Hình tứ diện và một số dạng bài tập liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Bích Sinh HÌNH TỨ DIỆN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ BÍCH SINH HÌNH TỨ DIỆN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS TRẦN VĂN NGHỊ Hà Nội – Năm 2016 Mục lục Lời mở đầu MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TỨ DIỆN 1.1 QUAN HỆ SONG SONG CỦA TỨ DIỆN 1.1.1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng 1.1.2 Xác định giao điểm đường thẳng a (α) 1.1.3 Tìm thiết diện hình chóp tam giác mặt 1.2 phẳng 1.1.4 Chứng minh hai đường thẳng a b song song 10 1.1.5 Đường thẳng song song mặt phẳng 11 1.1.6 Hai mặt phẳng song song 12 QUAN HỆ VUÔNG GÓC 14 1.2.1 1.3 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 14 1.2.2 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 15 1.2.3 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 16 CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC 17 1.3.1 17 Góc hai đường thẳng i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.4 NGUYỄN THỊ BÍCH SINH 1.3.2 Góc đường thẳng mặt phẳng 19 1.3.3 Góc hai mặt phẳng 22 KHOẢNG CÁCH 25 1.4.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 25 1.4.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 31 1.4.3 Xác định đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo 36 1.5 THỂ TÍCH 38 1.6 XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI 1.7 1.8 1.9 TIẾP 43 1.6.1 Hình tứ diện có cạnh bên 44 1.6.2 Hình tứ diện có cạnh bên vuông góc với đáy 46 1.6.3 Hình tứ diện có mặt bên vuông góc với đáy 48 TỨ DIỆN ĐỀU VÀ TỨ DIỆN GẦN ĐỀU 50 1.7.1 Tứ diện 50 1.7.2 Tứ diện gần 52 TỨ DIỆN VUÔNG VÀ TỨ DIỆN TRỰC TÂM 54 1.8.1 Tứ diện vuông 54 1.8.2 Tứ diện trực tâm 57 BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TỨ DIỆN VUÔNG 60 1.9.1 Đi tìm bất đẳng thức tứ diện vuông 1.9.2 Khai thác tứ diện vuông cho toán bất đẳng thức cực trị BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 2.1 60 62 66 Quan hệ song song ii 67 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ BÍCH SINH 2.2 Quan hệ vuông góc 2.3 Các toán góc, khoảng cách, thể tích mặt cầu 68 ngoại tiếp tứ diện 69 2.4 Bài toán tứ diện đặc biệt 71 2.5 Bất đẳng thức liên quan đến tứ diện vuông 72 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ BÍCH SINH LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Trần Văn Nghị người tận tình hướng dẫn, để em hoàn thành tốt khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Xuân Hoà, ngày tháng năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Bích Sinh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hình thành sau trình tự tìm hiểu, nghiên cứu thân dựa kiến thức học, tài liệu tham khảo hướng dẫn thầy giáo Trần Văn Nghị Em xin cam đoan kết khóa luận không chép từ khóa luận Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ BÍCH SINH Lời mở đầu Lý chọn đề tài Hình học nói chung hình học không gian nói riêng môn học khó học sinh nhà trường THPT Vì hình học môn học có tính chặt chẽ, logic trừu tượng hóa cao môn học khác Để học hình học không gian, tính trừu tượng đòi hỏi học sinh phải có kĩ tư cao Hình học không gian bước đầu người học cảm thấy khó song học thấy thú vị Do việc nghiên cứu hình học không gian cần thiết, nên khóa luận em đào sâu vào phần nhỏ hình học không gian hình tứ diện Đây chủ đề thường xuyên xuất cấu trúc đề thi cao đẳng, đại học đề thi tuyển chọn học sinh giỏi trường THPT Nhằm cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ liên quan đến dạng tập hình tứ diện nên em lựa chọn nghiên cứu đề tài "Hình tứ diện số dạng tập liên quan" Là giáo viên tương lai, em nhận thấy việc nghiên cứu đề tài hợp lý có ý nghĩa thực tiễn trình giảng dạy Mục đích nghiên cứu đề tài Nghiên cứu sở lí luận, hệ thống hóa phân dạng tập hình tứ diện cách chi tiết nhất, nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh, nâng cao lực sư phạm cho giáo viên tăng hiệu giảng dạy môn toán trường THPT Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ BÍCH SINH Phạm vi, đối tượng nghiên cứu a) Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu hình tứ diện b) Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết tập quan hệ vuông góc, quan hệ song song, thiết diện, toán góc, khoảng cách, thể tích, mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện, toán hình tứ diện đặc biệt bất đẳng thức liên quan đến tứ diện vuông chương trình Toán THPT Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu phân loại, hệ thống dạng tập hình tứ diện Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp kiến thức Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương: Chương 1: Một số dạng tập liên quan đến hình tứ diện Chương 2: Bài tập đề nghị Chương MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TỨ DIỆN Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.9 NGUYỄN THỊ BÍCH SINH BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TỨ DIỆN VUÔNG 1.9.1 Đi tìm bất đẳng thức tứ diện vuông Tứ diện vuông tứ diện có cạnh xuất phát từ đỉnh đôi vuông góc Tứ diện vuông có đẳng thức đơn giản, liên hệ chiều cao, cạnh, góc diện tích Trong viết này, tác giả kết hợp đẳng thức với bất đẳng thức đưa đến số bđt thường xuất đề thi Olympic, đề thi học sinh giỏi Bài toán mở đầu bất đẳng thức: Cho tứ diện vuông SABC, SA = a, SB = b, SC = c, chiều cao SH = h Gọi α, β, γ góc SH SA, SB, SC (α, β, γ góc (ABC) (SBC), (SCA), (SAB)) S = SABC S1 = SSBC S2 = SSCA S2 = SSAB Ta có: 1 1 + + = a b c h 2 2 S1 + S2 + S3 = S cos2 α + cos2 β + cos2 γ = tan2 α + tan2 β + tan2 γ = tan2 λ.tan2 β − Chứng minh: 1) Lưu ý H trực tâm ∆ABC Gọi K = AH ∩ BC ∆ASK vuông S với đường cao SH 60 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ BÍCH SINH 1 = + h2 SA2 SK ∆BSC vuông S với đường cao SK: 1 =⇒ = + SK SB SC 1 1 =⇒ + + = a b c h 1 1 2) + + = a b c h 9V 9V 9V 9V =⇒ + + = a b c h 2 (bS2 ) (cS3 )2 (hS)2 (aS1 ) =⇒ + + = a2 b2 c2 h2 2 2 =⇒ S1 + S2 + S3 = S =⇒ 3) 1 1 + + = a2 b2 c2 h2 =⇒ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 4) cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 1 =⇒ + + =1 + tan2 α + tan2 β + tan2 γ =⇒ tan2 α + tan2 β + tan2 γ = tan2 αtan2 βtan2 γ -2 61 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.9.2 NGUYỄN THỊ BÍCH SINH Khai thác tứ diện vuông cho toán bất đẳng thức cực trị Cho tứ diện vuông OABC O, OA = a, OB = b, OC = c, S = SABC , S1 = SOAB ,S2 = SOBC ,S3 = SOAC Gọi OH đường cao R, r, R1 bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp tứ diện bán kính đường tròn ngoại tiếp DeltaABC α, β, γ số đo góc nhị diện cạnh AB, BC, CA Khi đó: ∆ABC có ba góc nhọn 1 1 = + + OH a2 b2 c2 cos2 α + cos2 β + cos2 γ = S12 = SHAB S.S22 = SHBC S.S32 = SHCA S S12 + S22 + S32 = S (Định lý Pythagore) VOABC = abc √ Stp = (ab+bc+ca+ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) 62 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ BÍCH SINH Ta chia thành nhóm toán sau: Các bất đẳng thức lượng giác: Ví Dụ : Chứng minh rằng: cosαcosβ +cosβcosγ + cosγcosα ≤ Giải: Gọi β’ hình chiếu vuông góc β’ lên CA, CB B 1 = + 2, Ta có OB a c 2 a c suy OB = , a + c2 ac suy cotγ = √ b a2 + c ab bc Tương tự thì: cotα = √ ; cotβ = √ c a2 + b a b2 + c2 Mặt khác: AB + BC − CA2 b2 cosβ = = , 2AB.AC (a2 + b2 )(b2 + c2 ) suy cotαcotβ = cosβ Vì vậy: cosαcosβ + cosβcosγ + cosγcosα ≤ 63 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ BÍCH SINH Các bất đẳng thức hình học: Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức: √ S1 S2 S3 3 √ + + ≤ S + 2S1 S + 2S2 S + 2S3 3+2 Giải S1 S2 S3 + + S + 2S1 S + 2S2 S + 2S3 2S1 2S2 2S3 =⇒ 2p = + + S + 2S1 S + 2S2 S + 2S3 1 + + ) = - S.( S + 2S1 S + 2S2 S + 2S3 Ta có: 1 + + ≥ S + 2S1 S + 2S2 S + 2S3 3S + 2(S1 + S2 + S3 ) 9 √ ≥ = (3 + 3S + 3(S12 + S22 + S32 ) √ 3)S √ √ =⇒ 2p ≤ - S = (3 + 3)S + √ 3 √ =⇒ p ≤ 3+2 Đặt p = 64 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ BÍCH SINH Các bất đẳng thức đại số Ví Dụ: Cho x, y, z số thực dương Chứng inh rằng: 1 + + ≤ (x + y)(x + z) (y + z)(y + x) (z + x)(z + y) 4(xy + yz + zx) Giải: Dựng tứ diện OABC vuông O có cạnh √ √ √ OA = x, OB = y, OC = z Ta có: cos A = x (x + y)(x + z) =⇒ sin2 A = xy + yz + zx (x + y)(x + z) Do đó: xy + yz + zx xy + yz + zx xy + yz + zx + + (x + y)(x + z) (y + z)(y + x) (z + x)(z + y) Nếu giả thiết xy + yz + zx = ta có bất đẳng thức quen thuộc 1 sau: + + ≤ x +1 y +1 z +1 = sin2 A + sin2 B.sin2 C ≤ 65 Chương BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 66 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.1 NGUYỄN THỊ BÍCH SINH Quan hệ song song Bài 1: Cho tam giác ABC nằm (P) a đường thẳng nằm (P) không song song với AB, AC S điểm (P) A’ điểm thuộc SA Xác định giao tuyến cặp mặt phẳng sau: a) (A’,a) (SAB) b) (A’,a) (SAC) c) (A’,a) (SBC) Bài 2: Cho tứ diện SABC Gọi D điểm SA< E điểm SB F điểm AC ( DE AB không song song) a) Xác định giao tuyến cảu (DEF) (ABC) b) Tìm giao điểm BC (DEF) c) Tìm giao điểm SC (DEF) Bài 3: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy trung điểm M, cạnh BC lấy trung điểm N Gọi (α) mặt chứa đường thẳng MN song song với CD a) Hãy xác định thiết diện mp (α) với tứ diện ABCD b) Xác định vị trí N CD cho thiết diện hình bình hành Bài 4: Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tứ diện ABD M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh MG // (ACD) Bài 5: Cho tứ diện ABCD G trọng tâm ∆ABD M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh MG // (ACD) 67 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 NGUYỄN THỊ BÍCH SINH Quan hệ vuông góc Bài 1: Cho hình chóp tam giác SABC đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a, SA ⊥ (ABC) Gọi I trung điểm BC CM: (SAI) (SBC) vuông góc với Bài 2:Cho tứ diện OABC OA, OB, OC đoi vuông góc với Kẻ OH ⊥ (ABC) a) CM: H trực tâm ∆ABC 1 1 = + + a) CM : OH OA2 OB OC Bài 3: Cho hình chóp SABC, có đáy ABC tam giác vuông C, SA ⊥ (ABC) a) CMR: BC ⊥ (SAC) b) Gọi E hình chiếu vuông góc với (SAB), cắt SB D CMR: AE ⊥ (SBC) c) Gọi (P) qua AE vuông góc với (SAB), cắt SB D CMR: SB ⊥ (P) d) Đường thẳng DE cắt BC F CMR: AF ⊥ (SAB) Bài 4: Cho tứ diện ABCD có ABC DBC hai tam giác Gọi I trung điểm BC a) CM: BC ⊥ (AID) b) Vẽ đường cao AH ∆AID CM: AH β (BCD) Bài 5: Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) (ABD) vuông góc với đáy (DBC) Vẽ đường cao BE, DF ∆BCD đường cao DK ∆ACD a) CM: AB ⊥ (BCD) b) CM: (ABE) (DFK) vuông góc với (ADC) 68 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 NGUYỄN THỊ BÍCH SINH Các toán góc, khoảng cách, thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bài 1:Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông A, ABC = 30o , ∆SBC tam giác cạnh a, (SBC) ⊥ (ABC) Tính d(C, (SAB)) Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = BC = 2a Hai mp (SAB) (SAC) vuông góc với (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N, góc hai mp (SBC) (ABC) 60o Tính d(AB, SN) Bài 3:Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, tam giác SAC cân S, góc SBC 60o , (SAC) ⊥ (ABC) a) Tính theo a thể tích khối chóp SABC b) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông B, √ AB = 2a, BAC = 60o , cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi M trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp SABC khoảng cách hai đường thẳng SB CM Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác vuông cân C, cạnh huyền √ bừng 3a, G trọng tâm tam giác ABC, SG ⊥ (ABC), SB = a 14 Tính VSABC d(a,(SAC)) Bài 6:Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân có BA = BC = a SA ⊥ (ABC), góc hai (SAC) (SBC) 60o Tính VSABC 69 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ BÍCH SINH Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có mặt ABC SBC tam giác cạnh a Góc hai mặt phẳng (SBC)và (ABC) 60o Hình chiếu vuông góc S xuống (ABC) nằm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông cân đỉnh S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SB AC Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh 3a Chân đường cao hạ từ đỉnh S lên (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho AB = 3AH; góc tạo đường thẳng SC (ABC) 60o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông A, ABC = 60o , BC = 2a Gọi H hình chiếu vuông góc A BC Biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) SA tạo với mặt phẳng đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm cạnh AB Hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm H CI, góc đường thẳng SA mặt đáy 60o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC) 70 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.4 NGUYỄN THỊ BÍCH SINH Bài toán tứ diện đặc biệt Bài 1: Tứ diện ABCD gọi tứ diện gần AB = CD, AC = BD, AD = BC Chứng minh điều sau tương đương: 1) Tứ diện ABCD gần 2) Trọng tâm trùng tâm mặt cầu ngoại tiếp Bài 2: Tứ diện ABCD gọi tứ diện gần AB = CD, AC = BD, AD = BC Chứng minh điều sau tươn đương: 1) Tứ diện ABCD gần 2) Bốn đường cao Bài 3: Tứ diện ABCD gọi tứ diện gần AB = CD, AC = BD, AD = BC Chứng minh điều sau tương đương: 1) Tứ diện ABCD gần 2) Tổng góc phẳng đỉnh 180o Bài 4: Tứ diện ABCD goi tứ diện gần AB = CD, AC = BD, AD = BC Chứng minh tứ diện gần thì: 1) Trọng tâm trùng tâm mặt cầu nội tiếp 2) Tâm hai mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp trùng 5: Trong tứ diện trực tâm: trọng tâm bốn mặt, chân bốn đường cao nằm mặt cầu (mặt cầu Ơle thứ nhất) 6: Chứng minh tứ diện trực tâm thì: 1) Tổng bình phương cặp cạnh đối 2) Trung điểm cạnh, chân đường vuông góc chung cặp cạnh đối diện nằm mặt cầu (Mặt cầu Ơle thứ 2) 71 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.5 NGUYỄN THỊ BÍCH SINH Bất đẳng thức liên quan đến tứ diện vuông Cho tứ diện vuông SABC SA = a, SB = b, SC = c, chiều cao SH = h Gọi α, β, γ góc SH SA, SB, SC ( α, β γ góc (ABC) (SBC), (SCA), (SAB)) S= SABC S1 = SSBC S2 = SSCA S3 = SSAB h2 < S1 + S2 + S3 9√ Bài 2: Chứng minh S1 + S2 + S3 ≤ 3.S Bài 1: Chứng minh √ 3− Bài 3: Cho a + b + c = 3, chứng minh rằng: r ≤ S22 S32 S12 + + ≤ Bài 4: S1 + S S22 + S S32 + S Bài 5: Tìm GTNN biếu thức: M = tan2 α + tan2 β + tan2 γ + cot2 α + cot2 β + cot2 γ 72 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ BÍCH SINH Kết luận Khóa luận trình bày số nội dung :"Hình tứ diện số dạng tâp liên quan" Thông qua ví dụ tập đưa tương ứng với dạng rèn luyện kĩ vẽ hình, kĩ tính toán, khả tư cho học sinh Cùng tập xoay quanh có nhiều câu hỏi khác nhau, vấn đề khác Do đó, đòi hỏi phải vận dụng tốt phương pháp để tìm lời giải hay ngắn gọn, xác cho toán Khóa luận tổng hợp lại kiến thức lí thuyết dạng tập liên quan đến hình tứ diện chương trình toán THPT, đặc biệt kiến thức gắn liền với kì thi THPT Quốc gia Khóa luận mong muốn đem lại kết cao cho em học sinh kì thi Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian lực hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp quí báu từ phía thầy cô bạn để khóa luận em hoàn thiện 73 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Trần Phương, Tuyển tập chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán hình, NXB Hà Nội [3] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân Hình học nâng cao 11, NXB giáo dục Việt Nam [4] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng , Tạ Mân (2012), Hình học nâng cao 12, NXB giáo dục Việt Nam [5] Tuyển tập đề thi tuyển sinh Đại học-Cao đẳng môn toán từ năm 2002-2015, Bộ giáo dục đào tạo [6] Website diendantoanhoc.net, math.vn, tailieu.vn 74 ... Chương 1: Một số dạng tập liên quan đến hình tứ diện Chương 2: Bài tập đề nghị Chương MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TỨ DIỆN Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.1 1.1.1 NGUYỄN THỊ BÍCH SINH QUAN HỆ... góc với đáy 48 TỨ DIỆN ĐỀU VÀ TỨ DIỆN GẦN ĐỀU 50 1.7.1 Tứ diện 50 1.7.2 Tứ diện gần 52 TỨ DIỆN VUÔNG VÀ TỨ DIỆN TRỰC TÂM 54 1.8.1 Tứ diện vuông ... trường THPT Nhằm cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ liên quan đến dạng tập hình tứ diện nên em lựa chọn nghiên cứu đề tài "Hình tứ diện số dạng tập liên quan" Là giáo viên tương lai, em nhận thấy việc