Một số phương pháp giải bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính

Do đó việc nghiên cứu, tổng hợp lại các phương pháp giảidạng bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính này là vô cùng quan trọng nhằmgiúp người học giải quyết các bài tập dạng này nhanh

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP QUÁ ĐỘ TRONG MẠCH

ĐIỆN TUYẾN TÍNH

2014

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài.

Trong chuyên ngành Công nghệ kỹ thuật Điện – Điện Tử, học phần Cơ sở lýthuyết mạch điện 2 là một trong những học phần cơ sở quan trọng Đây là cơ sở đểnghiên cứu các học phần khó sau này như Máy điện, Công suất v v Các bài tậpcủa học phần này thường dài và khá phức tạp trong công việc tính toán đặc biệt là

về phần quá độ

Hiện nay, ở trường Đại học Hùng Vương các đề tài nghiên cứu về lĩnh vựcnày còn ít và chưa sâu Do đó việc nghiên cứu, tổng hợp lại các phương pháp giảidạng bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính này là vô cùng quan trọng nhằmgiúp người học giải quyết các bài tập dạng này nhanh và chính xác nhất

2 Tính cấp thiết của đề tài.

Trong công cuộc công nghiệp hoá hiện đại hoá đất nước, máy móc chiếmmột vai trò vô cùng quan trọng Máy móc có hoạt động mới có thể sản xuất, đểmáy móc hoạt động liên tục thì ngành công nghiệp Điện và nghiên cứu về các lĩnhvực liên quan đến Điện là một trong những yếu tố quan trọng nhất Chuyên ngànhCông nghiệp kĩ thuật điện – Điện tử là một trong những chuyên ngành căn bản vàquan trọng nhất

Hiện nay trong chương trình đào tạo Đại học ngành Công nghệ kỹ thuật điện– Điện tử của trường Đại học Hùng Vương thì học phần cơ sở lý thuyết mạch điện

là học phần rất quan trọng, nó là học phần cơ sở để nghiên cứu các học phầnchuyên sâu sau này như học phần Máy điện, Điện tử công suất, Cung cấp điệnv v Môn Cơ sở lý thuyết mạch điện không đi sâu vào việc giải thích các hiệntượng vật lý, mà chú ý nhiều đến việc tính toán và ứng dụng kỹ thuật, phục vụ chochuyên ngành và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác liên quan đến kic thuật điện– điện tử

Với số lượng bài tập lớn, khối lượng phải tính toán là rất nhiều, phải thườngxuyên làm việc với những mạch điện phức tạp có số lượng dữ liệu ( nhánh, nút)lớn, làm việc ở các chế độ khác nhau và có các số liệu thay đổi liên tục cho nênviệc giải các bài tập của môn học Lý thuyết mạch mất một thời gian khá lớn, vìvậy việc có một phương pháp tính toán, giải mạch điện phù hợp sẽ giúp cho việctìm ra lời giải của bài toán trở nên dễ dàng, thuận tiện và chính xác hơn rất nhiều.

Trong các dạng bài tập thuộc học phần Cơ sở lý thuyết mạch điện thì bài tậpphần quá độ là một trong những phần bài tập phức tạp, có khối lượng tính toán lớn,việc tính toán dễ gặp nhầm lẫn Quá trình quá độ thường xảy ra trong những mạch

và hệ thống thuộc các lĩnh vực kỹ thuật khác nhau như kỹ thuật điện, vô tuyếnđiện, đo lường, tự động điều khiển Thường cần nghiên cứu và giải các thông sốcủa bài toán quá độ nhằm biết rõ quy luật chung của mạch và hệ thống trong quátrình quá độ, hoặc để tìm hiểu các đáp ứng của mạch và hệ thống đối với nhữngkích thích cụ thể, hoặc xét ảnh hưởng của các điều kiện đầu v v Trong một sốtrường hợp cần xét quá trình quá độ để phòng tránh tác hại, chẳng hạn như dòngđiện, điện áp quá độ có thể có những giá trị vượt xa giá trị xác lập, ảnh hưởng tới

an toàn của thiết bị Tóm lại cần nghiên cứu và giải các thông số của quá trình quá

độ hoặc là để sử dụng nó hoặc là để hạn chế tác hại của nó, vì vậy bài toán quátrình quá độ rất quan trọng về mặt lý thuyết cũng như thực tiễn

Với mục đích nghiên cứu và hệ thống lại các phương pháp giải bài tập quá

độ trong mạch điện tuyến tính giúp cho việc tính toán, tìm được lời giải chính xác

và dễ dàng hơn, mà chúng tôi đã chọn chọn đề tài:

“ Một số phương pháp giải bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính”

3 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài.

3.1 Mục tiêu của đề tài

Đưa ra một số phương pháp giải bải tập quá độ trong mạch điện tuyến tính

3.2.Nhiệm vụ của đề tài.

Nghiên cứu tài các tài liệu, giáo trình liên quan đến các phương pháp giải bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính.

Lý thuyết một số phương pháp giải bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

4.1 Đối tượng nghiên cứu:

Quá trình quá độ trong mạch điện tuyến tính

Các phương pháp giải bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính

4.2 Phạm vi nghiên cứu:

Phần bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính

5 Nội dung nghiên cứu.

6 Phương pháp nghiên cứu.

Trong quá trình nghiên cứu, chúng tôi sử dụng một số phương pháp sau:

5.1 Phương pháp tổng hợp khái quát hoá tài liệu :

Thông qua đọc, dịch tài liệu, sách, báo, tạp chí và các tài liệu khác, chúngtôi dùng phương pháp này để phân tích, tổng hợp lý thuyết liên quan đến đề tài

để thu thập thông tin cần thiết

5.2 Phương pháp thống kê :

Thống kê một số dạng bài tập Cơ sở lý thuyết mạch điện phần bài tập quá độtrong mạch điện tuyến tính thường gặp để từ đó trình bày rõ ràng về các phươngpháp giải

5.3 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia :

Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn và các Thầy cô trong Bộ môn

Cơ Điện, trường Đại học Hùng Vương

CHƯƠNG 1 QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ TRONG MẠCH ĐIỆN TUYẾN TÍNH

1.1 Định nghĩa quá trình quá độ trong mạch điện và đặt ra bài toán quá độ 1.1.1 Định nghĩa.

Khi mạch điện làm việc thường xảy ra các tác động làm biến đổi đột ngộtnguồn kích thích hoặc thông số của mạch như: Đóng cắt thay đổi nguồn điện, đóngcắt thay đổi cấu trúc của mạch điện Nhìn chung khi tác động đóng cắt mạch khôngchuyển ngay từ trạng thái cũ sang trạng thái xác lập mới, mà phải trải qua một giađoạn chung gian gọi là quá độ, các diễn biến của mạch xảy ra trong giai đoạn quá

độ gọi là quá trình quá độ

Mốc thời gian ( t=0 ) là một thời điểm tuỳ ý, thường chọn tại thời điểm tácđộng, thời gian lân cận trước lúc tác động ký hiệu t= -0, thời gian lân cận sau khitác động ký hiệu là t= +0

1.1.2 Nguyên nhân gây ra quá trình quá độ.

Khi có tác động đóng cắt xảy ra do có sự đột biến về thông số và kết cấu củamạch điện, trong mạch có những phần tử tích luỹ năng lượng điện trường ( L, C )

sẽ phân bố lại, quá trình phân bố đó đòi hỏi có thời gian

1.1.3 Ý nghĩa của việc nghiên cứu quá trình quá độ và đặt ra bài toán quá độ.

Quá trình quá độ thường xảy ra trong những mạch và hệ thống thuộc cáclĩnh vực kỹ thuật khác nhau như kỹ thuật điện – điện tử, kỹ thuật vô tuyến điện, đolường, tự động điều khiển.v v Ta cần nghiên cứu để biết rõ trạng thái, quy luậtcủa mạch và hệ thống trong chế độ quá độ, hoặc để tìm đáp ứng của mạch và hệthống đối với kích thích cụ thể, hoặc xét ảnh hưởng của các điều kiện đầu

Trong một số trường hợp cần xét quá trình quá độ để phòng tránh các tác hạixấu Ví dụ như trường hợp dòng điện, điện áp quá độ có thể có những giá trị vượtquá giá trị xác lập, ảnh hưởng tới an toàn của thiết bị điện, lại có những quá trìnhquá độ cần được khống chế sớm kết thúc như quá trình mở máy các động cơ điện,quá trình dao động của các cơ cấu trong các dụng cụ đo lường, quá trình điềukhiển chiều và tốc độ quay motor Vì vậy, việc nghiên cứu các quy luật biếnthiên của đáp ứng quá độ và giải các thông số của bài toán quá độ trong mạch điệntuyến tính nhằm để hạn chế hoặc sử dụng những tác động do quá trình quá độ gâyra

1.2 Các điều kiện đầu và các luật đóng mở.

1.2.1 Các điều kiện đầu.

Ta gọi các điều kiện đầu ( hoặc sơ kiện ) của bài toán quá độ là các đáp ứngdòng điện, điện áp trong mạch cùng các đạo hàm của chúng đến cấp cần thiết ở lâncận đủ nhỏ ngay sau khi tác động đóng mở xảy ra

Điều kiện đầu: iR(+0); iL(+0); iC(+0); uR(+0); uL(+0); uC(+0); iR’(+0); iL’(+0);

iC’(+0)

Người ta chia điều kiện đầu của bài toán quá độ thành 2 loại:

 Điều kiện đầu độc lập: Là các giá trị iL(+0); uC(+0)

 Điều kiện đầu phụ thuộc: Ngoài iL(+0); uC(+0) thì các sơ kiện khác đều

là điều kiện đầu phụ thuộc

1.2.2 Phân loại bài toán quá trình quá độ.

Bài toán chỉnh: Tất cả các phép đóng mở trong bài toán phải đảm bảo sự

biến thiên liên tục của năng lượng trong các kho điện, kho từ

Bài toán không chỉnh: Có chứa phép đóng mở không đảm bảo sự biên thiên

liện tục của năng lượng trong các kho điện, kho từ

Dấu hiệu của bài toán không chỉnh là trong mạch có ít nhất hai phần tử cùngloại và sau khi đóng mở thì hình thành một nút chỉ có các nhánh chứa phần tử điệncảm L hoặc hình thành một mạch vòng chỉ chứa các phần tử điện dung C

Nếu chấp nhận điện áp trên điện cảm là hữu hạn thì tốc độ biến thiên

của dòng điện trong điện cảm diL

liên tục

b Luật đóng mở 2:

Phát biểu: Điện áp trên điện dung uC biến thiên liên tục ( tức không giánđoạn) tại thời điểm đóng mở.

uC(+0) = uC(-0) (1-2)

Chứng minh: Tương tự như trên, từ phương trình trạng thái của điện

dung:

C C

dt hữu hạn, điện áp uC phải liên tục và

riêng ở thời điểm đóng mở cũng phải liên tục

1.2.3.2 Đối với bài toán không chỉnh.

Nếu (1-4) không được thoả mãn, điện tích ở nút sẽ gián đoạn khiếndòng điện ở nút sẽ vô cùng lớn.

1.3 Các xác định các điều kiện đầu.

Viết hệ phương trình vi phân mô tả mạch sau thời điểm đóng mở.

Thay t = 0 và các giá trị đã biết vào hệ phương trình để tìm các giá trị cònlại

Đạo hàm hệ phương trình và thay t = 0 để tìm các giá trị chưa biết và quátrình cứ tiếp tục cho đến khi tìm đủ các sơ kiện

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP QUÁ ĐỘ TRONG

MẠCH ĐIỆN TUYẾN TÍNH.

2.1 Phương pháp tích phân kinh điển

2.1.1 Phân tích đáp ứng quá độ trong mạch điện tuyến tính thành đáp ứng tự

do xếp chồng với đáp ứng xác lập.

2.1.1.1 Phân tích đáp ứng quá độ.

Phương pháp phân tích quá trình quá độ dựa trên sự tích phân phương trình

vi phân cho thỏa mãn sơ kiện gọi là phương pháp tích phân kinh điển

Ta đã biết QTQĐ của mạch điện được mô tả bởi một hệ phương trình viphân viết theo các luật Kirhof Với mạch tuyến tính ta có hệ phương trình vi phântuyến tính không thuần nhất:

trong đó jl,ek là nguồn dòng và nguồn s.đ.đ

Do tính chất tuyến tính nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân không

với nghiệm riêng của hệ phương trình vi phân không thuần nhất

Hệ phương trình vi phân thuần nhất ứng với mạch không có nguồn kíchthích nên nghiệm của nó không phụ thuộc quy luật biến thiên của nguồn kích thích

mà chỉ phụ thuộc riêng tính chất của mạch Do đó nghiệm của hệ phương trìnhthuần nhất được gọi là đáp ứng tự do, ký hiệu là itd

Hệ phương trình ứng với đáp ứng tự do viết:

Kết luận: Đối với mạch điện tuyến tính, đáp ứng quá độ bằng xếp chồng

của đáp ứng tự do với đáp ứng xác lập mới

Ví dụ: Cho sơ đồ mạch điện như hình vẽ Xét quá trình quá độ của mạch sau

của mạch điện là: C.u’

chính là nghiệm xác lập một chiều sau khi đóng khóa K Vì là xác lập một chiềunên u’

 ; uCtd = A.er.C1Vậy ta có nghiệm quá độ uCqd = uCxl + uCtd = E + A.er.C1

2.1.2 Phương trình đặc trưng và dạng của đáp ứng tự do.

2.1.2.1 Phương trình đặc trưng.

a Phép đại số hoá phương trình vi phân.

Từ hệ phương trình vi phân mô tả mạch khi không nguồn

toán

+ pk là các số mũ tắt, được xác định từ phương trình đặc trưng ứng với hệphương trình vi phân đã cho.

Xét nghiệm đơn giản có dạng itd = Aept

hệ số ∆p = 0, suy ra các số mũ p của đáp ứng tự do, nên ∆p = 0 chính là phươngtrình đặc trưng của mạch

b Cách thành lập hệ phương trình đặc trưng.

Cách 1: Đại số hoá phương trình vi phân mô tả mạch.

Các bước:

- Triệt tiêu các nguồn ngoài ( nối tắt nguồn áp, cắt bỏ nguồn dòng)

- Viết hệ phương trình vi phân mô tả mạch sau thời điểm đóng mở

- Lập định thức của các hệ số và cho bằng không

Ví dụ: Cho sơ đồ mạch điện như hình vẽ Lập phương trình đặc trưng của

mạch điện

E

R1

R2L

KC

i3

i2

i1

Ta có hệ phương trình mạch sau khi xảy ra theo các định luật đóng mở theocác luật Kirhof đối với các dòng điện tự do:

Cách 2: Đại số hoá sơ đồ.

Các bước:

- Triệt tiêu các nguồn ngoài

a. Phương trình đặc trưng có nghiệm thực đơn và thường là âm.

b Phương trình đặc trưng có nghiệm phức liên hợp.

Khi p1 = p2 thì nghiệm của đáp ứng tự do có dạng:

Pk < 0

c Phương trình đặc trưng có nghiệm phức liên hợp

2.1.3 Các bước tính QTQĐ bằng phương pháp tích phân kinh điển

Bước 1 : Tìm đáp ứng xác lập mới: Giải mạch điện sau khi tác động đóng

cắt

Bước 2 : Lập và giải phương trình đặc trưng để tìm dạng của đáp ứng tự do Bước 3 : Xếp chồng kết quả

Bước 4 : Tìm các điều kiện đầu: Dựa vào các luật đóng mở và hệ phương

trình vi phân giải mạch tại thời điểm t = +0 ( tuỳ theo số lượng xác định hằng sốtích phân để tìm các điều kiện đầu cho phù hợp )

Bước 5: Tìm các hệ số của đáp ứng tự do: Dựa vào các điều kiện đầu và

biểu thức đáp ứng quá độ tại thời điểm t= +0

2.1.4 Bài tập áp dụng.

Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ :

các tụ điện sau khi đóng khoá K

Tính quá trình xác lập sau khi đóng K:

Ta có sơ đồ đại số hoá của mạch điện đầu bài ra là:

Từ sơ đồ đại số hoá tính tổng trở vào theo p được:

Được nghiệm QTQĐ là: uC1qđ =100 + 100e-2t và uC2qđ= 200 - 100e-2t

Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ

Đóng khóa K khi e(t) E sin(ωt + α)t + α)m (V)

đạt giá tị cực đại âm.

Xác định dòng điện quá độ qua R2 biết :

R2

R1

1/pCa

2 v

e(t)

i

(0) 2(0) 2 (0) 2(0) 2 c(0) 1(0) 1

i - i - i = 0L.i + i R = e

i2

R2

R1C

e(t)

=>i =1,8sin(3,14t - 178,8°) - 0,35e cos(64,55t + 85,97°) (A) 2(t) -50t

Ví dụ 3: Cho mạch điện như hình vẽ:

Vì nguồn E1 là nguồn hằng nên IC = 0

Tại thời điểm trước đóng cắt

1 xl(t) xl

Xác định u3(0), u4(0) theo luật đóng mở không chỉnh

Xét mạch trước khi đóng mở ( khi khóa K chưa mở)

R3

R1

1 3(t) 3

=> i(t) = 0.04 x (1 - e-10t) (A)

2.2 Phương pháp tích phân Duhamel.

Phương pháp tích phân kinh điển có ưu điểm là có thể áp dụng cho phần lớncác bài toán quá độ; song cũng có nhược điểm là dài, khối lượng tính toán nhiều.Đặc biệt khi nguồn kích thích bất ký thì việc tìm đáp ứng xác lập mới là rất khókhắn Để khắc phục các nhược điểm đó ta dùng phương pháp tích phân Duhamel

Nội dung cơ bản của phương pháp tích phân Duhamel là phân tích nguồnkích thích bất kỳ thành tổng của các nguồn 1 chiều cho tác động ở các thời điểmkhác nhau để tìm các đáp ứng thành phần, sau đó xếp chồng các kết

2.2.1 Khái niệm về hàm đơn vị 1(t) và hàm đơn vị có trễ 1 ( t – τ ).

Hàm đơn vị 1(t):

1(t) = 1 khi t ≥ 0 và = 0 khi t ≤ 0

Hàm trễ ( 1 – τ ):

1( t – τ ) = 1 khi t ≥ τ và = 0 khi t ≤ τ

2.2.2 Đáp ứng quá độ đối với hàm kích thích 1(t) và 1( t – τ )

Giả thiết ở đầu vào một mạng 1 cửa không nguồn với các điều kiện đầu độclập bằng không, có tác dụng một điện áp bước nhảy đơn vị u(t) = 1(t) định nghĩanhư sau :

u(t) = 1(t) = 1 khi t ≥ 0 và = 0 khi t < 0Kích thích bước nhảy đơn vị 1(t) là một loại kích thích cơ bản, nó dùng làm

cơ sở cho phương pháp tích phân Duhanel và có phần lý thuyết khác

Ta dễ thấy rằng đáp ưng quá độ của mạch đối với kích thích điện áp bướcnhảy đơn vị 1(t) chính là đáp ứng quá độ khi đóng mạch vào một điện áp khôngđổi có trị số bằng 1v ở thời điểm t = 0

Ví dụ: Dòng điện và điện áp quá độ khi đóng nguồn một chiều U vào mạch r – C

2.2.3 Đáp ứng đối với hàm kích thích bất kỳ e(t).

Đối với một hàm kích thích bất kỳ ta có thể coi gần đúng là một hàm bậc

thang và biểu diễn theo công thức gần đúng sau:

Giả thiết chia trục t thành những khoảng thời gian bằng nhau và ký hiệu: t0=0; t1 =

∆ττ; t2 = 2∆ττ tk =k∆ττ thì u(t) được viết lại như sau :

tích phân biến k∆τ với biến ∆τ→0 sẽ lấy các giá trị liên tục trên trục thời gian Vậyđáp ứng quá độ đối với điện áp bậc thang u(t) đã cho:

Đáp ứng quá độ

t 0

0

U A(t) u '( ).A(t )d

Ví dụ: Tính dòng quá độ khi đóng mạch r – C vào điện áp u(t) = U e0  t

R

  Tốc độ biến thiên của điện áp kich thích là:

t 0