Đa thức và ứng dụng của đa thức vào toán sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC VÀO TOÁN SƠ CẤP TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG

ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC

VÀO TOÁN SƠ CẤP

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học GVC Vương Thông

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu, tìm tòi cùng với sự giúp đỡ, chỉ bảo tận

tình của thầy Vương Thông, khóa luận Đa thức và ứng dụng của đa thức

trong toán sơ cấp của em đã được hoàn thành Em xin chân thành cảm ơn và bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy Em cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy

cô trong tổ Đại số, khoa Toán và thư viện trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

đã tạo điều kiện giúp em hoàn thành khóa luận này

Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu và năng lực bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Em rất mong được sự góp ý đánh giá của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hương

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đây là kết quả của quá trình học tập và nghiên cứu của

em, cùng với sự chỉ bảo tận tình của thầy Vương Thông Với đề tài Đa thức

và ứng dụng của đa thức vào toán sơ cấp, khóa luận này không có sự trùng lặp với các khóa luận khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hương

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu……… 1

Chương 1 Những kiến thức liên quan……… 2

1.Vành đa thức một ẩn……… 2

1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn……… 2

1.2 Phép chia có dư……… 3

1.3 Nghiệm của đa thức……… 5

1.4 Đa thức bất khả quy……… 7

2 Vành đa thức nhiều ẩn……… 8

2.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn……… 8

2.2 Đa thức đối xứng……… 9

Chương 2 Ứng dụng của đa thức một ẩn, nhiều ẩn……… 10

1 Ứng dụng của đa thức một ẩn……… 10

1.1 Ứng dụng 1: Ứng dụng định lí Viéte……… 10

1.2 Ứng dụng 2: Ứng dụng chia hết của đa thức……… 22

1.3 Ứng dụng 3: Ứng dụng hai đa thức bằng nhau……… 26

1.4 Ứng dụng 4: Ứng dụng đa thức bất khả quy để nhận biết đa thức không phân tích được……… 35

2 Ứng dụng của đa thức nhiều ẩn……… 37

2.1 Ứng dụng 1: Xác định phương trình bậc 2……… 37

2.2 Ứng dụng 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng…… 39

2.3 Ứng dụng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử……… 42

2.4 Ứng dụng 4: Chứng minh đẳng thức……… 44

2.5 Ứng dụng 5: Chứng minh bất đẳng thức……… 47

2.6 Ứng dụng 6: Trục căn thức ở mẫu……… 49 2.7 Ứng dụng 7: Giải hệ phương trình mà vế trái là các đa thức đối xứng, vế phải là hằng số……… 51 Kết luận……… 54 Tài liệu tham khảo……… 55

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan trọng Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế

Đại số là một bộ phận lớn trong toán học Khái niệm cơ bản và quan trọng trong đại số, trong toán học nói chung là khái niệm về đa thức Đa thức không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Đại số mà còn là công cụ đắc lực của Giải tích, trong lí thuyết xấp xỉ, lí thuyết biểu diễn, tối ưu,… Ngoài ra, lí thuyết đa thức còn được sử dụng nhiều trong toán cao cấp, toán ứng dụng

Tuy nhiên, vấn đề đa thức mới chỉ được trình bày sơ lược, chưa phần loại và hệ thống một cách chi tiết Tài liệu về đa thức còn ít, chưa được hệ thống hóa theo dạng toán cũng như phương pháp giải nên việc nghiên cứu về

đa thức còn gặp nhiều khó khăn

Với lí do trên, cùng với lòng say mê nghiên cứu và được sự chỉ bảo tận

tình của thầy Vương Thông, em đã chọn đề tài Đa thức và ứng dụng của đa

thức vào toán sơ cấp để làm khóa luận tốt nghiệp nhằm phân loại và hệ

thống một cách chi tiết các kiến thức về đa thức và một số bài toán về đa thức Bên cạnh đó cũng thấy được vai trò của đa thức trong môn toán ở nhà trường phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh và hệ thống hóa

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1.2 Phép chia với dư

1.3 Nghiệm của đa thức

1.3.1 Định nghĩa

Cho K là một trường nào đó, A là trường con của K Một phần tử cÎK

gọi là nghiêm của đa thức f x( )ÎA x[ ] nếu và chỉ nếu f c( )= 0

Ta cũng có thể nói c là nghiệm của phương trình đại số f x( )= 0 trong K Nếu deg f x( )=n thì phương trình f x( )= 0 gọi là phương trình đại số bậc n, (n³ 1)

1.3.2 Nghiêm bội

Giả sử k là một số tự nhiên khác 0 Một phần tử cÎA gọi là nghiệm bội

k của đa thức f x( )ÎA x[ ] nếu và chỉ nếu ( ) ( )k

f x M x c- và f x( ) không chia hết cho ( )k 1

1.3.3 Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên

Với "f x( )Î ¤[ ]x luôn tìm được aÎ ¤ để f x( )= ×a f x1( ), f x1( )Î ¢[ ]x

Để tìm nghiệm của f x( ) ta chuyển về tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ

f

a

+

-đều nguyên

1.3.4 Định lí Bézout và hệ quả của nó

( ) ( )

1

0 2

a

a a

-ï

ï ï ïï í

-ï ï ï ï

= ï

-ïî

(i) a0 không chia hết cho p

(ii) Tất cả những hệ số a a1, 2, ,a n chia hết cho p

(iii) a n không chia hết cho 2

p

Khi đó, đa thức f x( ) không phân tích được trong ¢[ ]x

2 Vành đa thức nhiều ẩn

2.3 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn

Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phương pháp quy nạp

Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị

Đặt A1 =A x[ ]1 là vành đa thức ẩn x1 lấy hệ tử trên A

A2 =A x1[ ]2 là vành đa thức ẩn x2 lấy hệ tử trên A1

Þ A2 = A x[ ][ ]1 x2 =A x x[ 1 , 2] gọi là vành đa thức của hai ẩn x1, x2

…

A n =A n-1[ ]x n là vành đa thức ẩn x n lấy hệ tử trên A n-1

ÞA n =A x[ ][ ] [ ][ ]1 x2 x n-1 x n =A x x[ 1 , 2 , ,x n] gọi là vành đa thức của n

ẩn x x1, 2, ,x n

Khi đó, ta gọi vành A x x[ 1 , 2 , ,x n]= A n là vành đa thức n ẩn x x1, 2, ,x n Mỗi phần tử của vành A x x[ 1 , 2 , ,x n] kí hiệu là f x x( 1 , 2 , ,x n) hay g x x( 1 , 2 , ,x n) gọi

là một đa thức của n ẩn x x1, 2, ,x n lấy hệ tử trên A

Bằng phương pháp quy nạp ta cũng có mọi f x x( 1 , 2 , ,x n)ÎA x[ ] đều biểu diễn duy nhất dưới dạng:

2.4 Đa thức đối xứng

2.4.1 Định nghĩa đa thức đối xứng

Cho đa thức nhiều biến f x x( 1 , 2 , ,x n)ÎA x x[ 1 , 2 , ,x n] được gọi là đa thức đối xứng khi và chỉ khi ( 1 , 2 , , ) ( 1 , 2 , , )

2.4.2 Định nghĩa đa thức đối xứng cơ bản

Trong vành đa thức A x x[ 1 , 2 , ,x n] các đa thức sau là đa thức đối xứng cơ bản hay đa thức đối xứng sơ cấp

2.4.3 Định lí cơ bản về đa thức đối xứng

Mọi đa thức đối xứng f x x( 1 , 2 , ,x n)ÎA x x[ 1 , 2 , ,x n] đều biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng một đa thức j s s( 1 , 2 , , sn) của các đa thức đối xứng sơ cấp s s1, 2, , sn với các hệ tử trong A

Phương pháp đưa đa thức đối xứng về đa thức đối xứng cơ bản (có hai phương pháp)

- Phương pháp hạng tử cao nhất

- Phương pháp hệ tử bất định

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC MỘT ẨN, NHIỀU ẨN

Áp dụng công thức Viéte và sử dụng điều kiện bài toán để tìm được

miền giá trị của tham số

Giả sử phương trình có bốn nghiệm x x x x1, 2, 3, 4

Theo công thức Víete ta có:

x1+x2+ +x3 x4 = - 2 (1)

x x1 2+x x1 3+x x1 4+x x2 3+x x2 4+x x3 4= 6 (2)

x x x1 2 3+x x x1 3 4+x x x2 3 4+x x x1 2 4 = -m (3)

x x x x1 2 3 4 = 11 (4)

Ta có điều kiện đề bài: x1+x2 =x3+x4 (5)

Giải

Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3

Theo công thức Viéte ta có: x1+x2+x3 = 3m (1)

Û êêë = - - - - =

Ta phải chứng minh với m > 1 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1, tức là

Ø Bài toán 2: Tìm giá trị của biểu thức đối xứng bậc K giữa các

+ Bước 1: Thiết lập hệ thức Viéte giữa các nghiệm của phương trình

+ Bước 2: Biểu diễn thông qua các đa thức đối xứng cơ bản đối với các

nghiệm của phương trình

-Ví dụ 2: Hãy tính diện tích tam giác mà đường cao của nó là nghiệm của

phương trình: 3 2

x - +bx c- = (1)

Giải

Gọi y y y1, 2, 3: Độ dài các cạnh của tam giác

x x x1, 2, 3: Độ dài các đường cao xuống cạnh tương ứng

S: Diện tích tam giác

Þ = (*) Thay (*) vào (1) ta được:

với y i i, = 1.3 là nghiệm của phương trình f y( )= 0

Ø Bài toán 3: Tìm mối quan hệ giữa các hệ số của một số phương trình

bậc 3, bậc 4 khi biết mối quan hệ giữa các nghiệm và ngược lại

2 2 2

Áp dụng:

Giải phương trình 4 3 2

10 2 4 0

x -x - x - x+ = (*) + Với x= 0 không là nghiệm của phương trình

+ Với x¹ 0, ta thấy các hệ số của phương trình (*) thỏa mãn 2 2

- = - Û + - = Û

ê

-= êë

Vậy phương trình (*) có 4 nghiệm 1,2 1 3; 3,4 3 17

æ öæ ö

Þç - ÷ç - ÷ = - Þ - + =

è ø

x x x

é = ê ê

ê = ê ê

ê = êë

3

4 8 0

1.2 Ứng dụng 2: Ứng dụng chia hết của đa thức

g x =x + +x thì D = - ¹ 3 0 suy ra g x( ) có nghiệm đơn

Giả sử cÎ £ là một nghiệm đơn của g x( ) thì

Bài 5: Cho mÎ ¥ * ,n³ 2, a Î ¡ Chứng minh rằng đa thức

( ) nsin sin sin( 1)

1.3 Ứng dụng 3: Ứng dụng hai đa thức bằng nhau

Ø Bài toán 1: Tìm điểm cố định của họ hàm số

· Cơ sở lí luận

Dựa vào tính chất bằng nhau của đa thức

Nếu f x m( , ) đưa được về đa thức của tham số m thì từ f x m( 0 , )-y0 = 0

m

" ta có hệ phương trình ẩn x y0, 0 Giải hệ này ta tìm được (x y0 , 0)

· Thuật toán

+ Giả sử M x y( 0 , 0) là điểm cố định của họ hàm số y= f x m( , ) ( )C m Điều kiện

để ( )C m luôn đi qua M x y( 0 , 0) là y0 = f x m( 0 , ) đúng "m (1)

ï

= ï

í ï

Giải

Gọi M x y( 0 , 0) là điểm cố định của họ đồ thị ( )C m

Khi đó

( )2

y =mx + m- x - m+ , " Îm ¡

0 0

x

y

éì = í

Vậy họ ( )C m luôn đi qua hai điểm cố định M( )2; 0 và M(- 2; 0)

Ví dụ 3: Cho họ hàm số

( )

1 1

Vậy họ hàm số trên không có điểm cố định

Hàm số đã cho có tiệm cận xiên khi m¹ 0 và m¹ ± 1

Ta có

2

1 1

x y

= ì

î ÞM1( )0;1

Vậy họ tiệm cận xiên đi qua điểm cố định M1( )0;1

-= + + hẫy xác định k, biết rằng họ đường cong này

đi qua một điểm cố định duy nhất

Bài 4: Chứng minh rằng họ đường cong ( )C m :

a b

+

= + - , (m¹ - 1; 2)

nhận 2 điểm (- - 1, 1) và ( )2, 2 là điểm cố định

Ø Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

Giả sử phương trình đã cho có nghiệm hữu tỉ a

Ta có a phải là nghiệm nguyên và là ước của -9

a = ± ± ± 1; 3; 9

+ Giá trị của f ( )1 = - Þ = 6 a 1 không phải là nghiệm

f ( )- = - Þ = - 1 6 a 1 không phải là nghiệm

-ï + + = ï

í + = ï

ï = î

-Giải hệ ta tìm được

2 3 1 3

a b c d

= ì

-ï = ï

í = ï

ï = î

2 10

Ø Bài toán 3: Chứng minh đẳng thức

· Cơ sở lí luận

Sử dụng nguyên lí so sánh hệ số của hai đa thức

· Thuật toán

Chúng minh A=B, với A B, là các biểu thức

+ Bước 1: Coi A B, là biểu thức của một biến nào đó

+ Bước 2: biến đổi tương đương A=B về dạng P x( )=Q x( ), trong đó

( ) ( ),

+ Bước 3: Xác định max deg{ P x( ), degQ x( ) }=m Khi đó, sẽ chỉ ra có nhiều hơn m số ai sao cho P( )ai =Q( )ai , " =i 1.n, n³ +m 1

Theo nguyên tắc so sánh hệ số ta có: P x( )=Q x( ) hay A=B

· Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của x đẳng thức sau đúng:

( )( ) ( )( ) ( ( )( )( ) ) ( ( )( )( ) )

Ví dụ 2: Chứng minh với mọi số tự nhiên n và với mọi số nguyên k, 0 £ £k n

1.4 Ứng dụng 4: Ứng dụng đa thức bất khả quy để nhận biết đa thức

không phân tích được

f x =a x +a x - + +a -x+a là một đa thức hệ số nguyên Giả sử

tồn tại số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện:

i) a0không chia hết cho p

ii) Tất cả những hệ số a a1, 2, ,a n chia hết cho p

iii) a n không chia hết cho 2

i) a0 = 1 không chia hết cho 2

ii) a1= 4,a2 = - 6,a3 = - 42,a4 = - 42 chia hết cho 2

iii) a4 = - 42 không chia hết cho 2

2 Ứng dụng của đa thức nhiều ẩn

+ Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm y y1, 2 của phương trình bậc hai đã cho

+ Bước 2: Tính S = y1+y2, P= y y1. 2 bằng cách đưa về đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản

+ Bước 3: Khẳng định phương trình bậc hai cần tìm là 2

x +ax b+ = có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

khác 0 Xác định phương trình bậc hai có các nghiệm 1

1

2

2.2 Ứng dụng 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng

· Cơ sở lí luận

Từ phương trình mà hai vế là các đa thức đối xứng hai biến ta đưa về phương trình đơn giản hơn với ẩn là s s1, 2 Tìm nghiệm s s1, 2 suy ra tìm nghiệm nguyên của phương trình ban đầu

= + ì

x y

= ì

Þ í =î

x y

= ì

Þ í =

î hoặc

1 0

x y

= ì

í = î

x y

= ì

Þ í =

î hoặc

2 1

x y

= ì

í = î

x y

= ì

Þ í =î

Vậy phương trình có 6 nghiệm là các bộ số

-í ê

= + ï

êî ë

2.3 Ứng dụng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

+ Bước 1: Đưa đa thức đối xứng về đa thức đối xứng cơ bản

+ Bước 2: Chứng minh các biểu thức mới

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu x+ + =y z 0 thì những đẳng thức sau đúng: a)

Chú ý rằng trong hai tổng trên chỉ hạng tử cuối cùng là không chứa s1 Nên ta

tổ hợp chúng sao cho hạng tử chỉ chứa s2 triệt tiêu như sau:

2.7 Ứng dụng 7: Giải hệ phương trình mà vế trái là các đa thức đối xứng, vế phải là hằng số

· Cơ sở lí luận

Với việc giải hệ phương trình mà vế trái là các đa thức đối xứng thì bao giờ cũng đưa các đa thức đó về dạng đa thức đối xứng cơ bản với ẩn si Hệ phương trình mới này thường là hệ phương trình đơn giản hơn rất nhiều, do

đó dễ giải hơn Sau đó giải phương trình đại số bậc n

· Thuật toán

+Bước 1: Đưa các vế trái của các phương trình về các đa thức đối xứng cơ

bản với ẩn si (i= 1.n)

+ Bước 2: Giải hệ phương trình mà các ẩn là si (i= 1.n)

+ Bước 3: Thiết lập hệ phương trình tìm nghiệm x i bằng cách vận dụng công thức Viéte

ì + = ï

í + =

1 4 4 1

x y x y

éì = í

ê =î ê

êì =

êí =êî ë

Vậy hệ phương trình (I) có hai nghiệm ( )1; 4 và ( )4;1

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau

3 25 27

+ + = ì

ï + + = í

ï + + = î

(II)

Giải

Đặt

1 2 3

xyz

s s s

+ + = ì

s

= ì

24 24

xyz

s s s

+ + = ì

ï + + = í

-ï + + = î

c)

1 3

ï + =î

Bài 2: Giải và biện luận hệ phương trình

ï + + = í

ï + + = î

KẾT LUẬN Nội dung khóa luận trình bày cụ thể và chi tiết về đa thức và một số ứng

cả các ứng dụng của đa thức

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức và ứng dụng, NXB Giáo dục

2 Bùi Huy Hiền, Nguyễn Hữu Hoan (2005), Bài tập đại số và số học, NXB

Đại học Sư phạm Hà Nội

3 Ngô thúc Lanh (1987), Đại số và số học, tập 3, NXB Giáo dục

4 Nguyễn Văn Mậu (2004), Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ, NXB

Giáo dục

5 Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội

6 Tạp trí: Toán học và tuổi trẻ