Luận văn sư phạm Một số kết quả về đa giác

Khóa luận tốt nghiệp   LỜI CAM ĐOAN                  Tơi xin cam đoan đề tài “ MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐA GIÁC “ là  kết  quả  mà  tơi  đã  trực tiếp tìm  tịi  nghiên  cứu.  Trong  q  trình  nghiên  cứu tơi đã sử dụng lài liệu của một số tác giả.  Tuy nhiên, đó chỉ là cơ sở  để tơi rút ra những vấn đề cần tìm hiểu ở đề tài của mình. Đây là kết quả  của cá nhân tơi, hồn tồn khơng trùng với kết quả của các tác giả khác.            Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm.    Em xin chân thành cảm ơn!     Hoàng Thị Liên   Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Hồng Thị Liên Lớp K35 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp   LỜI CẢM ƠN               Em  xin  bày  tỏ  lịng  biết  ơn  sâu sắc tới  Thầy  giáo  Bùi  Văn  Bình,  người đã hướng dẫn  em tận tình, chu đáo trong suốt quá trình em thực  hiện đề tài này.              Em  cũng  xin  chân  thành  cảm  ơn  các  thầy  cơ  giáo  trong  tổ  Hình  Học,  Ban  Chủ  Nhiệm  Khoa  Tốn,  Ban  Quản  lí  Trường  Đại  Học  Sư  Phạm  Hà  Nội  2 đã tạo  điều  kiện thuận  lợi cho  em trong  suốt  q  trình   học tập tại trường bốn năm vừa qua và giúp em thực hiên khóa luận này.      Đề tài của em chủ yếu nghiên cứu tài liệu, tổng kết và thu thập tài  liệu cũng đã có những cách giải sáng tạo của cá nhân nhưng cịn hạn chế   Với thời gian và năng lực cịn hạn chế nhưng em hy vọng đề  tài sẽ giúp  ích nho nhỏ cho người đọc và mong mọi người đóng góp ý kiến để khóa  luận được hồn thiện hơn. Và em hy  vọng qua đề tài này những người  u Tốn sẽ có thái độ đúng đắn và sâu sắc hơn.    Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên     Hoàng Thị Liên   Hoàng Thị Liên Lớp K35 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp   MỤC LỤC   MỞ ĐẦU 1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI   1  2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU   2  3. NỘI DUNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.   2  4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.   2  5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.   2  6. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC   2 I LÝ THUYẾT 1. Các định nghĩa.   3 2. Miền trong, điểm trong của đa giác.   4 3.Các tính chất của đa giác   4 4. Đường chéo của đa giác   6 5. Cách gọi tên đa giác.   6 6.Đường tròn ngoại tiếp   7 II MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TỐN TRONG ĐA GIÁC III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TỐN TRONG ĐA GIÁC IV MỘT SỐ BÀI TOÁN 1. Tính số cạnh của một đa giác.   9 2. Tính số đo góc trong đa giác.   13 3. Bài Tốn liên quan đến đường chéo của một đa giác.  . 19 4. Diện tích đa giác.   24 4.1 Hàm diện tích:   24 4.2 Diện tích đa giác đơn.   24 4.3 Diện tích của các hình phẳng.  . 24 Hồng Thị Liên   Lớp K35 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp   a. Hình đơn giản:   24 b. Hình khả diện.   24 c. Các tính chất của diện tích đa giác.   24 4.4 Các cơng thức tính diện tích   25 5. Các khoảng cách trong đa giác  . 31 6.Ứng dụng của định lí Ptoleme vào giải bài tốn đa giác   35 6.1 Nội dung và lí thuyết.   35 6.2 Áp dụng   36 6.2.1 Bất đẳng thức Ptoleme và những kết quả kinh điển   36 IV KẾT LUẬN 47 V TÀI LIỆU THAM KHẢO 48         Hoàng Thị Liên   Lớp K35 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp   MỞ ĐẦU 1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI                            Trong các mơn học đối với học sinh thì mơn Tốn có một ý nghĩa  và  vị  trí  đặc  biệt  quan  trọng.Tốn  học  với  tư  cách  là  một  khoa  học  nghiên cứu một số  mặt của thế giới hiện thực,nó có một hệ thống khái  niệm,  quy  luật  và  có  phương  pháp  riêng.  Hệ  thống  này  ln  phát  triển  trong  quá  trình  nhận  thức  thế  giới  và  đưa  ra  kết  quả  là  những  tri  thức  toán học. Những tri thức toán học, những kĩ năng toán học cùng phương  pháp  tốn  học  đã  trở  thành  cơng  cụ  tốn  học  giúp  học  sinh  ứng  dụng  khoa  học  vào  thực  tiễn,  đồng  thời  phát  triển  tư  duy  và  nhân  cách  học  sinh   Đa  giác  là  một  chương  quan  trọng  trong  chương  trình  hình  học  trung  học cơ sở nói chung và hình học 8 nói riêng.Nó cung cấp cho học sinh  cách nhìn tổng quan về hình học. Chính vì vậy em đã chọn đề tài nghiên  cứu là:   “Một số kết đa giác”           Đề tài này nhằm mục đích sưu tầm và  khái qt hóa các dạng tốn  liên quan đến đa giác và diện tích đa giác để giúp cho người đọc có cái  nhìn hệ thống về lĩnh vực này ; giúp các em học sinh và phụ huynh có tài  liệu hữu ích để tham khao, nghiên cứu cũng như phục vụ nhu cầu giảng  dạy của những sinh viên sư phạm chúng em sau này.                                           Hồng Thị Liên   Lớp K35 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp   MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU            Đưa ra một số kết quả mang tính chất hệ thống là tài liệu giúp học  sinh, phụ huynh có thể tra cứu, tham khảo nhằm góp phần nâng cao việc  giảng dạy và học.   NỘI DUNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3.1  Xác định các căn cứ xây dựng hệ thống và cấu trúc hệ thống các kết  quả về đa giác.  3.2  Xây  dựng  và  phân  loại  các  hệ  thống  bài  tập  và  phương  pháp  giải  nhằm rèn luyện cho học sinh các kĩ năng trong việc giải các bài toán đa  giác.  ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 4.1 Đối tượng nghiên cứu :các kết quả về đa giác, các bài toán áp dụng   với cách giải cụ thể.  4.2 Phạm vi nghiên cứu : các kết quả về bài tốn đa giác.  5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 5.1 Nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu các sách,báo, tạp chí,các cơng trình  nghiên cứu,một số đề thi học  sinh giỏi các quốc gia … có liên quan đến  đề tài.  5.2 Thực hành giải tốn : Giải các bài tốn liên quan tới các kết quả bài  tốn  đa giác đưa ra.  GIẢ THUYẾT KHOA HỌC          Nếu biết xây dựng hệ thống các kết quả, các bài tập áp dụng cụ thể  rõ ràng  thì đề tài sẽ là một tài liệu hữu ích, thích hợp,chủ động nâng cao  chất  lượng  học  tập  của  học  sinh  và  giảng  dạy  của  thầy  cô,tạo  tiềm  lực  phát triển năng lực học tốn cho các em.      Hồng Thị Liên   Lớp K35 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp   I LÝ THUYẾT Các định nghĩa a) Đường gấp khúc  :  Đường  gấp  khúc  n   cạnh  là  hình  hợp  thành  bởi  đoạn  thẳng  A1 A2 , A2 A3 , , An An1 ,   trong  đó  hai  đoạn  thẳng  liên  tiếp  Ai 1 Ai  và  Ai Ai 1  khơng cùng nằm trên một đường thẳng ( i  2,3, , n  ).       Đường gấp khúc như trên được kí hiệu là  A1A An1        Các điểm  Ai  gọi là các đỉnh của đường gấp khúc (có n+1 đỉnh), cịn  các  đoạn  thẳng  Ai Ai1   gọi  là  các  cạnh  của  đường  gấp  khúc.  Từ  định  nghĩa trên ta suy ra ba đỉnh liên tiếp  Ai 1 , Ai  và  Ai 1  khơng thẳng hàng,  và hai cạnh liên tiếp  Ai 1 Ai  và  Ai Ai 1  chỉ có điểm chung duy nhất là đỉnh  Ai   b) Đa giác  :  Đa  giác  n   cạnh  là  đường  gấp  khúc  n   cạnh  ( n    )  A1 A2 An1   sao cho đỉnh đầu  A1  và đỉnh cuối An1  trùng nhau, cạnh đầu  A1 A2  và cạnh cuối  An An1  (cũng coi là hai cạnh liên tiếp)không nằm trên  một đường thẳng.       Đa giác như thế kí hiệu là  A1 A2 An1  Đa giác n  cạnh cịn gọi là  n    giác.      Các điểm  Ai   gọi là các đỉnh của đa giác, các đoạn thẳng  Ai Ai1  gọi là  các cạnh của đa giác. Góc  Ai 1 Ai Ai 1  gọi là góc của đa giác ở đỉnh  Ai   c) Đa giác đơn : Đa giác đơn là đa giác mà bất kỳ hai cạnh khơng liên  tiếp nào cũng khơng có điểm chung.  d) Đa giác lồi :  Đa giác  lồi là đa giác  mà  nó  nằm  về  một  phía  đối  với  đường thẳng chứa bất kì một cạnh nào của đa giác đó.  e) Đa giác : là đa giác có tất cả các cạnh của chúng bằng nhau và tất  cả các góc của chúng bằng nhau.  Hồng Thị Liên   Lớp K35 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp   Miền trong, điểm đa giác a) Định lí Jordan: Cho H là đa giác nằm trong mặt phẳng P. Khi đó tập  hợp P\H là hợp của hai tập hợp  H  và  H  , có các tính chất sau đây:      i) Bất kì hai điểm nào cùng thuộc vào một trong hai tập hợp đó đều có  thể nối với nhau bằng một đường gấp khúc khơng có điểm chung với H.       ii) Một đường gấp khúc bất kì nối hai điểm thuộc hai tập hợp  H  và  H   thì ln có điểm chung với H.       iii)  Tập  H   không  chứa  đường  thẳng  nào,  tập  H    có  chứa  nhưng  đường thẳng.   b) Định nghĩa :        Tập  H  nói trong định lí Jordan gọi là miền trong của đa giác H.        Tập  H   gọi là miền ngồi của đa giác H.        Mỗi điểm của  H  gọi là điểm trong của đa giác H. Mỗi điểm thuộc  H   gọi là điểm ngoài của đa giác H.        Tập  H   H  =  P\ H    gọi là  miền của đa  giác H,  hoặc  đơn  giản  là  miền đa giác H. Miền đa giác H được kí hiệu là   H    3.Các tính chất đa giác a) Trong mặt phẳng cho điểm A và một số    > 0, tập hợp tất cả những  điểm cách A một khoảng <   được gọi là lân cận của điểm A. Nói cách  khác lân cận    của điểm A là tập hợp những điểm nằm trong đường trịn  tâm A bán kính    Lân cận đó đươc kí hiệu là   A,     i) Điều kiện cần đủ để điểm A điểm đa giác H có lân cận  A chứa H , nói khác có  > cho  A,    H   Hoàng Thị Liên   Lớp K35 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp        Thật vậy, nếu A là điểm trong của H, ta có thể chọn    là số dương,  sao cho  