Một số dạng bài toán về phương trình hàm

1 Mët sè t½nh h§t b£n h m sè 4

1.1 nh x¤ 4

1.2 ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh 4

1.3 H m sè 5

2 Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do 8 2.1 H m sè h®n, h m sè l´ 8

2.2 H m sè tun ho n 10

2.3 Ph÷ìng tr¼nh h m vîi ph²p bi¸n êi tành ti¸n v çng d¤ng 16

2.4 Ph÷ìng tr¼nh h m vîi ph²p bi¸n êi ph¥n tuy¸n t½nh 24

2.5 H» ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n 33

2.6 Mët sè d¤ng ph÷ìng tr¼nh h m a 39

2.7 Mët sè d¤ng b i to¡n 58

3 Ph÷ìng tr¼nh h m hai bi¸n tü do 69 3.1 B i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m hy 69

3.2 B i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m vîi ¤i l÷ñng trung b¼nh 78

3.3 Ph÷ìng tr¼nh h m nhi·u ©n h m 88

3.4 B i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m l÷ñng 95

3.5 Mët sè d¤ng b i to¡n 105

Ph÷ìng tr¼nh h m l  mët huy¶n · quan trång thuë h÷ìng tr¼nh huy¶n to¡n trong tr÷íng THPT huy¶n b i to¡n li¶n quan ¸n ph÷ìng tr¼nh h m

l  nhúng b i tªp khâ, th÷íng g°p trong k¼ thi hå sinh giäi mæn to¡n què gia,

H» thèng b i tªp v· ph÷ìng tr¼nh h m r§t a d¤ng v phong phó, h gi£i hóng khæng ìn gi£n, thº b¬ng mët ph÷ìng ph¡p hay ph£i k¸t hñp nhi·u ph÷ìng ph¡p mîi gi£i ÷ñ V îi mong muèn gióp ho b¤n hå sinh thº nhanh hâng ti¸p v gi£i quy¸t b i to¡n v· ph÷ìng tr¼nh h m n¶n tæi hån · t i

Hi vång luªn v«n n y l  t i li»u tham kh£o húu h ho hå sinh, gi¡o vi¶n lîp huy¶n to¡n trung hå phê thæng.

Bè luªn v«n n y gçm 3 h÷ìng :

Ch÷ìng 1: Mët sè t½nh ì b£n h m sè

T rong h÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n hung nh§t v· h m sè v ¡nh x¤ nh÷

ành ngh¾a ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh, h m sè h®n, h m sè l´, h m sè tun ho n, nhúng ki¸n thæng döng ÷ñ dòng v o gi£i to¡n s³ ÷ñ tr¼nh b y v o

to¡n thº, trong nhªn x²t, h þ.

Ch÷ìng 2: Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do

T rong h÷ìng n y tr¼nh b y mët sè d¤ng b i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m m  h¿ hùa mët bi¸n tü do nh÷ b i to¡n v· h m sè h®n, h m sè l´, h m sè ành bði ph²p bi¸n êi tành ti¸n, çng d¤ng, vîi ph²p bi¸n êi ph¥n tuy¸n t½nh, h» ph÷ìng tr¼nh

h m, ph÷ìng tr¼nh h m a

Ch÷ìng 3: Ph÷ìng tr¼nh h m hai bi¸n tü do

T rong h÷ìng n y tr¼nh b y mët sè d¤ng b i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m hùa hai bi¸n tü

do nh÷ b i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m hy, h m sè huyºn êi giúa ¤i l÷ñng trung b¼nh, ph÷ìng tr¼nh h m a ©n, ph÷ìng tr¼nh h m l÷ñng

Luªn v«n n y ÷ñ ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n, h¿ b£o tªn t¼nh PGS.TS V é Long - tr÷íng ¤i hå Khoa hå Tü nhi¶n - ¤i hå Què gia H  Nëi Thy

¢ d nh nhi·u thíi gian gióp ï, gi£i ¡p tæi trong suèt qu¡ tr¼nh

l m luªn v«n T æi muèn b y tä láng bi¸t ìn s¥u ¸n ng÷íi thy m¼nh.

Qua ¥y, tæi xin gûi líi ìn s¥u tîi thy gi¡o trong Khoa T o¡n - Cì

- Tin hå tr÷íng ¤i hå Khoa hå Tü nhi¶n, ¤i hå Què gia H  Nëi ¢ ti¸p gi£ng d¤y v t¤o i·u ki»n thuªn lñi ho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh hå tªp

T æi xin ìn gia ¼nh, b¤n b± v t§t måi ng÷íi ¢ quan t¥m, t¤o i·u ki»n, gióp ï tæi ho n th nh luªn v«n n y.

H  Nëi, Th¡ng 1 n«m 2015.

Mët sè t½nh h§t b£n h m sè

ành ngh¾a 1.1 Cho hai tªp hñp A v B N¸u mët quy f n o â sao ho vîi méia∈ At÷ìng ùng vîi óng mët phn tûb ∈ B th¼ ta nâif l  mët ¡nh x¤ tøA¸n

B, k½ hi»u l f : A−→ B Phn tûb gåi l  £nh a v vi¸t l  b = f (a)

Chó þ: N¸u ¡nh x¤ f : A−→ B th¼ ta th÷íng quan t¥m ¸n hai tªp hñp sau ¥y:

T ªp hñpf (A) ={f(a)|a ∈ A} (gåi l  tªp £nh tªp A,hay gåi l  tªp gi¡ trà ¡nh x¤ f) v  tªp hñp f−1(b) ={a ∈ A|f(a) = b} (gåi l  £nh b).

Chó þ: nh x¤ f : A−→ B l  to n ¡nh khi v  khi f (A) = B

ành ngh¾a 1.4 nh x¤ f : A −→ B gåi l  song ¡nh n¸u f vøa l  ìn ¡nh, vøa l 

- N¸u x0 ∈ X th¼ f (x0) gåi l  gi¡ trà h m f t¤i x0.

- Tªp hñp f (X) ÷ñ gåi l  gåi l  tªp gi¡ trà h m sè f

- y0 l  mët gi¡ trà h m sè f khi v  khi ph÷ìng tr¼nh f (x) = y0 â nghi»m Hay nâi l : ph÷ìng tr¼nh f (x) = y0 â nghi»m khi v  khi y0 thuë tªp gi¡ trà

h m sè f

- f l  to n ¡nh ⇔ ph÷ìng tr¼nh (©n x) y = f (x) (vîi x∈ X, y ∈ Y) â nghi»m.

- f l  song ¡nh ⇔ ph÷ìng tr¼nh (©n x) y = f (x) (vîi x ∈ X, y ∈ Y) â nghi»m duy nh§t.

b) Chof l  mët h m sè tun ho n tr¶nM.Khi âT (T > 0)÷ñ gåi l  h ký sð

h m f n¸u f tun ho n vîi h ký T m  khæng tun ho n vîi b§t ký h ký n o b² hìn T

b) N¸u f l  h m sè ph£n tun ho n h ký b0 tr¶n M m  khæng l  h m ph£n tun

ho n vîi b§t ký h ký n o b² hìn b0 tr¶n M th¼ b0 ÷ñ gåi l  h ký sð h m tun ho n f tr¶n M

1.3.3 H m sè tun ho n v   ph£n tun ho n nh¥n t½nh

ành ngh¾a 1.10 H m sè f : D−→R ÷ñ gåi l  h m tun ho n nh¥n t½nh hu ký

ành ngh¾a 1.12 Cho h m sèf ành tr¶n D⊂Rv x0 ∈ D H m sèf ÷ñ gåi

l  li¶n t¤i iºm x0 n¸u lim

x−→x 0

f (x) = f (x0)

ành ngh¾a 1.13 H m sèf (x) ành tr¶n kho£ng (a; b) ÷ñ gåi l  li¶n tr¶n kho£ng (a; b) n¸u nâ li¶n t¤i måi iºm x∈ (a; b)

ành ngh¾a 1.14 H m sèf (x) ành tr¶n o¤n[a; b]÷ñ gåi l  li¶n tr¶n o¤n

[a; b] n¸u nâ li¶n tr¶n kho£ng (a; b) v lim

x−→a +f (x) = f (a), lim

ành ngh¾a 1.20 H m sè t«ng hay gi£m sü tr¶n (a, b) ÷ñ gåi l  h m sè ìn

i»u sü tr¶n (a; b)

Mët sè t½nh h m sè ìn i»u

- Måi h m ìn i»u sü tr¶n kho£ng (a; b) ·u l  ìn ¡nh tr¶n kho£ng (a; b) .

- N¸uf (x) v g(x) l  hai h m t«ng (gi£m) th¼ f (x) + g(x) l  h m t«ng (gi£m).

- N¸uf (x) v g(x) l  hai h m t«ng v khæng ¥m th¼ f (x)g(x) l  h m t«ng.

- N¸uf (x) l  h m ìn i»u tr¶n (a; b) th¼ f (f (x)) l  h m t«ng.

f (x) = 12[g(x) + g(−x)], ∀x ∈R (3) trong âg l  h m sè tòy þ tr¶n R Khi â d¹ th§y f thäa m¢n (1) Ng÷ñ l¤i n¸u h m

sèf thäa m¢n (1) th¼ do (2) n¶n f d¤ng (3) Vª h m sè t¼m d¤ng

f (x) = 1

2[g(x) + g(−x)], ∀x ∈ Rtrong âg l  h m sè tòy þ tr¶n R.

B i to¡n 2.1.2 T¼m t§t h m sèf (x) sao ho

Gi£i D¹ th§y (1) t÷ìng ÷ìng vîi

f (x) = 12[f (x)− f(−x)], ∀x ∈R (2) X²t h m sè

f (x) = 12[g(x)− g(−x)], ∀x ∈ R (3) trong âg l  h m sè tòy þ tr¶n R Khi â d¹ th§y f thäa m¢n (1) Ng÷ñ l¤i n¸u h m

sèf thäa m¢n (1) th¼ do (2) n¶n f d¤ng (3) Vª h m sè t¼m d¤ng

f (x) = 1

2[g(x)− g(−x)], ∀x ∈R

trong âg l  h m sè tòy þ tr¶n R.

B i to¡n 2.1.3 Cho x0 ∈R ành t§t h m sèf sao ho

K¸t luªn: f (x) = g(x− x0),∀x ∈R, trong âg(x) l  h m h®n tòy þ tr¶n R

B i to¡n 2.1.4 Cho a, b∈R ành t§t h m sèf (x) sao ho

K¸t luªn: f (x) = g(x−a2) + b trong âg(x) l  h m l´ tr¶n R

B i to¡n 2.1.5 T¼m t§t h m sèf (x) sao ho

Vª g(x)l  h m h®n tr¶n R.

K¸t luªn: f (x) = g(x) + 1007 sin x,∀x ∈R, trong âg(x) l  h m h®n tòy þ tr¶n R.

B i to¡n 2.1.6 T¼m t§t h m sèf (x) sao ho

B i to¡n 2.2.2 ành t§t h m f thäa m¢n i·u ki»n

trong âg l  h m sè tun ho n h ký 2π, tòy þ tr¶n R

B i to¡n 2.2.3 ành t§t h m sè f thäa m¢n i·u ki»n

B i to¡n 2.2.4 ành t§t h m sè f thäa m¢n i·u ki»n

trong âg(x)l  h m sè tun ho n h ký 1, tòy þ tr¶n R

B i to¡n 2.2.5 ành t§t h m sè f thäa m¢n i·u ki¶n

Gi£i - V îi x > 0, °t x = 3u(u = log3x) Thay v o (1) ta ÷ñ

f (3u+1) = f (3u),∀u ∈R (2)

°t g(u) = f (3u),∀u ∈R Thay v o (2) ta ÷ñ

g(u + 1) = g(u),∀u ∈R

Nh÷ v y g l  h m sè tun ho n h ký 1tr¶n R

T a f (x) = f (3u) = g(u) = g(log3x),∀x > 0

Thû l¤i:∀x > 0, khi â

f (3x) = g(log3(3x)) = g(1 + log3x) = g(log3x) = f (x)

Vª khi x > 0 th¼ f (x) = g(log3x), trong â g l  h m sè tun ho n h ký 1, tòy þ tr¶n R

- V îi x < 0 °t −x = 3u(u = log3(−x)) Thay v o (1) ta ÷ñ

f (−3u+1) = f (−3u),∀u ∈R (3)

°t h(u) = f (−3u),∀u ∈R.Thay v o (3) ta ÷ñ

h(u + 1) = h(u),∀u ∈R

Nh÷ v y h l  h m sè tun ho n h ký 1tr¶n R

T a : f (x) = f (−3u) = h(u) = h(log3(−x)), ∀x < 0

Thû l¤i : ∀x < 0, khi â

f (3x) = h(log3(−x)) = h(1 + log3(−x)) = h(log3(−x)) = f(x)

Vª khi x < 0 th¼ f (x) = h(log3(−x)), trong â h l  h m sè tun ho n hu ký 1, tòy

trong âg, h l  h m sè tun ho n hu ký 1tr¶n R, tòy þ.

B i to¡n 2.2.6 ành t§t h m sè f thäa m¢n i·u ki»n

trong âg1, g2 l  h m sè tun ho n h ký 1tr¶n R, tòy þ.

B i to¡n 2.2.8 Cho h(x) l  mët h m ành tr¶n R T¼m t§t h m sè f (x)

tun ho n h ký 3 v thäa m¢n i·u ki»n

g(x) = g(x + 3)g(x) + g(x + 1) + g(x + 2) = 0,∀x ∈R (5) trong â

g(x) = f (x)− 13h(x),∀x ∈R (6)

T a (5) t÷ìng ÷ìng vîi



g(x) = g(x + 3)g(x) = 13(2g(x)− g(x + 1) − g(x + 2)), ∀x ∈R (7) X²t h m sè

g(x) = 13(2q(x)− q(x + 1) − q(x + 2)), ∀x ∈R (8) trong âq(x) l  h m sè tun ho n h ký 3 tr¶n R.

Vîi måix∈R ta

g(x + 1) = 1

3(2q(x + 1)− q(x + 2) − q(x))g(x + 2) = 1

3(2q(x + 2)− q(x) − q(x + 1))g(x + 3) = 1

3(2q(x)− q(x + 1) − q(x + 2)) = g(x)

Do âg(x) + g(x + 1) + g(x + 2) = 0 v g(x + 3) = g(x) V ª g(x)thäa m¢n (5) Ng÷ñ l¤i n¸u g(x) thäa m¢n (5) th¼ ta h¿ hån q(x) = g(x), khi â q(x) =q(x + 3),∀x ∈R v ta

2.3 Ph÷ìng tr¼nh h m vîi ph²p bi¸n êi tành ti¸n v   çng

Do âf (x) = 3x + g(x),∀x ∈R, trong âg(x) l  h m sè tun ho n h ký 1 tr¶n R

Thû l¤i ta th§y thäa m¢n (1).

K¸t luªn: f (x) = 3x + g(x),∀x ∈R, trong â g(x)l  h m sè tun ho n hu ký 1 tòy

þ tr¶n R

Nhªn x²t: Ph²p °t f (x) = 3x + g(x),∀x ∈R ÷ñ t¼m ra nh÷ sau: Tø (1) ta t÷ðng t÷ñng r¬ng

f (x + 1) = f (x) + f (1),∀x ∈Rvîif (1) = 3 Suy ra f (x) = ax,∀x ∈R Ta â f (1) = 3 ⇔ a.1 = 3 ⇔ a = 3

Do â (1) â mët nghi»m l  f (x) = 3x Tø â ta °t f (x) = 3x + g(x)

B i to¡n 2.3.2 ành h m sèf (x) sao ho

Do âf (x) =−5x + g(x), ∀x ∈ R,trong âg(x)l  h m sè tun ho n h ký 103 tr¶n

R Thû l¤i ta th§y thäa m¢n (1).

K¸t luªn: f (x) = −5x + g(x), ∀x ∈R, trong â g(x) l  h m sè tun ho n h ký 103

Do âf (x) = 1 + g(x),∀x ∈R,trong âg(x)l  h m sè ph£n tun ho n h ký3 tr¶n

R Thû l¤i ta th§y thäa m¢n (1).

K¸t luªn: f (x) = 1 + g(x),∀x ∈R, trong â g(x)l  h m sè ph£n tun ho n h ký 3

tòy þ tr¶n R.

Nhªn x²t: Ph²p °t f (x) = 1 + g(x),∀x ∈ R ÷ñ t¼m ra nh÷ sau : T a s³ t¼m mët

nghi»m ri¶ng (1) , tèt nh§t l  t¼m h m h¬ng (n¸u â) thäa m¢n (1) Tø (1) ta x²t ph÷ìng tr¼nh c = −c + 2 Vªy iºm b§t ëng h m f l  c = 1 Do â ta °t

f (x) = 1 + g(x),∀x ∈R V îi ph²p °t n y ta ¢ ÷a iºm b§t ëng2 v· iºm b§t ëng

g(x + 2) = g(x)g(2),∀x ∈Rvîi g(2) = 2 Suy ra h m sè g â iºm bi¸n têng th nh do â g(x) = ax Tø

g(2) = 2⇒ a2= 2 ⇒ a =√2 Bði vªy n¸u °t

g(x) = (√

2)xh(x),∀x ∈Rth¼ s³ khû ÷ñ sè 2

Nhªn x²t: T÷ìng tü ta gi£i ÷ñ ph÷ìng tr¼nh h m sau

f (x + a) = αf (x) + b,∀x ∈Rvîiα, a, b l  h¬ng sè, α6= ±1

B i to¡n 2.3.6 ành t§t h m sè f sao ho

(3x) + g(3x) = log 1

√ 3

f (x) = log 1

√ 3

x + h(log3x),∀x > 0

Thû l¤i ta th§y thäa m¢n (1).

K¸t luªn: f (x) = log 1

√ 3

x + h(log3x),∀x > 0 trong âh l  h m sè tun ho n h ký 1

f (5x) = f (5) + f (x),∀x > 0

¯ng tr¶n ( bi¸n th nh têng ) khi¸n ta li¶n t÷ðng ¸n h m sè lægarit, do â

dü o¡n f (x) = logax,∀x > 0 v  f (5) = 2 Suy ra

loga5 = 2 ⇒ a2= 5 ⇒ a =√5

B i to¡n 2.3.10 ành t§t h m sè f thäa m¢n i·u ki»n

f (2x + 1) = 3f (x) + 2,∀x ∈R (1) Gi£i °t f (x) =−1 + g(x), ∀x ∈R.Thay v o (1) ta ÷ñ

−1 + g(2x + 1) = 3.(−1 + g(x)) + 2, ∀x ∈R

trong âk l  h m sè tòy þ thäa m¢n k(2t) = k(t),∀t 6= 0.

B i to¡n 2.3.11 ành t§t h m sè f thäa m¢n i·u ki»n

trong âk l  h m sè tòy þ thäa m¢n k(4t) = k(t),∀t 6= 0.

Nhªn x²t: Ph²p °t x = 1 + t ÷ñ t¼m ra nh÷ sau: T a t¼m iºm b§t ëng b¶n trong

tø ph÷ìng tr¼nh sau: −2x + 3 = x ⇔ x = 1 º ÷a iºm b§t ëng b¶n trong x = 1 v·

trong âk l  h m sè thäa m¢n k(2t) = k(t),∀t ≥ 1.

f (0) = 0⇔ k(1) = 5

2.

Chån k(t) = 52,∀t ≥ 1 Khi â f (x) = −5

2 +52.(x + 1)log2 3,∀x ≥ 0

Thû l¤i ta th§y thäa m¢n · b i.

K¸t luªn: Mët h m sè f thäa m¢n · b i l 

1 x+1 = t Khi âx =−1 + 1t v

x+2 = x ta ÷ñ nghi»m k²p x = −1 Ta khæng ©y nghi»m k²p x = −1 n y v· 0 m 

ta ©y nghi»m k²p x =−1 ra ∞ º ©y nghi»m k²p x =−1 ra ∞ ta s³ °t

1 x+1 = t,

v¼ khi x −→ −1 th¼ t −→ ∞ Chó þ r¬ng khi ¢ vi¸t x = α + at+bβ th¼ ph£i vi¸t

1 x−1 = t Khi âx = 1 + 1t v

k(x−1x−3) khi x6= 1, x 6= 3, x 6= 5

trong âk l  h m sè tòy þ thäa m¢n (5)

Nhªn x²t: T ¤i sao ta l¤i °t

x−1 x−3 = t Bði v¼ khi â hai nghi»m ph¥n bi»t th¼ ta s³

©y mët nghi»m ra ∞ v  ©y mët nghi»m v· 0, nghi»m n o muèn ©y ra ∞ th¼ ta vi¸t xuèng m¨u Do â ta °t

x−1 x−3 = t (ho

x−3 x−1 = t) Chó þ r¬ng khi â ta ph£i vi¸t

trong âk l  h m sè tòy þ thäa m¢n (5)

B i to¡n 2.4.5 T¼m t§t h m sèf (x) sao ho

f (−1

x) = 3f (x) + 4,∀x 6= 0 (1) Gi£i T rong (1) thay xbði−1t ta ÷ñ

Thû l¤i ta th§y thäa m¢n V ª f (x) =−2, ∀x 6= 0 l  h m sè t¼m.

B i to¡n 2.4.6 T¼m t§t h m sèf (x) sao ho

f (−1

x) + f (x) = 2016,∀x 6= 0 (1) Gi£i °t f (x) = 1008 + g(x),∀x 6= 0, thay v o (1) ta ÷ñ

vîi h l  h m sè tòy þ tr¶n R\{0}.D¹ th§y h m sè g ành bði (4) thäa (2) Ng÷ñ

l¤i n¸u h m g thäa (2) th¼ do (3) n¶n g d¤ng (4) Bði v y

(2)⇔ g(x) = 1

2[h(x)− h(−1

Tø (5) suy raf (x) = 1008+12[h(x)−h(−1x)],∀x 6= 0 (trong â h l  h m sè tòy þ tr¶n R\{0})

Thû l¤i th§y thäa m¢n (1).

K¸t luªn:

f (x) = 1008 + 1

2[h(x)− h(−1

x)],∀x 6= 0

trong âh l  h m sè tòy þ tr¶n R\{0}

B i to¡n 2.4.7 T¼m t§t h m sèf (x) sao ho

f (2x− 5

x− 2 ) = 2f (x) + 6,∀x 6= 2. (1) Gi£i.°tω(x) = 2x−5x−2,∀x 6= 2 Khi â (1) trð th nh

f (ω(x)) = 2f (x) + 6,∀x 6= 2 (2)

Nhªn x²t r¬ng ph÷ìng tr¼nh ω(x) = x khæng nghi»m v ω(x) t½nh h§t

ω(ω(x)) = 2.

2x−5 x−2 − 5

2x−5 x−2 − 2 =

4x− 10 − 5x + 102x− 5 − 2x + 4 = x.

T rong (2) thay x bði ω(x) ta ÷ñ

2.2x−1x−2 − 1 =

x− 2 − 2(2x − 1)2(x− 2) − 2x + 1 =

x− 2 − 4x + 22x− 4 − 2x + 1 = x.

T rong (2) thay x bði ω(x) ta ÷ñ

B i to¡n 2.4.9 (· thi to¡n æng Nam  - 1998) Gi£ sûf (x) l  mët

h m sè vîi gi¡ trà ành vîi måix6= 0, sao ho

f (x) + 2f (1

T¼m t§t nghi»m ph÷ìng tr¼nh f (x) = f (−x)

( Theo t i li»u sè 2 )

Gi£i D¹ th§y (1) t÷ìng ÷ìng vîi

ω2(x) := ω(ω(x)) = 2.

2x−3 x−1 − 3

2x−3 x−1 − 1 =

4x− 6 − 3x + 32x− 3 − x + 1 =

x− 3

x− 2.

ω3(x) := ω(ω(ω(x))) = 2.

x−3 x−2− 3

x−3 x−2− 1 =

Gi£i °t u = 2x + 1,thay v o (2) ta ÷ñ

f (u) + 2g(u) = u− 1, ∀u ∈R

hay

f (x) + 2g(x) = x− 1, ∀x ∈R (3) L§y (3) trø (1) ta ÷ñ

Gi£i °t u = x− 2,thay v o (1) ta ÷ñ

f (u) + 2g(u) = 2u + 4,∀u ∈R (3)

T rong (2) °t v = x−1x th¼ x = v−1v Khi â ta ÷ñ

f (v) + g(v) = v

v− 1,∀v 6= 1

f (u + 1) + g(2u− 1) = u + 4, ∀u ∈R.

hay

f (x + 1) + g(2x− 1) = x + 4, ∀x ∈R (3) L§y (1) trø (3) ta ÷ñ

B i to¡n 2.5.4 (· thi h½nh 30/04/2013).T¼m t§t

h m sèf, g : R−→Rthäa m¢n çng thíi hai i·u ki»n sau :

u2(u− 1),∀u 6= 1.

hay

f ( 1

x− 1) + g(

2− x2x− 2) =

x2(x− 1),∀x 6= 1. (3)

L§y (2) trø (3) ta ÷ñ

f ( 1

x− 1) = 3−

x2(x− 1) =

5x− 62(x− 1) =

( Theo t i li»u sè 2 )

Gi£i °t 3x− 1 = tthay v o (1) ta ÷ñ

f (t) + g(2t + 1) = t + 1,∀t ∈R (3)

°t x + 1 = t, thay v o (2) ta ÷ñ

f (t) + (t− 1)g(2t + 1) = 2t2− 3t + 1, ∀t ∈R (4) L§y (4) trø (3) ta ÷ñ

(t− 2)g(2t + 1) = 2t2− 4t = 2t(t − 2) ⇒ g(2t + 1) = 2t, ∀t 6= 2

Bði v y g(x) = x− 1, ∀x 6= 5.K¸t hñp vîi (3) suy ra

(4x + 3)(x− 1)2(x− 1) = 2x +

Ph÷ìng tr¼nh h m a l  mët d¤ng to¡n khâ º gi£i ÷ñ ph÷ìng tr¼nh

h m lo¤i n y , hóng ta n­m rã khæng nhúng kÿ thuªt gi£i ph÷ìng tr¼nh h m

t½nh li¶n t½nh húu h¤n nghi»m, t½nh kh£ vi

Quy ÷î T rong m n y khi ho a n¸u khæng gi£ thi¸t g¼ th¶m th¼ ta hiºu

- N¸u a P (x) thäa m¢n P (x) = P (x + a),∀x ∈R (vîi a l  h¬ng sè khæng

n o â) th¼ P (x) ≡ c(vîic l  h¬ng sè tòy þ).

- N¸u a P (x) v sè nghi»m th¼ P (x)≡ 0, l P (x) = 0,∀x ∈R, nâi ri¶ng, n¸u sè nghi»m a P (x) lîn hìn deg(P ) th¼

P (x) = 0,∀x ∈R

B i to¡n 2.6.1 H¢y t¼m t§t a P (x) h» sè thäa m¢n:

P (x + 2014) = P (x + 2012) + 60,∀x ∈R (1) Gi£i T rong (1) thay xbðix− 2012 ta ÷ñ

P (x + 2) = P (x) + 60,∀x ∈R (2)

°t P (x) = 30x + G(x),∀x ∈R Khi âG(x) ∈R[x] Thay v o (2) ta ÷ñ

30(x + 2) + G(x + 2) = 30x + G(x) + 60,∀x ∈Rhay G(x + 2) = G(x),∀x ∈R⇔ G(x) = c, ∀x ∈R l  h¬ng sè b§t k¼).

Vª P (x) = 30x + c,∀x ∈R Thû l¤i ta th§y thäa m¢n.

K¸t luªn: T §t a thäa m¢n · b i l 

P (x) = 30x + c,∀x ∈R l  h¬ng sè b§t k¼).

B i to¡n 2.6.2 H¢y t¼m t§t a P (x) h» sè thäa m¢n:

P (x + 2) = P (x) + 4x + 4,∀x ∈R (1) Gi£i °t P (x) = G(x) + x2 Khi âG(x) l  a Thay v o (1) ta ÷ñ

(x + 2)2+ G(x + 2) = G(x) + x2+ 4x + 4,∀x ∈Rhay G(x + 2) = G(x),∀x ∈R⇔ G(x) = c, ∀x ∈R l  h¬ng sè b§t k¼).

Vª P (x) = x2+ c,∀x ∈R.Thû l¤i ta th§y thäa m¢n.

K¸t luªn: T §t a thäa m¢n · b i l 

P (x) = x2+ c,∀x ∈R l  h¬ng sè b§t k¼)

B i to¡n 2.6.3 H¢y t¼m t§t a P (x) h» sè thäa m¢n:

P (x + 3) = P (x) + x2+ x + 1,∀x ∈R (1) Gi£i T a

Thû l¤i ta th§y thäa m¢n.

K¸t luªn: T §t a thäa m¢n · b i l