Tập hợp, các phép toán trên tập hợp và ứng dụng của các phép toán trên tập hợp để giải bài toán

Từ cuối thể kỉ XIX, nhà toán học Đức G.Cantor đã xây dựng và đặt nền móng cho lí thuyết tập hợp, mà ngay nay gọi là lí thuyết ngây thơ về tập hợp, là phần kiến thức không thẻ thiếu đối

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lí đo chọn đề tài

Đại số là một lĩnh vực quan trọng của toán học Bộ phận của toán học nghiên cứu các tập hợp mà không quan tâm đến bản chất cụ thể các phần tử của

chúng Từ cuối thể kỉ XIX, nhà toán học Đức (G.Cantor) đã xây dựng và đặt nền

móng cho lí thuyết tập hợp, mà ngay nay gọi là lí thuyết ngây thơ về tập hợp, là

phần kiến thức không thẻ thiếu đối với những người học toán, những người dạy

toán và những người làm toán

Lí thuyết tập hợp đã phát triển rất nhanh ngay sau khi nó ra đời, ngày nay

đã đạt được những kết quá hết sức sâu sắc Các kiến thức về lí thuyết tập hợp là rất quan trọng Trong chương trình phổ thông các kiến thức này được cung cấp

từ lớp 1 đến lớp 12, từ đơn giản , sơ khai đến phức tạp và chuẩn xác dần Trong chương trình đại học, chúng tiếp tục được bổ sung trong các phần cơ sở của Đại

số và Giải tích Một số ngành học trong đó có ngành Giáo dục Tiểu học đã thiết

kế lí thuyết tập hợp thành những môn học riêng, đây là môn học rất hữu ích, không những là công cụ để học các môn học khác mà bản thân nó cũng là một môn học giúp sinh viên rất nhiều trong rèn luyện tư duy toán học nói riêng và tư duy lôgic nói chung

Với mong muốn tìm hiểu sâu về máng kiến thức này để phục vụ cho công tác giảng dạy đồng thời giúp các em học sinh có thêm nhiều kiến thức về tập hợp, dưới sự chỉ đạo hướng dẫn của Ban chủ nhiệm khoa và TH.S Nguyễn Thị Bình nên em đã chọn đề tài: “Tập hợp, các phép toán trên tập hợp và ứng dụng các phép toán trên tập hợp đề giải bài toán”

2 Mục đích, yêu cầu của đề tài

Đề tài nhằm hệ thống lại lí thuyết tập hợp, các phép toán trên tập hợp, kiến thức liên quan và ứng dụng các phép toán trên tập hợp để giải bài toán

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Lí thuyết tập hợp, các phép toán trên tập hợp, kiến thức liên quan và ứng dụng các phép toán trên tập hợp để giải bài toán

Phạm vi nghiên cứu: Do hạn chế về mặt thời gian cũng như năng lực của bản thân nên đề tài chỉ dừng lại ở lí thuyết tập hợp, các phép toán trên tập hợp, kiến thức liên quan và ứng dụng các phép toán trên tập hợp để giải bài toán

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu các vấn đề:

Chương I: Lí thuyết tập hợp

Chương II: Ứng dụng các phép toán trên tập hợp để giải bài toán

5 Phương pháp nghiên cứu

° Nghiên cứu, phân tích các tài liệu

Chương 1: Li thuyét tap hop

Người ta thường đặt tên tập hợp bằng chữ cái in hoa

Gọi A là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 6

B là tập hợp các chữ cái a, b, c Ta viết

A={0; I1; 2; 3; 4; 5} hoặc A={§; 4; 2; 3; l}

B=ía, b, c} hoặc B={b, c, a}

Chú ý 1: Các phần tử của một tập hợp được viết trong 2 đấu ngoặc nhọn { } cách nhau bởi dau “;” (nếu có phần tử là số) hoặc dấu “,”

Liệt kê các phần tử | Mô ta các phần tử Chỉ ra các tính chất đặc

trưng cho các phần tử

A là tập hợp các số

A={2; 3; 5; 7} nguyên tố nhỏ hơn 10 wee A={x | x là số nguyên tổ nhỏ hơn 10}

B là tập hợp các chữ cái B={m, a, t, c, h} '

trong từ “match”

B={x | x là các chữ cái trong từ “match”}

Nếu x không là phần tử thuộc A kí hiệu là x£A đọc là x không thuộc A

hoặc x không là phần tử của A

2 là phan tt cua A ki hiéu la 26 A

9 không là phần tử của A kí hiệu là 9£A

Ví dụ 2: B={x | x là nghiệm của phương trình (x— 1)(x— 3)= 0}

1.2.4 Lưu ý

a, Một tập hợp phải được xác định rõ ràng để tránh bắt kì những hiểu lầm

về một đối tượng là một phần tử hay không là phần tử của tập hợp

Ví dụ: Tập hợp các số nguyên dương là một tập hợp được xác định rõ

ràng (cho bất kì một số điện thọai chúng ta có thể dễ dàng nói nó là một số

nguyên dương)

b,Thứ tự các phần tử được viết không tạo ra sự khác biệt và mỗi phần tử

chỉ được liệt kê một lần

Ví dụ: A={các chữ cái trong từ “NHA TRANG”}

A={N, H, A, T, R, G} hoặc A={G, R,N, H, A, T}

Ví dụ 2: Với A= {x | x là bình phương các số tự nhiên và x<50}

B={x: x là số nguyên dương nhỏ hơn 10}

¡ Liệt kê các phần tử của A

ii Tim n(A)

a, A={các chữ cái trong từ “chiến

lược”}

b, A={các ngày trong tuần bắt đầu

bằng chữ “B”}

c,A={x|xe } d, A={x | x là số nguyên dương nhỏ

hơn 10}

e, A={x | x là số nguyên tô nhỏ hơn 20

g, A={x | x là bội số của 6 và

k, A={x | x là nghiệm của phương

trinh x7 -1=0} h, A={x | x=a’ +b’, a vab là số

tu nhién, 1<a<4 va 1<b<5}

1.3.3 Số tập con của một tập hợp hữu hạn

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Nếu A là một tập hợp có n phần tử thế A có tất cả bao nhiêu tập con? Ta chỉ xét trường hợp: n=0; l1; 2; 3; 4

a, Với n=0 ta có A=@

Hiển nhiên Ø chỉ có một tập con, đó chính là nó, tập hợp © Vay tập hợp

không có phần tử nào thì có một tập con

b,Với n=l

Giả sử A là tập hợp có một phần tử: A={a}(a là phần tử duy nhất của A)

Khi đó, các tập hợp Ø và {a} là tất cả các tập con của A

Ø, {a}, {b} và {a, b}

Đó là tất cả các tập con của A: P({a,b})={Ø, {a}, {b}, {a, b}}

Vậy A có tất cả 4 tập con

d, Voi n=3

Đề dễ hình dung, ta xét bài toán sau:

Giả sử có ba người a, b và c của một tập hợp A được mời đi khai mạc một

cuộc triển lãm( ba người được mời độc lập với nhau)

Hỏi có thể có bao nhiêu sự kết hợp khác nhau về sự có mặt của mỗi người trong ngày khai mạc triển lãm?

Ta hãy xét moi kha nang( a đến hoặc không, b đến hoặc không, c đến hoặc không) và biểu diễn chúng trên một cây chẻ đôi, tức là một cây mà mọi sự phân cành đều có được từ cặp “đến, không”

A đến dự b đến dự c đến dự

đến b—— Hong

Tập hợp tất cả các tập con của A là:

P({a, b, c})={ fa, b, c}; fa, b}; {a, c},{b, c}; fap; {b}; {c}; O}

Vay tap A={a, b, c} co tat ca 8 tap con

e, Voi n=4

Giá sử tập hợp B gồm bốn phần tử a, b, c, d: B={a, b, c, đ} Có thể nghĩ

đến một người thứ tư là d cũng được mời đến dự khai mạc triển lãm Khi đó, từ mỗi trường hợp trong § trường hợp vừa nêu trong d, sẽ có hai khả năng, tùy thuộc vào việc d đến hay không đến dự khai mạc Do đó tập hợp tất cả các tập con của tập hợp B là:

P(B)=P({a, b, c, d})={{a, b, c, d}; {a, b}; {a}; {b, c}; fa}; {b}; {ce}; Ø; {a, b, c, dj; {a, b, d}; {a, c, d}; {b, c, dj; {a, d}; {b, d}; {c, d}; {dj}

Vay tap hop B={a, b, c, d} có tat ca 16 tập con

Đó là 8 tập con của tập hợp A={a, b, c} va 8 tap hợp mới, nhận được bằng cách thêm d vào mỗi tập hợp con của A

Nếu tập A không bằng tập B ta viết AzB

Bài 1: Đánh đấu (⁄) vào ô vuông mà các tập hợp bằng nhau

Đánh dấu(X ) vào ô vuông mà các tập hợp không bằng nhau

a, A={chữ cái trong từ “algebra”}

B={cac chữ cai trong từ “beagle”}

Nếu mọi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B thì ta nói rằng tập A

là tập hợp con của tập B và viết ACB (đọc là A chứa trong B)

Thay ACB ta cũng có thể viết B¬A(đọc là B chứa A hoặc B bao hàm A) Tập hợp A không phải là tập con của B nếu có ít nhất một phần tử của A

không thuộc B ta viết A ØB

Vi du 1: A={a, b, c}

B={b, c, a}

=>AcB vi moi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B

BCA vi moi phan tir cua tap B cũng là phần tử của tập A

Vidu 2: Tap hop các số tự nhiên là một tap con cua tap hop _cac sd nguyén: ¢

Tap hop các số hữu tỉ là một tập con của tập hợp các số thực(vì mỗi

số hữu tỉ là một số thực): €

Chú ý 2: Khi ta có ACB va BCA nó có nghĩa là A và B có các phần tử

như nhau nên A=B

1.3.6 Tập con thực sự

Nếu mọi phần tử của tập A cũng là mọi phần tử của tập B nhưng tập B có

số phần tử nhiều hơn tập A thì tập A được gọi tập con thực sự của tập B.Kí hiệu

ACB đọc là A là tập con thực sự của tập B

Nếu A không là tập con thực sự của B thì ta viết AzB

Tính chất l: Ta có các tính chất sau

a) ACA voi moi tap hop A

b) Nếu ACB và BCC thi ACC (hinh vé sau)

c) ØĂCA với mọi tập hợp A

Chú ý 3: Chúng ta lưu ý giữa tập hợp con và phần tử thuộc tập hợp của

một tập hợp

Bài I:Nếu A={c, a, t} thì những câu sau đúng (T) hay sai(F)

a, Tìm số phần tử của mỗi tập hợp trên

b,Sử dụng các kí hiệu c, =, 4 để miêu tả mối quan hệ giữa các tập hợp

Bài 3: a ,Với A c B nếu n(B)=50 tìm số phần tử tối đa của tap A

b, Với CcD và DcC_ Nếu n(C)=20 tìm n(D) và nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp trên

Chang han, trong s6 hoc, người ta chỉ xét các tập con của tập hợp các số

Ơclit được xem là không gian

Ví dụ 1: Không gian tập hợp của tập A={táo, cam, chuối} có thể e={tất cả các loại trái cây}

Ví dụ 2: Không gian tập hợp của tập B={3; 6; 9; 12) có thể e={x | x là bội của 3}

e Cac phan tử 3, 6, 8 được đặt bên ngoai các vòng clip vì chúng không thuộc vào một trong hai tan A va B

1.4.2 Hai tập tách rời nhau

Nếu hai tập không có phần tử chung nào thì hai tập đó được gọi là hai tập

a Vẽ sơ đồ ven biểu diễn các tập hợp trên

b — Liệt kê các phần tử của A' và B'

Bài 2: Cho e={x | x là số nguyên dương nhỏ hơn 16}

A={x |x là bội của 5}

B={x | x là thừa số của 18}

a Liét ké cdc phan tir cua ¢, A, B, A’,B’

b Tim n(g), n(A), n(B), n( A’), n(B’)

1.5 Cac phép toan trén tap hop

1.5.1 Hop cia hai tập hợp

A©O4A,O 4, ={x|xe 4 hoặc xe 4, hoặc xe 4,}

Nếu là hợp của họ vô số tập hợp ta sẽ viết như sau:

AU4,U 24=Ù4 =fw|xe 4, với i=L2, } i=l

Tổng quát: cho một họ các tap hop {4,},., Khi do iel

U4.=fx|xe 4, với I nào đó}

iel

b.Định lí

Với các tập hợp bat ki A, B, C, D ta có:

i ACAUB, BCAUB

ii Néu ACC va BCC thi AUBCC

iii, Néu ACC va BCD thi AUBCCUD

(<=) Gia st AUB=B khi do theo i ta có:

Phan t6 dam 4’U B’ bao gém cdc

phan được tô đậm Bài tập twong tw

Bài : Với e={a, b, c, d, e, f, g}, A={b, e, d}, B={a, d, e, g} tim

a, A’ b, B’ c, (AUB) d, A'UB!

1.5.2 Giao của hai tập hop

a, định nghĩa

Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của hai tập hợp A và B

Kí hiệu C=AnB (phần tô đậm trong hình)

Vậy A¬B={x |xeA và xeB}

xe4 xEANBS

xeB

CO Giao cua hai tap hop

Phép toán giao cua hai tập hợp có thể định nghĩa cho 3,4, ,n tập hợp,khi

đó ta viết:

Tổng quát: Cho một họ vó số tập hợp 14,},, Khi đó iel

(\ 4, ={x|xe A, voi Viel}

ii, Néu ACB va ACC thi ACBAC

iii Néu ANB va COD thi ANCCBAD

iv ACB ANB=A

(©) Giá sử A¬B=A Khi đó, nếu xeA thì xeAB, do đó xeB Vay ACB

a, ANB b, (AB) c, ANC d, n(ANC)

e, A'AB f, AGB’ g, A'UB h,(A’UB’)

Bài tập 1: Với c={a, b, c, d, e, f, g}, A={a, d, f;, B={b, d, e, f} tìm

a (AB) b(AnaB) c, A'AB d, A'OB!

Bài tập 2: A={ (x,y) (x,y) nằm trên đường y= 2 +1}

B={(x, y) (x,y) nằm trên đương y=ax + b}

Nêu rõ các giá trị của a và b có thê có nêu

Bài tập 3: X={b, c, d} Y={a, b, c, d, e}

a, Tìm các phần tử của Z sao cho XLJZ=Y

b, Tìm các phần tử của Z sao cho Y¬Z=X

Bài tập 4: Sử dụng sơ đồ ven để trả lời các câu hỏi sau

iv, EUF’ v, E'OF'

` „ Những câu sau đúng hay sai

Những câu sau đúng hay sai

vi, 2€ F’ vii, 3E(EUF)

1.5.3 Hiệu và phần bù của hai tập hợp

Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A và B

Kí hiệu C=A\B (phần tô đậm trong hình)

Ví dụ 1: Giả sử tập hợp A là các học sinh giỏi của lớp I0E

A={An, Minh, Bao, Cuong, Vinh, Hoa, Lan, Tuệ, quý}

Tập hợp B là các học sinh của tổ 1 lớp 10E

B={An, Hùng, Tuấn, Vinh, Lê, Tâm, Tuệ, Quý}

Xác định tập C các học sinh giỏi của lớp 10E không thuộc tổ I

Bài làm

C={Minh, Bảo, Cường, Hoa, Lan}

Vi dụ 2: Gia sử D là tập hợp các hình chữ nhật, T là tập hợp các hình thoi Khi do D\T là tập hợp các hình chữ nhật mà không phải là hình thoi(đó cũng chính là tập hợp các hình chữ nhật mà không phải là hình vuông)

Ví dụ 3: Phần bù của tập các số tự nhiên trong tập các số nguyên là tập các số nguyên âm Phần bù của tập các số lẻ trong tập các số nguyên là tập các

số chẵn

1.5.4 Hiệu đỗi xứng

Cho hai tập A và B Ta gọi hiệu đối xứng của A và B là tập gồm các phần

tử chỉ thuộc A hoặc chỉ thuộc B không thuộc đồng thời cả A và B, kí hiệu là

Các đăng thức (0), (1ï) và (v) là hiển nhiên Các đẳng thức còn lại được

chứng minh tương tự nhau, ta chứng minh chẳng hạn:

1i,AC(BnaC)=E(AUB)¬(AUC)

Thật vậy:

xeAv/(BaC)

<©xeA hoặc xeBnC

<©xeA hoặc xeB và xeC

<xeA hoặc xeB và xeA hoặc xeC

=>(xeX và x£ 4)hoặc (xe X và x£8)—>xeA

hoặc xe# >xe4U#

có:

(C)Vye4'# — ye4 hoặc ye#—>(yexX và y# 4)

hoặc (yeX và y#B)> yeX và(y#4

hoặc y£ 8)—> yeX\(4¬B)=(4¬B}

Dinh li 2: Cho A và B là hai tập hữu hạn khi đó:

Vì AUB={áa,d, đ,„, 4 m 3" m+]3** 1, 5D, áiseessD, } nen \ nê

n(AUB)=k+(h — m)=k + h— m=n(A) + n(B) - n(A¬B)

Chứng minh tương tự ta được n(Ar5B)= n(A) + n(B)— n(AOB)

b, Do A=(A\B)U(ANB), (A\B)AANB)=@ nén

theo a, ta có n(A)=n(A\B) + n(AZ¬5B) suy ra

n(A\B)=n(A) - n(A¬B)

c, Do (A\B)¬(B\A)=Ø nên áp dụng a, và sau đó theo b, ta có:

n((A AB)=n((A\B)U(B\A))=n(A\B) + n(B\A)

=n(A) —n (ANB) + n(B) — n(BOA)

Ø hoặc {} Tập rỗng hoặc tập vô giá trị

AB Giao cua hai tap hop

Số nguyên tố là một số tự nhiên mà có đúng hai ước khác nhau là 1 và chính nó