Khóa luận tốt nghiệp toán học: Chuỗi Fourier và khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier và  khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier

Mục lục

1.1 Chuỗi số thực. 7

1.1.1 Các định nghĩa. 7

1.1.2 Phần dư của một chuỗi số. 8

1.1.3 Tính chất. 8

1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ. 8

1.1.5 Chuỗi số dương. 9

1.1.6 Chuỗi đan dấu. 10

1.1.7 Chuỗi số bất kì. 11

1.2 Chuỗi hàm số. 13

1.2.1 Dãy hàm số. 13

1.2.2 Chuỗi hàm số. 16

2 CHUỖI FOURIER 18 2.1 Chuỗi lượng giác. 18

2.1.1 Định nghĩa. 18

2.1.2 Định lý. 18

2.1.3 Định lý. 19

2.1.4 Định lý. 19

2.1.5 Định lý. 20

2.1.6 Bổ đề 20

2.2 Chuỗi Fourier 21

2.2.1 Định nghĩa. 21

2.2.2 Định nghĩa. 21

2.2.3 Định lý. 23

2.2.4 Bổ đề (Riman). 24

2.2.5 Định lý. 26

2.2.6 Công thức Dirichlet. 26

2.2.7 27

2.2.8 Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier. 28

2.2.9 Tính chất đầy đủ của các hệ đa thức. 31

2.2.10 Tính chất của các hệ số Fourier. 34

2.2.11 Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier. 36

2.2.12 Định lý (Đini). 40

2.2.13 Dạng phức của chuỗi Fourier. 41

2.3 Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. 42

2.3.1 Định nghĩa khai triển Fourier của một hàm số. 42

2.3.2 Khai triển Fourier tổng quát. 43

3 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHAI TRIỂN MỘT SỐ HÀM SỐ THÀNH CHUỖI FOURIER 53 3.1 Bài toán 1. 53

3.2 Bài toán 2. 54

3.3 Bài toán 3. 55

3.4 Bài toán 4. 57

3.5 Bài toán 5. 58

3.6 Bài toán 6. 59

3.7 Bài toán 7. 60

3.8 Bài toán 8. 61

3.9 Bài toán 9. 62

3.10 Bài tập tự giải 63

học đã nghĩ ra cách biểu diễn chúng qua các hàm số lượng giác cosnπx

2 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

2.1 Mục đích nghiên cứu

- Trình bày một số ứng dụng của chuỗi Fourier và cách khai triển một số hàm số thànhchuỗi Fourier

- Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân

- Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ngành Toán trường ĐạiHọc Tây Bắc và tất cả những ai yêu thích và quan tâm đến bộ môn giải tích

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về chuỗi Fourier, tính hội tụ của chuỗi, và các tính chất của các hệ sốFourier

- Nghiên cứu về điều kiện để khai triển một hàm số thành một chuỗi Fourier.

- Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier và cách khai triển một sốhàm số thành chuỗi Fourier Nghiên cứu sâu hơn về chuỗi Fourier, từ đó làm cơ sở hìnhthành nên một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích

3 PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Trong khuôn khổ của khóa luận chỉ nghiên cứu về chuỗi Fourier và cách khai triểnmột số hàm số thường gặp thành chuỗi Fourier

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Vấn đề nghiên cứu trong khóa luận là vấn đề còn mới mẻ so với sinh viên bậc đại học

Vì vậy phương pháp nghiên cứu sử dụng chủ yếu là:

- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức

- Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua đó tổng hợp kiến thức vàtrình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận

5 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN

Khóa luận trình bày được hệ thống kiến thức: từ kiến thức cơ sở đến sự mở rộng vàchuỗi chuyên sâu về bộ môn giải tích, cụ thể là về chuỗi Fourier Hơn nữa, khóa luận cũng

đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản một số tính chất của chuỗi Fourier và khai triển một

số hàm số thành chuỗi Fourier

6 CẤU TRÚC CỦA KHÓA LUẬN

Khóa luận được chia thành 3 chương với những nội dung chính sau đây:

Chương 1 Trình bày, hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản như: Chuỗi số, chuỗihàm số, chuỗi lượng giác làm cơ sở cho chương sau Các nội dung kiến thức chỉ phát biểu

mà không chứng minh

Chương 2: Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa về chuỗi Fourier

Đồng thời nghiên cứu tính hội tụ, đạo hàm, tích phân của chuỗi Fourier và nghiên cứumột số điều kiện để khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier.

Trên cơ sở đó, chương này sẽ cung cấp định nghĩa khai triển hàm số thành chuỗi Fourier,

và khai triển Fourier tổng quát của một hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π , khai triển củamột hàm xác định trong một đoạn [a; b], thác triển chẵn, thác triển lẻ của một hàm Dựavào đó để tính tổng của chuỗi Fourier

Chương 3: Chương này trình bày một số bài toán có lời giải về khai triển một sốhàm số thành chuỗi Fourier Trong chương này cũng đưa ra một số bài tập đề nghị

1.1.2 Phần dư của một chuỗi số.

Giả sử chuỗi số (1.1) hội tụ và S là tổng của nó Khi đó ta gọi

là phần dư thứ n của chuỗi số (1.1)

Chú ý: Nếu chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng là S thì lim

1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ.

Định lý 1.6 (Tiêu chuẩn Cauchy)

Tính chất 1.7 Điều kiện cần để chuỗi

ns (s là hằng số) được gọi là chuỗi Riemann Chuỗi này hội tụ khi

s > 1 và phân kỳ khi s ≤ 1 Trong trường hợp s = 1 ta được chuỗi

là chuỗi phân kì Chuỗi số này còn gọi là chuỗi điều hòa

Các dấu hiệu hội tụ:

vn = k (0 6= k ∈ R) Khi đó hai chuỗi

số trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ

Định lý 1.13 (Dấu hiệu tích phân Cauchy.)

Giả sử f là một hàm số liên tục trên khoảng [1; +∞) , f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞) và f giảmvới x đủ lớn Đặt

Sau đây là định lí thường hay sử dụng đối với chuỗi số đan dấu:

thì chuỗi số trên hội tụ và có tổng nhỏ hơn hoặc bằng u1.

Ví dụ 1.16 Xét chuỗi số đan dấu

n = 0 Do đó chuỗi số trên hội tụ.

Chú ý 1.17 (i) Định lý Leibniz phát biểu cho chuỗi đan dấu dạng

+∞

P

n=1

(−1)n−1un và làđiều kiện đủ để chuỗi đó hội tụ Đối với chuỗi đan dấu dang

+∞

P

n=1

(−1)nun ta chỉ áp dụngđịnh lý Leibniz sau khi nhân tất cả các số hạng của chuỗi với (−1) Do đó chỉ kết luậnđược sự hội tụ của

Chứng minh Giả sử chuỗi số

Sau đây là một số dấu hiệu về sự hội tụ của chuỗi

Định lý 1.20 (Dấu hiệu D’Alembert.)

(ii) Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ

(iii) Nếu k = 1 thì chưa kết luận được về sự hội tụ của chuỗi số

Định lý 1.21 (Dấu hiệu Cauchy.)

(i) Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ

(iii) Nếu k = 1 thì chưa kết luận được về sự hội tụ của chuỗi số

Trong trường hợp không sử dụng được Dấu hiệu D’Alembert hoặc Dấu hiệu Cauchy thì

có thể sử dụng định lí tổng quát sau:

Định lý 1.22 Giả sử

+∞

P

n=1

un là một chuỗi số với lim

n→+∞supp|un n| = l Khi đó(i) Nếu l < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối

(i) Nếu l > 1 thì chuỗi phân kỳ

(iii) Nếu l = 1 thì chưa thể nói gì về tính chất của chuỗi số

Chứng minh Ta biết rằng với một dãy số thực {an} bất kì, ta có

|un| = l < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối.

(ii) Nếu lim

Định nghĩa 1.24 Giả sử {un(x)}+∞n=1 là dãy hàm số thực xác định trên một tập hợp

X ⊂ R Với mỗi x0 ∈ X, {un(x0)} là một dãy số thực Nếu dãy số thực {un(x0)} hội tụthì ta nói rằng dãy hàm số {un(x)} hội tụ tại điểm x0 Điểm x0 được gọi là điểm hội tụcủa dãy hàm số {un(x)} Tập hợp các điểm hội tụ của dãy hàm số {un(x)} gọi là miền

hội tụ của dãy hàm số đó.

Nếu dãy hàm số {un(x)} không hội tụ tại điểm x0 ∈ X thì x0 gọi là điểm phân kì củadãy {un(x)}

b Hội tụ điểm.

Định nghĩa 1.26 Giả sử u, u1, u2, là những hàm số xác định trên tập hợp X Ta nóirằng dãy hàm số {un} hội tụ điểm (hoặc hội tụ) đến u trên X nếu với mọi x ∈ X, ta đềucó

lim

n→+∞un(x) = u(x)

Như vậy dãy hàm số un hội tụ điểm đến hàm số u trên X khi và chỉ khi với mọi x ∈ X

và với mọi ε > 0, tồn tại một số nguyên dương N sao cho

n ≥ N ⇒ |un(x) − u(x)| < ε

Số nguyên dương N phụ thuộc vào ε và nói chung phụ thuộc vào x.

Nếu với mỗi ε > 0 cho trước đều tìm được một số nguyên dương N chung cho mọi x ∈ Xthì ta nói rằng dãy hàm số un hội tụ đều đến u trên tập hợp X

c Hội tụ đều.

Định nghĩa 1.27 Giả sử u, u1, u2, là những hàm số xác định trên tập hợp X Ta nóirằng dãy hàm số un hội tụ đều đến hàm số u trên tập hợp X nếu với một số ε > 0 chotrước bất kì, tồn tại một số nguyên dương N sao cho

n ≥ N ⇒ |un(x) − u(x)| < εvới mọi x ∈ X

Khi đó ta viết

un⇒ u trênXĐịnh lí sau đây cho một điều kiện tương đương của định nghĩa 1.27

Định lý 1.28 Giả sử u, u1, u2, là những hàm số xác định trên tập hợp X Khi đó

un⇒ u trên X nếu và chỉ nếu

lim

n→+∞sup

x∈X

|un(x) − u(x)| = 0

d Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều.

Định lý 1.29 Giả sử {un(x)} là một dãy hàm số xác định trên tập hợp X Khi đó unhội tụ đều trên X nếu và chỉ nếu với một số ε > 0 cho trước bất kì, tồn tại một số nguyêndương N sao cho

m ≥ N, n ≥ N ⇒ |um(x) − un(x)| < εvới mọi x ∈ X

sin nx = sin x + sin 2x + + sin nx + là chuỗi hàm trên (−∞; +∞).

Định nghĩa 1.32 Cho chuỗi

un(x) được gọi là hội tụ tại

x0 và điểm x0 được gọi là điểm tụ của chuỗi hàm

+∞

P

n=1

un(x) Tập hợp tất cả các điểm tụcủa một chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm đó

1.2.2.1 Chuỗi hàm số hội tụ đều.

a Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của một chuỗi hàm số.

Định lý 1.33 Giả sử u1, u2, , un, là những hàm số xác định trên tập hợp X Khi

đó, chuỗi hàm số

+∞

P

n=1

un hội tụ đều trên X nếu và chỉ nếu với một số ε > 0 cho trước bất

kỳ, tồn tại một số nguyên dương N sao cho: ∀n, p ∈ N∗, n ≥ N

b Dấu hiệu Weierstrass.

Định lý 1.36 (Đổi thứ tự dấu tổng và dấu tích phân)

Cho chuỗi hàm xác định trên [a; b] là

+∞

P

n=1

un(x) Giả sử:

(i) Các hàm un liên tục trên [a; b]

(ii) Chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên [a; b] Khi đó, tổng chuỗi là hàm khả tích trên [a; b]

un(x) xác định trên [a; b] Giả sử:

(i) {un} là dãy các hàm khả vi liên tục trên [a; b]

(ii) Chuỗi hàm

+∞

P

n=1

un(x) hội tụ tại một điểm c nào đó trên [a; b]

Khi đó, chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên [a; b] Hơn nữa, tổng chuỗi là hàm khả vi liêntục trên [a; b] và

Với mỗi n, hàm số un(x) = ancos nx + bnsin nx có các đạo hàm mọi cấp trên R và cóchu kỳ 2π.

Nếu chuỗi lượng giác hội tụ đến hàm số f (x) thì f là một hàm số có chu kỳ 2π trên R.Các hằng số an, bn gọi là các hệ số của chuỗi

Chuỗi lượng giác không phải bao giờ cũng có đạo hàm mọi cấp trên khoảng hội tụ của nó.Tổng của một chuỗi lượng giác có thể không liên tục trên miền hội tụ của nó Có nhữngchuỗi lượng giác mà tổng liên tục nhưng không có đạo hàm tại mọi điểm của miền hội tụ

hội tụ đều trên R và tổng của nó là một hàm liên tục trên R.

k ∈ Z, α > 0 Do đó tổng của chuỗi là một hàm số liên tục trên R\2πZ

là một hàm số khả vi liên tục trên R và f0(x) nhận được bằng cách lấy đạo hàm từnghạng tử của chuỗi (2.2), tức là

f0(x) =

+∞

X

n=1

(−nansin nx + nbncos nx), ∀x ∈ R

Chứng minh Từ giả thiết ta suy ra:

+∞

P

n=1

(|an| + |bn|) < +∞

Do đó chuỗi (2.2) và chuỗi đạo hàm của nó:

−a1sin x + b1cos x + + (−nansin nx + nbncos nx) + (2.3)đều hội tụ đều trên R

Vậy f có đạo hàm trên R và f0(x) bằng tổng của chuỗi (2.3) với mọi x ∈ R

có giới hạn phải hữu hạn tại điểm xi−1 và giới hạn trái tại điểm xi Nói cách khác, f làliên tục từng khúc trên đoạn [a; b] nếu nó chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại I vàliên tục tại mọi điểm còn lại của đoạn

an = 1π

π

Z

−π

f (x)sin nxdx, n = 0, 1, 2,

bn= 1π

Chuỗi Fourier của f có thể hội tụ và có thể phân kỳ Trong trường hợp chuỗi Fourier của

a0 = 1π

2cos nxcos px = cos (n − p)x + cos (n + p)x

2sin nxsin px = cos (n − p)x + cos (n + p)x

2sin nxcos px = sin (n − p)x + sin( n + p)x

Chứng minh Có thể xem f liên tục trên đoạn [a, b].

Hàm số f bị chặn trên [a, b], tồn tại một số M sao cho |f (x)| ≤ M , với mọi x ∈ [a, b].Cho ε > 0 bất kỳ, vì f liên tục đều trên [a, b] nên tồn tại một số δ > 0 sao cho

Z

−π

f (t)cos n(x − t)dt

Vì các hàm số u 7→ f (x + u) và u 7→

sin(n + 1

2)usinu2đều có chu kỳ 2π, nên

= 12π

du + 12π

Thay u bằng −u trong tích phân thứ nhất ta được

Sn = 12π

= 12π

1π

(i) Nhân φn(x) là chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π

=

2sin2[(n + 1)x

2]2sin2x2

là n + 1 khi x → 0, nên ta suy ra

φn(x) = φn(0) = n + 1

Từ công thức trên ta suy ra các tính chất (i), (ii)

Tính chất (iii) có ngay từ công thức tích phân Dirichlet (bằng 1 với mọi n) và tính chẵncủa nhân Fejer Tính chất (iv) suy ra từ nhận xét sau:

Chứng minh Do các điều kiện của định lý, ta có thể thác triển hàm f thành một hàmliên tục, tuần hoàn trên trục số (với chu kỳ 2π) Từ bổ đề trên ta suy ra:

π

Z

−π

φn(u)|f (x) − f (x + u)|du

Do hàm f liên tục và tuần hoàn cho nên nó liên tục đều trên toàn trục số Suy ra với mỗi

số ε > 0 cho trước, tồn tại số δ > 0 sao cho

δ

Z

−δ

+ 12π

2.2.9 Tính chất đầy đủ của các hệ đa thức.

Đa thức lượng giác bậc n là các hàm có dạng

Định lý 2.9 (Định lý Weierstrass I.) Nếu hàm f liên tục trên đoạn [−π, π] và f (−π) =

f (π) thì với mỗi ε > 0, tồn tại đa thức lượng giác T (x) sao cho

|f (x) − T (x)| < ε, ∀x ∈ [−π, π]

Chứng minh Suy ra từ định lý trên, vì mỗi tổng Fejer cũng là một đa thức lượng giác

Định lý 2.10 (Định lý Weierstrass II.) Nếu hàm f liên tục trên [a; b] thì với mỗi ε > 0,tồn tại đa thức đại số p(x) sao cho

f∗(t) = f (t) ta được một hàm số liên tục xác định trên đoạn [−π, π] và thỏa mãn

f∗(−π) = f∗(π) Từ định lý trên, với mỗi ε > 0, ta tìm được đa thức lượng giác T (x)thỏa mãn điều kiện:

|f∗(t) − T (t)| < ε

2, ∀t ∈ [−π, π]

Vì đa thức lượng giác là hàm giải tích, khai triển được dưới dạng chuỗi lũy thừa (hội tụđều trên toàn trục số) Nên tồn tại một số tự nhiên nε sao cho với mọi n ≥ nε đa thứcTaylo bậc n của T (x), kí hiệu là Pn(t) thỏa mãn điều kiện:

|f∗(t) − Pn(t)| < ε

2, ∀t ∈ [−π, π]

Vậy định lý được chứng minh.

Nhận xét 2.11 Định lý trên cho ta thấy rằng, với mọi hàm f liên tục trên đoạn [a, b],

ta luôn tìm được dãy đa thức Pn(x) hội tụ đều trên đoạn này tới hàm f và từ dãy suy

ra rằng mọi hàm liên tục trên đoạn luôn có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi hội tụ đều củacác đa thức (trên đoạn đó)

Định nghĩa 2.12 Một hệ các hàm số ϕ1, ϕ2, , ϕn, xác định trên đoạn [a, b] được gọi

là đầy đủ đối với hàm số < theo định nghĩa xấp xỉ đều nếu như mọi hàm trong họ này cóthể xấp xỉ được bởi các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm trong hệ nói trên với độchính xác tùy ý

Nghĩa là, với mỗi ε > 0 tồn tại hữu hạn các hàm ϕi và các số λi, i = 1, 2, , k, sao cho

|f (x) − [λ1ϕ1(x) + + λkϕk]| < ε, ∀x ∈ [a, b]

Từ đó ta có các mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.13 Các hàm lượng giác 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, , cos nx, sin nx, làđầy đủ theo nghĩa xấp xỉ đều đối với tập các hàm liên tục trên đoạn [−π, π] và nhận giátrị như nhau ở 2 đầu mút của đoạn này

Chứng minh Suy ra từ định lý Weierstrass I

Mệnh đề 2.14 Hệ các hàm lũy thừa 1, x, x2, , xn, là đầy đủ đối với tập các hàm liêntục trên đoạn bất kỳ ( theo định nghĩa xấp xỉ đều).

Chứng minh Suy ra từ định lý Weierstrass II

Chú ý 2.15 Các hàm lượng giác không thể là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ đều đối với họcác hàm liên tục đều trên đoạn [−π, π] (vì nếu không thì từ tính chất T (−π) = T (π) củacác đa thức lượng giác sẽ kéo theo f (−π) = f (π) với mọi hàm liên tục f )

Coi độ lệch toàn phương trung bình giữa 2 hàm f và g xác định trên [a, b] là đại lượng:

vuuut

b

Z

a

[f (x) − g(x)]2dxĐại lượng này còn có tên gọi là độ lệch toàn phương trung bình của f so với g (hay của

g so với f )

Định nghĩa 2.16 Một hệ các hàm số ϕ1, ϕ2, , ϕn, xác định trên đoạn [a, b] được gọi

là đầy đủ đối với họ các hàm số < theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình nếu như vớimỗi hàm f ∈ < và với mọi số ε > 0 tồn tại một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàmtrong hệ nói trên có độ lệch toàn phương trung bình so với hàm f nhỏ hơn ε

Mệnh đề 2.17 Hệ các hàm lượng giác 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, , cos nx, sin nx,

là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình đối với tập các hàm liên tục trên đoạn[−π, π] và nhận giá trị như nhau ở 2 đầu mút của đoạn này

Chứng minh Từ tính đầy đủ của hệ các hàm lượng giác theo nghĩa xấp xỉ đều ta suy ra,

với mỗi số ε > 0 tồn tại đa thức lượng giác T (x) sao cho |f (x)−T (x)| < √ε

2π, ∀x ∈ [−π, π].

Từ đây ta suy ra

vuuut