ —>c là một dãy khớp những môđun trên R thì dãy
0—^—>Hom(M,A) >Hom(M,B) g >Hom(M,c ) (**) với ' ^ "* =Hom(i,g) ừong đó làR - tự đồng cấu, cũng là khớp.
Chúng minh
Vì i là một toàn cấu, / là một đơn cấu. Theo hệ quả ưên ta có f* =
Hom(i,f) là đơn cấu. Ta có Kerf* ={0}, ImJ = <ỹ(0) = {0}, do đó Im ổ =
Kerf\ (1)
Vì gf = 0 nên từ định nghĩa ta có Hom(i, gf ) = 0 . Do đó,
— f Jnm(i,gf) = 0 theo tính chất 7 của đồng cấu môđun ta có Im(/*) c=
Ker(g*). (2)
Bây giờ thiết lập bao hàm thức Ker(g*) c= Im(/*).
Gọi ọ? là một phàn tử tùy ý của Hom(M,B) tùy ý trong Kerg. Vì ’T- Wỉ,g) nên theo định lý 1 suy ra
ọ(M) = ọ(\mĩ) d Kerg = Im/. Vì / là đơn cấu nên tồn tại đẳng cấu
j: Im/ = A
sao cho /° i? là R - đồng cấu. Định nghĩa một đồng cấu
ự: M —» Abằng cách lấy
rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga
= ÃọKx)]
với Vjc e M .Khi đó lự là một phần tử của Hom(M,A) và [/V)]0) = f[j(<p(x))ì = ọKx)
Suy ra = ọ. Do đó ọ e Im/*, suy ra Kerg* d Im/*(do cp là phần tử tùy ý của Kerg*). (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra Kerg* = Im/* suy ra dãy (**) là khớp.
Định lý 4
Nếu dãy sau những đồng cấu của những môđun trên R
0--->A —^—>5— ê —>C --->0 (1) là một dãy khớp ngắn chẻ ra thì dãy:
0--->Hom(C,M )—- —>Hom(B,M )———>Hom(A,M) --->0 ---(***)
trong đó f* = Hom(f,i),g* = Hom(g,i)\ở i là R - tự đồng cấu cũng chẻ ra.
Chứng minh
Vì (1) là dãy khớp ngắn chẻ ra suy ra đồng cấu / có một nghịch đảo trái, tức tồn tại một đồng cấu h:B^>A ỉầR- đồng cấu sao cho j = hf là tự đồng cấu đồng nhất của môđun A. Ta có g là toàn cấu, i là
đơn cấu, theo hệ quả trên thì g* - Hom(g,i) là một đơn cấu.Vì
Hom(f ,ĩ)Hom(h,ĩ) = Hom(hf,iỉ ) = Hom(j,i )
là tự đồng cấu đồng nhất của Hom(A,M) suy ra f* -Hom{f,í) là toàn cấu. Do đó dãy (***) là dãy khớp ngắn và chẻ ra theo hệ quả 4(phần 2.2.2.4)