Hàm đánh giá trên dàn các tập hợp và ứng dụng của chúng trong hình học sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LA THANH TÍN HÀM ĐÁNH GIÁ TRÊN DÀN CÁC TẬP HỢP VÀ ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc NGHỆ AN, 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LA THANH TÍN HÀM ĐÁNH GIÁ TRÊN DÀN CÁC TẬP HỢP VÀ ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC TÔPÔ Mà SỐ: 60.46.10 luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. PHẠM NGỌC BỘI NGHỆ AN – 2013 LỜI MỞ ĐẦU “Hình học lồi” là một hướng quan trọng trong hình học, được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu. Tập lồi là khái niệm toán học có nhiều ứng dụng trong hình học, giải tích và nhiều ngành khoa học khác. Các kết quả tổng quan về tập lồi đã được các nhà toán học như Frederick A. Valentine, L. Klee, C.Caratheodory, H. Minkowski trình bày. Các vấn đề định tính như: cấu trúc các tập lồi, các quan hệ giữa chúng, giao của các tập lồi, tính hội tụ của dãy tập lồi đã được nhiều tài liệu và giáo trình cơ sở đề cập đến. Song song với lý thuyết định tính các tập lồi, vấn đề định lượng các tập lồi cũng được quan tâm. Trong lĩnh vực lý thuyết định lượng các tập lồi có một vấn đề có ý nghĩa quan trọng về phương diện độ đo, đó là vấn đề thể tích của thể lồi. Cách thức xây dựng khái niệm và các tính chất của thể tích các thể lồi được xuất phát từ khái niệm và các tính chất của đa diện lồi. Xuất phát từ việc xấp xỉ của một thể lồi với các đa diện lồi ta đặc biệt chú ý đến cấu trúc của các đa diện lồi. Trên cấu trúc này, người ta xây dựng khái niệm “hàm đánh giá”, đây là một khái niệm chung của hình học lồi và lý thuyết tổ hợp. “Hàm đánh giá” thỏa mãn cả hai tính chất vừa là sự tương tự hóa vừa là sự khái quát hóa của khái niệm độ đo trong giải tích. Trên cơ sở tham khảo các tài liệu tham khảo có thể có được trong điều kiện hiện nay, trong đó tài liệu tham khảo chính là [9], luận văn trình bày một số vấn đề về hàm đánh giá trên họ các thể lồi trong không gian Euclide n ¡ , trình bày cách xây dựng khái niệm thể tích của thể lồi, các tính chất cơ bản của thể tích của thể lồi và ứng dụng của chúng trong hình học sơ cấp. Các kết quả này đã có trong tài liệu tham khảo theo các mức độ khác nhau, trong đó có nhiều tính chất, định lí, hệ quả không được chứng minh hoặc chỉ được chứng minh sơ lược. Nội dung luận văn gồm 2 chương. Chương 1. Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan các vấn đề liên quan như tập lồi, hình đa diện lồi và các phép toán trên chúng; metric và độ đo… Chương 2. Trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến hàm đánh giá và các tính chất của hàm này. Tiếp theo chúng tôi trình bày một số ứng dụng của hàm đánh giá trong hình học sơ cấp. Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình, chu đáo của thầy giáo PGS.TS. NGƯT. Phạm Ngọc Bội. Nhân dịp hoàn thành luận văn, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tình trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Vinh, các bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã có cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn! Nghệ An, Ngày 05 tháng 10 năm 2013 Tác giả La Thanh Tín BẢNG CÁC KÝ HIỆU B(x,r): Hình cầu mở tâm x bán kính r. cl(X): Bao đóng của tập hợp X. dist(X, X’): Khoảng cách giữa hai tập X và X’. bd(X): Biên của tập hợp X. φ : Tập rỗng. int(X): Phần trong của tập hợp X. n K : Họ tất cả các tập hợp con khác rỗng, lồi, compact của . n ¡ n C : Họ tất cả các tập con khác rỗng, compact của . n ¡ n P : Họ tất cả các hình đa diện lồi trong . n ¡ n T : Họ tất cả các thể lồi trong n ¡ . W : Kết thúc chứng minh. A χ : Hàm đặc trưng của tập hợp .A dimP: Số chiều của không gian P. ( )C A : Tập hợp tất cả các tổ hợp lồi các phần tử của tập hợp .A NỘI DUNG LUẬN VĂN CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này chúng tôi xét không gian Euclide n ¡ , có số chiều bằng n, trên trường số thực .¡ Tập lồi là một khái niệm có nhiều ứng dụng trong hình học, giải tích và nhiều ngành toán học khác. Trong phần này ta nhắc đến một số vấn đề định tính của tập lồi và chú ý đến hai tập lồi đặc biệt là thể lồi và đa diện lồi, đây là những đối tượng thường xuất hiện trong hình học sơ cấp. 1.1. Tập lồi, thể lồi và hình đa diện lồi 1.1.1. Định nghĩa i. Giả sử , n x y∈¡ , đoạn thẳng nối x và y được định nghĩa như sau: [ , ] = {z = x + (1- )y 0 1}.x y λ λ λ ≤ ≤ ii. Một tập n A ⊂ ¡ được gọi là tập lồi nếu , [x,y] .x y A A∀ ∈ ⇒ ⊂ iii. Một tập lồi compact có phần trong khác rỗng được gọi là thể lồi. Ta ký hiệu n T = {Họ tất cả các thể lồi trong }. n ¡ { n K = Họ tất cả các tập hợp con khác rỗng, lồi, compact trong }. n ¡ * Ví dụ 1. Với , n x y∈¡ thì [x,y] là một tập lồi. 2. n ¡ , ( , )B x r trong n ¡ là những tập lồi. 3. Hình tròn, hình tam giác trong mặt phẳng là những tập lồi. 4. Đoạn thẳng [ , ]x y trong n ¡ ,hình tròn, hình tam giác trong mặt phẳng là thể lồi. 1.1.2. Định lí i. Giao một họ tùy ý các tập lồi là một tập lồi. ii. Ảnh và nghịch ảnh toàn phần của tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là tập lồi. Chứng minh. i. Giả sử {A } i i I∈ là một họ tùy ý các tập lồi trong n ¡ , ta phải chứng minh i i I A A ∈ = ∩ là tập lồi. Thật vậy, lấy ,x y A∈ khi đó , , . i x y A i I∈ ∀ ∈ Do đó với [0,1] λ ∈ và i A là tập lồi với mọi i I∈ nên (1 ) , (1 ) . i x y A i I x y A λ λ λ λ + − ∈ ∀ ∈ ⇒ + − ∈ ii. Giả sử V là một không gian vectơ trên ¡ và : n f V→¡ là ánh xạ tuyến tính. - Giả sử n A ⊂ ¡ là lồi, ta chứng minh ( )f A là tập lồi trong V . Thật vậy, lấy , ( )x y f A∈ và [0,1] λ ∈ . Khi đó tồn tại ,a b A∈ sao cho ( ), ( ).x f a y f b= = Mặt khác f là ánh xạ tuyến tính nên : (1 ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ((1 ) )x y f a f b f a f b λ λ λ λ λ λ + − = + − = + − ( (1 ) ) ( )f a b f A λ λ = + − ∈ (vì A là tập lồi). - Giả sử B V⊂ là tập lồi, ta chứng minh 1 ( )f B − là lồi trong . n ¡ Thật vậy, với 1 [0,1]; x,y ( )f B λ − ∈ ∈ thì ( ), ( )f x f y B∈ và ( ) (1 ) ( ) .f x f y B λ λ + − ∈ Do f là ánh xạ tuyến tính nên 1 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ).f x y f x f y B x y f B λ λ λ λ λ λ − + − = + − ∈ ⇒ + − ∈ W 1.1.3. Định nghĩa i. Giả sử n A ⊂ ¡ , tập lồi nhỏ nhất trong n ¡ chứa A được gọi là bao lồi của ,A kí hiệu conv A . ii. Tổ hợp lồi của hữu hạn các điểm * 1 2 , , , , n n x x x n∈ ∈¡ ¥ được định nghĩa là 1 , n i i i x λ = ∑ trong đó 0, 1, i i n λ ≥ = 1 à 1. n i i v λ = = ∑ Giả sử n A ⊂ ¡ , tập hợp các tổ hợp lồi các phần tử của A ký hiệu là ( ).C A iii. Một tập con P φ ≠ của n ¡ được gọi là hình đa diện lồi nếu tồn tại * 1 2 , , , , n n x x x n∈ ∈¡ ¥ sao cho { } 1 2 n conv x ,x , x P.… = Ta ký hiệu { n P = Họ tất cả các hình đa diện lồi trong } n ¡ . * Ví dụ 1. Cho { a, b , }. n A a b= ∈¡ Khi đó ta có ( ) [ , ].C A a b= 2. Cho { a, b , }; B = {a,b,c , , }. n n A a b a b c= ∈ ∈¡ ¡ Khi đó: conv [a,b]A = và conv B là hình tam giác abc. * Nhận xét i. conv A là giao tất cả tập lồi chứa A trong n ¡ . ii. n A ⊂ ¡ là tập lồi khi và chỉ khi conv .A A= 1.1.4. Định lí . Nếu A là tập compact trong n ¡ thì conv A là tập lồi compact trong n ¡ . Suy ra mỗi hình đa diện lồi là một tập lồi compact. Chứng minh. Gọi ( )F A là họ tất cả tập lồi trong n ¡ , chứa A và 0 ( )F A là họ tất cả các tập compact trong n ¡ , chứa A . Do giao của họ các tập lồi là tập lồi nên: ( ) 0 .convA F A⊂ ∩ Mặt khác với mỗi ( ) X F A∈ tồn tại tập hợp ( ) 0 0 X F A∈ chứa trong X. Chẳng hạn, 0 ,X B clX= ∩ trong đó B là hình cầu chứa A (X 0 compact vì nó là tập đóng, bị chặn của và vì giao của hai tập lồi là tập lồi nên nó là tập lồi). Do đó ( ) 0 .convA F A⊃ ∩ Từ hai bao hàm thức trên suy ra tập hợp convA là giao tất cả tập hợp con compact của n ¡ , chứa A từ đó nó là compact. W Khi nghiên cứu thể tích các thể lồi. Ta xuất phát từ không gian Euclide hữu hạn chiều n ¡ . Sau đó trang bị cho không gian các thể lồi một metric. Metric này gọi là metric Hausdorff. 1.2. Metric Hausdorff 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử ( , ) n ρ ¡ là không gian metric, n A ⊂ ¡ và 0 ε > . Tập ( ) {x ( , ) } n A x A ε ρ ε = ∈ ≤¡ được gọi là ε − bao của A hoặc hình cầu mở rộng của A . * Ví dụ. 1 1 ( (O,1)) (O,2); ([0,1]) [ 1,2].B B= = − Gọi n C là họ các tập compact khác rỗng trong không gian metric ( , ) n ρ ¡ . Với mọi , n A B C∈ , đặt: ( , ) inf{ 0 ( ) H A B A B ε ρ ε = > ⊂ và ( ) } (1.1) B A ε ⊂ 1.2.2. Định lí. : n n H C C ρ × → ¡ là một metric. Ta gọi H ρ là metric Hausdorff. Chứng minh. a) (1.1) ( , ) 0, , . (1.2) n H A B A B C ρ ⇒ ≥ ∀ ∈ Lấy , n A B C∈ suy ra ,A B đóng trong . n ¡ Suy ra 0 ( )A A ε ε > ∩ = và 0 ( )B B ε ε > ∩ = . Rỏ ràng: ( , ) 0 0, ( ) H A B A B ε ρ ε = ⇔ ∀ > ⊂ và ( )B A ε ⊂ [...]... Borel của (0, ∞)} Suy ra V = ρ × σ trên AE suy ra V * = ρ × σ trên µ E Nhưng ∪{µ E E thuộc σ-đại số Borel của Sn−1} chứa tất cả các gian Borel của (0, ∞) × Sn−1 nên V * = ρ × σ trên tất cả các tập Borel W CHƯƠNG 2 HÀM ĐÁNH GIÁ VÀ ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Như đã nói trong phần mở đầu thì hàm đánh giá là một khái niệm khái quát của khái niệm độ đo, vì vậy nó cũng là khái niệm mở rộng của. .. Lebesgue trong ¡ n là bất biến, tăng và thuần nhất bậc n 2.1.6 Mệnh đề Tập các hàm đánh giá, tập các hàm bất biến đối với nhóm G , tập các hàm thuần nhất bậc p trên S là không gian tuyến tính con của không gian các hàm trên S với hai phép toán cộng và nhân một số với hàm số Tập các hàm tăng là khép kín đối với phép cộng và nhân vô hướng bởi một đại lượng dương Chứng minh i Giả sử Φ1 , Φ 2 : S → ¡ là các hàm. .. bao hàm loại trừ trên ℝ 2.1.4 Định lí Giả sử S là một họ các tập có tính chất giao và Φ : S → ¡ là một hàm đánh giá Khi đó các khẳng định sau tương đương: i Φ thỏa mãn công thức bao hàm- loại trừ trên S ii Φ có mở rộng duy nhất thành hàm đánh giá trên L( S ) Chứng minh ii => i Vì S có tính chất giao nên L( S ) bao gồm mọi giao có được của hữu hạn tập của S Nếu Φ có thể mở rộng thành hàm đánh giá trên. .. L( S ) là dàn sinh bởi S Giả sử S là một họ các tập hợp, S được gọi là có tính chất giao nếu A, B ∈ S thì A ∩ B ∈ S * Ví dụ 1 Đại số và σ − đại số là các dàn 2.Ta có σ − đại số sinh bởi tập hợp S là dàn sinh bởi S n n 3 K , P là những họ có tính chất giao 2.1.2 Định nghĩa Giả sử S là một dàn các tập hợp Một hàm thực Φ trên S được gọi là một hàm đánh giá trên S nếu: Φ (φ ) = 0 nếu φ ∈ S và Φ ( A ∪... ) = Φ( A) + Φ( B ) với A, B, A ∪ B, A ∩ B ∈ S Hàm đánh giá Φ được gọi là liên tục nếu nó liên tục với metric Hausdorff Hàm đánh giá Φ được gọi là đơn nếu ∀P ∈ S , dim P < n ⇒ Φ ( P) = 0 * Ví dụ Độ đo trên σ − đại số S là một hàm đánh giá trên S 2.1.3 Định nghĩa Giả sử ( L, ∩, ∪) là một dàn các phép toán của dàn là giao và hợp Φ : L → ¡ là hàm đánh giá trên L Khi đó ta có công thức sau: ) Φ(C1 ∪ C2... B) ⇒ Φ1 + Φ 2 là hàm tăng Giả sử Φ : S → ¡ là các hàm tăng Khi đó ∀A, B ∈ S sao cho A ⊂ B thì Φ ( A) ≤ Φ( B) ⇒ ∀λ ∈ ¡ , λ ≥ 0 ta được (λΦ )( A) ≤ (λΦ )( B) ⇒ λΦ là hàm tăng W Ta quan tâm đến các hàm đánh giá trên các tập lồi compact, đặc biệt là trên các đa diện lồi vì mỗi tập lồi compact luôn luôn xấp xỉ bởi một đa diện lồi n 2.1.7 Định lí Hàm đánh giá trên P thỏa mãn công thức bao hàm loại trừ Suy... D là các diện của tứ diện ABCD ; các tam giác ABC , ACD, ABD, BCD là các mặt của tứ diện ABCD n 1.4.3 Định lí Giả sử A ∈ K , ε > 0 và X là một hình đa diện lồi bị chứa trong A Khi đó tồn tại P ∈ Pn sao cho X ⊂ P ⊂ A ⊂ ( P )ε Chứng minh Vì A là tập compact nên có một phủ hữu hạn của nó gồm các hình cầu {B1 , B2 , , Bk } có tâm trong A sao cho Bi = ({x i })ε và các đỉnh của X thuộc tập {x1 ,x 2 ,... của sup, inf được xác định như trên được gọi là thể tích hoặc độ đo Jordan của J , ký hiệu là V ( J ) 2.1.12 Định lí Một thể lồi đo được Jordan n Chứng minh Nhắc lại kí hiệu T là tập hợp tất cả các thể lồi n n trong ¡ , Ω là tập hợp tất cả các tập đo được Jordan trong ¡ , n khi đó định lí trên được viết gọn ở dạng: T ⊂ Ω Giả sử C ⊂ T n Xét trường hợp C có điểm trong, từ định nghĩa độ đo Jordan và. .. đó của tứ diện ABCD và chỉ có các điểm chung đó với tứ diện ABCD là siêu phẳng tựa của tứ diện ABCD 1.4.2 Định nghĩa Giả sử P là một đa diện lồi và H là một siêu phẳng tựa của P Khi đó tập F = P ∩ H được gọi là diện của P Diện của P có số chiều lớn nhất được gọi là mặt của P 3 * Ví dụ Trong ¡ , cho tứ diện ABCD Khi đó các tam giác ABC , ACD, ABD, BCD , các cạnh AB,BC,…, các đỉnh A, B, C, D là các. .. diện tích và thể tích Ta sẽ đi xây dựng khái niệm tổng quát là thể tích của một thể lồi 2.1 Hàm đánh giá 2.1.1 Định nghĩa Xét họ các tập hợp L với quan hệ thứ tự trên L là quan hệ bao hàm Nếu với hai phần tử bất kì A, B ∈ L mà A ∪ B và A ∩ B cũng thuộc L thì L được gọi là một dàn Ký hiệu: ( L, ∩, ∪) Giả sử S là một họ các tập hợp Nếu tồn tại một họ L ( S ) chứa S sao cho ( L ( S ), ∩, ∪) là một dàn thì . BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LA THANH TÍN HÀM ĐÁNH GIÁ TRÊN DÀN CÁC TẬP HỢP VÀ ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc NGHỆ AN, 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO. 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LA THANH TÍN HÀM ĐÁNH GIÁ TRÊN DÀN CÁC TẬP HỢP VÀ ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC TÔPÔ Mà SỐ: 60.46.10 luËn v¨n th¹c. phép toán trên chúng; metric và độ đo… Chương 2. Trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến hàm đánh giá và các tính chất của hàm này. Tiếp theo chúng tôi trình bày một số ứng dụng của hàm đánh giá