Đa thức và ứng dụng của đa thức vào toán sơ cấp

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thơng TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC VÀO TỐN SƠ CẤP TĨM TẮT KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học GVC Vương Thông HÀ NỘI - 2014 SV: Nguyễn Thị Thu Hương K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu, tìm tòi với giúp đỡ, bảo tận tình thầy Vương Thơng, khóa luận Đa thức ứng dụng đa thức tốn sơ cấp em hồn thành Em xin chân thành cảm ơn bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô tổ Đại số, khoa Toán thư viện trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp em hoàn thành khóa luận Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu lực thân hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong góp ý đánh giá thầy bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hương SV: Nguyễn Thị Thu Hương K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan kết trình học tập nghiên cứu em, với bảo tận tình thầy Vương Thơng Với đề tài Đa thức ứng dụng đa thức vào toán sơ cấp, khóa luận khơng có trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hương SV: Nguyễn Thị Thu Hương K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông MỤC LỤC Trang Mở đầu……………………………………………………………………… Chương Những kiến thức liên quan……………………………………… 1.Vành đa thức ẩn……………………………………………………… 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn………………………………………… 1.2 Phép chia có dư………………………………………………………… 1.3 Nghiệm đa thức…………………………………………………… 1.4 Đa thức bất khả quy…………………………………………………… Vành đa thức nhiều ẩn…………………………………………………… 2.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn……………………………………… 2.2 Đa thức đối xứng……………………………………………………… Chương Ứng dụng đa thức ẩn, nhiều ẩn……………………… 10 Ứng dụng đa thức ẩn…………………………………………… 10 1.1 Ứng dụng 1: Ứng dụng định lí Viéte………………………………… 10 1.2 Ứng dụng 2: Ứng dụng chia hết đa thức………………………… 22 1.3 Ứng dụng 3: Ứng dụng hai đa thức nhau…………………… 26 1.4 Ứng dụng 4: Ứng dụng đa thức bất khả quy để nhận biết đa thức khơng phân tích được…………………………………………………………… 35 Ứng dụng đa thức nhiều ẩn………………………………………… 37 2.1 Ứng dụng 1: Xác định phương trình bậc 2…………………………… 37 2.2 Ứng dụng 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng…… 39 2.3 Ứng dụng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử………………………… 42 2.4 Ứng dụng 4: Chứng minh đẳng thức………………………………… 44 2.5 Ứng dụng 5: Chứng minh bất đẳng thức……………………………… 47 SV: Nguyễn Thị Thu Hương K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông 2.6 Ứng dụng 6: Trục thức mẫu………………………………… 49 2.7 Ứng dụng 7: Giải hệ phương trình mà vế trái đa thức đối xứng, vế phải số…………………………………………………………… 51 Kết luận…………………………………………………………………… 54 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 55 SV: Nguyễn Thị Thu Hương K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thơng MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong nhà trường phổ thơng, mơn Tốn giữ vị trí quan trọng Nó giúp học sinh học tốt môn học khác, công cụ để hoạt động đời sống thực tế Đại số phận lớn toán học Khái niệm quan trọng đại số, tốn học nói chung khái niệm đa thức Đa thức đối tượng nghiên cứu trọng tâm Đại số mà cơng cụ đắc lực Giải tích, lí thuyết xấp xỉ, lí thuyết biểu diễn, tối ưu,… Ngồi ra, lí thuyết đa thức sử dụng nhiều tốn cao cấp, toán ứng dụng Tuy nhiên, vấn đề đa thức trình bày sơ lược, chưa phần loại hệ thống cách chi tiết Tài liệu đa thức ít, chưa hệ thống hóa theo dạng toán phương pháp giải nên việc nghiên cứu đa thức gặp nhiều khó khăn Với lí trên, với lòng say mê nghiên cứu bảo tận tình thầy Vương Thông, em chọn đề tài Đa thức ứng dụng đa thức vào toán sơ cấp để làm khóa luận tốt nghiệp nhằm phân loại hệ thống cách chi tiết kiến thức đa thức số toán đa thức Bên cạnh thấy vai trò đa thức mơn tốn nhà trường phổ thơng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đa thức ứng dụng Đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức ẩn nhiều ẩn Đối tượng nghiên cứu Đa thức ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh hệ thống hóa SV: Nguyễn Thị Thu Hương K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Chương NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN Vành đa thức ẩn 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Cho A vành giao hốn có đơn vị, kí hiệu Ký hiệu: P = {( a0 , a1 , , an , ) ẻ A, "i ẻ Ơ} vi = hầu hết Trên P ta định nghĩa hai phép toán: - Phép cộng: ( a0 , a1 , , an , ) + ( b0 , b1 , , bn , ) = ( a0 + b0 , a1 + b1 , , an + bn , ) - Phép nhân: ( a0 , a1 , , an , )( b0 , b1 , , bn , ) = ( c0 , c1 , , cn , ) Ở đó, ck = å ab i+ j =k i j , k = 0,1, 2, , n, Khi ( P, +,.) lập thành vành giao hốn có đơn vị = (1, 0, 0, , 0, ) Xét ánh xạ: f :A®P a a ( a,0, 0, , 0, ) Do f đơn cấu nên ta đồng phần tử a Ỵ A với ảnh f ( a ) = ( a, 0, 0, ) Ỵ P A vành P Đặt: x = ( 0,1, 0, , 0, ) Khi đó, ta được: x = ( 0, 0,1, 0, , 0, ) x3 = ( 0, 0, 0,1, 0, , 0, ) … ỉ x n = ỗỗ 0, , ,1, 0, , 0, ÷÷ { è n ø Khi đó, phần tử a Ỵ P biểu diễn dạng: a = a0 + a1 x + + an x n Thay cho P viết A [ x ] gọi vành đa thức ẩn x lấy hệ tử A Mỗi phần tử thuộc A [ x ] gọi đa thức ẩn x thường kí hiệu là: f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) , r ( x ) , SV: Nguyễn Thị Thu Hương K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp 1.2 GVHD: GVC Vương Thông Phép chia với dư 1.2.1 Bậc đa thức Cho đa thức f ( x ) Ỵ A [ x ] f ( x ) = a0 x n + a1 x n -1 + + an -1 x + an - Nếu = 0, i = 0.n f ( x ) = gọi đa thức không khụng cú bc hoc l -Ơ - Nu a0 0, ( n ³ ) n gọi bậc đa thức f ( x ) Kí hiệu deg f ( x ) = n 1.2.2 Định lí Giả sử A trường, f ( x ) , g ( x ) hai đa thức vành A [ x ] , g ( x ) ¹ Khi đó, tồn q ( x ) , r ( x ) cho f ( x ) = g ( x ) q ( x ) + r ( x ) Nếu r ( x ) ¹ deg r ( x ) < deg g ( x ) Đa thức q ( x ) gọi thương r ( x ) gọi dư phép chia f ( x ) cho g ( x ) Nếu r ( x ) = f ( x )M g ( x ) A [ x ] 1.2.3 Lược đồ Hoocner Cho f ( x ) Ỵ A [ x ] , c Ỵ A , f ( x ) = a0 x n + a1 x n -1 + + an -1 x + an Giả sử thương phép chia f ( x ) cho ( x - c ) A [ x ] là: q ( x ) = b0 x n -1 + b1 x n - + + bn - x + bn -1 , bi Ỵ A, i = 0.n - Nghĩa a0 x n + a1 x n -1 + + an -1 x + an = ( x - c ) ( b0 x n -1 + b1 x n - + + bn - x + bn -1 ) + r Cân hệ tử ta suy b0 = a0 b1 = a1 + cb0 bn -1 = an -1 + cbn - SV: Nguyễn Thị Thu Hương K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông dư r = an + cbn -1 Ta viết đẳng thức dạng bảng sau gọi lược đồ Hoocner a0 c b0 = a0 … a1 b1 = a1 + cb0 SV: Nguyễn Thị Thu Hương an -1 bn -1 = an -1 + cbn - … an r = an + cbn -1 K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp 1.3 GVHD: GVC Vương Thông Nghiệm đa thức 1.3.1 Định nghĩa Cho K trường đó, A trường K Một phần tử c Ỵ K gọi nghiêm đa thức f ( x ) Ỵ A [ x ] f ( c ) = Ta nói c nghiệm phương trình đại số f ( x ) = K Nếu deg f ( x ) = n phương trình f ( x ) = gọi phương trình đại số bậc n , ( n ³ 1) 1.3.2 Nghiêm bội Giả sử k số tự nhiên khác Một phần tử c Î A gọi nghiệm bội k đa thức f ( x ) Ỵ A [ x ] f ( x )M ( x - c ) f ( x ) không chia hết k cho ( x - c ) k +1 1.3.3 Nghiệm đa thức với hệ số nguyên Với "f ( x ) ẻ Ô [ x ] luụn tỡm c a ẻ Ô f ( x ) = a × f1 ( x ) , f1 ( x ) ẻ Â [ x ] tỡm nghiệm f ( x ) ta chuyển tìm nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguyên f1 ( x ) Định lí 1: Nếu p q tối giản nghiệm đa thức f ( x) với f ( x ) = a0 x n + a1 x n -1 + + an -1 x + an p an q a0 Định lí 2: Nếu số hữu tỉ a = p ( p, q nguyên tố nhau) nghiệm đa q thức với hệ số nguyên f ( x ) = a0 x n + a1 x n -1 + + an -1 x + an = số nguyên m số f ( m ) chia hết cho ( p - mq ) Trường hợp đặc biệt ( p + q ) f ( -1) ; ( p - q ) f (1) Hệ quả: Nếu a ¹ ±1 nghiệm f ( x ) ẻ Â [ x ] , a nguyên f (1) 1-a f ( -1) 1+ a nguyên SV: Nguyễn Thị Thu Hương K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thơng 2.3 Ứng dụng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử · Cơ sở lí luận Ta ln đưa đa thức đối xứng đa thức đối xứng · Thật toán + Bước 1: Biểu diễn đa thức đối xứng qua đa thức đa thức đối xứng +Bước 2: Phân tích đa thức đa thức đối xứng thành nhân tử · Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho f ( x, y ) = 10 x - 27 x3 y - 110 x y - 27 xy + 10 y Hãy phân tích f ( x, y ) thành nhân tử R Giải Ta có f ( x, y ) = 10 (s 14 - 4s 12s + 2s 2 ) - 27s (s 12 - 2s ) - 110s 2 = 10s 14 - 67s 12s - 36s 2 Vế phải tam thức bậc hai s có nghiệm s = -2s 12 , s2 = s1 36 Suy ta có: 10s 14 - 67s 12s - 36s 2 = 36 (s + 2s 12 ) ổỗ s ố 2ử s1 ữ 36 ø = ( 2s 12 + s )( 36s - 5s 12 ) 2 Từ f ( x + y ) = éë ( x + y ) + xy ùû éë36 xy - ( x + y ) ùû = ( x + xy + y )( -5 x + 26 xy - y ) = ( x + y )( x + y )( -5 x + y )( x - y ) Vậy f ( x, y ) = 10 x - 27 x3 y - 110 x y - 27 xy + 10 y = ( x + y )( x + y )( -5 x + y )( x - y ) SV: Nguyễn Thị Thu Hương 42 K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thơng Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử f ( x, y, z ) = ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x ) - ( x + y )( y + z )( z + x ) 2 Giải ìu = x + y Đặt ïív = y + z ïr = z + x ỵ Khi đó: f ( u , r , v ) = d13 - 3d1d = d1 (d12 - 3d ) Ta có: d1 = u + r + v = ( x + y + z ) = 2s d = uv + vr + ru = ( x + y )( y + z ) + ( y + z )( z + x ) + ( z + x )( x + y ) = ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) = s 12 + s Do f ( x, y, z ) = 2s ( 4s 12 - 3s 12 - 3s ) = 2s (s 12 - 3s ) = ( x + y + z ) ( x + y + z - xy - yz - zx ) · Các tập áp dụng Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f ( x, y ) = x3 + x y + x y + x y + 3xy + xy + y b) f ( x, y ) = x - 119 x3 y - 18 x y - 11xy + y c) f ( x, y, z ) = x y + y z + z x - x - y - z d) f ( x, y, z ) = x3 ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) + xyz ( x + y + z ) e) f ( x, y, z, t ) = ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + t ) + ( t + x ) + ( x + z ) + ( y + t ) 3 SV: Nguyễn Thị Thu Hương 3 43 3 K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thơng 2.4 Ứng dụng 4: Chứng minh đẳng thức · Cơ sở lí luận Các vế đa thức đối xứng nên ta đưa đa thức đa thức đối xứng Dẫn đến việc chứng minh đẳng thức đơn giản · Thuật toán + Bước 1: Đưa đa thức đối xứng đa thức đối xứng + Bước 2: Chứng minh biểu thức · Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Chứng minh x + y + z = (x + y2 + z ) = ( x4 + y + z ) Giải Ta có VT = ( x + y + z ) = éë( x + y + z ) - ( xy + yz + zx ) ùû = ( s 12 - s ) 2 VP = ( x + y + z ) = éê( x + y ) - x y + z ùú ë û = éë( x + y + z ) - ( x + y ) z - x y ùû = é( x + y + z ) - xy - yz - zx ù - ( x z + y z + y x ) ë û 2 = (s 14 - 4s 1s + 4s 2 ) - (s 2 - 2s 1s ) = 2s 14 - 8s 12s + 4s 2 + 8s 1s Theo giả thiết ta có x + y + z = suy s = nên VT = 4s 2 ; VP = 4s 2 suy VP = VT Vậy ( x + y + z ) = ( x + y + z ) SV: Nguyễn Thị Thu Hương 44 K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thơng Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau ( x + y) + 3xy (1 - x - y ) - = ( x + y - 1) ( x + y - xy + x + y + 1) Giải Ta có VT = ( x + y ) + 3xy (1 - x - y ) - = s 13 + 3s (1 - s ) - = s 13 - 3s 1s + s - VP = ( x + y - 1) ( x + y - xy + x + y + 1) = (s - 1) (s 12 - 3s + s + 1) = s 13 - 3s 1s + 3s - = VT Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh x + y + z = đẳng thức sau đúng: x3 + y + z x + y + z x5 + y + z a) × = b) x5 + y + z x2 + y2 + z2 = xyz × c) x7 + y + z x5 + y5 + z x2 + y + z x3 + y3 + z x4 + y + z = × =2 × Giải Áp dụng tốn tổng lũy thừa ta có: S1 = s = S = s 1S1 - 2s = -2s S3 = s 1S2 - s S1 + 3s = 3s S = s 1S3 - s S2 + s S1 = -s S2 = 2s 2 S5 = s 1S4 - s S3 + s S2 = -3s 2s - 2s 2s = -5s 2s S6 = s 1S5 - 2s S4 + s S3 = -2s 23 + 3s 32 S7 = s 1S6 - s S5 + s S4 = 5s 2s + 2s 2s = 7s 2s Khi ta có: SV: Nguyễn Thị Thu Hương 45 K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp a) GVHD: GVC Vương Thông x3 + y + z x + y + z S3 S 3s -2s × = × = × = -s 2s 3 3 = -5s 2s S5 x5 + y + z = = 5 x5 + y + z S5 -5s 2s -2s b) = = = -s 2s = s 5 = s3 c) S2 x2 + y2 + z = xyz 2 x + y + z S 7s 2s = = = s 2s = ( -s 2s ) × ( -s ) = 7 = -5s 2s -2s S5 S2 x + y + z x + y + z × = × = × 5 3s 2s 2 S3 S x7 + y + z x3 + y3 + z x4 + y + z 2 = s s = s 3s = × =2 × =2 × 4 · Các tập áp dụng Bài 1: Chứng minh "x, y, z Ỵ ¡ , ta có: a) ( x + y + z )( xy + yz + zx ) - xyz = ( x + y )( y + z )( z + x ) b) ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x ) - ( x + y )( y + z )( z + x ) 3 = ( x + y + z ) ( x + y + z - xy - yz - zx ) c) x + y + ( x + y ) = ( x + y + z ) Bài 2: Chứng minh xy + yz + zx = ( x + y) ( y + z) ( z + x) 2 + 24 x y z = x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) 2 Bài 3: Chứng minh x + y + z = a) ( x + y + z ) = xyz ( x + y + z ) b) x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) = ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) 2 SV: Nguyễn Thị Thu Hương 46 K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông 2.5 Ứng dụng 5: Chứng minh bất đẳng thức · Cơ sở lí luận Dùng đa thức đối xứng để chứng minh bất đẳng thức Đặc biệt bất đẳng thức có dạng: f ( x, y ) ³ với f ( x, y ) đa thức đối xứng · Thuật toán + Bước 1: Biểu diễn đa thức đa thức đa thức đối xứng + Bước 2: Sử dụng định lý ý sau để dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh Định lý: Cho số thực s , s Khi số x, y xác định hệ phương ì x + y = s1 số thực s , s thỏa mãn bất đẳng thức ỵ xy = s trình: í D = s 12 - 4s ³ (1) Đẳng thức s 12 - 4s = đạt x = y Đặc biệt, số x, y xác định từ hệ phương trình số thực, khơng âm, điều kiện cần đủ số s , s thỏa mãn bất đẳng thức sau: s 12 - 4s ³ 0, s ³ 0, s ³ Chú ý: Ta ln có ( x - y ) + ( y - z ) + ( z - x ) ³ Đẳng thức xảy 2 x = y = z · Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Chứng minh với số thực x, y có bất đẳng thức sau: x + y ³ xy + x3 y Giải Ta có: x + y ³ xy + x y Û x + y - xy - x3 y ³ x + y = s 14 - 4s 12s + 2s 2 Xét f ( x, y ) = x + y - xy - x3 y = x + y - xy ( x + y ) ( = s 14 - 4s 12s + 2s 2 - s s 12 - 2s SV: Nguyễn Thị Thu Hương ) ( )( = s 14 - 5s 12s + 4s 2 = s 12 - s s 12 - 4s 47 ) K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Ta thấy D = s12 - 4s2 ³ Xét s 12 - s = s 12 - ( ) s - D = s 12 + D ³ 4 (vì D ³ ) Suy f ( x, y ) ³ Û x + y - xy - x y Û x + y ³ xy + x y (đpcm) Ví dụ 2: Cho x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh P = x + y + z + xy + yz + zx £ + Giải Ta có P = ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) = s1 + s2 Theo đề ta có: x + y + z = Þ s12 - 2s2 = hay s2 £ Suy s12 = + 2s2 £ + ×1 = Þ s1 £ Vậy P = s1 + s2 £ + (đpcm) · Các tập áp dụng Bài 1: Chứng minh rằng: ( xy + yz + zx ) ³ xyz ( x + y + z ) ; "x, y, z Ỵ ¡ Bài 2: Chứng minh với số thực dương x, y, z bất đẳng thức sau ỉ1 1ư + + ÷ ³ èx y zứ ( x + y + z)ỗ Bi 3: Chng minh rằng, x, y, z ba cạnh tam giác thì: ( ) ( a)2 ( x + y + z ) x + y + z > x3 + y + z ) b)2 ( xy + yz + zx ) > x + y + z Bài 4: Cho a, b, c > a + b + c £ Chứng minh rằng: 1 + + ³9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab Bài 5: Chứng minh với số thực x, y ta có: a) x + y + ³ xy + ( x + y ) SV: Nguyễn Thị Thu Hương b) x + y + ³ xy + x + y 48 K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thơng 2.6 Ứng dụng 6: Trục thức mẫu · Cơ sở lí luận Để khử thức mẫu ta có thể: + Sử dụng đẳng thức + Nhân biểu thức liên hợp mẫu số với trường hợp mẫu số chứa hai biến dạng: a ± n b hay n a ± n b + Mẫu số có ba (hay nhiều hơn) thức ta vận dụng đa thức đối xứng · Thuật toán + Bước 1: Biến đổi biểu thức cho biểu thức chứa đa thức đối xứng + Bước 2: Sử dụng đa thức đối xứng dạng tổng S = x + y + z = s 12 - 2s S3 = x3 + y + z = s 13 - 3s 1s S = x + y + z = s 14 - 4s 12s + 4s 1s + 2s 2 … + Bước 3: Biểu diễn biểu thức qua s , s , s , thay vào thức ban đầu · Ví dụ minh họa Trục thức mẫu số biểu thức a+ b+ c Giải + Cách 1: Đặt a = x , b = y , c = z Khi đó, mẫu số đa thức đối xứng: s = x + y + z Ta tìm nhân tử cần giải nhân lên với s để trục thức mẫu số SV: Nguyễn Thị Thu Hương 49 K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông S = x + y + z = s 12 - 2s = a + b + c Nhận thấy S4 = x + y + z = s 14 - 4s 12s + 4s 1s + 2s 2 = a + b + c Ta tổ hợp tổng cho s đưa làm thừa số ta biểu thức khơng thức Chú ý hai tổng hạng tử cuối không chứa s Nên ta tổ hợp chúng cho hạng tử chứa s triệt tiêu sau: S 2 - S = s 14 - 4s 12s + 4s - (s 14 - 4s 12s + 4s 1s + 2s 2 ) = s ( 4s 1s - s 13 - 8s ) 4s 1s - s 13 - 8s = s1 S2 - 2S4 Từ Tức = a+ b+ c ( a+ b+ c )( ) ( ab + ac + bc - (a + b + c) a+ b+ c - ( a + b2 + c2 ) ) - abc + Cách 2: = a+ b+ c ( ) a+ b + c = a+ b- c = ( a + b - c ) + ab ( ( ) a+ b - c (a + b + ) ab - c a+ b- c ) (( a + b - c ) - (a + b - c) ab ) - 4ab · Các tập áp dụng Trục thức mẫu số biểu thức a+ b+ c+ d a) b) c) n a+ b+3c , a+nb+nc a , b, c Ỵ ¡ + * SV: Nguyễn Thị Thu Hương 50 K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông 2.7 Ứng dụng 7: Giải hệ phương trình mà vế trái đa thức đối xứng, vế phải số · Cơ sở lí luận Với việc giải hệ phương trình mà vế trái đa thức đối xứng đưa đa thức dạng đa thức đối xứng với ẩn s i Hệ phương trình thường hệ phương trình đơn giản nhiều, dễ giải Sau giải phương trình đại số bậc n · Thuật toán +Bước 1: Đưa vế trái phương trình đa thức đối xứng với ẩn s i ( i = 1.n ) + Bước 2: Giải hệ phương trình mà ẩn s i ( i = 1.n ) + Bước 3: Thiết lập hệ phương trình tìm nghiệm xi cách vận dụng cơng thức Viéte · Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau ìï x3 + y = 65 í 2 ïỵ x y + xy = 20 (I) Giải ì x + y = s1 ỵ xy = s Đặt í đk: s 12 - 4s ³ ìï( x + y )3 - 3xy ( x + y ) = 65 Hệ (I) Û í ïỵ xy ( x + y ) = 20 ìs 13 - 3s 1s = 65 ìs = ìx + y = Ûí Ûí Ûí ỵ xy = ỵs = ỵs 1s = 20 Þ x, y nghiệm phương trình: t - 5t + = (*) Giải phương trình (*) ta suy nghiệm hệ (I) là: SV: Nguyễn Thị Thu Hương 51 K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thơng éì x = êí êỵ y = êì x = êí êë ỵ y = Vậy hệ phương trình (I) có hai nghiệm (1; ) ( 4;1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau ìx + y + z = ï 2 í x + y + z = 25 ï 3 ỵ x + y + z = 27 (II) Giải ì x + y + z = s1 Đặt ïí xy + yz + zx = s ï xyz = s ỵ ìs = ìs = ï s - 25 ï ï Hệ (II) Û ís 12 - 2s = 25 Û ís = ï ï ỵs - 3s 1s + s = 27 ïỵs = -s 13 + 3s 1s + 27 ìs = ìx + y + z = ï ï Û ís = -8 Û í xy + yz + zx = -8 ïs = -24 ù xyz = -24 ợ ợ ị x, y, z nghiệm phương trình: t - 3t - 8t + 24 = ( )( ) Û ( t - 3) t - 2 t + 2 = Suy nghiệm hệ phương trình cho là: (3, 2, -2 ) ; (3, -2 2, 2 ) ; ( 2,3, -2 ) ( -2 2,3, 2 ) ; ( 2, -2 2,3) ; ( -2 2, 2,3) SV: Nguyễn Thị Thu Hương 52 K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông · Các tập áp dụng Bài 1: Giải hệ phương trình sau ì x3 + y + z = ï a) í x + y + z = -2 ( xy + yz + zx ) ï xyz = -2 ỵ ìx + y + z = b) ïí x3 + y + z = -27 ï 4 î x + y + z = 113 ( ì2 ( x + y ) = d) ïí ïỵ x + y = ì x - xy + y = c) í ỵ x + y + xy = 3 x y + xy ) Bài 2: Giải biện luận hệ phương trình ìx + y = a a) ïí x + y ï x2 + y = b ỵ SV: Nguyễn Thị Thu Hương ìx + y + z = a b) ïí x + y + z = b ï 3 3 ỵx + y + z = a 53 K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thơng KẾT LUẬN Nội dung khóa luận trình bày cụ thể chi tiết đa thức số ứng dụng đa thức Cụ thể: Chương trình bày cách tổng quan lí thuyết liên quan đến đa thức Chương trình bày chi tiết sở lí luận, thuật tốn, số ví dụ minh họa tập áp dụng số ứng dụng đa thức ẩn nhiều ẩn Tuy nhiên với vốn kiến thức hạn chế nên khóa luận chưa đưa hết tất ứng dụng đa thức SV: Nguyễn Thị Thu Hương 54 K36 - CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thơng TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức ứng dụng, NXB Giáo dục Bùi Huy Hiền, Nguyễn Hữu Hoan (2005), Bài tập đại số số học, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội Ngô thúc Lanh (1987), Đại số số học, tập 3, NXB Giáo dục Nguyễn Văn Mậu (2004), Đa thức đại số phân thức hữu tỉ, NXB Giáo dục Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội Tạp trí: Tốn học tuổi trẻ SV: Nguyễn Thị Thu Hương 55 K36 - CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp SV: Nguyễn Thị Thu Hương GVHD: GVC Vương Thơng K36 - CN Tốn ... đa thức ẩn, nhiều ẩn……………………… 10 Ứng dụng đa thức ẩn…………………………………………… 10 1.1 Ứng dụng 1: Ứng dụng định lí Viéte………………………………… 10 1.2 Ứng dụng 2: Ứng dụng chia hết đa thức ……………………… 22 1.3 Ứng dụng. .. 1.3 Ứng dụng 3: Ứng dụng hai đa thức nhau…………………… 26 1.4 Ứng dụng 4: Ứng dụng đa thức bất khả quy để nhận biết đa thức không phân tích được…………………………………………………………… 35 Ứng dụng đa thức nhiều ẩn…………………………………………... chi tiết kiến thức đa thức số toán đa thức Bên cạnh thấy vai trò đa thức mơn tốn nhà trường phổ thơng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đa thức ứng dụng Đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức ẩn nhiều