Rút gọn biểu thức trên tập số phức và một số dạng bài tập liên quan

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC A.. Trong đó a là phần thực, b là phần ảo của số phức.. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức Phương pháp: Dùng các phép toán về

BÀI GIẢNG SỐ 01 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

C  zabi a bR i  

Mỗi số phức có dạng: z a bi Trong đó a là phần thực, b là phần ảo của số phức

Số đối của số phức z a bi là số phức     z a bi

Môđun của số phức z a bi là z  a2b 2

Số phức nghịch đảo của số phức z a bi là số phức z1 12 z

z

Các phép toán về số phức: Cho hai số phức

Các phép toán: Cho hai số phức z a bi và z' a' b' i Khi đó 

Hai số phức bằng nhau:      





a a'

a bi a' b' i

b b' Phép cộng: zz'( aa') ( b b')i 

Phép trừ: zz' ( aa') ( b b')i 

Phép nhân: z.z' ( aa' bb') ( ab' ba')i  

a' b' i a bi z' a' b' i



Các tính chất:

Môđun của số phức có tính chất là



z.z' z z' zz'  z  z'  

 

z' z'

z' z'

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức

Phương pháp: Dùng các phép toán về số phức rút gọn biểu thức đã cho về dạng a bi

Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức z thỏa mãn điều kiện sau:

b)  2 3

i z

i







1



z

Giải

a)

2

2 2 2i i 1 2i

    2 2 2 i1 1   2i 1 2 2 1 i   2i

2

1 2i 2 2i 4i

     1  22 2i4  5  22 2 i

Vậy số phức zcó phần thực là 5, phần ảo là 22 2

b)

 2 3

i z

i







3

 2 3 2 2 2 2  1

3



 3 1 2 2  

3



2

2 2

i

2 2

Vậy số phức zcó phần thực là 2 2, phần ảo là 1

c)

1



z

   

   

i

i

Vậy số phức zcó phần thực là 3 3

2



, phần ảo là 2 2 3 1

2

Ví dụ 2: Tìm k để bình phương của số phức 9

1

z

i





 là số thực

Giải

1

z

i







2

2

18 81

z

2

18 81

2

k i k i

81 9

2

  

Để z2 là số thực thì phần ảo bằng 0 hay

2

2 81

2

k



Dạng 2: Tìm modun của số phức

Phương pháp: Dùng các phép toán về số phức để rút gọn biểu thức đã cho về dạng a bi và dùng công thức modun để tính

Ví dụ 3: Tìm modun của số phức z iz thỏa mãn điều kiện sau:

2

1

i z

i







Giải

Ta có:

2

1

i z

i







   

2 2 3 1

2 3 2 2 1 3

i

z iz

   3 1 1 3 i 3 1 i 1 3   2 2i

 2 2  2 2 8 2 2

z iz

Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z2 6z130 Tính modun z 6

z i





Giải

Ta có: z26z130

2

         

3 2

 

2 1

3 2

2

i

    3 2i   1 i 4 i

6

z

z i



i



 

3 3

3 2

5

i

 

3 2

z

z i

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức, chứng minh đẳng thức

Phương pháp: Sử dụng các phép toán về số phức và một số công thức đặc biệt dưới đây

( 1) ; ( 1) ; (1 ) 2 ;

i   i    i i   i

Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức sau đây

a)

33 10

1





i

b) z 1 (1i ) ( 1i )2 ( 1i )20

Giải

a)

33 10

1





i

 

33 5

2 2

2

1

1

 

33 5

2

i



33 5

13 32i

b)

Ta nhận thấy z là cấp số nhân với u11,q 1 i n, 21

 21  21 1

1

1

n

n

q



1

i i



1023 1025i

Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn

i z



    Tính modun của số phức z iz

Giải

2 1

i i

i z



         

11

1 1

i

 8  4

8

2

 z 16 1 1 16i

i

 z  1 16i

 172  172 17 2

z iz

 ziz  1 16i i  1 16i  1 16i i 16 17 17 i

 172  172 17 2

z iz

Dạng 4: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp: Dựa vào tính chất hai số phức bằng nhau để thiết lập điều kiện cho phần thực và phần ảo của số

phức z Từ đó giải hệ để tìm ra a, b

Ví dụ 7: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z  2,z2 là số thuần ảo

Giải

Gọi số phức z cần tìm có dạng: z a bi

Có: z  2 a2b2  2a2b2 2 (1)

Có :z2 a2b22abi

Vì z2là số thuần ảo nên a2b20 (2)

Từ (1) và (2)

1

b

 

Vậy số phức z cần tìm là: z 1 i z,   1 i

Bình luận: Số ảo là số có dạng a bi b ( 0) Số thuần ảo là số có dạng bi b ( 0)

Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

1 2

z i z z

 









Tìm số phức liên hợp của z

Giải

Gọi số phức z có dạng: z a bi z  a2b2  1 a2b2 1

i a bi

3 2 2 3 3 2 2 3

a ab b a b b a i a ab b a b b a i

b a b a i

Vì a2b2= 1 z i a b a b i

z

i

z

Mặt khác z i 2

z

2

Vậy ta có

2

1

1 1

2

2 1

1

2

4

a

a b

a b

b ab

b









b





 

,

,

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)n, biết rằng n  N thỏa mãn phương trình

log4(n – 3) + log4(n + 9) = 3 ĐS: phần thực a = 8

Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau

a) z1i21i2 b) z2i33i3

2

1



z

ĐS: a) z4i b) z 16 37 i c) z 1 d) 3 3 2 2 3 1

Bài 3: Cho số phức z a bi Tìm phần thực và phần ảo của số phức

1





z i iz

ĐS: a)  2 2  

i

a ( b ) a ( b )



Bài 4:Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = a + bi

1 Xác định phần ảo của số phức z, biết z1  1 2i

2 Xác định phần thực, phần ảo của số phức z2 2 i3 2 i5 4 i  2 3 i3

3 Xác định phần thực, phần ảo của số phức

3

1

i z

i

  



ĐS: 1) b = a 2 2) a = 88, b = -59 3) a = b = 2

Bài 5: Tính toán rồi tìm phần thực và phần ảo của số phức z:

1 z  1 i i2 i2010

ĐS: a = 2, b = 0

2 z 2 3i1i  1i2011

ĐS: a =  2 21005, b = 3

Bài 6: Tìm môđun của số phức

1 Tìm môđun của số phức z, biết  

2

2 3 1

2

i z i

i





ĐS: z 1

3 3

1

i

 Tính môđun của số phức zz z1. 2

ĐS: z  725

2

Bài 7:Cho z z1, 2C, sao cho z1z2  3; z1  z2 1 Tính z1z2

ĐS: z1z2 = 1

Bài 8:Xét số phức

 ,

i m

m m i



1 2

z z 

ĐS: m  1

Bài 9: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện:

1 z  z 2 2i và 2

2

z



 là số thuần ảo

ĐS: không có z thỏa mãn

2 z  2 i 2, biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị

ĐS: z 4 i