LỜI NÓI ĐẦU
1 Lí đo chọn đề tài
Đại số là một lĩnh vực quan trọng của toán học Bộ phận của toán học nghiên cứu các tập hợp mà không quan tâm đến bản chất cụ thể các phần tử của
chúng Từ cuối thể kỉ XIX, nhà toán học Đức (G.Cantor) đã xây dựng và đặt nền
móng cho lí thuyết tập hợp, mà ngay nay gọi là lí thuyết ngây thơ về tập hợp, là
phần kiến thức không thẻ thiếu đối với những người học toán, những người dạy
toán và những người làm toán
Lí thuyết tập hợp đã phát triển rất nhanh ngay sau khi nó ra đời, ngày nay đã đạt được những kết quá hết sức sâu sắc Các kiến thức về lí thuyết tập hợp là rất quan trọng Trong chương trình phổ thông các kiến thức này được cung cấp từ lớp 1 đến lớp 12, từ đơn giản , sơ khai đến phức tạp và chuẩn xác dần Trong chương trình đại học, chúng tiếp tục được bổ sung trong các phần cơ sở của Đại
số và Giải tích Một số ngành học trong đó có ngành Giáo dục Tiểu học đã thiết
kế lí thuyết tập hợp thành những môn học riêng, đây là môn học rất hữu ích, không những là công cụ để học các môn học khác mà bản thân nó cũng là một môn học giúp sinh viên rất nhiều trong rèn luyện tư duy toán học nói riêng và tư duy lôgic nói chung
Với mong muốn tìm hiểu sâu về máng kiến thức này để phục vụ cho công tác giảng dạy đồng thời giúp các em học sinh có thêm nhiều kiến thức về tập hợp, dưới sự chỉ đạo hướng dẫn của Ban chủ nhiệm khoa và TH.S Nguyễn Thị Bình nên em đã chọn đề tài: “Tập hợp, các phép toán trên tập hợp và ứng dụng các phép toán trên tập hợp đề giải bài toán”
2 Mục đích, yêu cầu của đề tài
Đề tài nhằm hệ thống lại lí thuyết tập hợp, các phép toán trên tập hợp, kiến thức liên quan và ứng dụng các phép toán trên tập hợp để giải bài toán
Trang 2
3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Lí thuyết tập hợp, các phép toán trên tập hợp, kiến thức liên quan và ứng dụng các phép toán trên tập hợp để giải bài toán
Phạm vi nghiên cứu: Do hạn chế về mặt thời gian cũng như năng lực của bản thân nên đề tài chỉ dừng lại ở lí thuyết tập hợp, các phép toán trên tập hợp, kiến thức liên quan và ứng dụng các phép toán trên tập hợp để giải bài toán 4 Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu các vấn đề: Chương I: Lí thuyết tập hợp
Chương II: Ứng dụng các phép toán trên tập hợp để giải bài toán 5 Phương pháp nghiên cứu
Trang 3Chương 1: Li thuyét tap hop 1.1 Tập hợp Phần tử của tập hợp Khái niệm tập hợp thường được gặp trong toán học và cả trong đời sống Chăng hạn + Tập hợp các đồ vật (sách, bút) trên bàn + Tập hợp các học sinh của lớp 10B3 + Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 6 + Tập hợp các chữ cái a, b, c 1.2 Cách viết, các kí hiệu 1.2.1 Cách viết
Người ta thường đặt tên tập hợp bằng chữ cái in hoa Gọi A là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 6
B là tập hợp các chữ cái a, b, c Ta viết A={0; I1; 2; 3; 4; 5} hoặc A={§; 4; 2; 3; l} B=ía, b, c} hoặc B={b, c, a}
Trang 4Liệt kê các phần tử | Mô ta các phần tử Chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử A là tập hợp các số A={2; 3; 5; 7} nguyên tố nhỏ hơn 10 wee A={x | x là số nguyên tổ nhỏ hơn 10} B là tập hợp các chữ cái B={m, a, t, c, h} ' trong từ “match” B={x | x là các chữ cái trong từ “match”} C là tập hợp các số tự C={1;2; 3; 4; 5 } nhiên cà C={x|xe } 1.2.3 Kí hiệu Nếu x là một phần tử thuộc tập A kí hiệu là xeA đọc là x thuộc A hoặc x là một phần tử của A
Nếu x không là phần tử thuộc A kí hiệu là x£A đọc là x không thuộc A
hoặc x không là phần tử của A e Là một phần tử ¢ Khơng là một phần tử Ví du 1: A={2; 4; 6; 8}
2 là phan tt cua A ki hiéu la 26 A
9 không là phần tử của A kí hiệu là 9£A
Trang 51.2.4 Lưu ý
a, Một tập hợp phải được xác định rõ ràng để tránh bắt kì những hiểu lầm
về một đối tượng là một phần tử hay không là phần tử của tập hợp
Ví dụ: Tập hợp các số nguyên dương là một tập hợp được xác định rõ
ràng (cho bất kì một số điện thọai chúng ta có thể dễ dàng nói nó là một số
nguyên dương)
b,Thứ tự các phần tử được viết không tạo ra sự khác biệt và mỗi phần tử
chỉ được liệt kê một lần
Ví dụ: A={các chữ cái trong từ “NHA TRANG”}
Trang 6b, Ki hiệu Số phần tử của tập hợp A được kí hiệu là n(A) Ví dụ 1 : Ở ví dụ trên n(D)=1 n(E)=2 n(F)=11 n(K)=Ø
Ví dụ 2: Với A= {x | x là bình phương các số tự nhiên và x<50} B={x: x là số nguyên dương nhỏ hơn 10} C={x: x=2k+l, 3<k<7, k là số nguyên} a, Liệt kê các phần tử của A, B và C b, Tìm n(A), n(B) và n(C) Bài giải a, A={1°;27;3°;47;5°36°:7"} ={1; 4; 9; 16; 25; 36; 49} B={l; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} C={2(4)+1; 2(5)+1; 2(6)+1} ={9; I1; 13} b, n(A)=7 n(B)=9 n(C)=3 Bài tập tương tự: Bài tập:
¡ Liệt kê các phần tử của A ii Tim n(A)
Trang 7
a, A={các chữ cái trong từ “chiến lược”} b, A={các ngày trong tuần bắt đầu bằng chữ “B”} c,A={x|xe } d, A={x | x là số nguyên dương nhỏ hơn 10} e, A={x | x là số nguyên tô nhỏ hơn 20
} f, A={x | x là thừa số của 18}
g, A={x | x là bội số của 6 và
3<x<30} h, A={x | x=2k+1, k là số nguyên dương nhỏ hơn 5} ¡, A={x |x là nghiệm của phương trình (x+2)(x-5)=0} j, A={x | x là số tự nhiên và 3x-1<9}
k, A={x | x là nghiệm của phương
trinh x7 -1=0} h, A={x | x=a’ +b’, a vab là số tu nhién, 1<a<4 va 1<b<5}
1.3.3 Số tập con của một tập hợp hữu hạn
Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Nếu A là một tập hợp có n phần tử thế A có tất cả bao nhiêu tập con? Ta chỉ xét trường hợp: n=0; l1; 2; 3; 4
a, Với n=0 ta có A=@
Hiển nhiên Ø chỉ có một tập con, đó chính là nó, tập hợp © Vay tập hợp
không có phần tử nào thì có một tập con
b,Với n=l
Giả sử A là tập hợp có một phần tử: A={a}(a là phần tử duy nhất của A)
Trang 8Ø, {a}, {b} và {a, b}
Đó là tất cả các tập con của A: P({a,b})={Ø, {a}, {b}, {a, b}} Vậy A có tất cả 4 tập con
d, Voi n=3
Đề dễ hình dung, ta xét bài toán sau:
Giả sử có ba người a, b và c của một tập hợp A được mời đi khai mạc một
cuộc triển lãm( ba người được mời độc lập với nhau)
Hỏi có thể có bao nhiêu sự kết hợp khác nhau về sự có mặt của mỗi người trong ngày khai mạc triển lãm?
Ta hãy xét moi kha nang( a đến hoặc không, b đến hoặc không, c đến hoặc không) và biểu diễn chúng trên một cây chẻ đôi, tức là một cây mà mọi sự phân cành đều có được từ cặp “đến, không” A đến dự b đến dự c đến dự đến b—— Hong : a on a đến kh ến kh geo abe a 4 ab đến ic a ˆ be b a b 1e é c 0 = 0
Trên hình ta thấy có tất cả 8 khả năng, mỗi khả năng tương ứng với một tap con cua A={a, b, c}, ké ca tập con la ©
Trang 9
Tập hợp tất cả các tập con của A là:
P({a, b, c})={ fa, b, c}; fa, b}; {a, c},{b, c}; fap; {b}; {c}; O}
Vay tap A={a, b, c} co tat ca 8 tap con e, Voi n=4
Giá sử tập hợp B gồm bốn phần tử a, b, c, d: B={a, b, c, đ} Có thể nghĩ
đến một người thứ tư là d cũng được mời đến dự khai mạc triển lãm Khi đó, từ mỗi trường hợp trong § trường hợp vừa nêu trong d, sẽ có hai khả năng, tùy thuộc vào việc d đến hay không đến dự khai mạc Do đó tập hợp tất cả các tập con của tập hợp B là:
P(B)=P({a, b, c, d})={{a, b, c, d}; {a, b}; {a}; {b, c}; fa}; {b}; {ce}; Ø; {a, b, c, dj; {a, b, d}; {a, c, d}; {b, c, dj; {a, d}; {b, d}; {c, d}; {dj}
Vay tap hop B={a, b, c, d} có tat ca 16 tập con
Đó là 8 tập con của tập hợp A={a, b, c} va 8 tap hợp mới, nhận được bằng cách thêm d vào mỗi tập hợp con của A Như vậy Tập hợp Ø có I=2”tập con Tập hợp có 1 phần tử có 2= 2! tập con Tập hợp có 2 phan tử có tất cá 4= 2” tập con Tập hợp có 3 phần tử có tất cả 8= 2Ỷ tập con Tập hợp có 4 phần tử có tất cả 16 = 2 tập con Tập hợp có n phần tử có tất cả 2” tập con Vậy bằng phương pháp quy nạp, có thể chứng minh được rằng tập hợp có n phần tử có tất cả 2" tập hợp con 1.3.4 Hai tập hợp bằng nhau
Hai tập hợp bằng nhau nếu chúng có chứa các phần tử tương tự nhau Nếu hai tập hợp A và B bằng nhau ta viết A=B Ở đây mỗi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B
Trang 10
Nếu tập A không bằng tập B ta viết AzB Ví dụ 1: A={1; 2; 3; 4} B={4; 3; 2; 1} =>A=B Vi du 2: G={c, a, t, cat} H={c, a, t}
=GzH vì tập G có một phần tử là từ “cat”, từ “cat” không phải là một phần tử của H mặc dù các chữ cái riêng lẻ đều thuộc H
Bài tập tương tự:
Bài 1: Đánh đấu (⁄) vào ô vuông mà các tập hợp bằng nhau Đánh dấu(X ) vào ô vuông mà các tập hợp không bằng nhau
a, A={chữ cái trong từ “algebra”} B={cac chữ cai trong từ “beagle”}
LÌ
Trang 11G={x | x là số nguyên tố nhỏ hơn 10} H={x|xe ` và x>4} IE{7; 2; 5; 3) J={x|xe vàx>5} 1.3.5 Tập hợp con
Nếu mọi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B thì ta nói rằng tập A là tập hợp con của tập B và viết ACB (đọc là A chứa trong B)
Thay ACB ta cũng có thể viết B¬A(đọc là B chứa A hoặc B bao hàm A) Tập hợp A không phải là tập con của B nếu có ít nhất một phần tử của A
không thuộc B ta viết A ØB
Vi du 1: A={a, b, c} B={b, c, a}
=>AcB vi moi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B BCA vi moi phan tir cua tap B cũng là phần tử của tập A
Vidu 2: Tap hop các số tự nhiên là một tap con cua tap hop _cac sd nguyén: ¢
Tap hop các số hữu tỉ là một tập con của tập hợp các số thực(vì mỗi số hữu tỉ là một số thực): €
Chú ý 2: Khi ta có ACB va BCA nó có nghĩa là A và B có các phần tử
như nhau nên A=B
1.3.6 Tập con thực sự
Nếu mọi phần tử của tập A cũng là mọi phần tử của tập B nhưng tập B có
số phần tử nhiều hơn tập A thì tập A được gọi tập con thực sự của tập B.Kí hiệu
ACB đọc là A là tập con thực sự của tập B
Nếu A không là tập con thực sự của B thì ta viết AzB
Trang 12
c Tập con Ø Không là tập con c Tập con thực sự Zz Không là tập con thực sự Vi du 1:A={p, q, r} B={q, r, p} C={p, q, 1, t, s, u} = ACC vì mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập C nhưng C có số phần tử nhiều hơn tập A Tương tự ta có B=C =A=B vì mỗi phần tử của tập A đều là phan tử của tập B và ngược lại Ví dụ 2: Tập hợp C các hình chữ nhật là tập con thực sự của tập hợp T các hình bình hành vì mỗi hình chữ nhật là một hình bình hành: CT Tính chất l: Ta có các tính chất sau a) ACA voi moi tap hop A
b) Nếu ACB và BCC thi ACC (hinh vé sau) c) ØĂCA với mọi tập hợp A
Chú ý 3: Chúng ta lưu ý giữa tập hợp con và phần tử thuộc tập hợp của
một tập hợp
Trang 13
trên Ví dụ 1:1e{1; 2; 3}, {1}£{1; 2; 3} Ví dụ 2: {1}C{1; 2; 3}, lợ{1; 2; 3} vì I không là một tập hợp Vi du 3: {b} € {a, {b}, c} Bài tập tương tự
Bài I:Nếu A={c, a, t} thì những câu sau đúng (T) hay sai(F)
a, {a, c}CA [| d, {a, t}ZA [| b, SCA LÌ e, {c} CA LÌ c, {Ø}=Ø [| f, ACA LÌ Bài 2: A={x | x là số nguyên đương lẻ nhỏ hơn 6} B={x | x là nghiệm của (x-1)(x-5)= 0} C={xlxe và x<6} D={l; 5;
a, Tìm số phần tử của mỗi tập hợp trên
b,Sử dụng các kí hiệu c, =, 4 để miêu tả mối quan hệ giữa các tập hợp
Bài 3: a ,Với A c B nếu n(B)=50 tìm số phần tử tối đa của tap A
b, Với CcD và DcC_ Nếu n(C)=20 tìm n(D) và nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp trên 1.3.7 Không gian tập hợp Không gian tập hợp, kí hiệu e là tập hợp chứa tất cả các phần tử được xét trong một vấn đề được xem là không gian và trong hình học, tập hợp các điểm của không gian b Không gian tập hợp
Chang han, trong s6 hoc, người ta chỉ xét các tập con của tập hợp các số
Ơclit được xem là không gian
Ví dụ 1: Không gian tập hợp của tập A={táo, cam, chuối} có thể e={tất cả các loại trái cây}
Trang 14
Ví dụ 2: Không gian tập hợp của tập B={3; 6; 9; 12) có thể e={x | x là bội của 3}
1.4 Sơ đồ ven
1.4.1 Sơ đỗ ven
Chúng ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một vòng kín được gọi là sơ đồ ven như hình vẽ Ví dụ :Với e={l; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} A={2; 4; 5} B={1; 2; 5; 7} Su dung so đồ ven để minh họa các tập hợp trên cl3 6 A B 8 I e2 và 5 là các phần tử chung của tập A và B được đặt trong phần chung của tập A và B tức là nơi hai vòng elip chồng lên nhau e Cac phan tử 3, 6, 8 được đặt bên ngoai các
vòng clip vì chúng không thuộc vào một trong hai tan A va B
Trang 15
1.4.2 Hai tập tách rời nhau
Nếu hai tập không có phần tử chung nào thì hai tập đó được gọi là hai tập tách rời nhau Ví du 1: Voi e={p, q, 1, s, t, u}, C={p, t, u}, D={r, s} st dụng sơ đồ khối để vẽ các tập hợp trên & Tập C và D không có bất kì phần chung nào trong sơ đồ ven vì chúng không có phần tử chung nào —— Ví dụ 2: Nếu c={ 5; 10; 15; 20; 25}, P={5; 10} vàQ={§; 10; 15}, dùng sơ đồ ven để biểu thị mấy tập hợp trên £|20 20 Tất cả số phần tử của tập P đều là số phần tử của tập Q Do đó ta vẽ #—— một vòng tròn nhỏ P nằmbên trong vòng tròn của Q P=Q
Ví dụ 3: Nếu D là tập hợp các tam giác đều và V là tập hợp các tam giác vuông thì D và V là hai tập rời nhau
Thật vậy một tam giác không thê vừa đều vừa là vng Do đó Dn¬V=Ø
Trang 16
1.4.3 Phần bù của tập hợp
a, Định nghĩa
Phần bù của tập A viết là 4“ là tập tất cả các phần tử trong không gian tập hợp X mà không phải là trong tập hợp A Chúng ta đọc 4“ là tập bù của tập A A“={x|xeX và x£A} e Phần tô đậm chính là phần biêu thịtập 4 b, Tính chất ANX=A A2=Ø A\O=A AUX=X AUØ=A Ví dụ :Với e={3; 4; 5; 7; 9} và A={4;7; 9} tìm 4/ € 4 Phân tô đậm chính là ần tô đâm chính là phân biêu thị tập 4’ A'={3;5} << la phan tử trong e nhưng không trong A Bài tập tương tự: Bài I:Với e={11; 12; 13; 14; 15; 16;1 7; 18} A={12; 14; 16; 18} B={11; 13; 15; 17}
a Vẽ sơ đồ ven biểu diễn các tập hợp trên
Trang 17b — Liệt kê các phần tử của A' và B'
Bài 2: Cho e={x | x là số nguyên dương nhỏ hơn 16}
A={x |x là bội của 5} B={x | x là thừa số của 18}
a Liét ké cdc phan tir cua ¢, A, B, A’,B’ b Tim n(g), n(A), n(B), n( A’), n(B’) 1.5 Cac phép toan trén tap hop
1.5.1 Hop cia hai tập hợp a Dinh nghia
Tập hợp C gồm các phần tử thuộc tập A hoặc thuộc tập B được gọi là hợp của hai tập hop A va B Kí hiệu C= 4U 8 ={x |xeA hoặc xeB)} xeA AUBS xe xeB U Hop cua hai tap hop Phan tô đậm chính là phan biêu thị 428 Phép toán hợp các tập hợp có thể được định nghĩa cho 3, 4, , n tập hợp Khi đó ta viết:
A©O4A,O 4, ={x|xe 4 hoặc xe 4, hoặc xe 4,}
Nếu là hợp của họ vô số tập hợp ta sẽ viết như sau:
Trang 18
AU4,U 24=Ù4 =fw|xe 4, với i=L2, } i=l
Tổng quát: cho một họ các tap hop {4,},., Khi do iel U4.=fx|xe 4, với I nào đó}
iel
b.Định lí
Với các tập hợp bat ki A, B, C, D ta có: i ACAUB, BCAUB
ii Néu ACC va BCC thi AUBCC iii, Néu ACC va BCD thi AUBCCUD
iv ACBSAUB=B
Chứng mình
ii Giả sử ACcC và BCcC Khi đó nếu xeACB thì xeA hoặc xeB do đó xeC Vay AUBCC
iv (>) Giá sử ACB khi đó nếu xeAUB thì xeB do đó xeACB do đó xeB Vậy AUBCB Mặt khác theo I ta có B=AUB nên từ hai bao hàm thức vừa néu suy ra AUB=B
Trang 20c) AUB' © T6 dim mién A € A © Tơ đậm miền B’ €
Trang 21d) A'UB @ T6 dim mién 4” & Aa @ T6 dim mién B
Mién t6 dam A’UB bao gom cac phân được tô đậm
Trang 22
e) A'UB' ® Tơ đậm miền 4’ € € © Tô đậm mién B’ €
Phan t6 dam 4’U B’ bao gém cdc
phan được tô đậm Bài tập twong tw
Bài : Với e={a, b, c, d, e, f, g}, A={b, e, d}, B={a, d, e, g} tim
a, A’ b, B’ c, (AUB) d, A'UB!
1.5.2 Giao của hai tập hop a, định nghĩa
Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của hai tập hợp A và B
Kí hiệu C=AnB (phần tô đậm trong hình) Vậy A¬B={x |xeA và xeB}
Trang 23
xe4 xEANBS xeB CO Giao cua hai tap hop Phép toán giao cua hai tập hợp có thể định nghĩa cho 3,4, ,n tập hợp,khi đó ta viết:
Tổng quát: Cho một họ vó số tập hợp 14,},, Khi đó iel
(\ 4, ={x|xe A, voi Viel} iel Giao của các tập hợp là phần chung của các tập hợp b, Định lí Với các tập hợp bat ki A, B,C, D taco: i, ANBCA, ANBCB
ii, Néu ACB va ACC thi ACBAC iii Néu ANB va COD thi ANCCBAD iv ACB ANB=A
Trang 24
Chứng mình:
ii Giả sử ACB, AcC và x là một phần tử bất kì của A Khi đó xeB va
xeC do đó xeBnC
iv (=>) Giá sử ACB khi đó nếu xeA thì xeB do dé xe ANB, Tt dé ta cd ACAnB Mặt khác, theo ¡ A¬BCA Từ hai bao hàm đẳng thức trên suy ra AnB=A (â) Giỏ s AơB=A Khi đó, nếu xeA thì xeAB, do đó xeB Vay ACB Ví dụ 1: Cho tập hợp A={xe |2x-1<0} Tim AQ (_ là tập hợp các số tự nhiên) , 1 Ta có: A={xe€ |x<51 Do đóAm ={Ø} Vi dụ 2: Với e={8; 9; 10; ;16} A={8; 10; 12; 14; 15; 16} B={11; 12; 13; 14} C={9; 11; 13; 15} Tim
Trang 25g, A'UB={9; 11; 13; 15$}U{11; 12; 13; 14} ={9; 11; 12; 13; 14; 15} h, A'UB'={9; 11; 13; 15}U{8; 9; 10; 15; 16} ={8; 9; 10; 11; 13; 15; 16} = (A’'UB) ={12; 14} Bài tập tương tự
Bài tập 1: Với c={a, b, c, d, e, f, g}, A={a, d, f;, B={b, d, e, f} tìm
a (AB) b(AnaB) c, A'AB d, A'OB!
Bài tập 2: A={ (x,y) (x,y) nằm trên đường y= 2 +1}
B={(x, y) (x,y) nằm trên đương y=ax + b} Nêu rõ các giá trị của a và b có thê có nêu
a, A=B b, AN B=
Bài tập 3: X={b, c, d} Y={a, b, c, d, e}
a, Tìm các phần tử của Z sao cho XLJZ=Y
b, Tìm các phần tử của Z sao cho Y¬Z=X
Trang 26
Bài tập 4: Sử dụng sơ đồ ven để trả lời các câu hỏi sau a, b, € € g f u Tim Tim
i, n(A) ii, n(B') i, n(é) ii, n(C’)
iii, AUB iv, ANB ili, n(CUD) iv, C'AD €, đ, £13 10 é 5 3 9 Tim Tim in(EOF) iin(EUF) |i, @ ii, n(GUH) iii,(EAF) i, GOH
- iv, GUH' vy, GUH'
iv, EUF’ v, E'OF'
` „ Những câu sau đúng hay sai Những câu sau đúng hay sai
: vi, SC H' vii, 2€GAH
Trang 271.5.3 Hiệu và phần bù của hai tập hợp
Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A và B Kí hiệu C=A\B (phần tô đậm trong hình) Vay A\B={x|xe Ava x¢B} e Khi BCA thì A\B gọi là phần bù của B trong A Kí hiệu CB (phần tô đậm trong hình)
Ví dụ 1: Giả sử tập hợp A là các học sinh giỏi của lớp I0E
A={An, Minh, Bao, Cuong, Vinh, Hoa, Lan, Tuệ, quý} Tập hợp B là các học sinh của tổ 1 lớp 10E
B={An, Hùng, Tuấn, Vinh, Lê, Tâm, Tuệ, Quý}
Xác định tập C các học sinh giỏi của lớp 10E không thuộc tổ I Bài làm
C={Minh, Bảo, Cường, Hoa, Lan}
Trang 28
Vi dụ 2: Gia sử D là tập hợp các hình chữ nhật, T là tập hợp các hình thoi Khi do D\T là tập hợp các hình chữ nhật mà không phải là hình thoi(đó cũng chính là tập hợp các hình chữ nhật mà không phải là hình vuông)
Ví dụ 3: Phần bù của tập các số tự nhiên trong tập các số nguyên là tập các số nguyên âm Phần bù của tập các số lẻ trong tập các số nguyên là tập các
số chẵn
1.5.4 Hiệu đỗi xứng
Cho hai tập A và B Ta gọi hiệu đối xứng của A và B là tập gồm các phần
Trang 29AU(Bn¬C)=(AUOB)¬(AUC) iv.Luat đối ngâũ Do-Mooc-gan: a, ABOC)=(A\B)¬(A\C) A\(BNC)=(A\B)U(A\C) b, Với X là không gian tập hợp (4AOUBðÿY=4n# (4a¬aB2=4vU# v.Luật nuốt Nếu ACB thì AB=B,A¬B=A Chứng minh
Các đăng thức (0), (1ï) và (v) là hiển nhiên Các đẳng thức còn lại được
chứng minh tương tự nhau, ta chứng minh chẳng hạn: 1i,AC(BnaC)=E(AUB)¬(AUC)
Thật vậy:
xeAv/(BaC)
<©xeA hoặc xeBnC <©xeA hoặc xeB và xeC
<xeA hoặc xeB và xeA hoặc xeC ©xe€eAUB v xeAUC âxe(AUB)ơ(AUâ), Ngha l cú đẳng thức cần chứng minh iv.ta ching minh (A B)'= A'UB' (Œ)Vxe(4¬B}=X\(4¬B)—>xeX và x#£AB—>xexX và (x# A4 hoặc x£ B)
=>(xeX và x£ 4)hoặc (xe X và x£8)—>xeA hoặc xe# >xe4U#
=(4nBỳcC 4U (1)
Trang 30
có:
(C)Vye4'# — ye4 hoặc ye#—>(yexX và y# 4) hoặc (yeX và y#B)> yeX và(y#4
Trang 31Dinh li 2: Cho A và B là hai tập hữu hạn khi đó: a,n(AUB)=n(A) + n(B) - n(An¬B) n(A¬B}= n(A) + n(B) - n(AUB) b,n(A\B)=n(A) — n(AMB) c,n(A AB)=n(A) + n(B)— 2n(AnB) Chứng minh a, Giả sử n(A)=k, n(B)=h Trường hợp A¬B=@ Đặt A={a,, đ, 4, } , Đ={b,,b, b„} thì AOB={áa,, d,, , 4, 55,, b,, 5, } do d6 n(AUB)=k + h=n(A) + n(B) Trường hợp AB có m phần tử: Dat ANB={4,,4,, ,4,, } Khi d6 A={ 4,0, Gn 5.050), 5 Engi oe G f B={4a,đ,, đ„„„Ð„„.1» Ð, } m2
Vì AUB={áa,d, đ,„, 4 m 3" m+]3** 1, 5D, áiseessD, } nen \ nê n(AUB)=k+(h — m)=k + h— m=n(A) + n(B) - n(A¬B)
Chứng minh tương tự ta được n(Ar5B)= n(A) + n(B)— n(AOB) b, Do A=(A\B)U(ANB), (A\B)AANB)=@ nén
theo a, ta có n(A)=n(A\B) + n(AZ¬5B) suy ra n(A\B)=n(A) - n(A¬B)
c, Do (A\B)¬(B\A)=Ø nên áp dụng a, và sau đó theo b, ta có: n((A AB)=n((A\B)U(B\A))=n(A\B) + n(B\A)
Trang 321.6 Tóm tắt kiến thức 1.6.1 Các kí hiệu € Phần tử thuộc tập hợp £ Phần tử không thuộc tập hợp c Là tập con Ø Không là tập con c Tập con thực sự Zz Không là tập con thực sự n(A) Số phần tử của tap hop A 8 Không gian tập hợp
Ø hoặc {} Tập rỗng hoặc tập vô giá trị
A’ Tap bố sung cua A
AUB Hop cua hai tap hop
AB Giao cua hai tap hop
\ Hiéu cua hai tap hop
Trang 33Số nguyên tố là một số tự nhiên mà có đúng hai ước khác nhau là 1 và chính nó
Vi du: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 173
Hop số là số tự nhiên có nhiều hơn 2 ước khác nhau
Ví dụ: 4; 6; §; 9; 10; 12;
Số thực : Tập hợp các số thực gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hồn và vơ hạn khơng tuần hồn Các số thập phân vô hạn khơng tuần hồn
Trang 34Chương 2: Ứng dụng các phép toán trên tập hợp để giải
bài toán
1 Ứng dụng các phép toán tập hợp để giải bài toán đồ
Ví dụ 1: Trong số 200 học sinh của một trường học có 50% số người biết chơi bóng chuyền, 65% số người biết chơi bóng bàn, còn 15% số người không
biết chơi môn nào cả Hỏi có bao nhiêu người biết chơi đồng thời cả hai loại bóng? Bài giải 200
Theo đầu bài:
Có 50% số người biết chơi bóng chuyền -> có 100 học sinh biết chơi bóng chuyền
Có 65% số người biết chơi bóng bàn -—> có 130 học sinh biết chơi bóng
bàn
Có 15% số người không biết chơi môn nào cả -> có 30 người không biết
chơi môn nào
Gọi A là tập hợp học sinh biết chơi bóng chuyền B là tập hợp học sinh biết chơi bóng bàn
Trang 35n(C)=30 n(AUB)=200 — 30=170 n(AUBUC)=200 Ta phải tìm n(A¬B) n(A¬B)=n(A) + n(B)— n(AUB) =100 + 130 —170=60
Vậy có 60 em biết cả hai môn bóng chuyền và bóng bàn
Ví dụ 2: Thầy giáo chủ nhiệm cho biết lớp có 50 học sinh trong đó có 25 học sinh giỏi văn, 30 học sinh giỏi toán, 10 học sinh giỏi cả văn và toán Hỏi trong lớp có bao nhiêu học sinh
toán
a, giỏi ít nhất môn văn hoặc tốn
b, khơng giỏi mơn nào trong hai mơn tốn và văn c,chỉ giỏi văn hoặc toán
Bài giải
Gọi X là tập các học sinh của lớp A là tập các học sinh giỏi toán
B là tập các học sinh giỏi văn
Khi do AUB 1a tap cac hoc sinh giỏi ít nhất mơn văn hoặc tốn A&B la tập các học sinh giỏi cả văn và toán
X\( AUB) là tập các học sinh không giỏi môn nào trong hai môn văn và
Trang 36Vậy có 45 học sinh giỏi ít nhất mơn văn hoặc tốn b,n(X\( AUB))=n(X)-n(AUB)
=50 — 45=5
Vậy có 5 học sinh không giỏi môn nào trong hai mơn văn và tốn c,n(A AB)=n(A) + n(B)- 2n(An¬B)
=30 + 25 - 20=35
Vậy có 35 học sinh chỉ giỏi văn hoặc toán
Ví dụ 3: Kết quả điều tra ở một lớp học sinh cho thấy có 22 học sinh thích bóng đá, 19 học sinh thích bơi, 25 học sinh thích cầu lông, 13 học sinh thích bơi và cầu lông, 15 học sinh thích bóng đá và cầu lông, 9 học sinh thích cả 3 môn, 12 học sinh không thích môn nào Tính xem lớp có bao nhiêu học sinh? Bài giải Goi A la tap hop các học sinh thích bóng đá B là tập hợp các học sinh thích bơi C là tập hợp các học sinh thích cầu lông Khi đó
Trang 37=n(AUB) + n(C)— n((AvB)¬C)
=n(A) + n(B) — n(AMB) + n(C) = (ANC)L(BAC)
=n(A) + n(B) + n(C) =n(AB) -[n(AnC) + n(BaC) - nA¬C¬BaC)] =n(A) + n(B) + n(C)— n(A¬B) ~ n(A^€) - n(BS€) + nABaC) =22+19+25—13—13—15+9
=34
Vậy lớp có 34 + 12=46 học sinh
Ví dụ 4: Tổng kết đợt thi đua “100 điểm 10 đâng tặng thầy cô” lớp 6A có 43 bạn được từ I điểm 10 trở lên, 39 bạn được từ 2 điểm 10 trở lên, 14 bạn được
từ 3 điểm 10 trở lên, 5 bạn được 4 điểm 10, không có ai được trên 5 điểm 10 Tính xem trong đợt thi đua đó lớp 6A có bao nhiêu điểm 102
C,D
Bài giải
Gọi tập hợp các học sinh đạt ít nhất 4, 3, 2, I điểm 10 theo thứ tự là A, B,
Theo dé bai các tập hợp này gồm 5, 14, 39, 43 người Ta có AcBcCcD Số học sinh đạt 1 điểm 10 là 43 — 39=4 Số học sinh đạt 2 điểm 10 là 39 — 14=25 Số học sinh đạt 3 điểm 10 là 14 - 5=9 Số điểm 10 của lớp 6A đạt được là 1.44+2.25+3.9+4.5=101
Ví dụ 5: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số, không chia hết cho số nào trong hai số 3 và 5? Tìm tổng của chúng
Trang 38
Bài giải Gọi A là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3 có hai chữ số B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 5 có hai chữ số E là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số Các số tự nhiên có hai chữ số là 10, 11, 12, , 99 gồm 90 số(số phần tử của E) Trong đó: Có 30 số chia hết cho 3 >n(A)=30 Có 18 số chia hết cho 5 > n(B)=18
Có 6 số chia hêt cho đồng thời cả 3 và 5 ->n(A¬B)=6 Các số chia hết cho ít nhất một trong hai số 3 và 5 gồm:
n(AvB)=n(A) + n(B)— n(An¬B)=30 + 18 - 6=42
Các số không chia hết cho số nào trong hai số 3 và 5 gồm 90-42=48 số Tổng các số tự nhiên có hai chữ số không chia hết cho số nào trong hai số
3 va5 la S=S, —(S, +S, —S,), trong do:
S,là tổng các số có hai chữ số( tổng các số thuộc E)
Š, là tổng các số chia hết cho 3 có hai chữ số( tổng các số thuộc A)
S, la tổng các số chia hết cho 5 có hai chữ só( tổng các sé thuộc B)
S, là tổng các số chia hết cho đồng thời cả 3 và 5 có hai chữ
Trang 39Ví dụ 6: Cho hai tập hợp A và B Biết rằng số phần tử chung của A và B bằng nửa số phần tử của B và hợp của hai tập hợp A và B gồm 7 phần tử Hãy tìm số phần tử của mỗi tập hợp Bài giải Gọi số phần tử của tập hợp A là a ->n(A)=a Số phần tử của tập hợp B là b —>n(B)=b Theo dé bai : A x * _ > 3 * A x _ * b So phan tử chung của A và B băng nửa sô phan tử của B —>n(AnB)=> Hợp của hai tập hợp A và B gồm 7 phần tử b b —>n(AtB)=a + b_— —=a + —=7 2 2 Ta có hệ: a+—=7 a> b 2 Suy ra b=0 a=7 Hoặc b=2 a=5 (vì a, b là những số nguyên không âm) Hoặc b=4 a=5 Hoặc b=6 a=4 Bài tập tương tự:
Bài I: Trong một lớp học có 20 em xin được bồi dưỡng thêm chỉ một mơn
tốn, có 4 em xin được bồi dưỡng một môn văn, I5 em xin được bồi dưỡng môn tiếng anh trong đó có 8 em xin chỉ bồi dưỡng môn tiếng anh, 2 em xin bồi đưỡng
thêm cả 3 mơn văn, tốn, tiếng anh, 3 em xin bồi dưỡng văn và toán, 5 em xin
bồi dưỡng thêm tiếng anh và toán
a, Có bao nhiêu học sinh được bồi dưỡng thêm văn và tiếng anh?
Trang 40
b, Lớp có bao nhiêu học sinh biết rằng mỗi học sinh của lớp đều xin đăng kí học thêm ít nhất một môn? Bài 2: Có 60 khách du lịch vừa đi thăm quan ít nhất một trong hai thành , x cày | : phô Hà Nội và Hồ Chí Minh Biết rắng 4 trong số họ chỉ đi thăm thủ đô Hà Nội 1 , , é du khách đi thăm cả hai thành phô Hỏi có bao nhiêu người chỉ đi thành phô Hồ Chí Minh?
Bài 3: Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích toán, 60 học sinh thích
a, Nếu có 5 học sinh không thích cả văn lẫn toán thì có bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán?
b, Có nhiều nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai mơn văn và tốn? e, Có ít nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai mơn văn và tốn?
Bài 4: Trong kì thi tuyển sinh đại học có 55% thí sinh dự thi khối A, 30%
thí sinh dự thi khối B, 10% thí sinh dự thi khối C, còn lại thi khối D Hỏi có bao nhiêu thí sinh thi mơn tốn, văn, hóa, lí và sinh vật tính theo tỉ lệ phần trăm Biết rằng khối A thi các mơn tốn, lí, hóa Khối B thi các môn toán, hóa, sinh Khối C
thi môn văn, sử, địa và khối D thi các môn toán, văn và ngoại ngữ?
Bài 5: Trong kì thi đấu thể dục thể thao ở một trường học gồm 3 môn: chạy, nhảy cao và ném tạ, thấy có:
20 học sinh chỉ tham gia thi chạy 4 học sinh chỉ tham gia nhảy cao
15 học sinh chỉ tham gia ném tạ, trong đó có 8 em chỉ tham gia dự thi một
5 học sinh tham gia thi chạy và nhảy cao 2 học sinh tham gia thi đấu cả 3 môn Hỏi:
a, Có bao nhiêu học sinh tham gia thi nhảy cao và ném tạ? b,Có bao nhiêu học sinh tham gia thi đấu?