Khóa luận tốt nghiệp toán học: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1 1. Lý do chọn khoá luận ................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................... 1 4. Giả thiết khoa học ........................................................................................ 1 5. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................... 1 6. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2 7. Đóng góp của khoá luận ............................................................................... 2 8. Cấu trúc của khoá luận ................................................................................ 2 PHẦN NỘI DUNG ........................................................................................... 3 Chương 1. XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ PHỨC ............................................... 3 1.1. Định nghĩa số phức .................................................................................... 3 1.1. Dạng đại số của số phức ............................................................................ 4 1.1.1. Xây dựng số i .......................................................................................... 4 1.2.2. Các phép toán trên dạng đại số .............................................................. 4 1.1.2. Số phức liên hợp và môđun của số phức ............................................... 5 1.2. Dạng lượng giác của số phức .................................................................... 8 1.2.1. Biểu diễn lượng giác của số phức ........................................................... 8 1.2.2. Các phép toán trong dạng lượng giác của số phức ............................... 8 1.3. Căn bậc n của số phức và biểu diễn hình học của số phức ...................... 9 1.3.1. Căn bậc n của số phức ............................................................................ 9 1.3.2. Biểu diễn hình học của số phức ............................................................ 10 Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ ....... 11 2.1. Ứng dụng trong phương trình ................................................................ 11 2.1.1. Phương trình bậc hai ............................................................................ 11 2.1.1.1. Giải phương trình bậc hai ................................................................. 11 2.1.1.2. Bài toán liên quan đến nghiệm phức của phương trình bậc hai ..... 13 2.1.2. Phương trình bậc ba ............................................................................. 15 2.1.3. Phương trình bậc bốn ........................................................................... 21 2.1.3.1. Phương trình bậc bốn dạng z4  az2  bz  c  0 ............................ 21 2.1.3.2. Phương trình bậc bốn dạng 4 3 2 z  az  bz  cz  d  0. .............. ....... 25 2.1.3.3. Phương trình hồi quy ........................................................................ 27 2.2. Ứng dụng trong việc giải hệ phương trình ............................................. 30 2.3. Ứng dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức ................................... 38 2.4. Ứng dụng trong việc tính tổng các biểu thức chứa k n C .......................... 42 2.4.1. Khai triển n (1 x) , cho x nhận những giá trị thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các số phức ...................................................................................... 42 2.4.2. Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp................................................................................ 46 2.4.3. Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị ... 49 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 53

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

TRẦN THỊ LUYÊN

SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ

BÀI TOÁN TRONG ĐẠI SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, THÁNG 5 NĂM 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

TRẦN THỊ LUYÊN

SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ

BÀI TOÁN TRONG ĐẠI SỐ

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: GVC.TS Hoàng Ngọc Anh

SƠN LA, THÁNG 5 NĂM 2013

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo: GVC.TS Hoàng Ngọc Anh đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện khóa luận này Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán –

Lý – Tin, phòng Đào tạo, Thư viện trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các bạn sinh viên trong tập thể lớp K50 - ĐHSP Toán đã động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ tôi thực hiện và hoàn thành khóa luận

Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi thêm hoàn thiện

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013 Người thực hiện khóa luận

Trần Thị Luyên

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn khoá luận 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Giả thiết khoa học 1

5 Đối tượng nghiên cứu 1

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Đóng góp của khoá luận 2

8 Cấu trúc của khoá luận 2

PHẦN NỘI DUNG 3

Chương 1 XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ PHỨC 3

1.1 Định nghĩa số phức 3

1.1 Dạng đại số của số phức 4

1.1.1 Xây dựng số i 4

1.2.2 Các phép toán trên dạng đại số 4

1.1.2 Số phức liên hợp và môđun của số phức 5

1.2 Dạng lượng giác của số phức 8

1.2.1 Biểu diễn lượng giác của số phức 8

1.2.2 Các phép toán trong dạng lượng giác của số phức 8

1.3 Căn bậc n của số phức và biểu diễn hình học của số phức 9

1.3.1 Căn bậc n của số phức 9

1.3.2 Biểu diễn hình học của số phức 10

Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ 11

2.1 Ứng dụng trong phương trình 11

2.1.1 Phương trình bậc hai 11

2.1.1.1 Giải phương trình bậc hai 11

2.1.1.2 Bài toán liên quan đến nghiệm phức của phương trình bậc hai 13

2.1.2 Phương trình bậc ba 15

2.1.3 Phương trình bậc bốn 21

2.1.3.1 Phương trình bậc bốn dạng 4 2 z az bz c 0 21

2.1.3.2 Phương trình bậc bốn dạng 4 3 2 z az bz cz d 0 25

2.1.3.3 Phương trình hồi quy 27

2.2 Ứng dụng trong việc giải hệ phương trình 30

2.3 Ứng dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức 38

2.4 Ứng dụng trong việc tính tổng các biểu thức chứa k n C 42

2.4.1 Khai triển (1 x) n, cho x nhận những giá trị thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các số phức 42

2.4.2 Khai triển (1 + x) n , đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp 46

2.4.3 Khai triển (1 + x) n , cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị 49

KẾT LUẬN 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn khoá luận

Số phức ra đời do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những phương trình đại số Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học phát triển mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật Đối với học sinh bậc Trung học phổ thông thì số phức là một nội dung còn mới mẻ.Với thời lượng không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức còn rất cơ bản của số phức Việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán Đại số là một vấn đề khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của Toán học Có nhiều tài liệu nghiên cứu về số phức nhưng tài liệu ứng dụng số phức trong Đại số thì chưa nhiều và chưa đưa ra đầy đủ về một vấn đề cụ thể mà chỉ trên cơ sở lí thuyết chung chung và tổng quát

Với mong muốn tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản về số phức và trên cơ

sở đó tìm hiểu sâu hơn một số ứng dụng của số phức trong việc giải các bài toán

Đại số, do đó chúng tôi đã chọn khoá luận: “Sử dụng số phức vào giải một số

bài toán trong Đại số”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cách xây dựng trường số phức, một số khái niệm, tính chất cơ bản của số phức Từ đó nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải một số bài toán trong Đại số nhằm giúp chúng ta thấy được ý nghĩa quan trọng của số phức

trong Toán học nói chung và trong Đại số nói riêng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu kỹ cơ sở lý thuyết của số phức, sử dụng số phức vào giải một

số bài toán trong Đại số, phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể, sử dụng các kết quả của chúng vào giải một số bài toán Đại số ở phổ thông bằng nhiều phương pháp khác nhau

4 Giả thiết khoa học

Nếu biết cách phân loại các bài toán trong Đại số và sử dụng số phức hợp

lý sẽ giúp học sinh giải các bài toán Đại số một cách đơn giản và dễ dàng hơn

5 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến số phức, xây dựng trường số phức, khái niệm, tính chất, các dạng biểu diễn của số phức

- Nghiên cứu các bài toán Đại số có thể sử dụng số phức để giải được

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- Phân tích, tổng hợp các kiến thức

- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn

7 Đóng góp của khoá luận

Khoá luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo cho sinh viên

chuyên ngành Toán và Giáo viên phổ thông

8 Cấu trúc của khoá luận

Khoá luận gồm phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận

Phần nội dung bao gồm các chương sau:

Chương 1: Xây dựng trường số phức

Chương 2: Sử dụng số phức vào giải một số bài toán trong Đại số

PHẦN NỘI DUNG Chương 1 XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ PHỨC 1.1 Định nghĩa số phức

Trong đó: x Rez gọi là phần thực của số phức z

y Imz gọi là phần ảo của số phức z

i gọi là đơn vị ảo

Nếu số phức có phần thực x 0 gọi là thuần ảo

Hai số phức z , z1 2 gọi là bằng nhau nếu Re z1Re z2 và Im z1Im z2

Số phức z nếu và chỉ nếu Imz0

1.1.2 Số phức liên hợp và môđun của số phức

Định nghĩa 1.2.2 Cho số phức z x yi ( x;y    ) số phức có dạng xyiđược gọi là số phức liên hợp của số phức z, kí hiệu z, nghĩa là z x yi 

Vậy z1   z2 z1 z2

5 Ta có z z1 2(x x1 2 y y ) i(x y1 2  1 2 x y ) (x x2 1  1 2 y y ) i(x y1 2  1 2 x y )2 1 (x1y i)(x1 2 y i) z z2  1 2

, z

9 z1  z2  z1z2  z1 z2

10 z1z22 z1z222( z12 z )22

1.2 Dạng lượng giác của số phức

1.2.1 Biểu diễn lượng giác của số phức

Trên mặt phẳng phức ta có hệ thức: z  x yi r(cos isin ) (1) Trong đó: Re z x rcos , Imz y rsin

r là độ dài bán kính véctơ r z zz  x2 y2 ,

 là góc cực được gọi là argument của z,  arg z

Biểu thức (1) được gọi là dạng lượng giác hay dạng cực của số phức

z x yi

1.2.2 Các phép toán trong dạng lượng giác của số phức

Cho hai số phức z ;z1 20 có biểu thức lượng giác z1 r (cos1  1 isin1) và

z r (cos isin ), khi đó:

Hai số phức z ;z1 2 gọi là bằng nhau nếu 1 2

Cho zr(cos isin ) ; n , khi đó ta có

n n

z r (cos n isin n ) (*) Khi r1, ta có z cos  isin (**)

Công thức (*) và (**) được gọi là công thức Moivre

Ngoài ra, zr(cos isin ) , z0 có thể được biểu diễn dưới dạng

Xét dạng lượng giác của số phức zr(cos isin )

Theo công thức Moivre, n

z w, nghĩa là n

r (cos n isin n ) R(cos isin )

Định nghĩa 1.4.3 Nghiệm của phương trình n

z  1 0 gọi là căn bậc n của đơn vị

Ta có căn bậc n của đơn vị là wk cos2k isin2k , k 0,1, , n 1

1.3.2 Biểu diễn hình học của số phức

Định nghĩa 1.4.4 Điểm M(x;y) trong mặt phẳng Oxy được gọi là điểm biểu

diễn hình học của số phức z x yi Số phức z x yi gọi là toạ độ phức của điển M(x;y)

Kí hiệu M(z) để chỉ toạ độ phức của điểm M là z

Số phức được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ gọi là mặt phẳng phức

Ngoài ra, trên mặt phẳng phức ta đồng nhất số phức z x yi với

Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ 2.1 Ứng dụng trong phương trình

Ta có    24 10.i, nên  có hai căn bậc hai

Giả sử   x yi; x, y là căn bậc hai của 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là z1 3i; z2  1 2i

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là z1 2i; z2   1 i

Bài 2 Giải phương trình 2

z 2z 1 2i 0  

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là z1 2 i; z2 i

2.1.1.2 Bài toán liên quan đến nghiệm phức của phương trình bậc hai

Lời giải

Phương trình (1) có    24 10i, nên  có hai căn bậc hai

Giả sử   x yi; x, y  là căn bậc hai của 

b) Ta có z1  10 ; z2  10 thay vào B z12  z2 2 ta được B20

Bài 2 Gọi z ;z1 2 là các nghiệm của phương trình z2 (1 4i)z 5 5i  0 (1) Tính giá trị của biểu thức A z1  z2

3 1

Khi đó ba giá trị của u và ba giá trị của v thoả mãn phương trình (6), ta có

3 1

Vậy phương trình đã cho luôn có ba nghiệm z ;z ; z1 2 3

a) Ví dụ Giải phương trình sau

3 2

z 5z 7z 2 0 (1)

Hướng dẫn

Đặt y z 1    z y 1, thay và phương trình (1) sau đó biến đổi ta được phương trình: 3

y   y 1 0 (2) Đặt y u v  , khi đó phương trình (2) trở thành:

3

(uv)    (u v) 1 0 (3) Giải phương trình (3) ta được:

3 1

3 2

3 1

u

23

3 2

3 3

v

23

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là: z ;z ; z1 2 3

Bài 2 Giải phương trình sau:

(uv)3   (u v) 1 0 (3) Giải phương trình (3) ta được:

3 1

Trong phương trình (4) ta chỉ cần tìm ra một nghiệm p mà không cần giải

cả phương trình (4), sau đó thay và phương trình (1) và (2) ta tìn được m, n và giải phương trình ban đầu

a) Một số ví dụ

Ví dụ 1 Giải phương trình sau :

Ta thấy, phương trình (4) có nghiệm p 4 m2, n 3.

Khi đó, phương trình đã cho trở thành

Vậy phương trình có bốn nghiệm là z1,2  1 5 ; z3,4   1 i 7

Ví dụ 2 Giải phương trình sau trên trường số phức

Ta thấy, phương trình (4) có nghiệm p  9 m 2, n 1.

Khi đó, phương trình đã cho trở thành

Giải phương trình (4) ta được p 1   m 1, n 2.

Khi đó, phương trình đã cho trở thành

(z21)2 (z 2)20 (5) Giải phương trình (5) ta được bốn nghiệm là

Khi đó, phương trình đã cho trở thành

(z22)2 (z 3)2 0 (5) Giải phương trình (5) ta được bốn nghiệm là

z1,2 1 5 ; z3,4 1 i 19

(Cách giải như phương trình bậc bốn dạng z4 az2 bz c 0)

a) Ví dụ Gải phương trình sau trên trường số phức

Ta thấy, phương trình (4) có nghiệm p 4 m2, n 6.

Khi đó, phương trình đã cho trở thành

(y 4)  (y 1) 0

1 i 11y

2

1 i 19y

Nhận xét z0 không phải là nghiệm của phương trình (1)

Khi z0, chia cả hai vế của phương trình (1) cho z , sau đó đặt 2 t z 1

Ta thấy z0 không phải là nghiệm của phương trình (1)

Khi z0, chia cả hai vế của phương trình (1) cho z2, ta được

2

2

2 2

Ta thấy z0 không phải là nghiệm của phương trình (1)

Khi z0, chia cả hai vế của phương trình (1) cho 2

Biến đổi để tìm các nghiệm của phương trình, suy ra phương trình đã cho có bốn nghiệm là

Ta thấy z0 không phải là nghiệm của phương trình (1)

Khi z0, chia cả hai vế của phương trình (1) cho 2

 Với 1 3 1 1 3 2

           (4) Giải phương trình (4) ta tìm được các nghiệm là

3 1

3 2

3 1

3 2

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm là (x ; y );(x ; y );(x ; y )0 0 1 1 2 2

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau

6 1

 (thoả mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (7; 5); (0; 5)

Vậy hệ phương trình (1) có nghiệm duy nhất là (x; y)(42 3;126 3)

Ví dụ 6 Giải hệ phương trình sau

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x; y) là (2; -3) và (5; 2)

Bài 3 Giải hệ phương trình

 z1  a2 b , z2 2  c2 d2 ;…

Áp dụng các bất đẳng thức sau:

* z1  z2  z1z2 ( z ;z 1 2 )

(x 1) 2  (1 x) 2  2 4 2 5.

Vậy x22x 5 x22x 5 2 5 (Điều phải chứng minh)

Ví dụ 2 Chứng minh rằng với x, y,z , ta luôn có

(Điều phải chứng minh)

Bài 2 Chứng minh rằng x, y,z 0 , ta có

x xyy  y yzz  z zxx  3(x y z) (1)

(1 x) , cho x nhận những giá trị thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các số phức

* Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai

cách tính Suy ra giá trị của tổng cần tìm

Biến đổi đẳng thức (*) ta được (1 i) 2013 21006 21006i

Đồng nhất phần thực và phần ảo trong hai cách khai triển trên ta được kết quả

A 2 ; B2

2.4.2 Khai triển (1 + x) n , đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp

1 3x Đạo hàm hai vế, cho x = i và so sánh phần thực,

phần ảo của số phức trong hai cách khai triển ta thu được A =15 3.21 29;

Xét khai triển: (1 + x)25 Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i

So sánh phần thực và phần ảo của số phức trong hai cách khai triển ta thu được

B 75.2 1; B  25(1 3.2 )

ε (1 + ε2)20 = ε 0 1 2 2 3 18 19 2 20

C C ε C εC   εC C ε C (3) Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta có:

220 + ε2(1 + ε )20

+ε (1 + 2ε )20

= 3T

25(2 1)3



KẾT LUẬN

Với nhiệm vụ đặt ra, khóa luận đã trình bày một cách có hệ thống và tương đối đầy đủ các kiến thức cơ bản về số phức bao gồm: định nghĩa số phức; dạng đại số của số phức; dạng lượng giác của số phức; căn bậc n của số phức; biểu diễn hình học của số phức và một số dạng toán ứng dụng số phức bao gồm: ứng dụng để giải phương trình; hệ phương trình; chứng minh bất đẳng thức; ứng dụng trong việc tính tổng các biểu thức chứa k

n

C Ở mỗi dạng toán, tôi đều đưa

ra phương pháp giải, các ví dụ minh họa và một số bài tập có hướng dẫn

Do thời gian hạn chế, chắc chắn khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện hơn và có nhiều dạng bài toán áp dụng hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Huy Khải, (2000), Toán nâng cao giải tích 12, NXB Đại học Quốc

Gia Hà Nội

[2] Nguyễn Văn Mậu, (chủ biên), (2009), Chuyên đề chọn lọc số phức và áp dụng, Nhà xuất bản Giáo dục

[3] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), (2009), Biến phức định lý và áp dụng, Nhà

xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội

[4] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), (2008), Một số chuyên đề số học chọn lọc,

Nhà xuất bản Giáo dục

[5] Nguyễn Thủy Thanh, (2007), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Nhà xuất bản

Đại học Quốc Gia Hà Nội

[6] Nguyễn Thủy Thanh, (2007), Bài tập toán cao cấp, Nhà xuất bản Đại học

Quốc Gia Hà Nội