Khoá luận tốt nghiệp hình chóp tứ giác và một số dạng bài tập liên quan

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s P H Ạ M H À N Ộ I KHOA TOÁN N guyễn T hị M inh Thu H ÌN H CHÓP TỨ GIÁC VÀ M ỘT SỐ D Ạ N G B À I TẬ P LIÊN Q U A N KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC H N ội —N ăm 2016 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s P H Ạ M H À N Ộ I KHOA TOÁN N guyễn T hị M inh Thu H ÌN H CHÓP TỨ GIÁC VÀ M ỘT SỐ D Ạ N G B À I TẬ P LIÊN Q U A N C huyên ngành: H ình học K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS Trần Văn N ghị H N ội —N ăm 2016 LỜI C Ả M ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Trần Văn N ghị người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành tốt khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên N guyễn Thị M inh Thu LỜI C A M Đ O A N Khóa luận hình thành sau trình tự tìm hiểu, nghiên cứu thân dựa kiến thức học, tài liệu tham khảo hướng dẫn thầy giáo Trần Văn Nghị Em xin cam đoan kết khóa luận không chép từ khóa luận Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên N guyễn Thị M inh Thu M ụ c lục Lời nói đầu M ột 1.1 số dạng tập liên quan đến hình chóp tứ giác Quan hệ song song hình chóp tứ g iá c 1.1.1 Xác định giao tuyến chung hai mặt phẳng 1.1.2 Xác định giao điểm đường thẳng a (a) 1.1.3 Chứng minh ba điểm A, B, c thẳng hàng 1.1.4 Chứng minh ba đường thẳng đồng q u y 1.1.5 Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b 1.2 1.3 1.1.6 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 1.1.7 Hai mặt phẳng song song Quan hệ vuông góc hình chóp tứ giác 8 10 11 1.2.1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 11 1.2.2 Chứng minh hai đường thẳng a b vuông góc 13 1.2.3 Chứng minh hai m ặt phẳng vuông g ó c 15 Bài toán thiết diện hình chóp tứ g iá c 17 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.3.1 Nguyễn Thị Minh Thu-K38D Thiết diện hình chóp với (p) qua ba điểm không thẳng h n g 1.3.2 17 Thiết diện hình chóp với (p), (p) chứa đường thẳng a song song với đường thẳng b cho trước (a, b chéo n h a u ) 1.3.3 Thiết diện hình chóp với (P) qua điểm song song với hai đường thẳng cho t r c 1.3.4 1.4 1.5 20 Thiết diện qua điểm vuông góc với đường thẳng cho t r c 1.3.6 19 Thiết diện hình chóp với (P) qua hai điểm song song với mặt phẳng cho trước 1.3.5 18 21 Thiết diện chứa đường thẳng a vuông góc với mặt p h ẳ n g 22 Các toán góc hình chóp tứ g i c 23 1.4.1 Góc hai đường t h ẳ n g 23 1.4.2 Góc đường thẳng a mặt phẳng (a) 1.4.3 Góc hai mặt p h ẳ n g 24 26 Các toán khoảng cách hình chóp tứ giác 28 1.5.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 28 1.5.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 30 1.5.3 Xác định đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo 1.5.4 Khoảng cách hai đường thẳng chéo ii 32 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.5.5 Nguyễn Thị Minh Thu-K38D Khoảng cách đường thẳng m ặt phẳng song song khoảng cách hai m ặt phẳng song song 35 1.6 1.7 Các toán thể tích hình chóp tứ g i c 38 1.6.1 Tính thể tích trực tiếp cách tìm đường cao 38 1.6.2 Bài toán tính thể tích khối chóp cách gián tiếp 45 1.6.3 Các toán so sánh thể t í c h 47 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ g i c 49 1.8 Hình chóp tứ giác 50 1.9 Các tập hình chóp tứ giác đặc biệt k h c 51 1.9.1 Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy hay hình chóp có hai m ặt bên vuông góc với đáy 1.9.2 Hình chóp có m ặt bên m ặt chéo vuông góc với đ y 1.9.3 51 53 Hình chóp có m ặt bên tạo với đáy góc n h a u BÀ I TẬP ĐỀ NG H Ị 54 55 2.1 Quan hệ song song hình chóp tứ g iá c 55 2.2 Quan hệ vuông góc hình chóp tứ giác 56 2.3 Bài toán thiết diện hình chóp tứ g iá c 58 2.4 Bài toán góc hình chóp tứ g iá c 60 2.5 Các toán khoảng cách hình chóp tứ giác 61 2.6 Các toán thể tích hình chóp tứ g i c 62 2.7 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ g i c 64 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Minh Thu-K38D 2.8 Hình chóp tứ giác 65 2.9 Các tập hình chóp tứ giác đặc biệt k h c 65 K ết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Minh Thu-K38D Lời nói đầu Lý chọn đề tài Hình học nói chung hình học không gian nói riêng môn học khó học sinh nhà trường trung học phổ thông Vì hình học môn học có tính chặt chẽ, logic trừu tượng hóa cao môn học khác Để học Hình học không gian, tính trừu tượng đòi hỏi học sinh phải có kĩ tư cao Hình học không gian bước đầu học thấy khó song học thấy thú vị Do việc nghiên cứu hình học không gian cần thiết, nên khóa luận em đào sâu vào phần nhỏ hình học không gian hình chóp tứ giác Đây chủ đề có cấu trúc thi cao đẳng, đại học thường xuyên có mặt trong đề thi tuyển chọn học sinh giỏi trường phổ thông Nhằm cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ liên quan đến dạng tập hình chóp tứ giác nên em chọn nghiên cứu đề tài "Hình chóp tứ giác m ột số dạng tập liên quan" Là giáo viên tương lai em nhận thấy việc nghiên cứu đề tài hợp lý có ý nghĩa thực tiễn M ục đích nghiên cứu đề tài Nghiên cứu sở lí luận, hệ thống hóa phân dạng dạng tập hình chóp tứ giác cách chi tiết nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh, nâng cao lực sư phạm cho giáo viên tăng hiệu dạy học môn toán THPT Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Minh Thu-K38D P hạm vi, đối tượng nghiên cứu a) Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu hình chóp tứ giác b) Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết tập quan hệ vuông góc, quan hệ song song, thiết diện, toán góc, khoảng cách, thể tích, m ặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác, toán hình chóp tứ giác toán hình chóp tứ giác đặc biệt khác chương trình toán trung học phổ thông N hiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu phân loại, hệ thống dạng tập hình chóp tứ giác Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp kiến thức Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương: Chương 1: Một số dạng tập liên quan đến hình chóp tứ giác Chương 2: Bài tập đề nghị Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Minh Thu-K38D _ —4 ,a a ay/2 , Ta có A/V = (^, AN = a; M P = 2a 2a 2ay/2 y , 0), MP = Suy Ã È - à Ĩ Ỉ = => AN _L MP.Vậy Sa m n p = ^AN-MP = 1.9.2 H ình chóp có m ột m ặt bên m ặt chéo vuông góc với đáy Đặc điểm: Đường cao hình chóp đường kẻ từ m ặt bên đến giao tuyến V í dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên (SAB) tam giác cân s (SAB) _L (ABCD), góc đường thẳng s c (ABCD) a Tính khoảng cách từ chân đường cao hình chóp tới (SCD) s Lời giải Gọi H trung điểm AB Suy SH AB ^ SH (ABCD) Suy CH hình chiếu sc - - \ -D xuống (ABCD) =* (SC, (ABCD)) = s c ầ = a Kẻ HI JL SK Gọi K trung điểm CD HK _L CD suy CD _L (SHK) = > C D HI Vậy HI JL (SCD) ^ d(H, (SCD)) = HI Trong A BHC vuông B ta có HC = y / B H + B C = Trong A SHC vuông H ta có SH = H C tana a y/ỏ ■tan a Trong A vuông SHK với HK = a ta có 1 (ta n a )2 + ay/Eta n a HP SH H K a (ta n o )2 v ^ ta n c * ) + ' 53 ay/ Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.9.3 Nguyễn Thị Minh Thu-K38D H ình chóp có m ặt bên tạo với đáy góc Đặc điểm: Chân đường cao hình chóp trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy V í dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A D, A SAD cạnh 2a, BC = 3a Các m ặt bên lập với đáy góc Tính thể tích hình chóp S.ABCD Lời giải Hạ SH JL (ABCD), H ■ HK = —— = a Vì A vuông SHK có HK = a SK = a-\/3 (vì A SAD đều) nên SH = V 3a2 —a2 — a\/2 Vì tứ giác ABCD ngoại tiếp nên AB+CD = AD = BC = 5a (A B + C D ) A D c ữ2 'A B C D Suy Vs.ABCD = S abcd 5a2 • y/õ, SH = - 54 C hương B À I TẬP ĐỀ N G H Ị 2.1 Quan hệ song song hình chóp tứ giác Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB Gọi E, F trung điểm SA, s c Lấy M điểm tùy ý cạnh SD Tìm giao tuyến cặp m ặt phẳng sau: a) d((SAC), (SBD)); b) d((SAD), (SBC)); c) d((M EF), (MAB)) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I,J trọng tâm A SAD, A SBC Tìm giao tuyến của: a) (SU) (ABCD; b) (SAB) (CDIJ); c) SB (JAD) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD điểm M tùy ý A SCD a) Xác định giao tuyến (SMB) (SAD); (SAC) MB b) Chứng minh MA, CD, d giao tuyến (MAB) (SCD) 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Minh Thu-K38D B ài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm o a) Gọi E, F lần lượl trung điểm SA, SB Chứng minh E F//(S C D ) b) Gọi M, N trung điểm AB, AD, xét điểm I, J cho = 2sữ, 3sì = 2SÊ Chứng minh M N //(SBD ), IJ//(S B D ), S C //(O IJ) B ài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, A D //B C AD = 2BC, gọi o , M, N trung điểm AC, s c , SD a) Tìm I e A M n (SOD), J e SB n (AMN) b) Gọi K giao điểm AB DO Chứng minh O B //(IJK ), S A // (IJK) B ài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB Gọi I, J trung điểm SA, SB M điểm tùy ý thuộc SD Tìm giao điểm a) BM (SAC); 2.2 b) IM (SBC); c) s c (IJM) Quan hệ vuông góc hình chóp tứ giác B ài 1: (Đ ề T S Đ H khối D -2007) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình thang, A B C = B A D = 90°, BA = BC = a, AD = 2a Gỉa sử SA = a\/2 SA T (ABCD) Chứng minh s c T CD B ài 2: (Đ ề T SC Đ khối A , B , D -2009) Cho hình chóp S.ABCD cạnh đáy a, cạnh bên a\/2, gọi M, N, p trung điểm SA, SD, DC Chứng minh MN _L SP B ài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A, D, SA = a, SA T (ABCD), AB = 2a, AD = DC = a Gọi I trung 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Minh Thu-K38D điểm AB Chứng minh a) CI JL SB; b) OI JL sc Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD a) Đáy ABCD hình thoi tâm o SA = s c , SB = SD Chứng minh s o _L (ABCD) b) Đáy ABCD hình chữ nhật SA = SB Gọi I, J trung điểm AB, CD Chứng minh CD _L (SIJ) Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD a) Đáy ABCD hình bình hành A SAB vuông A, A SCD vuông D Chứng minh AB _L (SAD) b) Đáy ABCD hình thoi SA = sc Chứng minh AC _L (SBD) c) Đáy ABCD hình chữ nhật, A SBC vuông B SDC vuông Chứng minh SA _L (ABCD) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, SA _L (ABCD), AH JL SB, AI JL s c , AK JL SD với H eS B, I e s c , K e SD Chứng minh rằng: a) sc JL (AHK); b) HK JL (SAC) HK JL AI Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông Mặt bên SAB tam giác Gọi E, F trung điểm AB, CD 1) Cho biết A SCD vuống cân s Chứng minh rằng: a) SE JL (SCD), SF JL (SAB); b) Gọi H hình chiếu vuông góc 57 s EF Chứng minh SH _L AC Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Minh Thu-K38D 2) Cho biết A SBC vuông cân B a) Chứng minh SE _L (ABCD) b) Gọi K trung điểm AD Chứng minh AC _L SK CK _L SD 2.3 Bài toán thiết diện hình chóp tứ giác Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M điểm tùy ý A SCD Tìm thiết diện tạo thành (ABM) với hình chóp Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác lồi, AC n BD = o Xác định thiết diện hình chóp cắt (a) qua o song song với AB sc Thiết diện hình gì? Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành Xác định thiết diện cắt mặt phẳng (P) qua M (MA = MB) song song BD, SA Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm o Gọi M, N, p trung điểm BC, AD, SA a) Chứng minh s c SD //(M N P) b) Xác định thiết diện hình chóp với (R) qua o song song với CD SA Bài 5: Cho hình chóp có đáy A B //C D , AB>CD Gọi I, J trung điểm SB, sc Xác định thiết diện hình chóp cắt (AIJ) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, M trọng tâm A SBD Dựng thiết diện hình chóp cắt (p) qua M song song SB, AC Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD, SA _L(ABCD), ABCD vuông A, D có AB = BC = a, AD = 2a Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt 58 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Minh Thu-K38D (o;)//(SAD) cách khoảng — Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a, tâm o , SAB tam giác đều, SA _L AD, Dx//sc a) I = Dx n (SAB) Chứng minh A I//SB b) Tìm thiết diện hình chóp với (AIC) Tính diện tích thiết diện Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành Gọi I, J trọng tâm tam giác SAB SAD; M trung điểm CD Xác định thiết diện hình chóp với (IJM) Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm o Gọi M, N, p trung điểm SB, SD, o c Tìm thiết diện hình chóp với (MNP) Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, SA n (ABCD) Gọi (a) m ặt phẳng qua A vuông góc với SB Hãy xác định thiết diện hình chóp với (a) Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD, M điểm nằm A SCD Xác định thiết diện hình chóp cắt bỏi (ABM) Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vuông, SAB tam giác nằm m ặt phẳng vuông góc với đáy, M trọng tâm tam giác BCD Dựng thiết diện với hình chóp cắt mp (p) qua M vuông góc với AB Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD mặt bên hợp với đáy góc a Hãy xác định thiết diên tạo nên mặt phẳng phân giác góc nhị diên cạnh BC với mặt bên hình chóp 59 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.4 Nguyễn Thị Minh Thu-K38D Bài toán góc hình chóp tứ giác Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông canh a, SA _L (ABCD), SA = a Gọi M trung điểm SD Tính góc: a) (BS, CD); b) ( B Ỉ , Ã Ê ) = ip Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a, (SAB) _L (ABCD), A SAB ,gọi I trung điểm AB Tính: a) (BD, (SAD)); b) (SD, (SCI)) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD có B — D — 90°, AB = AD = a, CB = CD = ay/2, (SBC) (SCD) hợp với đáy góc 45° Tính góc : a) (SC, (ABCD)); b) ((SBD), (ABCD)) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a, A = 60°, SA = SB = SD = — Tính: a) (SC, (ABC)); b) ((SBD), (ABCD)) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, AC n BD = o, AB = a, BC = 2a Lấy s không gian, s o _L (ABC) Đặt s o = h, gọi M, N trung điểm AB, CD Tính: a) ((SMN), (SAB)); b) ((SAB), (SCD)), tính h theo a để (SAB)T(SCD) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA JL (ABCD) Tính: a) (SB, (SCD)); b) ((SCD), (SCA)) 60 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.5 Nguyễn Thị Minh Thu-K38D Các toán khoảng cách hình chóp tứ giác Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm o , SA = AB = 2a, A B C = 60°, SA JL (ABCD) a) Chứng minh s c _L BD suy d (0 , SC) b) d(D, SB), d (0 , SB) Bài 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Qua trùng điểm I AD dựng đường thẳng (d) _L (ABCD) Trên (d) lấy s cho SI = Tính d(C, (SAD)) Bài 3: Cho ABCD hình thoi tâm o , cạnh a, AC = a, H trung điểm AB, dựng SH JL (ABCD), SH = a Tính: a) d(H, (SCD)); b) d (0 , (SCD)); c) d(A, (SBC)) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông tâm o , cạnh a, SA = a\/ã, SA JL (ABCD) a) Dựng đường thẳng qua trung điểm I s c vuông góc với (SBC) b) Dựng đường thẳng qua A vuông góc với (SBC) Tính d(A, (SBC)) c) d (0 , (SCB)) d) d(G, (SAC)), với G trọng tâm A SAB Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a SA JL (ABCD) Tính: a) (SB, CD); b) (SB, AD); c) (SC, BD); d) (SC, AD) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vuông, SI _L (ABCD) với I 61 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Minh Thu-K38D •\/3 trung điểm AB, SI = - Gọi M, N, p trung điểm BC, SD, SB Tính: a) d(AB, SD); b) d(SA, BD); c) d(MN, AP) Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác ABCD, AC n BD = o , SO = — , SO _L (ABCD) Tính d (0 , (SAB)) d(SA, CD) nếu: Ẩi a) ABCD hình vuông cạnh a; b) ABCD hình thoi, cạnh a khoảng cách từ o đến cạnh hình thoi 2.6 Các toán thể tích hình chóp tứ giác Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M, N trung điểm AB, AD, CN n DM = H, SH _L (ABCD) SH = a\/3 Tính Vs c d m n - Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang vuông A D, AB = BC = a, AD = 2a, SA T (ABCD), SA = 2a Gọi M, N trung điểm SA, SD Chứng minh BCMN hình chữ nhật tính Vs.DCNM ■ Bài 3: (Đề TSĐH khối A-2004) Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a, mặt bên (SAD) tam giác nằm m ặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, p trung điểm SB, BC, CD Tính Vc m n p - Bài 4: (Đề TSĐH khối B-2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a\/2, SA = a SA T (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD sc Gỉa sử I = BM n AC 62 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tính Va n ib Nguyễn Thị Minh Thu-K38D - Bài 5: (Đ ề T S Đ H -C Đ khối B-2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a\/3 (SAB) T (ABCD) Gọi M, N điểm AB, BC Tính Vs b m d n cos (SM, DN) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a Hình chiếu vuông góc đỉnh s (ABCD) H e AC cho AC AH = Gọi CM đường cao A SAC Chứng minh M trung điểm SA tính V s m b c - Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, SA = SB = s c = SD = &y/2, E