Luận văn sư phạm Một số dạng bài toán về phương trình, bất phương trình mũ - logarit

Khúa lun tt nghip lời cảm ơn Trong thi gian nghiên cứu hoàn thành khóa luận, em ó nhn quan t©m, tạo điều kiện vật chất v tinh thn ca thy giáo, cô giáo t i s nói riêng v khoa Toán trng i học Sư phạm Hà Nội nãi chung, hỗ tr ng viên ca bn sinh viên Em xin trân thnh cám n s giúp đỡ quý báu ny c bit, em xin by t lòng bit n sâu sắc n thy giáo, Th.s Phm Lng Bng à tn t×nh hướng dẫn em suốt thời gian qua để em cã thể hồn thành kho¸ luận Do thời gian v trình nhn thc hn ch, mc dù à rt c gng nhng không th tránh nhng thiếu xãt V× vậy, em kÝnh mong nhận ch bo tận tình thy giáo, cô giáo đãng gãp ý kiến c¸c bạn sinh viên khoá lun ca em có th hon thin hn na Em xin trân thnh cám n! Hà Nội, tháng 05 nm 2013 Sinh viên Bùi Th Trang Bựi Thị Trang Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan vấn em trình by khoá lun l ca bn thân em không trùng kt qu ca tác gi khác Nếu sai em xin chịu hồn tồn tr¸ch nhiệm Sinh viªn Bïi Thị Trang Bùi Thị Trang Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp Mơc lơc MỞ ĐẦU LÝ chọn đề tài Mục đÝch nghiªn cứu Nhiệm vụ nghiªn cứu i tng phạm vi nghiªn cøu Phng pháp nghiên cu Cấu tróc kho¸ luận NỘI DUNG Chương 1: kiến thức 1.1 Kiến thức hàm số mũ 1.2 Kiến thức hàm logarit Ch­¬ng 2: mét số dạng toán phương trình, bất phương trình mò – logarit 2.1 Bi toán 1: Dạng toán sử dụng tÝnh chÊt cđa hµm sè mị – logarit 2.2 Bi toán 2: Dạng toán sử dụng đặt Èn phơ 15 2.3 Bài to¸n 3: Dạng toán sử dụng phương pháp hàm số 29 2.4 Bài toán 4: Dạng toán không mẫu mực 37 Chương 3: số dạng toán phương trình, bất phương tr×nh mị - logarit cã chøa tham sè 45 3.1 Bi toán 1: Dạng toán có chứa tham số sử dụng tính chất hàm số mũ – logarit 45 3.2 Bi toán 2: Dạng toán có chứa tham số sử dụng đặt ẩn phụ 48 Bùi Thị Trang Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa lun tt nghip 3.3 Bi toán 3: Dạng toán cã chøa tham sè sư dơng tÝnh chÊt cđa hµm sè 55 3.4 Bài toán 4: Dạng toán có chứa tham số không mẫu mực 60 kÕt luËn 64 tài liệu tham khảo 65 Bùi Thị Trang Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp Mở đầu Lí chn ti Có th nãi hàm số mũ hàm số logarit cïng vi bi toán liên quan n hai hm s ny l phn kin thc khó phân phi chng trình toán ph thông Chúng ta có th gp nhng bi toán m d dng tìm li gii cã to¸n ta phải đau đầu tìm áp án Mun tìm c li gii hc sinh phi phân loi c dng bi toán v phng trình v bt phng trình m - logarit L sinh viên ngnh toán, em nhn c khó ca vic gii phng trình v bt phng trình m - logarit Thông qua ti ny em mun tìm hiu thêm phc v cho vic ging dạy trường phổ th«ng sau Với lý vi lòng say mê nghiên cu s giúp nhit tình ca thy giáo, Th.s Phm Lng Bng, em đà chn ti: "MộT Số DạNG BàI TOáN Về PHƯƠNG TRìNH, BấT PHƯƠNG TRìNH Mũ - LOGARIT" Mục đÝch nghiªn cứu Mục đÝch chÝnh đề tài mà em lựa chọn tổng hợp tất dng bi toán v phng trình v bt phng trình m - logarit T ó giúp hc sinh phân loi c dng bi toán v phng trình v bt phng trình m - logarit vo bi c th tìm li gii mt cách d dng Nhim v nghiên cu - Trình by c s lý thuyt - Nghiên cứu dng bi toán phương tr×nh bất phương tr×nh mũ - logarit - X©y dựng hệ thống tập minh hoạ Bùi Thị Trang Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp Đối tượng phạm vi nghiªn cứu * i tng nghiên cu - Các dng bi toán v phng trình, bất phương trình m - logarit - Các dng bi toán v phương trình, bt phương trình mũ - logarit cã chøa tham sè * Phạm vi nghiên cu - Chng trình toán ph thông Phng pháp nghiên cu - Phng pháp nghiên cu ti liu - So sánh, phân tích, tng hp - Phng pháp ánh giá - Căn vào phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ - logarit để phân dạng số dạng toán phương trình, bất phương trình mũ - logarit Cu trúc khoá luận Ngồi lời c¸m ơn, mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, kho¸ luận em gồm chương: Chương 1: Kiến thức Chương 2: Mt s dng bi toán v phng trình, bt phng trình m - logarit Chương 3: Một số dạng toán phương trình, bất phương trình mũ - logarit cã chøa tham sè Bùi Thị Trang Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp Néi dung Ch­¬ng kiến thức 1.1 Kiến thức vỊ hµm sè mị 1.1.1 Định nghĩa - Hàm số mũ số a (  a  1) l hm s c xác nh bi công thc y  a x 1.1.2 TÝnh chÊt XÐt hµm sè: y  a x ,  a  1, ta cã c¸c tÝnh chÊt sau:  Tập x¸c định: D  ฀  Tập gi¸ trị: T  ฀  a x  , x ฀   Hàm số liªn tục trªn ฀  TÝnh đơn điệu: - a  1: y  a x đồng biến - a  1: y  a x nghịch biến trªn ฀  Đồ thị hàm số mũ: - Víi a  : y y = ax O Bùi Thị Trang x Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp - Víi  a  1: y y = ax O x * Đồ thị hàm số có dạng cắt trục Oy điểm A(0, 1) 1.1.3 Công thc Cho a, b  ฀ , a, b  0, x, y  ฀ , ta cã: a x a y  a x  y  a.b  ax  a x y y a x a a    x , b0 b b a  x y  a x y   a y  x  a x b x x x Quy ­íc: a  1.2 Kiến thức hàm số logarit 1.2.1 Định nghĩa Hàm số logarit số a (  a  1) hàm số x¸c định c«ng thức y  log a x dn Với  a  x  : log a x  b  a b  x a   Điều kiện cã nghĩa: log a x cã nghĩa khi: a  x   1.2.2 TÝnh chất XÐt hàm số y  log a x , (  a  1), ta cã c¸c tÝnh chất sau: Bùi Thị Trang Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp  Tập x¸c định: D  ฀   Tập gi¸ trị: T  ฀  Hàm số liªn tục trªn ฀  TÝnh đơn điệu: - a  1: y  log a x ®ång biÕn trªn ฀ -  a  1: y  log a x nghịch biÕn trªn ฀ Đồ thị hàm số logarit: - Với a  : y  ax y yx 1 O x y  log a x - Víi  a  1: y y  ax yx 1 O x y  log a x Bùi Thị Trang Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghip * Đồ thị hàm số có dạng cắt trục Ox điểm B(1, 0) * Đồ thị hàm số y = logax hàm số y = ax đối xứng qua đường phân giác thứ 1.2.3 Công thc Vi a  1; x, x1 , x2  0;   ฀ : log a ( x1.x2 )  log a x1  log a x2 log a  x  log a    log a x1  log a x2  x2  log a x   log a x log a a  log a a x  x a loga x  x log a x  2log a x 1.2.4 Công thức đổi số a, b  1; x  0;   ฀ : log a x  logb x logb a log b a.log a x  log b x log a b  logb a log a x   log a x a logb c  clogb a Bùi Thị Trang Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tt nghip Bài Xác định m để phương trình sau cã hai nghiƯm ph©n biƯt 1  thc  ,2  2   m   2log 2 x   2m   x  log2 x   m  1  (1) Giải: Điều kiện: x Đặt u  log x  x  2u Khi ®ã phương trình (1) có dạng: m 2u   2m    2u    m  1  u   m   2u  2m  2u   m  1 (2) Đặt t 2u , t Khi phương trình (2) có dạng: f (t )   m   t   m  1 t  2m  (3) Ta cã: 1  x   log  log x  log 2 2  1  u   u   2u  Khi điều kiện cho t là: t  1  VËy (1) cã hai nghiÖm ph©n biƯt thc  ,2   (3) cã hai nghiÖm 2  thuéc 1,2  m2  12m  11   '     m   m  10   (1) a f      a f (2)    m   2m  18   10  m  11   1  S  1  m     m  Bùi Thị Trang 51 Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp 1  VËy víi 10 m 11 phương trình có hai nghiệm phân biƯt thc  ,2  2  Bµi Cho bất phương trình: m.9 x x  6x 3 x   16 1  m  x 3 x  (1) Xác định m để nghiệm (1) thỏa mÃn bất phương trình x Giải: Biến đổi phương trình dạng: m.9 x 3 x   6x 3 x   1  m  x 3 x   (2) Chia c¶ hai vế bất phương trình (2) cho x m 9x 3 x  4x 3 x đặt t   2 3 x   , ta được: x x x 3 x  1 m  (3) , t Mặt khác với x   x  x      2 x 3 x 2 Do điều kiện là: t   30  (4) Khi ®ã (3) cã d¹ng: f (t )  mt  t   m  (5) t  f (t )   mt  t   m     m t  m  §Ĩ mäi nghiƯm cđa (1) tháa m·n1  x   mäi nghiÖm cđa (5) tháa m·n (4) - Víi m  (5)  t    t  kh«ng tháa m·n (4) Bùi Thị Trang 52 Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp - Víi m Điều kiện là: m 1  m 1 m - Víi m  (5)  t  1 m  t m Do (5) không thỏa mÃn (4) VËy víi  m  1th× tháa m·n điều kiện đầu Bài Với a 1, giải bất phương trình: a loga x xloga x 2a (1) Giải: Điều kiện: x Đặt t log a x x a t Khi bất phương trình (1) có dạng: a t a t   2a  a t  a t 2 (2) - Víi a   x  a2 log a x  t  (2)  t      2 t  2 log a x  2 x  a - Víi  a  (2)  t   2  t   2  log a x   a 2  t  a VËy: - Với a , bất phương trình có nghiÖm  0, a 2    a ,   - Víi  a  , bất phương trình có nghiệm a , a  Bùi Thị Trang 53 Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp c) Bµi tËp tương tự Bài Tìm m để bất phương trình sau cã nghiÖm:     log   tan x   log   tan x   m  cos x   cos x  H­íng dÉn:    u  log  tan x    cos x - Đặt: v log   tan x  2    cos x  u  v  m - Giải hệ: m0 u v Bài Cho phương trình: x m x Tìm m để phương tr×nh cã hai nghiƯm x1 , x2 tháa m·n x1  x2  log 2 3 H­íng dÉn:       - Đặt t , t    - Ta cã: x       1t x - Ta phương tr×nh: t  4t  m  (2) -Để thỏa mÃn yêu cầu toán: ' S    m3 P   t1  3t2 Bùi Thị Trang 54 Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp Bµi Víi a > 0, giải biện luận bất phương trình: 2x a2 4x a Giải: Điều kiện: a  x   x  a  x  log a   §Ỉt x  a.cos t , t  0,   a  x  a sin t a.sin t Khi bất phương trình có dạng: a.cos t a.sin t  a  cos t  sin t   sin  t     4 0 t    t   x  a  x  log a Vậy bất phương trình có nghiệm là: x log a 3.3 Bài toán 3: Dạng toán có tham số sử dụng tính chất hàm số a) Phương pháp Ta sử dụng tính chất sau: Sử dụng tính đơn điệu hµm sè  Sư dơng GTLN, GTNN cđa hµm sè b) Ví dụ Bài Cho phương trình: 3x  ax  a 3 2 a2 xa (1) HÃy tìm a cho phương trình có nghiệm phân biệt thuộc đoạn 4,0 Bùi Thị Trang 55 Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa lun tt nghip Giải: Viết lại phương trình dạng: 3 2 x  a   a   1 2 a2 xa t  a Đặt t x a , t , ta được: a2 t (2) NhËn xÐt r»ng: t  a 2  1  Hµm sè f (t )   Hµm sè g (t )   đồng biến với t > a2 nghịch biÕn víi t  t f  a 2   g a 2   x  2 VËy (2) cã nghiÖm nhÊt t  a   x  a  a     x   2a §Ĩ (1) có hai nghiệm phân biệt đoạn 4,0 ®iỊu kiƯn lµ: 4   2a  1  a      2a  a  Bµi Tïy theo m, biện luận số nghiệm phương trình: x  ln x  m  (1) Giải: Viết lại phương trình dạng: x  ln x  m Sè nghiƯm cđa phương trình số giao điểm đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y Bựi Thị Trang x  ln x 56 Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp XÐt hµm sè: y  x  ln x Miền xác định D (0, ) Đạo hàm: x2 1 y'  x   y'   x      x  1 x x x lim y  lim y   Giới hạn: Bảng biến thiên: x x  x 0  y’  +   y BiƯn ln: - Víi m , phương trình vô nghiệm - Với m , phương trình có nghiệm nhÊt x = - Víi m  , phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm:  m 1 x Bùi Thị Trang  x  m 3    m  x   4m 57 (1) Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp Gi¶i: Viết lại bất phương trình dạng: m 1 x  m  x  x 4 m 3  x  4m    (2) xÐt hµm sè: f (t ) 2t t đồng biến R bất phương trình viết dạng: f m  1 x   f  x  4m  3   m  1 x  x  4m  m  1 x   m  4m  3  (3) Vậy bất phương trình (1) vô nghiệm bất phương trình (3) vô nghiệm m   m  1    m 1    m  4m  3  1  m  VËy víi m = bất phương trình (1) vô nghiệm c) Bài tập tương tự Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x 0,1 2 m1 x   2m m2  lg  m2  m    lg  m  1 x  4 (1) Gi¶i: §iỊu kiƯn:  m  m     m  1 x   (*) Viết lại bất phương trình dạng: m1 x   lg  m  1 x    lg  m2  m    2m m2 (2) xÐt hµm sè f ( x)  2x  lg x ®ång biến với x > Vậy bất phương trình (2) viết lại dạng: Bựi Th Trang 58 Lp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp f  m  1 x    f  m  m     m  1 x   m  m   g ( x )   m  1 x  m  m  (3) Vậy bất phương trình (1) có nghiệm ®óng víi mäi x   0,1  m  m     g ( x)   m  1 x  m  m   x   0,1 m   m  1   m  2  m      g (0)     m  1  1   m  1   m     g (1)     VËy víi m   8, 1   2,3 th× (1) nghiƯm ®óng víi mäi x   0,1 Bµi Xác định m để bất phương trình nghiệm với  x  : log 22 x log 22 x m (1) Giải: Đặt t log 22 x,  t  1 t m t 1 Khi (1) có dạng: (2) Vậy (1) nghiệm víi mäi x  vµ chØ (2) nghiệm với t Xét hàm số: y t t Miền xác định D 1, Đạo hàm: y ' Giới hạn: lim y Bảng biến thiªn: t 2  t  1  y'   t    t  t  Bùi Thị Trang 59 Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp x  + y’  _  y Vậy bất phương trình nghiệm với t m 3.4 Bài toán 4: Dạng toán có tham số không mẫu mực a) Phương pháp Ta sử dụng phương pháp sau: Điều kiện cần đủ Phương pháp tỏ hiệu với dạng toán tìm điều kiện tham số để: - Phương trình, bất phương trình có nghiệm - Phương trình, bất phương trình có nghiệm với giá trị tham số - Phương trình, bất phương trình có nghiệm với x D - Phương trình, bất phương trình tương đương với phương trình bất phương trình khác b) Ví dụ Bài Tìm m để phương trình sau cã nghiÖm nhÊt: x2  2m  (1) Giải: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiƯm lµ x  x0 suy ra: x0   2m   Bùi Thị Trang  4 x0   2m  60 Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp   x0 cịng lµ nghiƯm cđa (1) VËy (1) cã nghiÖm nhÊt x0   x0  x0  Thay x0  vào (1),ta được: m = Đó điều kiện cần để phương trình có nghiệm Điều kiện cần: Giả sử m = 1, (1) cã d¹ng: x2 1 x2 1 x    x  VËy x nghiệm phương trình Vậy với m = phương trình có nghiệm Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm ®óng víi x  1,3 : 2 x  m x 1 15    m  8  x  3x   (1) Giải: Điều kiện cần: bất phương trình nghiệm víi x  1,3 suy nghiƯm ®óng víi x = 1; x = 2, tøc lµ ta cã:  2m  17   1  2m  17  9  m  8    22  m  8  3m  23   1  3m  23  8  m   VËy m  8 điều kiện cần để (1) nghiệm với x 1,3 Điều kiện đủ: Với m , ta cã: (1)  x  x    1  x  x    x  2  2 x  x     1 x   x  x   2 x  x   Vậy với m bất phương trình nghiệm ®óng víi x  1,3 Bùi Thị Trang 61 Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp Bµi Tìm điều kiện m để bất phương trình sau nghiƯm ®óng víi mäi x   2,4  : lg   x   x   lg  x2  x  m (1) Giải: Biến đổi bất phương trình tương đương víi:   x   x    x  x  m  (2) Để (1) nghiệm với x 2,4 (2) nghiệm với mäi x   2,4  * §iỊu kiƯn cần: Giả sử (1) có nghiệm với x  2,4   x  lµ nghiƯm cđa (1), ®ã:  m   m Đó điều kiện cần để bất phương trình nghiệm x 2,4 * Điều kiện đủ: Giả sử m , đó: áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái, ta được: VT x  x   2  x  4 x Biến đổi vế phải d¹ng: VP  x  x  m   x  1  m      x   x   x  x  m Vậy với m bất phương trình nghiệm víi mäi x   2,4  c) Bµi tập tương tự Bài Tìm m để bất phương tr×nh sau cã nghiƯm nhÊt:   m2 x (1) Hướng dẫn: - Điều kiện cần: m = phương trình có nghiệm Bùi Thị Trang 62 Lớp: K35C - Sp Tốn Khóa lun tt nghip - Điều kiện đủ: Thay m = vào phương trình xem có thỏa mÃn không? Bài Tìm x để phương trình sau nghiệm với mäi a: log a2 2    x    log a2 x2 2  x (1) Hướng dẫn: - Điều kiện cần: Giả sư (1) nghiƯm ®óng víi mäi a, suy ®óng với a Thay a vào phương trình (1), suy x - Điều kiện đủ: thay x vào phương trình xem có thỏa mÃn a không? Bài Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm nhất: log m2 1  x    m  1 (1) H­íng dÉn:  Lµm tương tự giống Bựi Th Trang 63 Lp: K35C - Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp KÕt ln Đề tài đà trình bày số dạng toán phương trình, bất phương trình mũ - logatit Đề tài thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm giúp em học sinh phân loại dạng toán phương trình, bất phương trình mũ - logarit Dù đà cố gắng xong bước đầu bắt tay vào nghiên cứu, trình độ kinh nghiệm thân hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu xót Em mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện Em xin trân thành cám ơn! Sinh viên Bùi ThÞ Trang Bùi Thị Trang 64 Lớp: K35C - Sp Toỏn Khúa lun tt nghip Tài liệu tham khảo [1] Trần Phương, Lê Hồng Đức, Đại số sơ cấp, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội - 2002 [2] Ngô Viết Diễn,Phương pháp giải toán chọn lọc hàm số mũ logarit., Nxb trẻ - 1999 [3] Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí, Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ mũ - logarit”, nxb Hµ Néi - 2005 [4] Ngun Vị Lương, Nguyễn Ngọc Thắng, Các giảng hàm số mũ loga, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội [5] Đoàn Quỳnh ( tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12 nâng cao, Nxb giáo dục - 2008 Bùi Thị Trang 65 Lớp: K35C - Sp Toán ... tích, tng hp - Phng pháp ánh giá - Căn vào phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ - logarit để phân dạng số dạng toán phương trình, bất phương trình mũ - logarit Cấu tróc kho¸ luận Ngồi... chuyển phương trình, bất phương trình ban đầu thành phương trình, bất phương trình với mét Èn phơ  Sư dơng Èn phơ ®Ĩ chun phương trình, bất phương trình ban đầu ban đầu thành phương trình, bất phương. .. ti: "MộT Số DạNG BàI TOáN Về PHƯƠNG TRìNH, BấT PHƯƠNG TRìNH Mũ - LOGARIT" Mc ích nghiên cu Mc đÝch chÝnh đề tài mà em lựa chọn tng hp tt dng bi toán v phng trình bất phương tr×nh mũ - logarit