Khóa luận tốt nghiệp toán học: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1 1. Lý do chọn khóa luận ................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................... 1 4. Giả thiết khoa học ........................................................................................ 1 5. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................... 1 6. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2 7. Đóng góp của khóa luận ............................................................................... 2 8. Cấu trúc của khía luận ................................................................................. 2 PHẦN NỘI DUNG ........................................................................................... 3 Chương 1: SỐ PHỨC ....................................................................................... 3 1.1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức ..................................................... 3 1.2. Các dạng biểu diễn số phức ...................................................................... 4 1.2.1. Biểu diễn số phức dưới dạng cặp ........................................................... 4 1.2.2. Biểu diễn số phức dưới dạng đại số ....................................................... 7 1.2.3. Biểu diễn hình học của số phức .............................................................. 7 1.2.4. Biểu diễn số phức nhờ ma trận .............................................................. 8 1.2.5. Số phức dưới dạng lượng giác.............................................................. 10 1.2.5.1. Argument của số phức ....................................................................... 10 1.2.5.2. Dạng lượng giác của số phức............................................................. 10 1.2.5.3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác .................................... 11 1.2.5.4. Công thức Moivre .............................................................................. 11 1.2.5.5. Phép khai căn một số phức ............................................................... 11 1.2.6. Dạng mũ của số phức ........................................................................... 12 1.2.7. Biểu diễn số phức trên mặt cầu Riemann ........................................... 12 1.2.8. Khoảng cách trên ............................................................................. 14 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC ....... 17 2.1. Tính toán và biểu diễn một số biểu thức ................................................ 17 2.1.1. Kiến thức sử dụng ................................................................................ 17 2.1.2. Ví dụ ...................................................................................................... 20 2.1.3. Bài tập đề nghị ...................................................................................... 25 2.2. Tính giá trị của một số biểu thức lượng giác ......................................... 26 2.2.1. Kiến thức sử dụng ................................................................................ 26 2.2.2. Ví dụ ...................................................................................................... 26 2.2.3. Bài tập đề nghị ...................................................................................... 29 2.3. Tổng và tích của một dãy các biểu thức lượng giác ............................... 29 2.3.1. Kiến thức sử dụng ................................................................................ 29 2.3.2. Ví dụ ...................................................................................................... 30 2.3.3. Bài tập đề nghị ...................................................................................... 36 2.4. Sử dụng số phức để giải phương trình lượng giác ................................. 37 2.4.1. Kiến thức sử dụng ................................................................................ 37 2.4.2. Ví dụ ...................................................................................................... 37 2.4.3. Bài tập đề nghị ...................................................................................... 39 2.5. Bất đẳng thức lượng giác ........................................................................ 39 2.5.1. Ví dụ ...................................................................................................... 40 2.5.2. Bài tập đề nghị ...................................................................................... 41 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 43 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn khóa luận Số phức ra đời do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật. Đối với học sinh bậc Trung học phổ thông thì số phức là một nội dung còn mới mẻ.Với thời lượng không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức còn rất cơ bản của số phức. Việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán lượng giác là một vấn đề khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của Toán học. Có nhiều tài liệu nghiên cứu về số phức nhưng tài liệu ứng dụng nó trong lượng giác thì chưa nhiều và chưa đưa ra đầy đủ về một vấn đề cụ thể mà chỉ trên cơ sở lí thuyết chung chung và tổng quát.Với mong muốn tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản về số phức và tìm hiểu sâu hơn các ứng dụng của số phức vào giải các bài toán trong lượng giác. Do vậy tôi chọn khóa luận: “Số phức và ứng dụng của số phức trong lượng giác”. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số phức, các dạng biểu diễn của số phức, ứng dụng số phức để giải một số dạng bài toán trong lượng giác. - Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về số phức và ứng dụng của số phức trong lượng giác cụ thể là nghiên cứu kỹ cơ sở lý thuyết của số phức, sử dụng số phức vào giải một số bài toán lượng giác, phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể. 4. Giả thiết khoa học Nếu biết cách phân loại các bài toán trong lượng giác và sử dụng số phức hợp lý sẽ giúp học sinh giải các bài toán lượng giác một cách đơn giản và dễ dàng hơn. 5. Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu lịch sử hình thành khái niệm số phức, các dạng biểu diễn số phức. - Nghiên cứu các bài toán lượng giác có thể sử dụng số phức để giải được. 2 6. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn. 7. Đóng góp của khóa luận Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo hữu ích cho Giáo viên phổ thông và các bạn học sinh, sinh viên. 8. Cấu trúc của khía luận Khóa luận gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm 2 chương và phần kết luận. Phần nội dung bao gồm các chương sau: Chương 1: Số phức. Chương 2: Ứng dụng của số phức trong lượng giác.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

TRẦN THỊ MƠ

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC

TRONG LƯỢNG GIÁC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, tháng 5 năm 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

TRẦN THỊ MƠ

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC

TRONG LƯỢNG GIÁC

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, tháng 5 năm 2013

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo: TS.GVC Hoàng Ngọc Anh đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình nghiên cứu khóa luận Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán – Lí – Tin, phòng Nghiên cứu khoa học và Hợp tác Quốc tế, thư viện trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các bạn sinh viên trong tập thể lớp K50 - ĐHSP Toán đã động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ tôi thực hiên và hoàn thành khóa luận

Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi thêm hoàn thiện

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013 Người thực hiện khóa luận

Trần Thị Mơ

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn khóa luận 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Giả thiết khoa học 1

5 Đối tượng nghiên cứu 1

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Đóng góp của khóa luận 2

8 Cấu trúc của khía luận 2

PHẦN NỘI DUNG 3

Chương 1: SỐ PHỨC 3

1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức 3

1.2 Các dạng biểu diễn số phức 4

1.2.1 Biểu diễn số phức dưới dạng cặp 4

1.2.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số 7

1.2.3 Biểu diễn hình học của số phức 7

1.2.4 Biểu diễn số phức nhờ ma trận 8

1.2.5 Số phức dưới dạng lượng giác 10

1.2.5.1 Argument của số phức 10

1.2.5.2 Dạng lượng giác của số phức 10

1.2.5.3 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác 11

1.2.5.4 Công thức Moivre 11

1.2.5.5 Phép khai căn một số phức 11

1.2.6 Dạng mũ của số phức 12

1.2.7 Biểu diễn số phức trên mặt cầu Riemann 12

1.2.8 Khoảng cách trên 14

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC 17

2.1 Tính toán và biểu diễn một số biểu thức 17

2.1.1 Kiến thức sử dụng 17

2.1.2 Ví dụ 20

2.1.3 Bài tập đề nghị 25

2.2 Tính giá trị của một số biểu thức lượng giác 26

2.2.1 Kiến thức sử dụng 26

2.2.2 Ví dụ 26

2.2.3 Bài tập đề nghị 29

2.3 Tổng và tích của một dãy các biểu thức lượng giác 29

2.3.1 Kiến thức sử dụng 29

2.3.2 Ví dụ 30

2.3.3 Bài tập đề nghị 36

2.4 Sử dụng số phức để giải phương trình lượng giác 37

2.4.1 Kiến thức sử dụng 37

2.4.2 Ví dụ 37

2.4.3 Bài tập đề nghị 39

2.5 Bất đẳng thức lượng giác 39

2.5.1 Ví dụ 40

2.5.2 Bài tập đề nghị 41

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn khóa luận

Số phức ra đời do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những phương

trình đại số Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ và

giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật Đối với học sinh bậc

Trung học phổ thông thì số phức là một nội dung còn mới mẻ.Với thời lượng

không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức còn rất cơ bản của số

phức Việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt việc sử

dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán lượng giác là một vấn đề

khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất định, biết vận dụng kiến

thức đa dạng của Toán học Có nhiều tài liệu nghiên cứu về số phức nhưng tài

liệu ứng dụng nó trong lượng giác thì chưa nhiều và chưa đưa ra đầy đủ về một

vấn đề cụ thể mà chỉ trên cơ sở lí thuyết chung chung và tổng quát.Với mong

muốn tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản về số phức và tìm hiểu sâu hơn các

ứng dụng của số phức vào giải các bài toán trong lượng giác Do vậy tôi chọn

khóa luận: “Số phức và ứng dụng của số phức trong lượng giác”

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu số phức, các dạng biểu diễn của số phức, ứng dụng số phức

để giải một số dạng bài toán trong lượng giác

- Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về số phức và ứng dụng của số phức trong lượng giác cụ thể

là nghiên cứu kỹ cơ sở lý thuyết của số phức, sử dụng số phức vào giải một số

bài toán lượng giác, phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho

từng dạng cụ thể

4 Giả thiết khoa học

Nếu biết cách phân loại các bài toán trong lượng giác và sử dụng số phức hợp lý sẽ giúp học sinh giải các bài toán lượng giác một cách đơn giản và

dễ dàng hơn

5 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu lịch sử hình thành khái niệm số phức, các dạng biểu diễn số

phức

- Nghiên cứu các bài toán lượng giác có thể sử dụng số phức để giải được

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- Phân tích, tổng hợp các kiến thức

- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn

7 Đóng góp của khóa luận

Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo hữu ích cho Giáo viên phổ thông và các bạn học sinh, sinh viên

8 Cấu trúc của khía luận

Khóa luận gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm 2 chương và phần kết luận Phần nội dung bao gồm các chương sau:

Chương 1: Số phức

Chương 2: Ứng dụng của số phức trong lượng giác

xuất hiện đầu tiên từ thế kỷ XVI trong các công trình của các nhà toán học Italy

như: công trình: “ Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số” (1545) của G.Cacrdano (1501-1576) và công trình: “Đại số” (1572) của R.Bombelli(1530-

abi, trong đó kí hiệu: i : 1 được L.Euler đưa vào năm 1777 gọi là đơn vị

“ảo”

Ta có hệ thức 2

i  1 là định nghĩa số mới i cho phép ta đưa vào xét số

phức Điều đó có nghĩa rằng hệ thức đó không thể chứng minh nó là một quy ước

Lịch sử toán học cũng đã ghi lại rằng Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm phức nhưng lại gọi chúng là “ngụy biện” Chẳng hạn khi giải hệ phương

Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại

chính là nhà toán học Italy R Bombelli Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã

định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo

Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K.Gaus (năm 1831) Vào thế

kỉ XVII- XVIII nhiều nhà toán học khác cũng nghiên cứu các tính chất của đại lượng ảo (số phức!) và khảo sát ứng dụng của chúng Chẳng hạn, L.Euler mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kỳ (năm 1738), còn A.Moivre nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736)

Lý thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực có thứ tự (a;b); a ; b được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là

W.Hamilton (1837) Ở đây đơn vị “ ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ

tự - cặp (0;1) Cho đến thế kỷ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh chính xác đầu tiên đối với Định lý cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số phức mọi phương trình đa thức đều có nghiệm

Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở rộng (đại số) của trường số thực thu được bằng phép ghép đại số cho nghiệm i của phương trình x2  1 0

Với định lý cơ bản của đại số, Gauss đã chứng minh được trường trở thành trường đóng đại số hay các nghiệm của phương trình đại số trong trường này ta không thu thêm được số mới Hơn 2500 năm từ thời Pythagor đến giờ con đường phát triển khái niệm về số có thể tóm tắt bởi     với các bao hàm thức    

K.Weierstrass đã chứng minh tập hợp số phức không thể mở rộng thành tập hợp rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn bảo toàn mọi phép tính và mọi quy luật của các phép toán đã đúng trong tập hợp số phức Như vậy các tập hợp số mới chứa tập số phức chỉ

có thể thu được bằng việc từ bỏ một số tính chất thông thường nào đó của các số phức

1.2 Các dạng biểu diễn số phức

1.2.1 Biểu diễn số phức dưới dạng cặp

Mỗi số phức a bi hoàn toàn được xác định a;b gọi là các thành phần của chúng Người đầu tiên cố gắng nêu rõ đặc trưng của các phép toán bằng ngôn ngữ các thành phần không cần nhắc đến kí hiệu “nghi vấn” i là Hamilton Cụ thể ông đã diễn tả mỗi số phức bởi một cặp số thực (có thứ tự) thông thường

Định nghĩa 1.1 Một cặp số thực có thứ tự (a;b), a , b được gọi là một

số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phép cộng và phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây:

i) Quan hệ đồng nhất trong tập số phức: (a;b) (c;d) a c

Chú ý: Hai số phức bằng nhau (a;b) và (c;d) ta có thể viết:

(a;b)  (c;d) (nếu muốn nhấn mạnh đây là quan hệ đồng nhất giữa hai cặp số thực sắp thứ tự)

(a;b) = (c;d) (nếu muốn nói rằng đây là quan hệ bằng nhau giữa hai số phức)

ii) Phép cộng trong tập số phức: (a;b) + (c;d) := (a c;b d)  và cặp (ac;b d) được gọi là tổng của các cặp (a;b) và (c;d)

iii) Phép nhân trong tập số phức: (a;b) (c;d) := (ac bd;ad bc) và cặp (ac bd;ad bc) được gọi là tích của các cặp (a;b) và (c;d)

iv) Số thực trong tập số phức: Cặp (a;0) được đồng nhất với số thực a, nghĩa là: (a;0) : a hay là (a;0)a

i)-iv): Giả sử hai số thực a và b bằng nhau như những cặp dạng đặc biệt đồng nhất với chúng: (a;0) (b;0) Khi đó theo tiên đề i) ta có:

(a;0)(b;0) a b

tức là chúng bằng nhau theo nghĩa thông thường

ii)-iv): Theo tiên đề ii), tổng hai số thực a và c được xét như những cặp (a;0) và (c;0) là bằng cặp (ac;0 0) = (ac;0) Nhưng theo tiên đề iv) thì (ac;0)  ac Như vậy:

tức là đồng nhất bằng tổng a+c theo nghĩa thông thường

iii)-iv): Theo tiên đề iii), tích các số thực a và b được xét như những cặp

(a;0) và (c;0) là bằng cặp:

(ac 0.0;a.0 0.c)  (ac;0)

và theo tiên đề iv) ta có (ac;0) ac Như vậy

(a;0) (c;0) = (ac;0)ac

tức là đồng nhất bằng tích a với c theo nghĩa thông thường

Như vậy tiên đề iv) tương thích với các tiên đề i), ii), iii)

Lưu ý: Các công thức sau đây được suy ra trực tiếp từ iii) và iv):

1.2.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số

Mọi số phức (a;b) đều được biểu diễn dưới dạng:

(a;b)(a;0)(b;0)(a;0)(b;0)(0;1) a bi,

trong đó cặp (0;1) được ký hiệu bởi chữ i

Từ tiên đề iii) ta có: 2

i (0;1)(0;1)(0.0 1.1;0.1 1.0)   ( 1;0) 1 Biểu thức  a;b  a bi được gọi là dạng đại số của số phức

Số phức z a bi a; b : a được gọi là phần thực của số phức đó

và kí hiệu Rez; b được gọi là phần ảo của số phức đó và kí hiệu là Imz

Các phép toán (i)-(iii) đối với các số phức viết dưới dạng đại số

1.2.3 Biểu diễn hình học của số phức

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M(a;b) Mỗi số phức (a;b) a bi

có thể đặt tương ứng với điểm M(a;b) và ngược lại, mỗi điểm M(a;b) của mặt phẳng sẽ tương ứng với số phức (a;b) a bi 

Nhờ phép tương ứng: (a;b) abi

Ta xem các số phức như là một điểm của mặt phẳng tọa độ hay vectơ với

điểm đầu tại gốc tọa độ O(0;0) và điểm mút tại M(a;b)

Định nghĩa 1.2 Mặt phẳng tọa độ với phép tương ứng đơn trị một-một

(a; b) a+ bi

được gọi là mặt phẳng phức hay mặt phẳng Gauss và cũng được kí hiệu là và

z a bi là một điểm thuộc mặt phẳng đó

Như vậy mặt phẳng 2 mà các điểm của nó được đồng nhất với các phần

tử của trường được gọi là mặt phẳng phức

Trục hoành của mặt phẳng tọa độ gọi là trục thực (do các điểm của nó

tương ứng với các số (a;0) a  ) còn trục tung gọi là trục ảo (do các điểm

của nó tương ứng với các số thuần ảo (0; b) = bi)

Số phức z a bi cũng có thể biểu diễn bởi một vectơ đi từ gốc tọa độ

với các hình chiếu a và b trên các trục tọa độ Như vậy, vectơ z a bi  bằng

bán kính vectơ của điểm z

Với cách biểu diễn số phức dưới dạng vectơ đi từ gốc tọa độ, các phép

cộng và trừ các số phức được thực hiện theo phép cộng và trừ các vectơ Nhưng

phép nhân và phép chia cần thực hiện theo quy tắc *

(ii ) và (iii ) vì trong đại số *vectơ không có các quy tắc tương tự trực tiếp như vậy

mà trên đó các phép toán cộng và nhân được thực hiện theo các quy tắc thông

thường của đại số ma trận

Mỗi số phức z a bi ta đặt tương ứng với ma trận:

Từ (1.2) và (1.3) suy ra rằng ánh xạ đã xây dựng là đẳng cấu giữa và

M vì ma trận ở vế phải của (1.2) là tương ứng với các số phức:

(a  c) (b d)i (a bi) (c di)

và ma trận ở vế phải của (1.3) là tương ứng với các số phức:

(ac bd) (adbc)i (a bi)(c di)

Từ đó suy ra rằng tổng và tích hai số phức trong tương ứng với tổng

1.2.5 Số phức dưới dạng lượng giác

acos

a r cosr

sinr

và 0 được gọi là argument chính của số phức z Kí hiệu: argz

Ta nói mọi số thực  sao cho: zr cos  isin được gọi là argument của số phức z

Nếu là một argument của z thì mọi argument của z có dạng  k2, k Tập hợp tất cả các argument của z được kí hiệu và xác định:

Rez = a = rcos, Imz = b = r sin

Trong đó: (a) độ dài bán kính véctơ r := 2 2

z  zz  a b , (b) góc cực  Arg được gọi argument của z

Biểu thức (1.4) được gọi là dạng lượng giác hay dạng cực của số phức

z a bi

1.2.5.3 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Ta đã biết công thức nhân và chia số phức dưới dạng đại số Sau đây là

định lí nêu lên công thức nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác; chúng cho

các quy tắc tính toán đơn giản về nhân và chia số phức

Định lí 1.1 Nếu zr cos  isin,

Với mọi số thực  : cos isin e i (1.5)

Dạng lượng giác (1.4) được biến đổi thành dạng mũ i

Các công thức (1.6) được gọi là công thức Euler

1.2.7 Biểu diễn số phức trên mặt cầu Riemann

Trong không gian Euclide ba chiều với hệ tọa độ Đềcác vuông góc

( ; ; )   ta xét mặt cầu với tâm tại điểm (0; 0; 1

2) với bán kính bằng 1

2

sẽ cắt mặt phẳng phức tại điểm z Hiển nhiên đó là một phép đơn trị một-một

Định nghĩa 1.3 Phép tương ứng : z A(z) S

như đã mô tả ở trên được gọi là phép chiếu nổi với cực tại điểm P Điểm A(z) 

S được gọi là ảnh nổi hay là ảnh cầu của điểm z

Định lý 1.2 Trong phép chiếu nổi : z A(z) S

điểm z x iy   sẽ tương ứng với điểm A(z)  S có tọa độ là

Ta thấy, trong phép biến đổi , điểm P(0; 0; 1) không tương ứng với điểm z nào của mặt phẳng Ta xét số phức “lý tưởng” z  và “bổ sung” cho mặt phẳng phức bằng cách thêm cho nó điểm xa vô cùng duy nhất (gọi tắt là điểm vô cùng) tương ứng với số phức z 

Định nghĩa 1.4 Tập hợp lập nên từ mặt phẳng phức và điểm vô cùng ( kí hiệu là ) được gọi là mặt phẳng phức mở rộng và kí hiệu là

1.2.8 Khoảng cách trên

Ta đưa vào trong hai mêtric, trong mêtric thứ nhất khoảng cách giữa hai điểm z , z1 2 được giả thiết bằng:

d d (z ;z ) : z1 2  1z2  (x1x )2 2(y1y ) 2 2

Mêtric này là mêtric Euclide thông thường trong mặt phẳng 2 Trong

mêtric thứ hai (gọi là mêtric cầu) khoảng cách giữa hai điểm z ;z1 2 được hiểu là khoảng cách (trong không gian   ; ; ) giữa các ảnh cầu của chúng

Khoảng cách này được gọi là khoảng cách cầu hay khoảng cách Jordan giữa hai

1 2

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC 2.1 Tính toán và biểu diễn một số biểu thức

Trong phần này, ta xét một số tính toán trên các số phức cụ thể

2.1.1 Kiến thức sử dụng

+) Số phức z a bi a;b : a được gọi là phần thực của số phức đó và kí hiệu Rez; b được gọi là phần ảo của số phức đó và kí hiệu là Imz

+) Dạng zr cos  sin với r > 0 là dạng lượng giác của số phức

z  a bi 0 a;b .Trong đó: r là môđun của z, 2 2

r b r

+) Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Cho hai số phức: zr cos  isin, ' ' ' '

+) Khai triển cosnx , sin nx , tan nx

cos nxisin nx cos xisin x

Mặt khác theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

 cos nxcos xn C cos2n n 2 x sin x2 C cosn4 n 4 x sin x4  A,

với A =  n

n 2

1 sin x

 nếu n chẵn, A =  n 1

n 1 n 1 2

+) Tuyến tính hóa sinn và cosn

Giả sử zcos isin Khi đó: 1 1

z12isin z

Vậy  

n 1