Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Lời Cảm ơn Khóa luận tốt nghiệp kết cố gắng thân em sau thời gian học tập nghiên cứu hướng dẫn thầy cô Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo, đặc biệt cô Dương Thị Luyến người đà tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trình hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Bùi Thị Thảo Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Lêi cam ®oan Em xin cam ®oan: Khãa luËn tèt nghiệp kết trình học tập nghiên cứu em Khóa luận hoàn thành sở kiến thức mà em đà học, số tài liệu tham khảo bảo thầy cô giáo, đặc biệt bảo tận tình cô Dương Thị Luyến Với đề tài Một số toán đa thức , khóa luận trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Bùi Thị Thảo Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán vỊ ®a thøc Khãa ln tèt nghiƯp Mơc lơc Më ®Çu Ch¬ng Mét sè kiÕn thức Vành đa thức ẩn 1.1 X©y dùng vành đa thức ẩn 1.2 Mét sè tÝnh chÊt cña ®a thøc mét Èn 1.2.1 PhÐp chia ®a thøc 1.2.2 NghiƯm cđa ®a thøc 1.3 Đa thức bất khả quy 1.4 §a thøc víi hƯ sè thùc vµ phøc 1.5 Đa thức đồng dư Vành đa thức nhiều ẩn 10 2.1 Xây dựng vành ®a thøc nhiÒu Èn 10 2.2 BËc cđa ®a thøc nhiỊu Èn 11 2.3 §a thøc ®èi xøng 11 Chương Một số toán vỊ ®a thøc 13 Một số toán đa thức ẩn 13 1.1 Bài toán chia hÕt 13 1.1.1 Bài toán chứng minh chia hết 13 1.1.2 T×m giá trị tham số m để f(x, m) chia hết cho g(x,m) 15 1.2 Xác định đa thức phÐp chia cã d 19 1.3 Bài toán nghiệm đa thức 20 1.3.1 Định lý ViÐte vµ mét sè øng dơng 20 1.3.2 NghiƯm cđa ®a thøc hƯ sè ®èi xøng 25 1.3.3 Nghiệm đa thức hệ số nguyên 27 1.3.4 Bài toán đạo hàm ®a thøc vµ nghiƯm béi 31 Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp 1.4 Bài toán đa thức bất kh¶ quy 33 Bài toán đa thức nhiều ẩn 37 2.1 T×m biĨu diƠn đa thức đối xứng qua đa thức đối xứng 37 2.2 Mét sè bµi toán ứng dụng đa thức đối xứng 39 2.2.1 Phân tích đa thức thành nhân tö 39 2.2.2 Chøng minh đẳng thức 42 2.2.3 Chứng minh bất đẳng thức 44 2.2.4 Tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng 46 2.2.5 Giải hệ phương trình đối xứng 48 2.2.6 Giải phương trình thức 51 2.2.7 Trục thức ë mÉu 52 KÕt luËn 54 Tµi liƯu tham khảo Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Mở ĐầU Lý chọn đề tài Đa thức có vị trí quan trọng Toán học, đối tượng nghiên cứu trọng tâm Đại số mà công cụ đắc lực giải tích lý thuyết xấp xØ, lý thuyÕt néi suy, lý thuyÕt tèi u, … Ngoài ra, định lý đặc trưng đa thức sử dụng nhiều Toán Cao cấp, Toán ứng dụng Các toán đa thức xem dạng toán khó THPT, đề cập nhiều kỳ thi HS giái Quèc gia, Olympic Quèc tÕ vµ kú thi Olympic sinh viên trường Đại học, Cao đẳng Vì lý với lòng say mê nghiên cứu khoa học, hướng dẫn tận tình cô Dương Thị Luyến, em đà chọn đề tài Một số toán đa thức với mong muốn ứng dụng kiến thức đà học vào chương trình toán THPT Mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu toán đa thức Đối tượng nghiên cứu Các toán đa thức Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu ; Phân tích; So sánh ; Hệ thống hóa Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa ln tèt nghiƯp Ch¬ng i Mét sè kiÕn thøc c¬ Vnh đa thức ẩn 1.1 Xây dựng vnh đa thức ẩn Giả sử A l vnh giao hoán có đơn vị, kí hiệu l v P l tập hợp dÃy vô hạn (a0, a1, …, an,…) ®ã A, i = 0, 1, 2, …và = hÇu hÕt Hai phần tử (a0, a1, …, an,…) (b0, b1, …, bn,…) P xem l nÕu = bi, i = 0, 1, 2, … Ta cã: ∗ ( a0 , a1 , , an , ) (b0 , b1 , , bn , ) ( a0 b0 , a1 b1 , , an bn , ) ∗ ( a0 , a1 , , an , ).(b0 , b1 , , bn , ) (c0 , c1 , , cn , ) víi ck a0bk a1bk 1 ak b0 ab i i jk j (1) (2) , k 0,1,2, Khi (P,+, ) lập thành vành giao hoán có đơn vị gọi vành đa thức Thật vậy, ta có hai quy tắc (1) (2) cho ta hai phép toán P ã (P, + ) nhóm giao hoán Thật vậy: + Hiển nhiên phép cộng có tính chất giao hoán kết hợp + Phần tử không dÃy (0,0,,0,) + Phần tử đối d·y (a0, a1,…, an,…) lµ d·y (- a0, - a1,…,- an,) Vậy P nhóm cộng giao hoán ã (P, ) nhóm giao hoán Thật vậy, + Vì A giao hoán nên ab i j k i j ba i j k j i nên phép nhân giao hoán + Phép nhân A có tính chất kết hợp phân phối phép cộng nên phép nhân P có tính chất kết hợp phân phối phép cộng + Phần tử đơn vị (1,0,,0,) Do P vành giao hoán có đơn vị Xét ¸nh x¹ f : A P a (a,0, ,0, ) Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Nhận thấy f đơn cấu vành, ta đồng phần tử a A víi d·y (a, 0, …, 0, ) P A l vnh ca P Đặt x = (0, 1, 0, , 0, ) Khi phÇn tư cđa P d·y (a0, a1, …, an,…) víi c¸c A, i = 0, 1, 2, … cã thĨ viÕt díi d¹ng: f(x) = a0 + a1x + …+ anxn NÕu an ≠ (n ≥ 0) gọi bậc đa thức f(x), kí hiệu n = degf(x) Đa thức không đa thức không định nghĩa bậc có bậc Kí hiệu P = A[x] gọi vành đa thức ẩn x, A vành sở, phần tử gọi đa thức ẩn x, thêng kÝ hiƯu lµ f(x), g(x),… 1.2.Mét sè tÝnh chÊt cđa ®a thøc mét Èn 1.2.1 PhÐp chia ®a thøc §Þnh lÝ (§Þnh lý vỊ phÐp chia cã d) Cho A[x] vành ®a thøc, A – mét trêng Víi hai ®a thøc f(x), g(x) A[x] (g(x) 0) tồn hai đa thức q(x) vµ r(x) cho f(x) = g(x).q(x) + r(x) NÕu r(x) ≠ th× deg r(x) < deg g(x), r(x) d cña phÐp chia f(x) cho g(x) NÕu r(x) = ta nãi f(x) chia hÕt cho g(x), kÝ hiƯu f(x) ⋮ g(x) 1.2.2 NghiƯm cđa ®a thøc a) Định nghĩa Cho f(x) A[x] , f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 , c A , f(c) = ancn + an-1cn-1 + … + a1c + a0 A, f(c) lµ giá trị f(x) x= c Nếu f(c) = c nghiệm đa thức f(x) b) §Þnh lÝ §Þnh lÝ BÐzout D phÐp chia f(x) cho (x c) giá trị f(x) x = c Hệ c A lµ nghiƯm cđa f(x) vµ chØ f(x) chia hết cho (x c) Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp c) Lược đồ Hoorne Định lí Cho đa thức f(x) = a0xn + a1xn -1 +…+an (a0 ≠ 0) v g(x) = x a Khi thương f(x) chia cho g(x) mét ®a thøc bËc n – cã d¹ng q(x) = b0xn-1 + b1xn-2 + …+ bn-2x + bn -1 Trong ®ã b0 = a0, bi = + α.bi -1 , i 1, n số dư r = an + α.bn – α a0 a1 … an -1 an b0 b1 bn -1 r Chứng minh p dụng định lí phép chia với dư ta được: f1(x) = f(x) b0xn-1.(x – α) = (a1 + αb0).xn-1 + a1xn-1 + …+ an NghÜa b0 = a0, b1 = a1 + αa0 L¹i cã f2(x) = f1(x) – (a1 + αb1)xn-2.(x – α) = f(x) – b1xn-2.(x – α) = (a2 + b1)xn-2 + a3xn-3 + + an b2 = a2 + b1 Tiếp tục trình ta được: b0 = a0, b1 = a1 + b0, …, bn-1 = an-1 + αbn-2 sè d r = an + bn-1 Định lí chứng minh d) Nghiệm bội tính chất nghiệm bội Định nghĩa Cho f(x) A[x] đa thức bậc n, c nghiệm bội m đa thức f(x) f(x) chia hÕt cho (x – c)m nhng f(x) kh«ng chia hÕt cho (x – c)m+1 TÝnh chÊt f ( ) f '( ) f m1 ( ) lµ nghiƯm béi m cña f(x) m f ( ) Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Định lí Số lµ nghiƯm cđa f(x) vµ chØ f(x) chia hÕt cho (x – α) Gi¶ sư A mét trêng, α A, f(x) A[x] m , m ≥ Khi ®ã, α f ( x)( x )m nghiÖm béi cÊp m cña f(x) m 1 f ( x) ( x ) m = nghiệm đơn f(x) m = th× α – nghiƯm kÐp cđa f(x) Sè nghiƯm cđa ®a thøc lµ tỉng sè nghiƯm cđa ®a thøc ®ã kể bội nghiệm (nếu có) e) Định lí Định lý Viéte * Cho f(x) A[x] đa thức bậc n, f x a0 n n an 1 x an vµ f x a0 x 1 x x n , , , n nghiệm đa thức Sau ta nhân thừa số với nhân hệ số theo dạng đa thức chuẩn tắc so sánh hệ số đa thức P(x) ta nhận được: a1 n a0 a2 n n 2 a0 k ak n k 1 n k n k a0 n an 1 n 1 a0 Bïi ThÞ Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp * Định lý Viéte đảo n Nếu x1,x2,,xn tháa m·n hÖ Tk xi xi xi ( 1) k i 1 k an k ; k 1,2, , n an th× x1,x2,,xn nghiệm đa thức bậc n f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 (an ≠ 0) f) NghiƯm cđa ®a thøc hƯ sè đối xứng Định nghĩa Một đa thức P(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an, gäi đa thức hệ số đối xứng, hệ số dạng chuẩn tắc cách hệ số đầu hệ số cuối có giá trị nhau, nghĩa là: a0 = an, a1 = an-1, , ak = an-k , Định lí Đa thức P(x) đa thức hệ số đối xứng bËc n vµ chØ víi x ≠ 1 P x x n P x Định lí Đa thức P(x) ®a thøc hƯ sè ®èi xøng bËc n vµ điều kiện sau thoả mÃn: Một số nghiệm đa thức P(x) số nghiệm Định lí Nếu P(x) đa thức hệ số đối xứng bậc 2m P(x) = xm.Q(y), yx với x 0, Q(y) đa thức bậc m x g) Nghiệm đa thức hệ số nguyên Định lí Nếu phân số tối giản p ( p, q) 1 nghiƯm cđa ®a thøc víi hƯ sè q nguyªn f(x) = a0 + a1x + …+ anxn th× p íc cđa a0 q ước an Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Từ bảng ta suy a 35, b 16 ®ã: f x1 , x2 614 3512 16 22 XÐt tam thøc bËc hai ®èi víi ta suy f x1 , x2 16 212 12 212 16 312 16 Thay trë l¹i theo biÕn x1 , x2 ta cã f x1 , x2 x12 x1 x2 x22 x12 10 x1 x2 x22 XÐt nh©n tư x12 x1 x2 x22 xem nh tam thøc bËc hai ®èi víi Èn x1 cã biƯt sè x22 19 x22 kh«ng phân tích [ x1 , x2 ] Nh©n tư x12 10 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 Do ®ã f x1 , x2 x1 x2 x1 x2 x12 x1 x2 x22 VÝ dô Phân tích đa thức sau thành nhân tử f x, y, z x y z – 3xyz Lêi gi¶i BiĨu diƠn f(x, y, z) qua đối xứng , , ta f x, y, z 13 31 3 3 13 31 1 (12 3 ) Thay trë l¹i ta cã: f x, y, z x y z x y z xy yz zx x y z x y z xy yz zx VÝ dơ Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử P x, y, z, t x y y z z t t x x t y t Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 3 41 3 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiƯp Lêi gi¶i P x, y, z , t đa thức đối xứng đẳng cấp bậc có hạng tử cao x3, tương ứng với số mũ 3,0,0,0 Dùng phương pháp hệ tử bất định với đa thức đối xứng b¶n 1 , , , HƯ thèng sè mị M 3,0,0,0 ; 2,1,0,0 ; 1,1,1,0 §Ỉt h(1 , , , ) a13 b1 c Ta có bảng cân hệ P x, y, z, t h(1 , , , ) X Y z T -1 -1 1 P=h δ1 δ2 -3 δ3 δ4 0 = 2c c = (1) 3 = 3a + b (2) 0 0 = 4a + b (3) Tõ (1),(2) vµ (3) a = 3; b = -6 ; c = h( 1 , , , ) = 1 - 12 P (x, y, z, t) = (x + y + z + t)3 – 6(xy + xz + xt + yz + yt + zt)( x + y + z + t) = (x + y + z + t) (x2 + y2 + z2 + t2) d) Bài tập tương tự Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) P = x4 + y4 + z4 – 2x2y2 – 2y2z2 – 2z2x2 b) P = (x + y)3 + (y + z)3 + (z + x)3 – 3(x + y)(y + z)(z + x) c) P = (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 d) P = (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 2.2.2 Chứng minh đẳng thức a) Cơ sở lí ln BiĨu diƠn ®a thøc ®èi xøng theo ®a thøc đối xứng Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 42 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp b) Phương pháp giải - Bước Đưa đa thức đối xứng đa thức đối xứng - Bước Chứng minh với đẳng thức c) Một số ví dô VÝ dô Cho x + y = ; x3 + y3 = a ; x5 + y5 = b Chøng minh r»ng 5a(a + 1) = 9b + Lêi gi¶i 3 Ta cã a x y (x y) 3xy(x y) 1 312 2 1 a Mµ b = x5 + y5 = x5 + y5 + x2y3 + x3y2 - x2y3 - x3y2 = x2 (x3 + y3) + y2 (x3 + y3) - x2y2( x +y ) = (x2 + y2) (x3 + y3) - x2y2( x +y ) = ( 1 - )( 1 - 1 ) - 1 22 2 = (1 - )( - ) - 2 = + 2 - 5a 5a 9b 5a 5a 9b 5a(a 1) Ta có điều phải chứng minh Ví dụ Chứng minh r»ng nÕu x + y + z = th×: a)2(x y z ) 5xyz(x y z ) b) x3 y3 z3 x y z x5 y5 z5 c)(x y z )2 2(x y z ) x7 y z x y z x5 y z5 x3 y z3 x y z d) Lời giải áp dụng toán tổng lũy thừa ta cã: S1 = 1 = , S2 = 1 S1- = ; S3 = 1 S2- S1+ = ; Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 43 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp S4 = 1 S3 - S2 + S1 = - S2 = 2 ; S5 = 1 S4 - S3 + S2 = - - = - ; S6 = 1 S5 - S4 + S3 = -2 2 + 3 ; S7 = 1 S6 - S5 + S4 = 22 + 22 = 22 Khi ®ã: S 22 x5 y5 z S 52 3 x2 y2 z 2 3 3 3 xyz 5 2 S S 3 22 52 3 S b)VT 2 3 VP 3 5 c)VT S 22 422 2.222 2S VP a) 52 3 22 S S x y z S 722 3 d) 22 3 ( 2 3 )(2 ) 7 5 2 7 3 2 S S x y z 22 3 4 Ta có điều phải chứng minh d) Bài tập tương tự Chøng minh r»ng nÕu x + y + z = th× x4 + y4 + z4 = 2(xy + yz + zx)2 Chøng minh r»ng nÕu xy + yz + zx = th× (x + y)2(y + z)2(z + x)2 + 24x2y2z2 = z4(x + y)2 + x4(y + z)2 + y4(z + x)2 2.2.3 Chứng minh bất đẳng thức a) Cơ sở lí luận - Víi x, y tháa m·n 1 = x + y, = xy th× 12 – 12 (*) Nếu thêm điều kiện x , y th× 1 ; - Víi x, y, z ta lu«n cã (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 (x2 + y2 + z2) – 2(xy + yz + zx) 2 ( 1 – ) – 1 (**) Dựa vào bất đẳng thức ta chứng minh bất đẳng thức khác Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 44 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp b) Phương pháp giải Thay f(x, y, z) biểu thức đa thức đối xứng sử dụng bất đẳng thức (*) (**) c) Mét sè vÝ dô VÝ dô Chøng minh r»ng víi a, b, c th× (ab + bc + ca)2 3abc(a + b + c) Lời giải Đặt = x + y + z, = xy + yz + zx, = xyz Ta cã 1 (1) Đặt x = ab ; y = bc ; z = ca Thay vµo (1) ta ®ỵc (ab + bc + ca)2 3(ab2c + abc2 +a2bc)= 3abc(a + b + c) Ta có điều phải chøng minh VÝ dô Chøng minh r»ng a, b, c , a + b c th× n c2 c4 c2 2n 2n a b ; a b ; ; a b 2n 1 ; n 2 Lêi gi¶i Ta cã a + b = 1 , ab = vµ a2 + b2 = 1 - (*) 12 L¹i cã = - 2 1 1 Thay vµo (*) a b 12 (12 ) 12 12 2 2 1 a b (a b)2 c 2 11 áp dụng kết a b (a ) (b ) (a b ) c 2 4 2 2 c4 a b 4 Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 45 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thøc Khãa ln tèt nghiƯp 11 T¬ng tù a b (a ) (b ) (a b )2 c 28 8 2 c8 a b 128 8 2n 2n Chøng minh b»ng quy n¹p a b c2 22 n n 1 (1) Gi¶ sư bất đẳng thức đến n, tức có (1), ta chøng minh ®óng víi n + ThËt vËy, n n c2 c2 c2 a b (a )2 (b )2 (a b )2 2n 1 2n 1 2n 1 1 2 (2 ) Ta có điều phải chứng minh n n 1 n 1 n n 1 n 1 n d) Bài tập tương tự Chứng minh a, b, c cạnh tam giác thì: 1) 2( ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 2) (a2 + b2 + c2)(a + b + c) > 2(a3 + b3 + c3) 2.2.4 Tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng a) Phương pháp giải Đặt x y , xy Bước Biểu diễn phương trình ban đầu theo , rút gọn theo 1 Bíc T×m x, y Ta có x, y nghiệm phương trình t2 - 1t + = Víi ®iỊu kiƯn ( = 1 42 ) tõ ®ã suy ®iỊu kiƯn cđa 1 Bíc T×m x, y theo 1 , b) Mét sè vÝ dơ VÝ dơ T×m tất nghim ca phng trình x xy y x y Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 46 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Lêi giải Đặt 1 x y, x y x y 3xy x y 12 3 1 12 1 3 () Mặt khác, x, y ta có ( x y) x y xy 12 4 12 4 12 (∗∗) Tõ (∗) (∗∗): 12 1 12 12 41 1 Do x, y nªn 1 x y , xy cã trêng hỵp: + 1 x y x 1, y + 1 x 0, y + 1 x 1, y + 1 x 2, y + 1 x y Phng trình đà cho có nghim nguyên Ví dụ Tìm số nguyên dương thỏa m·n x3 + y3 + = 3xy (1) Lời giải Đặt x y , xy (1) ( x + y)3 – 3xy(x + y) + = 3xy Bïi ThÞ Thảo - K35C SP Toán 47 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tèt nghiÖp 1 312 32 (1 1)(1 1 32 ) V× x, y > nªn 1 > 1 +1 ≠ 1 1 3 2 (1 2 1) Vậy ta phải tìm số nguyên dương x, y thỏa mÃn x y 1 xy (1 1) Xét phương trình z 1z (12 1 1) 0; cã (1 2)2 3 NÕu 1 ≠ th× < Khi phương trình vô nghiệm Nếu = th× = x y 1 Thư l¹i 13 + 13 + = 3.1.1 (Đúng) Vậy phương trình có nghiệm x = y = c) Bài tập tương tự Tìm số nguyên thỏa mÃn 1) x + y = x2 – xy + y2 2) x2 y2 = x2 xy + y2 2.2.5 Giải hệ phương trình đối xứng a) Cơ sở lí luận Biểu diễn đa thức đối xứng theo đa thức đối xứng b) Phương pháp giải Hệ có phương trình mà vế trái đa thức đối xứng ẩn x, y, z Biểu diễn đa thức đa thức đối xứng Khi hệ có ẩn míi 1 , , T×m giá trị , , Và x, y, z ba nghiệm phương trình bậc ba theo định lý Viéte đảo Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 48 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tèt nghiƯp c) Mét sè vÝ dơ VÝ dơ x y Gi¶i hƯ phương trình 3 x y Lời giải Đặt x y, xy 1 2 1 (1 3 ) 1 12 1 2 thay vào (2) 12 13 121 16 1 1 1 1 4 x y x 0, y + 1 2, xy x 2, y x y 4 + 1 4, (vô nghiệm) xy Vậy hệ phương trình đà cho có nghiệm (2 , 0) (0 , 2) Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x y z 2 3 x y z x y z xyz Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 49 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Lời giải Biểu diễn đa thức đa thức đối xứng bản, ta hệ: x y z Đặt xy yz zx xyz Khi đó, hệ phương trình đà cho trở thành 1 2 1 31 3 Suy 1 0, 3, Khi ®ã, ta cã x, y,z nghiệm phương trình: t 3t t 1 t t t 1 t t 1 t VËy hệ có nghiệm 1, 1,2 ; 1, 2, 1 ; 2, 1, 1 Ví dụ Giải hệ phương trình đối xứng x y z a 2 2 x y z b x3 y3 z a3 Lêi giải Biểu diễn đa thức đa thức đối xứng bản, ta hệ a 2 1 2 b 3 1 31 3 a Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 1 a a b2 a(a b ) 50 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Theo định lí Viéte x, y, z nghiệm phương trình: a b2 a (a b ) 0 t 2t t 2 t a 2 t a b a b2 (t a ) t 0 t a 2 t ( a b ) 2 t ( a b ) 1 VËy hÖ cã nghiÖm a ; ( a b ) ; ( a b ) hoán vị 2 d) Bài tập tương tự Giải hệ phương trình đối xứng: x y 1) 3 x y xy 12 x y 33 2) x y 3 x y z 3 2) x y z 27 x y z 113 x y z 3 3) x y z 25 x y z 27 2.2.6 Giải phương trình thức a) Cơ sở lí luận Biểu diễn đa thức đối xứng theo đa thức đối xứng b) Phương pháp giải Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng c) Ví dụ Giải phương trình x x Lời giải Đặt x u , x v; u , v Ta cã hÖ u v 4 u v 1 1 2 (1 2 ) 2 Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 51 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán ®a thøc Khãa luËn tèt nghiÖp u u hc - Víi v v + NÕu u = 1, v = phương trình có nghiệm x = + Nếu u = 0, v = phương trình cã nghiƯm x = - Víi V« nghiƯm VËy phương trình có nghiệm x1 = 2; x2 = d) Bài tập tương tự Giải phương trình x 35 x x 35 x 30 2.2.7 Trục thức mẫu a) Cơ sở lí luận Biểu diễn đa thức đối xứng theo đa thức đối xứng b) Phương pháp giải - Bước Đặt tổng thức có mẫu - Bước Tìm biểu thức chứa nhân tử Từ rút vào phân thøc - Bíc Thay 1 bëi c¸c Èn ban đầu c) Các ví dụ Ví dụ Trục thøc ë mÉu A 25 Lời giải Đặt a 25 , b 6 , c Khi ®ã A 1 Ta cã a b3 c3 a b c a b c ab bc ac 3abc Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 52 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp áp dông: a b3 c3 13 31 3 (2 25)3 (6 5)3 83 368 2 2 3 a b c ab bc ac 1 2 20 25 68 124 3abc 1440 Mặt khác: a b c a b c 3abc a b c ab bc ac 25 17 31 abc 268 268 268 VÝ dô Trục thức mẫu T ; a, b, c * a b c Lời giải Đặt x a , y b, z c Khi ®ã T 1 Ta cã S2 = x2 + y2 + z2 = 12 22 a b c S4 = x4 + y4 + z4 = 14 412 22 413 = a2 + b2 + c2 Tỉng hỵp tỉng S2, S4 cho 1 đặt thành thừa số, ta có S 22 2S (1 222 )2 2(14 412 2 2 22 13 ) 14 412 813 1 (41 13 83 ) Khi ®ã T 1 41 13 8 S 22 S 4( a b c )( ab bc ca ) ( a b c )3 abc ( a b c) 2(a b c ) d) Bài tập tương tự Trục thức mẫu A n Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán ; a, b, c * n n a b c 53 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp kết luận Đề tài đà trình bày số vấn đề đa thức, toán đa thức Đề tài thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm giúp bạn đọc nghiên cứu nhiều hơn, sâu đa thức toán ®a thøc Dï ®· hÕt søc cè g¾ng song bước đầu bắt tay vào nghiên cứu, trình độ kinh nghiệm thân hạn chế, thời gian có hạn nên nhiều vấn đề đa thức chưa đề cập tới Bởi lần làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Sinh Viên Bùi Thị Thảo Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 54 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu §iĨn , §a thøc vµ øng dơng , NXB GD, 2003 [2] Bùi Huy Hiền, Bài tập đại số øng dơng , NXB GD , 2000 [3] Ng« Thóc Lanh, Đại số số học tập 1, NXB GD , 1987 [4] Ngô Thúc Lanh, Đại số số học tập 3, NXB GD , 1987 [5] Nguyễn Văn Mậu , Chuyên đề chọn lọc đa thức áp dụng , NXB GD , 2008 [6] Lê Hoành Phò, Bài giảng cho học sinh chuyên toán vấn ®Ò vÒ ®a thøc , NXB GD , 2008 [7] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB GD , 1998 [8] Nguyễn Tiến Quang, Bài tập đại số số học, tập 3, NXB GD, 1987 [9] Trần Phương - Lê Hồng Đức, Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học môn toán đại số sơ cấp, NXB GD, 2002 [10] Các tạp chí Toán học Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 55 GVHD: Th.s Dương Thị LuyÕn ... 1.3.4 Bài toán đạo hàm đa thức nghiệm bội 31 Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp 1.4 Bài toán đa thức bÊt kh¶ quy 33 Bài toán. .. tích đa thức bất khả quy Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 36 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Bài toán đa thức nhiều ẩn 2.1 Tìm biểu diễn đa thức đối xứng qua đa thức. .. diễn đa thức đối xứng f ( x1 , x2 , , xn ) qua c¸c đa thc i xứng c bn Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 12 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Chương ii Một số toán đa thức