Khóa luận tốt nghiệp toán học: Chuỗi Fourier và  khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier

66 3.8K 13
Khóa luận tốt nghiệp toán học: Chuỗi Fourier và  khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chuỗi Fourier và  khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier

Mục lục MỞ ĐẦU 4 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 1.1 Chuỗi số thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Phần dư của một chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5 Chuỗi số dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.6 Chuỗi đan dấu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.7 Chuỗi số bất kì. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Dãy hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 CHUỖI FOURIER 18 2.1 Chuỗi lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 2.1.4 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.5 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.6 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.3 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.4 Bổ đề (Riman). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.5 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.6 Công thức Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.8 Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier. . . . 28 2.2.9 Tính chất đầy đủ của các hệ đa thức. . . . . . . . . . . . . 31 2.2.10 Tính chất của các hệ số Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.11 Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier. . . 36 2.2.12 Định lý (Đini). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.13 Dạng phức của chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . 42 2.3.1 Định nghĩa khai triển Fourier của một hàm số. . . . . . . 42 2.3.2 Khai triển Fourier tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHAI TRIỂN MỘT SỐ HÀM SỐ THÀNH CHUỖI FOURIER. 53 3.1 Bài toán 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Bài toán 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2 3.3 Bài toán 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Bài toán 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5 Bài toán 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6 Bài toán 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.7 Bài toán 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.8 Bài toán 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.9 Bài toán 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.10 Bài tập tự giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 3 PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giải tích là một trong những ngành quan trọng của toán học và mang nhiều ứng dụng trong thực tế cuộc sống. Trong cuộc sống chúng ta gặp rất nhiều hiện tượng có tính chất quay vòng, chu kì. Toán học gọi đó là các vấn đề liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn. Một trong những loại hàm tuần hoàn thường xét là hàm số y = Asin(ωx + α). Việc trực tiếp xét các hiện tượng nêu trên là tương đối khó. Bởi vậy, để đơn giản hóa vấn đề này, các nhà toán học đã nghĩ ra cách biểu diễn chúng qua các hàm số lượng giác cos nπx n và sin nπx n . Từ đó xuất hiện khái niệm chuỗi Fourier của một hàm sốkhai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. Để làm sáng tỏ ứng dụng của chuỗi Fourier và cũng là để làm quen nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài "Chuỗi Fourierkhai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier" làm khóa luận tốt nghiệp của mình dưới sự hướng dẫn của Th.S Phạm Thị Thái. 2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. 2.1. Mục đích nghiên cứu. - Trình bày một số ứng dụng của chuỗi Fourier và cách khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. - Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân. - Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ngành Toán trường Đại Học Tây Bắc và tất cả những ai yêu thích và quan tâm đến bộ môn giải tích. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu. - Nghiên cứu về chuỗi Fourier, tính hội tụ của chuỗi, và các tính chất của các hệ số Fourier. 4 - Nghiên cứu về điều kiện để khai triển một hàm số thành một chuỗi Fourier. - Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier và cách khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. Nghiên cứu sâu hơn về chuỗi Fourier, từ đó làm cơ sở hình thành nên một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích. 3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU. Trong khuôn khổ của khóa luận chỉ nghiên cứu về chuỗi Fourier và cách khai triển một số hàm số thường gặp thành chuỗi Fourier. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. Vấn đề nghiên cứu trong khóa luận là vấn đề còn mới mẻ so với sinh viên bậc đại học. Vì vậy phương pháp nghiên cứu sử dụng chủ yếu là: - Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức. - Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua đó tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận. 5. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN. Khóa luận trình bày được hệ thống kiến thức: từ kiến thức cơ sở đến sự mở rộng và chuỗi chuyên sâu về bộ môn giải tích, cụ thể là về chuỗi Fourier. Hơn nữa, khóa luận cũng đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản một số tính chất của chuỗi Fourierkhai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. 6. CẤU TRÚC CỦA KHÓA LUẬN. Khóa luận được chia thành 3 chương với những nội dung chính sau đây: Chương 1. Trình bày, hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản như: Chuỗi số, chuỗi hàm số, chuỗi lượng giác làm cơ sở cho chương sau. Các nội dung kiến thức chỉ phát biểu mà không chứng minh. Chương 2: Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa về chuỗi Fourier. 5 Đồng thời nghiên cứu tính hội tụ, đạo hàm, tích phân của chuỗi Fourier và nghiên cứu một số điều kiện để khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. Trên cơ sở đó, chương này sẽ cung cấp định nghĩa khai triển hàm số thành chuỗi Fourier, và khai triển Fourier tổng quát của một hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π , khai triển của một hàm xác định trong một đoạn [a; b], thác triển chẵn, thác triển lẻ của một hàm. Dựa vào đó để tính tổng của chuỗi Fourier. Chương 3: Chương này trình bày một số bài toán có lời giải về khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. Trong chương này cũng đưa ra một số bài tập đề nghị. 6 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuỗi số thực. 1.1.1 Các định nghĩa. Định nghĩa 1.1. Giả sử {u n } +∞ n=1 là một dãy số thực. Ta gọi u 1 + u 2 + + u n + = +∞  n=1 u n (1.1) là chuỗi số thực (chuỗi số). Định nghĩa 1.2. Ta gọi S n = n  k=1 u k là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1.1). Nếu lim n→+∞ S n = S ∈ R (1.2) thì ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng là S và viết S = +∞  n=1 u n . Trường hợp ngược lại, nếu không tồn tại lim n→+∞ S n hoặc lim n→+∞ S n = ±∞ thì chuỗi số (1.1) được gọi là chuỗi phân kì. Ví dụ 1.3. (i) Chuỗi số +∞  n=1 1 2 n hội tụ và có tổng bằng 1 vì tổng riêng thứ n của chuỗi là S n = 1 2 + 1 4 + + 1 2 n = 1 − 1 2 n . Do đó lim n→∞ S n = lim n→+∞ (1 − 1 2 n ) = 1. 7 (ii) Chuỗi +∞  n=1 n phân kì vì tổng riêng thứ n của chuỗi là S n = 1 + 2 + + n = n(n + 1) 2 . Do đó lim S n n→+∞ = lim n→+∞ n(n + 1) 2 = +∞. 1.1.2 Phần dư của một chuỗi số. Giả sử chuỗi số (1.1) hội tụ và S là tổng của nó. Khi đó ta gọi R n = S −S n (1.3) là phần dư thứ n của chuỗi số (1.1). Chú ý: Nếu chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng là S thì lim n→+∞ R n = lim n→+∞ (S −S n ) = 0. 1.1.3 Tính chất. Tính chất 1.4. Giả sử chuỗi số +∞  n=1 u n và chuỗi số +∞  n=1 v n hội tụ có tổng tương ứng là I và J. Khi đó: (i) Chuỗi số +∞  n=1 (u n ± v n ) cũng hội tụ có tổng tương ứng là I ± J. (ii) Nếu k ∈ R là hằng số thì chuỗi số +∞  n=1 ku n hội tụ có tổng là kI. Tính chất 1.5. Trong một chuỗi, ta có thể thêm vào hoặc bớt đi một số hữu hạn các số hạng mà không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kì của nó. 1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ. Định lý 1.6. (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi số +∞  n=1 u n hội tụ khi và chỉ khi với mỗi số ε > 0 bất kì, tồn tại số nguyên dương N sao cho: ∀n, p ∈ N ∗ , n ≥ N ⇒ |u n+1 + u n+2 + + u n+p | < ε 8 Tính chất 1.7. Điều kiện cần để chuỗi +∞  n=1 u n hội tụ là lim n→+∞ u n = 0. Chứng minh. Giả sử chuỗi số +∞  n=1 u n hội tụ có tổng là S và S n = n  k=1 u k là tổng riêng thứ n của chuỗi. Khi đó lim n→+∞ S n = S và u n = S n − S n−1 . Do đó lim n→+∞ u n = lim n→+∞ (S n − S n−1 ) = S − S = 0(đpcm). Nhận xét 1.8. Nếu lim n→+∞ u n = 0 hoặc không tồn tại lim n→+∞ u n thì chuỗi số +∞  n=1 u n phân kì. Tuy nhiên, tính chất 1.7 chỉ là điều kiện cần nên một chuỗi số thỏa mãn điều kiện lim n→+∞ u n = 0 thì chưa kết luận được chuỗi đó hội tụ hay phân kỳ. Ví dụ: Chuỗi số +∞  n=1 q n (q là hằng số) được gọi là chuỗi số nhân. Chuỗi này hội tụ khi |q| < 1, phân kỳ khi |q| ≥ 1. 1.1.5 Chuỗi số dương. Định nghĩa 1.9. Chuỗi số +∞  n=1 u n có các số hạng u n ≥ 0 với mọi n được gọi là chuỗi số dương. Chú ý: Chuỗi số +∞  n=1 1 n s (s là hằng số) được gọi là chuỗi Riemann. Chuỗi này hội tụ khi s > 1 và phân kỳ khi s ≤ 1. Trong trường hợp s = 1 ta được chuỗi +∞  n=1 1 n = 1 + 1 2 + + 1 n + là chuỗi phân kì. Chuỗi số này còn gọi là chuỗi điều hòa. Các dấu hiệu hội tụ: Định lý 1.10. Chuỗi số dương +∞  n=1 u n hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của nó bị chặn trên. Định lý 1.11. (Dấu hiệu so sánh 1.) Giả sử hai chuỗi số dương +∞  n=1 u n và +∞  n=1 v n và u n ≤ v n kể từ một chỉ số nào đó trở đi. 9 Khi đó (i) Nếu chuỗi số +∞  n=1 v n hội tụ thì chuỗi số +∞  n=1 u n hội tụ. (ii) Nếu chuỗi số +∞  n=1 u n phân kỳ thì chuỗi số +∞  n=1 v n phân kỳ. Định lý 1.12. (Dấu hiệu so sánh 2.) Giả sử hai chuỗi số dương +∞  n=1 u n và +∞  n=1 v n có lim n→+∞ u n v n = k (0 = k ∈ R). Khi đó hai chuỗi số trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Định lý 1.13. (Dấu hiệu tích phân Cauchy.) Giả sử f là một hàm số liên tục trên khoảng [1; +∞) , f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞) và f giảm với x đủ lớn. Đặt u 1 = f(1), u 2 = f(2), , u n = f(n), Khi đó chuỗi số +∞  n=1 u n hội tụ nếu và chỉ nếu lim y→+∞ y  1 f(x)dx là hữu hạn. 1.1.6 Chuỗi đan dấu. Định nghĩa 1.14. Chuỗi số có dạng +∞  n=1 (−1) n−1 u n = u 1 − u 2 + u 3 − (1.4) hoặc +∞  n=1 (−1) n u n = −u 1 + u 2 − u 3 + (1.5) với u n ≥ 0, ∀n ∈ N ∗ gọi là chuỗi số đan dấu. Sau đây là định lí thường hay sử dụng đối với chuỗi số đan dấu: 10 [...]... Cho chuỗi n=1 un (x0 ) n=1 +∞ un (x) được gọi là hội tụ tại là một chuỗi số Nếu chuỗi số này hội tụ thì chuỗi hàm n=1 +∞ x0 và điểm x0 được gọi là điểm tụ của chuỗi hàm un (x) Tập hợp tất cả các điểm tụ n=1 của một chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm đó 1.2.2.1 Chuỗi hàm số hội tụ đều a Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của một chuỗi hàm số Định lý 1.33 Giả sử u1 , u2 , , un , là những hàm. .. rằng hàm f có khai triển Fourierchuỗi ở vế phải Mệnh đề 2.22 Cho hàm f liên tục trên đoạn [−π; π] với f (−π) = f (π) và có khai triển Fourier là +∞ a0 f (x) ∼ + (an cos nx + bn sin nx) 2 n=1 Nếu hàm f khả vi từng khúc trên đoạn [−π; π] thì chuỗi Fourier của f bằng chuỗi của đạo hàm các số hạng trong chuỗi Fourier hàm f , nghĩa là: +∞ f (x) ∼ (−nan sin nx + nbn cos nx) n=1 Chứng minh Giả sử f có chuỗi. .. một hàm số chẵn thì f (x)cos nx là những hàm số chẵn và f (x)sin nx là những hàm số lẻ Do đó π 2 an = π f (x)sin nxdx, n = 0, 1, 2, và bn = 0, n = 1, 2, −π Vì thế chuỗi Fourier của f có dạng: +∞ a0 + an cos nx 2 n=1 Tương tự, nếu f là một hàm số lẻ thì f (x)cos nx là những hàm số lẻ và f (x)sin nx là những hàm số chẵn Do đó π 2 an = 0, n = 0, 1, 2, và bn = π f (x)sin nxdx, n = 1, 2, −π Khi đó chuỗi. .. 1.24 Giả sử {un (x)}+∞ là dãy hàm số thực xác định trên một tập hợp n=1 X ⊂ R Với mỗi x0 ∈ X, {un (x0 )} là một dãy số thực Nếu dãy số thực {un (x0 )} hội tụ thì ta nói rằng dãy hàm số {un (x)} hội tụ tại điểm x0 Điểm x0 được gọi là điểm hội tụ của dãy hàm số {un (x)} Tập hợp các điểm hội tụ của dãy hàm số {un (x)} gọi là miền 13 hội tụ của dãy hàm số đó Nếu dãy hàm số {un (x)} không hội tụ tại điểm... các đạo hàm mọi cấp trên R và có chu kỳ 2π Nếu chuỗi lượng giác hội tụ đến hàm số f (x) thì f là một hàm số có chu kỳ 2π trên R Các hằng số an , bn gọi là các hệ số của chuỗi Chuỗi lượng giác không phải bao giờ cũng có đạo hàm mọi cấp trên khoảng hội tụ của nó Tổng của một chuỗi lượng giác có thể không liên tục trên miền hội tụ của nó Có những chuỗi lượng giác mà tổng liên tục nhưng không có đạo hàm tại... ε với mọi x ∈ X 15 1.2.2 Chuỗi hàm số Định nghĩa 1.30 Giả sử {un (x)}+∞ là một dãy hàm số xác định trên tập hợp X ⊂ R n=1 Khi đó +∞ u1 (x) + u2 (x) + + un (x) + := un (x) n=1 được gọi là chuỗi hàm số +∞ ln Ví dụ 1.31 n=1 x x x = ln x + ln + + ln + là một chuỗi hàm trên (0; +∞) n 2 n +∞ sin nx = sin x + sin 2x + + sin nx + là chuỗi hàm trên (−∞; +∞) n=1 +∞ +∞ un (x) các hàm xác định trên X, x0... Weierstrass +∞ +∞ un (x) hội tụ đều trên tập X nếu tồn tại chuỗi số dương Chuỗi hàm n=1 an hội tụ n=1 sao cho: |un (x)| ≤ an , ∀x ∈ X, ∀n ∈ N∗ 1.2.2.2 Tính chất của tổng của một chuỗi hàm Định lý 1.35 (Tính liên tục) +∞ un hội tụ đều trên khoảng I của R Nếu các hàm số un đều liên Giả sử chuỗi hàm số n=1 tục tại điểm x0 ∈ I thì tổng S của chuỗi hàm số liên tục tại điểm x0 Vậy ta có: +∞ lim x→x0 +∞ un (x)... [a; b] (ii) Chuỗi hàm n=1 Khi đó, chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên [a; b] Hơn nữa, tổng chuỗihàm khả vi liên tục trên [a; b] và +∞ +∞ un (x) n=1 un (x), ∀x ∈ [a; b] = n=1 17 Chương 2 CHUỖI FOURIER 2.1 2.1.1 Chuỗi lượng giác Định nghĩa Định nghĩa 2.1 Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng +∞ a0 (an cos nx+bn sin nx), x ∈ R + 2 n=1 trong đó {an } , {bn } là hai dãy số thực Với mỗi n, hàm số un (x)... chuỗi đan dấu đó nhưng không kết luận được chuỗi có tổng S ≤ u1 1.1.7 Chuỗi số bất kì +∞ +∞ |un | un được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số dương Định nghĩa 1.18 Chuỗi số n=1 n=1 hội tụ +∞ un hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ và Định lý 1.19 Nếu chuỗi số n=1 +∞ +∞ un ≤ n=1 |un | n=1 11 +∞ +∞ |un | hội tụ, theo un hội tụ tuyệt đối Khi đó chuỗi số Chứng minh Giả sử chuỗi số n=1 n=1 tiêu chuẩn Cauchy, với... vào x Nếu với mỗi ε > 0 cho trước đều tìm được một số nguyên dương N chung cho mọi x ∈ X thì ta nói rằng dãy hàm số un hội tụ đều đến u trên tập hợp X c Hội tụ đều Định nghĩa 1.27 Giả sử u, u1 , u2 , là những hàm số xác định trên tập hợp X Ta nói rằng dãy hàm số un hội tụ đều đến hàm số u trên tập hợp X nếu với một số ε > 0 cho trước bất kì, tồn tại một số nguyên dương N sao cho n ≥ N ⇒ |un (x) − u(x)|

Ngày đăng: 06/06/2014, 17:11

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan