Luận văn sư phạm Một số phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số

Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán L ic m n Sau m t th i gian mi t mài nghiên c u v i s h t n tình c a th y giáo Ths Ph m L ng d n ch b o ng B ng , khóa lu n c a em đ n hoàn thành Qua em xin bày t lòng bi t n sâu s c c a t i th y Ph m L ng B ng ng i tr c ti p h ng d n , ch b o đóng góp nhi u ý ki n quý báu th i gian em th c hi n khoá lu n Em xin chân thành c m n th y giáo , cô giáo khoa toán t o u ki n t t nh t cho em th i gian em làm khoá lu n Do l n đ u tiên làm quen v i công tác nghiên c u n ng l c c a b n thân cịn nhi u h n ch nên khơng th tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s giúp đ , đóng góp ý ki n c a th y b n sinh viên đ khoá lu n c a em đ c hoàn thi n h n M t l n n a em xin chân thành c m n ! Hà N i ,ngày 10 tháng n m 2008 Sinh viên Tr n - - cH i Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán L i cam đoan Khoá lu n k t qu c a b n thân em trình h c t p , nghiên c u b c đ i h c Bên c nh c ng đ c s quan tâm , t o u ki n c a th y giáo khoa tốn , đ c bi t s h Ph m L ng d n t n tình c a th y giáo Ths ng B ng Vì v y em xin kh ng đ nh k t qu c a đ tài : “M t s ph ng pháp gi i toán c c tr c a hàm s ” khơng có s trùng l p v i k t qu c a đ tài khác Hà N i, ngày 10 tháng n m 2008 Sinh viên Tr n - - cH i Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán M cl c Trang M đ u Ch ng 1:Lý thuy t chung v toán c c tr c a hàm s 1.1) nh ngh a c c tr c a hàm s 1.2) Các tính ch t Ch ng 2: S d ng tính đ n u vi c gi i toán c c tr c a hàm s 2.1) C s lý thuy t 2.2) S d ng tính đ n u đ tìm giá tr l n nh t,nh nh t c a hàm s mi n D 2.2.1) Các tốn tìm giá tr l n nh t,nh nh t c a hàm s khơng có tham s 2.2.2 Các tốn tìm giá tr l n nh t,nh nh t c a hàm 14 s có tham s Ch ng 3: S d ng đ nh lý Lagrange vi c gi i toán c c 18 tr c a hàm s 3.1) C s lý thuy t 18 3.2) Ph 19 ng pháp chung 3.3) Bài t p Ch 19 ng 4: S d ng b t đ ng th c Cauchy Bunhiacopxki 23 vi c gi i toán c c tr c a hàm s Ch 4.1) B t đ ng th c Cauchy 23 4.2) B t đ ng th c Bunhiacopxki 32 ng 5:Ph ng pháp hàm l i vi c gi i toán c c tr 41 c a hàm s 5.1 :T p l i hàm l i - - 41 Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán 5.2) B t đ ng th c Jexen 42 5.3)B t đ ng th c Karamata 43 5.4) áp d ng hàm l i tìm giá tr l nnh t,nh nh t c a hàm 44 5.4.1) S d ng b t đ ng th c Jenxen 44 5.4.2) S d ng b t đ ng th c Karamata 53 s Ch ng 6: Gi i toán c c tr c a hàm s b ng mi n giá tr 6.1 Ph ng pháp chung 57 6.2 Bài t p v n d ng Ch 57 57 ng : Gi i toán c c tr c a hàm s b ng ph ng pháp 64 hình h c 7.1 C s lý thuy t 64 7.2 Bài t p v n d ng 64 K t lu n 73 Tài li u tham kh o 74 - - Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán M đ u Trong ch nh ng ng ng trình tốn ph thơng c c tr ph n h p d n , lôi cu n t t c i h c toán làm toán Các toán r t phong phú đa d ng Vì v y, tốn c c tr c a hàm s th ng xuyên có m t kì thi ph thơng trung h c c ng nh kì thi h c sinh gi i đ thi đ i h c , cao đ ng gi i quy t địi h i ng i h c tốn làm toán ph i linh ho t v n d ng m t cách h p lý t ng toán T t nhiên đ ng tr c c tr m i ng i đ u có m t h có ngh a có r t nhi u ph c m t toán ng xu t phát riêng c a Nói nh v y ng pháp đ đ n k t qu cu i c a toán c c tr i u quan tr ng ta ph i l a ch n ph ng pháp cho l i gi i t i u c a tốn Th t khó nh ng c ng thú v n u ta tìm đ cđ ng l i h ng d n nhi t đ n đ gi i quy t V i nh ng lý , s đam mê c a b n thân s tình c a th y th c s Ph m L ng B ng m nh d n th c h ên khố lu n c a v i t a đ : “M t s ph T giúp nh ng ng ng pháp gi i toán c c tr c a hàm s ” i h c toán làm tốn có thêm cơng c đ gi i quy t toán c c tr Khoá lu n g m ch ng Ch ng 1:Lý thuy t chung v toán c c tr c a hàm s Ch ng 2: S d ng tính đ n u vi c gi i toán c c tr c a hàm Ch ng 3: S d ng đ nh lý Lagrange vi c gi i toán c c tr c a s hàm s Ch ng 4: S d ng b t đ ng th c Cauchy Bunhiacopxki vi c gi i toán c c tr c a hàm s Ch ng 5:Ph ng pháp hàm l i vi c gi i toán c c tr c a hàm s - - Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán Ch ng 6: Gi i toán c c tr c a hàm s b ng mi n giá tr Ch ng : Gi i toán c c tr c a hàm s b ng ph Trong ch ng pháp hình h c ng 2,3,4,5,6,7 sau ph n trình bày lý thuy t m t s t p đ a nh m minh ho cho lý thuy t đ a Do trình đ kinh nghi m h n ch nên lu n v n nhi u h n ch , khó tránh kh i nh ng sai sót Em r t mong đ c s góp ý c a th y khoa tốn b n sinh viên Em xin chân thành c m n ! Hà N i ,tháng n m 2008 Sinh viên Tr n - - cH i Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán Ch 1.1 ng 1: Lý thuy t chung v toán c c tr c a hàm s nh ngh a c c tr c a hàm s nh ngh a 1.1 Cho hàm s f(x) xác đ nh mi n D + M lµ giá trịlớ n hàm số f (x) (kh M=maxf(x) ) thỏa mà n hai xẻ D điều kiÖn * f(x) ≤ M ,  x  D *  x0 D cho M=f(x0) + m lµ giá trịbénhất hàm số f (x ) (kh m=minf(x) ) thỏa mà n hai xẻ D điều kiện * f(x)  m ,  x  D *  x0 D cho m=f(x0) nh ngh a 1.2 Cho hàm s f(x) xác đ nh mi n D , x0  D Ta nói r ng f(x) đ t c c ti u đ a ph ng t i x0 n u nh t n t i lân c n V  x  cho f  x   f  x  , x  D  V  x  Hàm s f(x,y) xác đ nh D đ (x0,y0),(x0,y0)  D n u nh T c g i đ t c c ti u đ a ph ng t i t n t i lân c n V  x ,y  cho f  x,y   f  x 0,y  ,  x,y   D  V  x 0,y  ng t ta có đ nh ngh a hàm s đ t c c đ i đ a ph ng t p xác đ nh c a Nh n xét :N u f(x) đ t c c ti u đ a ph ng t i x0  D nói chung ta có f  x   m  minf  x  xD - - Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán N u f(x) đ t c c đ i đ a ph ng t i x0  D ta có f  x   M  max f  x  xD V y giá tr l n nh t (nh nh t) c a hàm s f không trùng v i c c đ i đ a ph ng (c c ti u đ a ph ng) m t mi n xác đ nh D 1.2 Các tính ch t nh lý 1.1 :Hàm s f(x) liên t c m t đo n [a,b] đ t giá tr l n nh t,nh nh t đo n nh lý 1.2 : Cho hàm s f(x) xác đ nh mi n D A,B t p c a D ®ã A  B Ngoµi  maxf(x) , maxf(x) , minf(x) , minf(x) xA xB xA xB Khi ta có: max f  x   maxf  x  xA x B f  x   minf  x  xA xB Ta ch c n ch ng minh (1.1) ,còn (1.2) ch ng minh t Th t v y ,gi s (1.1) (1.2) ng t max f (x) = f (x0) , x0  A Do A  B ,nên t x0  A ta suy x  B T theo đ nh ngh a ta có f(x )  max f  x  hay max f x   max f x  xB x A x B nh lý 1.3 : Gi s hàm s f(x) xác đ nh mi n D Khi ta có max f  x  =-min -f  x   xD xD Th t v y gi s M = max f(x) , x  D (1.3) Khi theo đ nh ngh a giá tr l n nh t ta có f  x   M,x  D   f  x   M, x  D - -   f  x    M,x  D  f  x    M, x  D Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán i u theo đ nh ngh a giá tr nh nh t có ngh a min(-f(x))=-M T (1.4) (1.3) (1.4) ta có u ph i ch ng minh Nh n xét : nh lý cho phép ta chuy n tốn tìm giá tr l n nh t v tốn tìm giá tr nh nh t c a hàm s ng c l i nh lý 1.4 : Gi s f(x),g(x) hai hàm s xác đ nh mi n D tho mãn u kiÖn f  x   g x  , x  D Khi ®ã ta cã max f  x   maxg x  xD xD Ch ng minh: Gi s max g(x) = g(x0), x0  D T gi thi t ta có f  x   g x  (1.5) Vì x0  D ,nên theo đ nh ngh a giá tr l n nh t ta có f  x   maxf  x  xD (1.6) Tõ (1.5) vµ (1.6) ta suy max f  x   maxg x  xD xD Ta có nh n xét :t gi thi t max f(x)  maxg(x), x  D ,nói chung ta khơng th suy f  x   g x , x  D nh lý 1.5 :(nguyên lý phân rã ) :Gi s hàm s f(x) xác đ nh mi n D mi n D đ c bi u di n d i d ng D  D1  D2   Dn Gi thi t t n t i max f  x  , f  x  i=1,n Khi ®ã ta cã x  Di x  Di max f (x)  max maxf(x),maxf(x), ,maxf(x) xD x  D1 x  D2 x  Dn (1.7) minf (x)  minminf(x),minf(x),,minf(x) xD x  D1 x  D2 x  Dn (1.8) Ch ng minh :Th t v y theo đ nh lý 1.2 Di  D v i i  1,n nên ta có - - Khố lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán maxf  x   maxf  x  x  Di xD  max maxf(x),maxf(x),,maxf(x)  maxf(x) x  D1 x  D2 x Dn x D Mặ t c ta coi (1.9) (1.10) maxf  x   f  x  ,x  D xD L i x0  D , D  D1  D2   Dn nên t n t i k (1  k  n) cho x Dk Theo định nghĩa ta có f x   maxf  x   max maxf(x),maxf(x),,maxf(x) x  Dk x  D1 x  D2 x  Dn VËy maxf  x   max maxf(x),maxf(x),,maxf(x) (1.11) xD x  D1 x  D2 x  Dn T (1.10) & (1.11) ta có u ph i ch ng minh Chú ý :Nguyên lý phân rã nói cho phép ta bi n tốn tìm giá tr l n nh t,nh nh t c a hàm s mi n xác đ nh ph c t p thành m t dãy toán tìm giá tr l n nh t , nh nh t c a hàm s mi n đ n gi n h n - 10 - Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán  3  2  y   2  y  1      2  y0  5   y    y     V y mi n giá tr c a hàm s Ymax=1 đ t đ  2  y0  c x = , Ymin = 3-2 đ t đ c x= x  px  q Bài 6.5 : Cho hàm s f  x   x2  T×m p ,q :max f (x) = 9,minf (x) = - xỴ ¡ xỴ ¡ Gi i G i y0 giá tr tu ý c a hàm s , ph ng trình x  px  q  y0 x2  (6.12) ng trình (6.12)   y  1 x2  px  y  q  (6.13) có nghi m n x Ph * N u y0 = (6.13) có nghi m p  ho c p = q = * N u y0  ph ng trình ( 6.13) có nghi m      4y20  4 q  1 y  p2  4q  Xét ph  (6.14)  ng trình 4t  4 q  1 t  p2  4q  G i t1,t2 nghi m c a ph ng trình (6.15) nghi m c a b t ph (6.15) ng trình (6.14) theo n y0 t1  y0  t K t h p c hai tr ng h p ta th y ph ng trình (6.13) có nghi m t1  y0  t t1 , t2 hai nghi m c a ph - 65 - ng trình (6.15) Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Tốn T max f  x   t , minf  x   t1 Nh v y tốn tr thành : Tìm p ,q đ ph ng trình (6.15) có hai nghi m va -1 Theo đ nh lý Viet u x y  4 q  1 8  q     p   4q p     9  p  V y hai c p giá tr c n tìm  q   p  8  q  Bài 6.6 : Tìm giá tr l n nh t , nh nh t c a hàm s   f  x,y   x2  y2 mi n D   x,y  :  x  y  1  4x 2y  x  y  Gi i G i t0 m t giá tr b t kì c a hàm s f (x,y) mi n D i u ch ng t h ph ng trình sau ( n x,y ) có nghi m x  y  t x  y  t     2 2 2 2         x  y   4x  x y 4x y x y x y         2 x  y  t  2 t  3t   4x  (6.16) (6.17) (6.17) có nghi m n x ta ph i có u ki n t 20  3t    3 3  t0  2 (6.18) t 20  3t  V i u ki n ( 6.18 ) g i x0 nghi m c a (6.17) suy x   thay vào (6.16) ta đ c 4y2  t 20  t  (6.19) Do t 20  t   v i t nên hi n nhiên v i u ki n (6.18) (6.19) có nghi m , ngh a (6.18) u ki n đ h (6.16),(6.17) có nghi m Nh v y - 66 - Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán max f  x,y   D Bài t p t 3 3 , minf  x,y   2 D ng t dành cho b n đ c Bài 6.7 :Tìm giá tr l n nh t,nh nh t c a hàm s H ng d n : Làm t 1 :  y   maxf  x   1, minf  x   ) 3 ng x2  x  y x  x 1 t Bài 6.8 :Tìm giá tr l n nh t,nh nh t c a hàm s y  H ng d n: 6.3( s x   1 x  x   1 x  2t    x  2 1 t2 Do x    x  nên ta đ t  v i 0 t 1  t  1 x   1 t2 7t  12t  ,v i  t  Làm t ng t nh Khi ta có y  5t  16t  7 ( /s :ymax= t=0  x=-3 ; ymin= t=1  x=1 ) x2  xy  2y2 Bài 6.9 :Tìm giá tr l n nh t,nh nh t c a hàm s A= x  xy  y2 7 7 t2  t  x H óng d n: t t= A  ( /s:Amax= ,Amin= ) 3 t  t 1 y Bài 6.10 : Tìm giá tr l n nh t c a hàm s f  x,y   x  y       Xét mi n D   x,y  : x2  4y2  H ng d n : Ta c ng gi s t0 giá tr tu ý c a hàm s f(x,y) ngh a h sau ( n x, n y) có nghi m - 67 - i u có Khố lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán  x  y  t  2  x  y  t  x  4y     2 x  y  t x  4y     x  4y  T ta tìm mi n giá tr t0 c a t ng h nh v y toán quay v d ng 6.6 ta áp d ng nguyên lý phân rã ( ch nh lý 1.5 ng 1) đ tìm tìm giá tr l n nh t c a hàm s Ch ng : Gi i toán c c tr c a hàm s b ng ph hình h c ng pháp 7.1 C s lý thuy t B t đ ng th c tam giác 1.V i m A, B , C b t kì ta ln có : + AB  BC  AC ( D u đ ng th c x y  B n m đo n AC ) + AB  AC  BC ( D u đ ng th c x y  C n m đo n AB ) Cách áp d ng : + a hàm s cho v d ng : f  x,y   x  a2  y  b2 (a, b h ng s ) +Sau đ nh h tr c to đ , ch n m A , B , C có to đ xác đ nh cu i s d ng hai b t đ ng th c đ tìm giá tr l n nh t,nh nh t c a hàm s ABC :AB  BC  AC  AB  BC 7.2 Bài t p v n d ng Bài 7.1 Tìm giá tr l n nh t c a hàm s f (x) = x - 6x + 34 - Gi i - 68 - x - 6x + 10, " x Ỵ ¡ Khố lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán Ta có: f x   x  3  x  3  25  1   x  3 x   52  2  12 f  3   V i x  3, d ng ABC vuông t i A,AC  5,AB  x  Trên c nh AC , ta l y m D cho AD  Theo đính lý Pitago , ta có: B BC  AB2  AC2  x   52 BD  AB2  AD2  x   12 x 3 A D C Trong BCD , ta ln có BC  BD  DC  x   52  x   12  V y x  f  x   f  x   x  Suy max f (x) = xỴ ¡ Bài 7.2: Tìm giá tr nh nh t c a hàm s : f  x   x  x   x  3x  , v i x Î ¡ Gi i 2  1   3  Ta có th vi t: f  x    x       x    2       2  1  3 3    1  x    0   x    0   2       2  V i hai m M  x1;y1  ,N  x2 ;y2  m t ph ng to đ , ta có: O y x C(x;0) - 69 -  A( ; ) 2 x C0 B( ; ) 2 Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán MN  x  x1    y  y1  2 Trên m t ph ng to đ Oxy , đ t:    1 A ; ;  , C x;0  , B 2 2    1  3  CA   x       2    Khi ta có: 2  3   1 CB   x           2  2  1  3      AB    2 2 2     V y: f  x   CA  CB A,B,C , ln có b t đ ng th c: CA  CB  AB Û f (x)³ 2, " Ỵ ¡ M t khác, gi s AB c t Ox t i C0 Ta có: C0A  C0B  AB Nh v y, n u đ t x0  OC0 f  x   Do đó: minf (x)= 2, " x Ỵ ¡ Bài 7.3 Tìm giá tr nh nh t c a hàm s : f (x) = x2 + x + + x2 - x + " x Ỵ ¡ Gi i Ta có: f  x   x  x   x  x  2       1     x      0       x      2            - 70 - Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán Trong m t ph ng t a đ Oxy , xét m:  3 1 3 A   ;  ,B  ;  ,C x;0 2 2     1    Khi ta có AC   x      2    y 1    BC   x       2    AB    3 2 2 B x O  x C 1 2 A  A,B,C , ta ln có b t đ ng th c: AC BC AB ổ ỗỗx + ỗố 2 ỉ 3ư ỉ ỉ 1ư 1÷ 3÷ ữ ỗ ỗỗữ ỗ ữ ữ x + + + 2, " x ẻ Ă ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ố 2ứ ỗố ứ 2ứ ốỗ ứ 2 Û f (x)³ 2, " x Ỵ ¡ D u “=” x y  C AB , ta th y O AB  C  O Hay f  0  2 V y: minf (x)= 2, " x Ỵ ¡ Bài 7.4 :Tìm giá tr l n nh t nh nh nh t c a hàm s f  x;y   4x  3y Xét mi n D   x;y  : x  y  16  8x  6y - 71 - Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán Gi i  x;y   D , ta có x  y  16  8x  6y  x  8x  16  y  6y     x  4   y  3  32 2 V y  x;y   D nh ng m n m đ ng trịn có tâm I  4;3 , bán kính R  Khi  x;y   D , ta có: f  x;y   4x  3y  x2  y2     x y 16   2 ng tròn D t i M 1,M Khi  x;y   D , ta có: N i OI c t đ OM  OM  OI  M 1I    M  x;y D y  Mmin OM  x;y D  M  max OM  OM  OI  M 2I    M  x;y D M2  Mmax OM  64 x;y D  I  M1 M t khác, ta có: OM  x  y   x  y  64 O Suy ra:  f  x;y   36 f  x;y   36; Mmin f  x;y   V y: Mmax x;y D x;y D     Bài 7.5: Tìm giá tr l n nh t c a hàm s f  x,y,z,t    x  2y   z  2t   xz  yt mi n D   x,y,z,t  : x  y  z2  t  5 Gi i - 72 - x Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán Ta có th vi t l i hàm f  x,y,z,t  nh sau f  x,y,z,t    x  1   y  2 2  z  1   t  2  2  x,y,z,t   D m M  x;y  ,N  z;t  n m đ  x  2   y  t   2 ng tròn t i g c O bán kính R  h tr c to đ Oxy , xét m P( 1; 2) V y P (1; 2) c ng n m đ ng trịn D Khi đó, ta có:  x  1   y  2  y   x  z   y  t  2  z  1   t  2 2  MP  NP  MN x M O v i  x;y;z;t   D Do MNP n i ti p đ P(1;2) M   ng tròn 0; , mà m t tam giác n i ti p đ ng trịn n u tam giác tam giác đ u tam giác có chu vi l n nh t MNP đ u , n i ti p đ ng trịn có bán kính c nh có đ dài: a   15 V y: f  x,y,z,t   30 30  max f  x;y;z;t   ,  x;y;z;t   D  2 Bài 7.6.Tìm giá tr l n nh t c a hàm s : f (x,y,z,t)  z2  t  2xz  2yt  Xét mi n D  (x,y,z,t) : x  y  , z2  t   0 v Gi i (x,y,z,t)  D , ta có: N0 f (x,y,z,t)  (z  x)2  (y  t)2  x  y  v  u2  N(z;t)  (z  x)2  (y  t)2 M0 M(x;y) 1 - 73 - O 1 u Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán (x,y,z,t)  D t p h p nh ng m M(x,y) n m đ ng tròn tâm O(0;0), bán kính R = 1; T p h p m N(z,t) n m parabol: v=u2+3 Khi đó, ta có: MN  (z  x)2  (t  y)2  f (x,y,z,t) V y: MN2 = M0N0 = , V i M0(0;1) ; N0(0;3) Do đó, ta có : f (x,y,z,t)  4.(x,y,z,t)  D  minf (x,y,z,t)   D f (0,1,0,3)  ,(0,1,0,3)  D Bài 7.7: Tìm giá tr l n nh t c a hàm s : f(x,y,z) = x (1 – y) +y(1 – z) + z( 1- x) Xét mi n D  (x,y,z) ;  x  1;  y  1;  z  1 Gi i D ng ABCđ u v i c nh b ng đó: SABC  Trên AB, BC, CA ta l n l t đ t đo n: A AM = x ; BN = z ; CP = y Do  x,y,z  nên M có th trùng A ho c B x P M y N có th trùng B ho c C P có th trùng C ho c A Lúc này, ta có: B z SAMP  AM.AP.sin  3  SAMP  x.(1  y)  x(1  y) 2 - 74 - N C Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Tốn Hồn tồn t ng t , ta có: SBMN  z(1  x) SCNP  y(1  z) M t khác, ta có: SCNP  SBMN  SCNP  SABC 3 3   x,y,z   D x 1  y   z1  x   y 1  z  4 4  x 1  y   z1  x   y 1  z    x,y,z   D  f  x,y,z  ,   x,y,z  D Do max f  x,y,z  VËy lµ   f 1,0,0  x,y,zD    Bài t p t ng t Bài 7.8 Tìm giá tr l n nh t nh nh t c a hàm s : f (x;y)  x  y Xét mi n : D  (x;y) : x  2y   0;x  y   0;2x  y   0 ( max f (x;y)  20; (x;y) f (x;y)  s (x;y) D D Bài 7.9 Cho hàm s f (y) = 16 ) y - 4y + + y - 6y + 10 " y Ỵ ¡ Tìm giá tr nh nh t c a hàm f (y) H ng d n Hàm s f (y) đ f (y) = c vi t l i d i d ng (y - 2) + 22 + (y - 3) + 12 Sau h tr c to đ ta ch n m A  1;2 ;B 2;3;M 1;y  , áp d ng b t đ ng th c tam giác AM  BM  AB Suy giá tr nh nh t c a f (y) ( s minf (y) = 10 ) ¡ - 75 - Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán Bài 7.10 Cho hàm s f (x) = x2 + + x + 16 " x Ỵ ¡ Tìm giá tr nh nh t c a hàm s f (x) H ng d n : Trong h to đ Oxy , xét m A  0;3 ;B 0;4 ;M  x;0 áp d ng b t đ ng th c tam giác AM  BM  AB T suy giá tr nh nh t ( s minf (x) = ) ¡ Bài 7.11 : Cho hàm s f (x) = x - 6x + 13 + x - 12x + 45 " x Î ¡ Tìm giá tr nh nh t c a hàm s f (x) H ng d n : Ta vi t l i hàm f (x) = 2 (x - 3) + + (x - 6) + Trong h to đ Oxy , xét m A  3;4 ;B 6; 1;M  x;2 áp d ng b t đ ng th c tam giác AM  BM  AB ( s minf (x) = 34 ) ¡ Bài 7.12 Cho hàm s f (x)= 2x2 - 10x + 25 + 2x2 - x + 24 " x Ỵ ¡ Tìm giá tr nh nh t c a hàm s f (x) H ng d n : Ta vi t l i hàm f (x) = ( (x - 5) + x +  ) - x + x2  Trong h to đ Oxy , xét m A  0;5 ;B 6;0 ;M  x;x  áp d ng b t đ ng th c tam giác AM  BM  AB suy giá tr nh nh t ( s minf (x) = ) ¡ Bài 7.13 Cho hàm s f (x) = 5x - 8x + 13 + 5x - x + " x Ỵ ¡ Tìm giá tr nh nh t c a hàm s f (x) H ng d n : Ta vi t l i hàm f (x) = 2 2 (x + 2) + (3 - 2x) + (x - 2) + (- 2x) - 76 - Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán Trong h to đ Oxy , xét m A  2; 1 ;B 2;2;M  x;2  2x  áp d ng b t đ ng th c tam giác AM  BM  AB suy giá tr nh nh t ( s minf (x) = ) ¡ Bài 7.14 Cho hàm s f (x) = 10x - 12x + 10 + 10x - 20 x + 20 " x Î ¡ Tìm giá tr nh nh t c a hàm s f (x) H ng d n : Ta vi t l i f (x) = (x - 3) + (3x - 1) + (x + 2) + (3x - 4) 2 Trong h to đ Oxy , xét m A  3;2 ;B 2; 1 ;M  x;31  x   áp d ng b t đ ng th c tam giác AM  BM  AB suy giá tr nh nh t ( s minf (x) = ) ¡ - 77 - Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán K t lu n Chúng ta bi t tốn tìm c c tr toán r t phong phú đa d ng , đòi h i v n d ng ki n th c m t cách linh ho t Vì v y n i dung r t đáng lo ng i c a ng i h c toán làm toán Trong khoá lu n em đ a m t s cơng c đ gi i quy t tốn tìm c c tr c a hàm s M c dù tốn c c tr có r t nhi u ph ng pháp gi i nh ng khuôn kh c a khoá lu n n ng l c c a b n thân nhi u h n ch nên khoá lu n c a em v n ch a nêu h t đ c đ y đ h th ng ph ng pháp đ gi i chúng H n n a l n đ u tiên em đ c làm quen v i nghiên c u khoa h c nên trình th c hi n đ tài , em khơng tránh kh i nh ng thi u sót Em kính mong th y giáo tồn th b n sinh viên đóng góp ý ki n đ khoá lu n c a em đ thành c m n th y Ph m L c hoàn thi n h n M t l n a em xin chân ng B ng giúp đ em hồn thành khố lu n - 78 - Khố lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D_Toán Tài li u tham kh o V n L u,Phan Huy Kh i , Gi i tích l i, Nxb khoa h c k thu t , Hà N i Phan Huy Kh i (2002), Các toán c c tr c a hàm s , Nxb Hà N i Võ Giang Mai , Võ Kh c Th ng ,Lê Quang Tu n , ng d ng tính ch t c a hàm s đ gi i toán :B t đ ng th c , tìm giá tr l n nh t , tìm giá tr nh nh t , Nxb Thanh Hoá - 79 - ... 5:Ph ng pháp hàm l i vi c gi i toán c c tr c a hàm s - - Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D _Toán Ch ng 6: Gi i toán c c tr c a hàm s b ng mi n giá tr Ch ng : Gi i toán c c tr c a hàm s b ng... i toán c c tr c a hàm Ch ng 3: S d ng đ nh lý Lagrange vi c gi i toán c c tr c a s hàm s Ch ng 4: S d ng b t đ ng th c Cauchy Bunhiacopxki vi c gi i toán c c tr c a hàm s Ch ng 5:Ph ng pháp. .. pháp hàm l i vi c gi i toán c c tr 41 c a hàm s 5.1 :T p l i hàm l i - - 41 Khoá lu n t t nghi p Tr n c H i _K30D _Toán 5.2) B t đ ng th c Jexen 42 5.3)B t đ ng th c Karamata 43 5.4) áp d ng hàm