Một số phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số

Dạy học sinh học toán không chỉ cung cấp những kiến thức cơ bản, những dạng bài tập vận dụng trong sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cách tư duy trong suy luận toán học của mỗi học sinh thông qua các phương pháp giải toán, từ đó giúp các em có năng lực tư duy logic, độc lập sáng tạo để hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo trong học tập và phát triển nhân cách của học sinh.

Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số Mục lục Trang A phần Mở đầu i Lý chọn đề tài II Mục đích sáng kiến kinh nghiệm III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Đối tợng phạm vi nghiên cứu v Phơng pháp nghiên cứu B NộI DUNG Chơng 1: Giải toán cực trị hàm số miền giá trị Chơng 2: Giải toán cực trị hàm số phơng pháp hình học C KếT LUậN Và KHUYếN NGHị D TàI LIệU THAM KHảO Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng -1- Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng -2- Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số A PHầN Mở đầu I Lý chọn đề tài: Trong chơng trình toán THPT cực trị phần hấp dẫn, lôi tất ngời học toán làm toán Các toán phong phú đa dạng Vì vậy, toán cực trị hàm số thờng xuyên có mặt kì thi tốt nghiệp THPT nh kì thi học chọn sinh giỏi quốc gia, quốc tế đề thi vào trờng CĐ, ĐH Để giải đòi hỏi ngời học toán làm toán phải linh hoạt vận dụng cách hợp lý toán Tất nhiên đứng trớc toán cực trị ngời có hớng xuất phát riêng Nói nh có nghĩa có nhiều phơng pháp để đến kết cuối toán cực trị Điều quan trọng ta phải lựa chọn phơng pháp cho lời giải tối u toán Thật khó nhng thú vị ta tìm đợc đờng lối đắn để giải Dạy học sinh học toán không cung cấp kiến thức bản, dạng tập vận dụng sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng hình thành cách t suy luận toán học học sinh thông qua phơng pháp giải toán, từ giúp em có lực t logic, độc lập sáng tạo để hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo học tập phát triển nhân cách học sinh Vì vậy, để giúp em tự tin việc học toán, xây dựng đề tài : Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng -3- Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số Từ giúp ngời học toán làm toán có thêm công cụ để giải toán cực trị II Mục đích sáng kiến kinh nghiệm -Giúp cho học sinh có nhìn khái quát phơng pháp tìm cực trị hàm số, từ hình thành nên phơng pháp giải toán -Góp phần đổi phơng pháp giảng dạy môn theo hớng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo học sinh Góp phần nâng cao chất lợng đội ngũ học sinh khá, giỏi môn Toán trờng THPT -Góp phần hình thành lòng say mê, hào hứng học tập môn Toán, từ hình thành phát triển lực tự học, tự båi dìng kiÕn thøc cho häc sinh - Ngoµi ra, đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho bạn đồng nghiệp việc båi dìng HSG, lun thi §H, C§ III NhiƯm vơ nghiên cứu Để đạt tốt kết đề tài, ngời nghiên cứu phải làm đợc yêu cầu sau: - Phải nắm thật vững vị trí, mục tiêu, đặc điểm hệ thống chơng trình toán học bậc THPT - Có nhìn khái quát lý thuyết toán cực trị hàm nhiều biến bậc đại học áp dụng vào toán học THPT dới góc nhìn toán học sơ cấp Từ góp phần giúp giáo viên THPT hiểu đợc chất vấn đề, để áp dụng vào đối tợng học sinh cách có hiệu Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng -4- Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số - Nâng cao dần trình độ học toán làm toán học sinh THPT đáp ứng đợc nhu cầu xã hội thời kỳ CNH, HĐH đất nớc IV Đối tợng phạm vi nghiên cứu - Đối tợng Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số trờng THPT - Phạm vi nghiên cứu học sinh khối lớp 10 trờng THPT Yên Lãng Sáng kiến kinh nghiệm gồm chơng Chơng 1: Giải toán cực trị hàm số miền giá trị Chơng 2: Giải toán cực trị hàm số phơng pháp hình học Trong chơng sau phần trình bày lý thuyết số tập đa nhằm minh họa cho lý thuyết đa Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng -5- Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số V Phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn dạy học Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số chơng trình toán học THPT - Nghiên cứu khó khăn học sinh việc giải toán cực trị hàm số, từ tìm hớng giải Đề tài đợc tiến hành nghiên cứu, thực nghiệm lớp 10 trờng THPT Yên Lãng Đặc biệt lớp chọn, lớp chuyên đề Đề tài tài liệu tốt cho bạn học sinh khối 12 chuẩn bị thi vào ĐH, CĐ luyện thi học sinh giỏi Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng -6- Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số B NộI DUNG Chơng 1: Giải toán cực trị hàm số miền giá trị 1.1 Phơng pháp chung Muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y f x miền D ta làm nh sau : Gọi y0 giá trị tuỳ hàm số D điều có nghĩa hệ sau có nghiệm f x  y0 �  � x�D � �  1.1 1.2 Tuỳ dạng hệ 1.1 , 1.2 mà ta có điều kiện có nghiệm thích hợp Trong nhiều trờng hợp điều kiện (sau biến đổi rút gọn y0 đa dạng) (1.3) Vì y0 giá trị f(x), nên từ (1.3) thu đợc minf x   v�maxf  x   x �D x D Nh để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số dùng phơng pháp này, ta quy việc tìm điều kiện để phơng trình (thêm điều kiện phụ) có nghiệm 1.2 Kết điều tra khảo sát thực tiễn giải pháp Để thực đề tài cho lớp làm số toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nh sau: Bài tập 1.1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng -7- Một số phơng pháp giải toán cực trị cđa hµm sè 2x2 +10x + f ( x) = , x �� 3x2 + 2x +1 Lêi gi¶i đúng: Gọi y0 giá trị tuỳ ý hàm số Khi phơng trình sau có nghiệm 2x2 10x   y0 3x2  2x  (1.4) 3x2 + 2x + 1> 0, " x �� Do nªn tõ (1.4) � 2x2  10x   3x2y0  2xy0  y0 �  3y0  2 x2  2x y0  5  y0   (1.5) * 3y0   y0 nghiệm tức f(x) nhận giá trị * 3y0 y0 y0  �0 vËy (1.5) hiĨn nhiªn cã víi giá trị x (1.5) phơng trình bậc hai x Do 2y20�19y � 35 (1.5) cã nghiƯm vµ Sáng kiến kinh nghiệm môn toán NguyÔn Duy Trêng -8- – y0 Mét số phơng pháp giải toán cực trị hàm số y0 Kết hợp hai trờng hợp ta đợc y0 (1.6) T�(1.6) ta suy maxf ( x) = 7, minf ( x) = x �� x �� Lớp 10A1 có 18/45 học sinh cho lời giải đúng, 15 học sinh có lời giải sai 12 học sinh lời giải Lớp 10A2có 15/45 học sinh cho lời giải đúng, 24 học sinh có lời giải sai 11 học sinh lời giải Lớp 10A4 có 10/46 học sinh cho lời giải đúng, 26 học sinh có lời giải sai 10 học sinh lời giải Bài toán toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số mức độ trung bình số học sinh có lời giải Những học sinh có lời giải sai tính nhầm số không định hớng đựơc cách giải Để khắc phục sai lầm ta làm nh sau : Bớc 1: Nêu phơng pháp chung để làm toán cực trị hàm phân thức Bớc 2: Cung cấp cho học sinh cách giải biện luận phơng trình bậc Bớc 3: Cung cấp cho học sinh cách giải bất phơng trình bậc Bớc 4: Cung cấp cho học sinh cách giải toán so sánh nghiệm Bớc 5: Phân tích sai lầm gặp phải gặp dạng toán Sau đa nhận xét cho học sinh làm tâp 1.2 ta thu đợc kết lớp nh sau: Bài tập 1.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ cđa hµm sè x2  2x  víi x�� y x 2x Bài giải Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng -9- Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số Lấy y0 thuộc miền giá trị hàm số $x để cho phơng x2  2x  y0  x  2x  tr×nh cã nghiƯm � (y0  1)x2  2(y0  1)x  2(y0  1)  cã nghiÖm TH1: y0 = � x=0 y0 �1 � y0 �1 y0 �1 � � � � � � TH2: � � 2 � �0  y0  1  2 y0  1 �0 �y0  6y0  1�0 � � y0 �1 � � 3 2 �y0 �3  2 � � � VËy 3 2 �y0 �3 2 Tõ ®ã suy max Y = 3 2 x x y0   y0  ; minY=3-2 y0   y0  Kết thu đợc lớp nh sau: Học sinh lúng túng coi y số x biến số Thứ hai, nhân vế đa phơng trình bậc Tìm điều kiện có nghiệm phơng trình học sinh lớp 10A2, 10A4 lúng túng Tất lời giải sai mắc phải nhận xét Ngoài học sinh không max, đặt đâu Các học sinh lời cách biện luận phơng trình bậc Lớp 10A1 có 35 học sinh cho lời giải đúng, 10 häc sinh cã lêi gi¶i sai (77,8%-22,2%) Líp 10A2 cã 28 học sinh có lời giải đúng( 62.2%); 12 lời giải sai (26,7%) học sinh lời gi¶i (11,1%) Líp 10A4 cã 25 häc sinh cho lêi giải đúng(54,3%), 14 học sinh có lời giải sai (30,4%) học sinh lời giải(15,3%) Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng - 10 - Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số A,B,C , ta có bất đẳng thøc: AC  BC �AB 2 � 1� � � 3� � � � � � � x+ � + + � � � � � 2� � � �2 � � ۳"� f ( x) 2 � 3� � 1� � � � � � x + �2, " x �� � � � � � � � � 2� � � � 2� 2, x � AB DÊu “=” x¶y � C � AB , ta thÊy O � C O Hay f  0  22 VËy: minf ( x) = 2, " x �� NhËn xÐt: Líp 10A1 cã 15/45 häc sinh cho lời giải đúng, 28 học sinh có lời giải sai 12 học sinh lời giải Lớp 10A2 có 10/45 học sinh cho lời giải đúng, 25 học sinh có lời giải sai 15 học sinh không cã lêi gi¶i Líp 10A4 cã 2/46 häc sinh cho lời giải đúng, 24 học sinh có lời giải sai 20 học sinh lời giải Bài toán toán tìm giá trị nhỏ hàm thức mức độ đa số học sinh cha có lời giải Những học sinh có lời giải sai tính nhầm cha hình dung phơng pháp giải Để khắc phục sai lầm ta làm nh sau: Bớc 1: Cung cấp cho học sinh phơng pháp tìm cực trị phơng pháp hình học.( Nh phần lý thuyết cung cấp) Bớc 2:Phân tích cho học sinh áp dụng phơng pháp tìm cực trị hình học vào đại số( Khi biểu thức có dạng tổng bình phơng) Bớc 3: áp dụng số bất đẳng thức hình học Bớc 4: Học sinh phải nắm vững phần phơng pháp toạ độ hình học phẳng Bớc 5: Thông qua cách làm học sinh phân tích số sai lầm gặp phải làm dạng toán Sau giáo viên hớng dẫn cho học sinh làm tập sau: Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ hàm số: Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Ngun Duy Trêng - 20 - – Mét sè ph¬ng pháp giải toán cực trị hàm số f  x  x2  x   x2 3x 1, với x Lời giải đúng: 2 1� � � � 3� � Ta cã thÓ viÕt: f  x  � x  � � � � x � � � �2 � � � 2 2 � 3� � � � � 1� � 1� �  � x  � � 0 x 0 �  � � � � � � 2 2 � � � � � � � � � � Víi hai ®iĨm M  x1;y1  ,N x2;y2 mặt phẳng toạ độ, ta cã: MN  x  x1    y2  y1  2 2 y A( ; ) 2 Trên mặt phẳng toạ ®é Oxy , ®Ỉt: O x C(x;0) �1 � � � A� ; � , B� ; � , C  x;0 2 2 � � � �  B( 3� � 1� � CA  � x  � � 0 � � 2� � � 2 � � � � � 1� CB  � x 0 �  � � � � � � � � � 2� 2 � 1� � 3� AB  �  � �   � 2 2 � � � � VËy: f  x  CA  CB A,B,C , có bất đẳng thức: CA CB AB Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng - 21 - – x C0 Khi ®ã ta cã: 3 ; ) 2 Mét số phơng pháp giải toán cực trị hàm số " f ( x) 2, Mặt khác, giả sử AB cắt Ox C0 Ta có: C0A C0B AB Nh vậy, đặt x0  OC0 th× f  x0   Do ®ã: minf ( x) = 2, " x �� Sau híng dÉn häc sinh vµ cho lµm bµi tËp đợc kết nh sau: Lớp 10A1 có 40 học sinh cho lời giải (88,9%),5 học sinh có lêi gi¶i sai (11,2%) Líp 10A2 cã 37 häc sinh có lời giải (82,2%); lời giải sai (17,8%) Lớp 10A4 có 30 học sinh cho lời giải (65,2%), 11 học sinh có lời giải sai (23,9%) học sinh lời giải (10,9%) Nh sau hớng dẫn phơng pháp tìm cực trị phơng pháp hình học đa số học sinh biết vận dụng làm đợc tập Với phơng pháp trên, sai lầm chủ yếu học sinh mắc phải dụng đa toán đại số toán hình học Một số học sinh lúng túng đặt toạ độ tơng ứng để đa toán độ độ dài tam giác Từ phân tích ta cho học sinh áp dụng lµm mét sè bµi tËp vËn dơng nh sau: Bµi 2.3 Tìm giá trị lớn hàm số: f ( x) = x2 - 6x + 34 - x2 - 6x +10, " x Lời giải đúng: Ta cã: f  x   x  3  25   x  3  1 x   52   x  3  12 f  3   Với x 3, dựng ABC vuông A,AC 5,AB x Trên cạnh AC , ta lÊy ®iĨm D cho AD  Theo đính lý Pitago, ta có: Sáng kiến kinh nghiệm môn to¸n Ngun Duy Trêng - 22 - – Mét sè phơng pháp giải toán cực trị hàm số B BC  AB2  AC2  x   52 BD  AB2  AD2  x   12 x A D C Trong BCD , ta lu«n cã BC  BD  DC � x   52  x   12  VËy lµ x �3 th× f  x  f  x  x  ( x) = Suy maxf x Nhận xét: Bài toán dạng hiệu hai biểu thức, ta áp dụng hiệu hai cạnh nhỏ cạnh thứ Bài 2.4 Tìm giá trị lớn nhỏ nhá nhÊt cđa hµm sè f  x;y  4x  3y XÐt trªn miỊn D    x;y :x2  y2  16  8x  6y Bài giải x;y D , ta có x2  y2  16  8x  6y � x2  8x  16  y2  6y   �  x  4   y  3  32 2 VËy   x;y D điểm nằm đờng tròn có tâm I  4;3 , b¸n kÝnh R  Khi ®ã   x;y �D , ta cã: x2  y2 f  x;y  4x  3y   x  y  16  8 2 Nối OI cắt đờng tròn D M 1,M Khi ®ã   x;y �D , ta cã: OM  OM  OI  M 1I    M  x;y �D y M M2 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm môn toán Nguyễn Duy Trờng - 23 - I M1 O x Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số Mmin OM  x;y �D   max OM  OM  OI  M 2I    M  x;y �D � Mmax OM  64 x;y �D   2 x y2 Mặt khác, ta có: OM x2 y2 64 Suy ra: �f  x;y �36 f  x;y  36; Mmin f  x;y  VËy: Mmax x;y D x;y D Bài 2.5: Tìm giá trị lớn hàm số f x,y,z,t  x  2y   z  2t   xz  yt trªn miỊn D    x,y,z,t :x2  y2  z2  t2 Bài giải Ta viết lại hµm f  x,y,z,t nh sau f  x,y,z,t   x  1   y  2  2  z  1   t  2  2  x  2   y  t 2   x,y,z,t D điểm M x;y ,N z;t nằm đờng tròn gốc O bán kính R hệ trục toạ độ Oxy , xét ®iĨm P( 1; 2) VËy P (1; 2) còng n»m đờng tròn D y Khi đó, ta có: x  1   x  z   y  2  2  z  1   t  2 2   y  t  MP  NP  MN x M O víi   x;y;z;t �D M Do MNP nội tiếp đờng tròn 0; Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng - 24 - P(1;2) Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số Mặt khác, tam giác nội tiếp đờng tròn tam giác tam giác tam giác có chu vi lớn MNP nội tiếp đờng tròn có bán kính cạnh có độ dài: a  15 VËy: f  x,y,z,t � 30 30  � maxf  x;y;z;t  ,  x;y;z;t �D 2 Bµi 2.6 Tìm giá trị lớn hàm số: f(x,y,z,t) z2  t2  2xz  2yt  2 XÐt trªn miỊn D   (x,y,z,t): x  y  , z  t  Bài giải (x,y,z,t) D , ta có: v f(x,y,z,t)  (z  x)2  (y  t)2  x2  y2   (z  x)2  (y t)2 N0 (x,y,z,t) D tập hợp v u2 N(z;t) điểm M(x,y) nằm M0 đờng tròn tâm O(0;0), bán kính R = 1; M(x;y) Tập hợp điểm N(z,t) nằm 1 O parabol: v=u2+3 1 Khi ®ã, ta cã: MN  (z  x)2  (t  y)2  f(x,y,z,t) VËy: MN2 = M0N0 = , Víi M0(0;1) ; N0(0;3) Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trêng - 25 - – u Mét sè phơng pháp giải toán cực trị hàm số Do ®ã, ta cã : f(x,y,z,t) �4.(x,y,z,t) �D � � minf(x,y,z,t) 4 � D f(0,1,0,3)  (0,1,0,3) �D � Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng - 26 - Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số Bài 2.7 Tìm giá trị lín nhÊt cđa hµm sè: f(x,y,z) = x (1 – y) +y(1 – z) + z( 1- x) XÐt trªn miÒn D   (x,y,z) ; �x �1; y 1; z Bài giải Dựng ABC với cạnh đó: SABC Trên AB, BC, CA ta lần lợt đặt A đoạn: x AM = x ; BN = z ; CP = y P M y Do �x,y,z nên M trùng A B N cã thĨ trïng B hc C B z P cã thể trùng C A N C Lúc này, ta cã: SAMP  AM.AP.sin ¢ 3 � SAMP  x.(1 y)  x(1 y) 2 Hoàn toàn tơng tự, ta có: SBMN SCNP  z(1 x) y(1 z) MỈt kh¸c, ta cã: SCNP  SBMN  SCNP �SABC 3 3 x 1 y  z 1 x  y 1 z �   x,y,z �D 4 4 � x 1 y  z 1 x  y 1 z �1   x,y,z �D � � f  x,y,z �1   x,y,z �D �  x,y,z  V� y l� � Do ®ã maxf x,y,z �D  f  1,0,0  Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng - 27 - Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số Bài tập tơng tù cho häc sinh vỊ nhµ lµm: ( cã híng dẫn) Bài 2.8 Tìm giá trị lớn nhỏ nhÊt cđa hµm sè : f(x;y)  x2  y2 XÐt trªn miỊn : D   (x;y):x  2y  �0;x  y  �0;2x  y  �0 maxf(x;y)  20;(x;y) f(x;y)  ( §s (x;y) �D �D 16 ) Bµi 2.9 Cho hµm sè f ( y) = y2 - 4y + + y2 - 6y + 10 " y �� Tìm giá trị nhỏ hàm f ( y) Hớng dẫn Hàm số f ( y) đợc viết lại díi d¹ng f ( y) = 2 ( y - 2) + 22 + ( y - 3) +12 Sau hệ trục toạ độ ta chọn ®iÓm A  1;2 ;B 2;3 ;M  1;y , áp dụng bất đẳng thức tam giác AM BM AB Suy giá trị nhỏ f ( y) ( §s minf ( y) = 10 ) � Bµi 2.10 Cho hµm sè f ( x) = x2 + + x2 + 16 " x �� Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x) Hớng dẫn : Trong hệ toạ độ Oxy , xét điểm A 0;3 ;B 0;4 ;M x;0 áp dụng bất đẳng thức tam giác AM BM AB Từ suy giá trị nhá nhÊt ( §s minf ( x) = ) � Bµi 2.11 Cho hµm sè f ( x) = x2 - 6x + 13 + x2 - 12x + 45 " x Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x) Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng - 28 - Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số Hớng dẫn : Ta viết lại hàm f ( x) = 2 ( x - 3) + + ( x - 6) + Trong hệ toạ độ Oxy, xét điểm A 3;4 ;B 6;1 ;M x;2 áp dụng bất đẳng thức tam giác AM BM AB ( Đs minf ( x) = 34 ) � Bµi 2.12 Cho hµm sè f ( x) = 2x2 - 10x + 25 + 2x2 - x + 24 " x �� Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x) Hớng dẫn : Ta viết lại hàm f ( x) = ( x - 5) + x2 + ( 6- x) + x2  Trong hệ toạ độ Oxy , xét điểm A  0;5 ;B 6;0 ;M  x;x ¸p dụng bất đẳng thức tam giác AM BM AB suy giá trị nhỏ ( Đs minf ( x) = ) Bµi 2.13 Cho hµm sè f ( x) = 5x2 - 8x +13 + 5x2 - x + " x Tìm giá trị nhá nhÊt cđa hµm sè f ( x) Híng dẫn : Ta viết lại hàm f ( x) = 2 ( x + 2) +( 3- 2x) + ( x - 2) + ( - 2x) Trong hệ toạ độ Oxy , xét điểm A  2;1 ;B 2;2 ;M  x;2  2x ¸p dụng bất đẳng thức tam giác AM BM AB suy giá trị nhỏ ( Đs minf ( x) = ) Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Ngun Duy Trêng - 29 - – Mét sè ph¬ng pháp giải toán cực trị hàm số Bài 2.14 Cho hµm sè f ( x) = 10x2 - 12x +10 + 10x2 - 20 x + 20 " x Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x) Híng dÉn : Ta viÕt l¹i f ( x) = 2 ( x - 3) +( 3x - 1) + ( x + 2) + ( 3x - 4) Trong hệ toạ độ Oxy , xét điểm A 3;2 ;B 2;1 ;M x;3 x áp dụng bất đẳng thøc tam gi¸c AM  BM �AB suy gi¸ trị nhỏ Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng - 30 - Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số C Phần kết luận khuyến nghị 1.Kết luận đánh giá Sau tổ chức dạy học theo phơng phỏp đề xuất lớp 10A1 n=45 học sinh, líp 10A2 n=45 häc sinh, líp 10A4 n=46 häc sinh (HS) Qua số liệu ta thấy dạy học sinh có nhìn khái quát hoá dạng toán cực trị học sinh hiểu vận dụng làm tập tốt hơn, điển hình đầu điểm cao nhiều Nội dung SKKN đợc tác giả vùi công nghiên cứu trao đổi thông qua trình học cao học, giảng dạy trờng THPT Yên Lãng trao đổi giúp đỡ đồng nghiƯp ban bÌ, sư dơng mét sè kiÕn thøc to¸n học cao cấp nh giải tích lồi, phơng pháp tìm cực trị hàm nhiều biến đợc ứng dụng vào giải toán THPT kiến thức toán học sơ cấp Và mang lại số kết tích cực đáng khích lệ Nội dung sáng kiến kinh nghiệm trình bày cách có hệ thống kiến thức cụ thể chi tiết dạng toán phơng pháp tìm cực trị chơng trình toán THPT Thông qua SKKN học sinh tự tin nhiều học toán từ tạo tính ham học, sáng tạo trình học t toán 2.Khuyến nghị: Cần nâng cao t học toán học sinh thông qua phơng pháp giải có tính hệ thống Cần giúp học sinh có nhìn khái quát thông qua phơng pháp giải, đa nhận xét có tính xác, phù Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng - 31 - Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số hợp từ hình thành nên tính tự giác, tích cực, chủ động học tập học sinh Cần xây dựng hệ thống phơng pháp giải, dạng tập tơng ứng Kiến thức đợc áp dụng cho học sinh giỏi Giảng dạy lớp mũi nhọn trờng SKKN đợc áp dụng rộng rãi để bồi dỡng học sinh giỏi toán, luyện thi ĐH, CĐ Chúng ta biết toán tìm cực trị toán phong phú đa dạng Đòi hỏi vận dụng kiến thức cách linh hoạt nội dung đáng lo ngại ngời học toán làm toán.Trong SKKN đa số công cụ để giải toán tìm cực trị hàm số Mặc dù toán cực trị có nhiều phơng pháp giải nhng khuôn khổ SKKN lực thân nhiều hạn chế nên SKKN cha nêu hết đợc đầy đủ hệ thống phơng pháp để giải chúng Tôi kính mong đồng nghiệp đóng góp ý kiến để SKKN đợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! Mê Linh, ngày 20/05/2010 Ngời thực Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng - 32 - Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số Th.s Nguyễn Duy Trờng Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng - 33 - Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số D Tài liệu tham khảo 1.Đỗ Văn Lu, Phan Huy Khải , Giải tích lồi, Nxb khoa häc vµ kÜ thuËt , Hµ Néi Phan Huy Khải (2002), Các toán cực trị hµm sè, Nxb Hµ Néi Vâ Giang Mai, Võ Khắc Thờng, Lê Quang Tuấn, ứng dụng tính chất hàm số để giải toán: Bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất, Nxb Thanh Hoá Tạp chí toán học tuổi trẻ(NXBGD) Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trêng - 34 - – ... học toán, xây dựng đề tài : Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Nguyễn Duy Trờng -3- Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số Từ giúp ngời học toán làm toán. .. môn toán Nguyễn Duy Trờng -6- Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số B NộI DUNG Chơng 1: Giải toán cực trị hàm số miền giá trị 1.1 Phơng pháp chung Muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm. .. Duy Trờng -5- Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số V Phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn dạy học Một số phơng pháp giải toán cực trị hàm số chơng trình toán học THPT