lý thuyết tập mờ và ứng dụng của nó trong việc giải bài toán lập luận xấp xỉ ThS. nguyễn văn long Bộ môn Toán - ĐH GTVT Tóm tắt: Trong bi báo ny, chúng tôi nêu lên một vi khái niệm cơ bản trong lý thuyết tập mờ v trình by ứng dụng của nó trong bi toán lập luận xấp xỉ thông qua việc tích hợp mờ đồng thời nêu lên những nét chính thu đợc khi xây dựng hm ngữ nghĩa định lợng lm tiền đề cho việc xây dựng phơng pháp lập luận xấp xỉ dựa trên đại số gia tử. Các kết quả đó có tác dụng rất lớn trong quá trình điều khiển tự động hoá đáp ứng sự phát triển của công nghệ thông tin hiện nay. Summary: The article introduces several basic concepts of Fuzzy theory and its application to approximating by means of fuzzy integration. The output is of great use in automatic control for humal life. I. Mở đầu Các hệ lôgíc cổ điển đã cung cấp cho toán học phơng pháp lập luận dựa trên các giả thiết là chính xác (nghĩa là có trị chân lý đúng hoặc sai mà thôi). Song các tri thức mà hàng ngày chúng ta có đợc hầu hết là không có đợc tính chất đó. Sở dĩ nh vậy là vì ngôn ngữ mà con ngời dùng là tập hữu hạn, trong khi thế giới quanh ta thì lại muôn hình muôn vẻ. Chúng ta dùng cái hữu hạn để mô tả, thể hiện, t duy những cái vô hạn thì ắt hẳn sẽ không tuyệt đối chính xác đợc. Vì vậy, nếu chỉ dừng lại ở 2 trị chân lý đúng và sai của lôgíc cổ điển thì cha mô phỏng hết đợc tính chất thực của thực tế. Đó là lý do mà lý thuyết tập mờ, lôgíc mờ đợc xuất hiện vào năm 1965 mà ngời khởi xớng là L. Zadeh. Nó đã cố gắng mô tả một cách toán học những khái niệm mơ hồ mà ta thờng gặp trong đời sống (chẳng hạn: "cao", "thấp", "đúng", "sai" ) bằng một tập mờ. Nhờ việc xây dựng lý thuyết tập mờ mà ngời ta có thể suy diễn từ khái niệm mơ hồ này đến đến khái niệm mơ hồ khác mà bản thân lôgíc kinh điển không làm đợc. Trên cơ sở cái gần chính xác thu đợc ngời ta có thể đa ra những quyết định chính xác cho từng tình huống của bài toán. II. Tập mờ - quan hệ mờ 1. Định nghĩa Xét không gian tham chiếu V (tập tất cả các phần tử mà ta quan tâm). Tập mờ A trên không gian tham chiếu V là một ánh xạ A : V [0,1]. Nghĩa là mọi x V: (x) = p(x) xác định [0,1]. ánh xạ A còn đợc gọi là hàm "thuộc vào A" (gọi tắt là hàm thuộc). V ậy : T ậ p tất cả các t ậ p mờ là t ậ p tất cả các ánh x ạ từ V vào đo ạ n [0,1], k ý hiệu là F(V, [0,1]). Tập này tơng đối giầu về cấu trúc tính toán. Vì vậy nó cho phép linh hoạt biểu thị và mô phỏng các phơng pháp t duy, suy luận của con ngời. 2. Phép toán trên các tập mờ Cũng giống nh tập hợp thông thờng ta có các phép toán trên các tập mờ, chẳng hạn cho F, G là 2 tập mờ trên cùng một không gian tham chiếu V, ta có: a) Phép đồng nhất: F = G nếu u V: F (u) = G (u). b) Phép bao hàm: F G nếu u V: F (u) G (u). c) Phép hợp: H = F G là tập mờ có hàm thuộc là F G xác định x V: F G (x) = max{ F (x), G (x)} d) Phép giao: H = F G là tập mờ có hàm thuộc F G (x) = min{ F (x), G (x)} e) Phép lấy phần bù: F là tập mờ có hàm thuộc F (x) = 1 - F (x) 3. Quan hệ mờ Đối với tập thông thờng A và B ta có quan hệ R giữa A và B là tập tất cả (a, b) AxB và thoả mãn aRb. Đối với tập mờ ta cũng có khái niệm tơng tự, nó phản ảnh mối quan hệ giữa 2 phần tử với nhau thông qua quan hệ mờ R. Định nghĩa: Xét U, V là 2 không gian tham chiếu. Quan hệ mờ 2 ngôi R(u, v) trên tập U x V là một tập mờ xác định trên U x V và có hàm thuộc là R : U x V [0,1] nghĩa là R (u, v) [0,1] với u U, v V. III. Lôgíc mờ Lý thuyết tập mờ đợc bắt đầu nghiên cứu từ năm 1965, nhng lý thuyết lôgíc mờ mới đợc chú ý và nghiên cứu từ đầu những năm 1980, động cơ vì sự thúc đẩy của các quá trình điều khiển ở thực tế. Các chíp điện tử thực hiện một cách tự động những suy luận modus ponens sẽ đợc trình bày dới đây. Lôgíc mờ đã đóng góp nhiều trong việc tìm cách thức lập luận trên những tri thức mà bản chất là mơ hồ, không chính xác trong đời sống con ngời. Xét A, B là tập mờ trên cùng không gian tham chiếu V. x, y là các biến mờ. Ta định nghĩa các mệnh đề lôgíc mờ nh sau: "x là A" đợc biểu thị bằng hàm thuộc là A (x); "x không là A" đợc biểu thị bằng hàm thuộc là 1 - A (x) (hay chính là: "x là A "). "x là A hay B"; "x là A và B" đợc xác định tơng ứng bởi các tập mờ A B; A B với các hàm thuộc là A B , nói ở phần trên. Trong trờng hợp A và B là các tập mờ trên các không gian tham chiếu khác nhau U, V, ta định nghĩa mệnh đề phức hợp "x là a hay y là B" "x là A và y là B"; tơng ứng với các tập mờ: A B; A B trên tập tham chiếu U x V với các hàm thuộc tơng ứng là: A B , A B ,: U x V [0,1] nh sau: A B (u, v) = max{ A (u), B (v)}, B A B (u, v) = min{ A (u), B (v)}. Sau cùng là mệnh đề: (nếu thì). Hay mệnh đề A B đợc định nghĩa thế nào? Ta biết rằng trong lôgíc kinh điển thì thì A B . Dựa trên lôgíc kinh điển ngời ta đa ra mô hình tơng tự đối với lôgíc mờ: mệnh đề A B chính là tập mờ có hàm thuộc là A B (x) = max{1 - A (x), B (x)}, (luật này còn gọi là S luật). Dựa trên các định nghĩa lôgíc mờ ở trên, ta đa ra mô hình suy diễn mờ hoàn toàn dựa trên mô hình suy diễn kinh điển. Trong lôgíc kinh điển ta có suy diễn modus ponens: B BA,A nghĩa là biết A đúng, A B đúng thì kết luận đợc B (B đúng) (A, B là các tập rõ), chuyển sang lôgíc mờ ta có suy diễn modus ponens mở rộng: B BA,A hiểu là "n ế u x là A"; "nếu x là A thì y là B "; "y là B" (A, B là các tập mờ). Song cách hiểu ở đây không áp đặt hoàn toàn nh hiểu kinh điển đợc, vì nếu nh vậy thì nội dung thu đợc không giúp gì trong việc lập luận dựa trên các tri thức mờ. Tuy nhiên nó "gợi ý" cho ta cách nhìn tơng tự. Giả sử ta có tri thức mờ "x là A thì y là B" và một sự kiện mờ "x là A*". Liệu có thể xác định đợc tập mờ B* để từ các giả thiết trên ta có "y là B*" hay không? Quy tắc sau đây sẽ giải quyết đợc vấn đề đó trong suy diễn mờ. Giả thiết: "nếu x là A thì y là B", "nếu x là A*" Kết luận: "y là B*" Vậy B* tìm bằng cách nào, đó là vấn đề mà chúng ta cần phải giải quyết bằng lập luận xấp xỉ. IV. Lập luận xấp xỉ 1. Mô hình a) Mô hình lập luận mờ đơn điều kiện Giả thiết: Nếu quả ớt = đỏ thì quả ớt = chín Quả ớt = rất đỏ Kết luận: Quả ớt = rất chín Dựa vào đó, có ý kiến hỏi rằng: Nếu quả ớt "rất rất đỏ" thì sao? nó có thể là khái niệm khác với khái niệm "rất rất chín" hay không? câu trả lời là khác. Vì thực tế trong trờng hợp này quả ớt là "nẫu". Vì vậy mô hình đơn điều kiện cha đủ đáp ứng đợc các vấn đề mà trong thực tế thờng hay xảy ra. b) Mô hình đa điều kiện Dựa vào mô hình đơn điều kiện ta có thể tổng quát hoá mô hình thành mô hình đa điều kiện nh sau: Giả thiết: Nếu X = A 1 thì Y = B 1 Nếu X = A n thì Y = B n X = A 0 Kết luận: Y = B 0 A i , B i (i = o, n) là các tập mờ, X là biến mờ 2. Phơng pháp giải A. Phơng pháp xấp xỉ dựa trên tích hợp mờ Để giải quyết vấn đề trên ta làm các bớc sau: * Mỗi một mô tả đợc gắn 1 tập mờ: Ai : V [0,1], Bi : V [0,1] (do các chuyên gia cung cấp). * Mỗi mệnh đề "nếu - thì" đợc biểu thị thông qua quan hệ mờ nh sau: Mệnh đề nếu X = A i thì Y = B i đợc hiểu là "nếu X = Ai (x) thì Y = Bi (v)" và mệnh đề mờ này đợc biểu thị bằng quan hệ mờ: R i (u, v) = max {1- Ai (u), Bi (v)} * Tích hợp các quan hệ mờ thu đợc (theo max hoặc min) chẳng hạn theo max thì kết quả tích hợp của R i (u,v) là: R(u,v) = {R i max i (u,v)}, u U * Tích hợp tập mờ A o và tập mờ quan hệ R ta đợc tập mờ B o xác định bởi hàm thuộc Bo (v) = max{ Ao (u), R (u,v)} Trong thực tế, giá trị đầu vào ta phải mờ hoá thông qua các hàm đặc trng biểu thị các tập mờ A 0 , A 1 , , A n , B 1 , , B n . Qua quá trình giải ta thu đợc đầu ra là B o cũng là tập mờ. Sau đó khử mờ bằng các phơng pháp khác nhau nh maxima, trung vị, trọng điểm đối với tập mờ B 0 ta thu đợc giá trị số của đầu ra. B. Phơng pháp nội suy Theo mô hình đa điều kiện thì mỗi một điều kiện ta thu đợc cặp (A i , B i ), n,1i= giả sử biết đầu vào là A o , khi đó xác định đầu ra B o thế nào để hệ điều kiện trên là tơng thích một cách tối u đối với B o . Bởi vậy nguyên tắc chung của nội suy là nếu A o "gần" nào đó hơn các A 0 i A i còn lại thì B o cũng "gần" tơng ứng hơn các B 0 i B i còn lại. Do đó một cách "thô" là ta lấy B o xấp xỉ . Để "mịn" đợc xấp xỉ này, phơng pháp chung là đa ra định lợng để xấp xỉ B 0 i B o dựa vào hệ điều kiện (A i ,B i ) và A o . Cụ thể hơn là định lợng khái niệm "gần" nh thế nào? Có rất nhiều cách tiếp cận điều này. Trong các công trình mới đây chúng tôi đa ra hai cách tiếp cận chính sẽ đợc trình bày dới đây. Do phạm vi có hạn nên bài báo chỉ dừng lại ở những nét chính, mà không đi sâu vào cơ sở lý luận thiết lập nó. a) Phơng pháp nội suy dựa trên lý thuyết tập mờ Trớc tiên ta đa ra khái niệm phản ánh độ "gần nhau" của hai tập mờ dới dạng đã chuẩn hoá [1]. Sau đó tính "độ gần "nhau nhỏ nhất từ A o đến các A i . Dựa vào hệ điều kiện ta sẽ tìm đợc tập mờ B o tơng ứng với A o bằng cách sử dụng phơng pháp tích hợp mờ. b) Phơng pháp nội suy dựa trên đại số gia tử Nh nói ở trên, vấn đề là phải đa ra định lợng để xấp xỉ B o . Khác với cách tiếp cận ở phần a/, trong phần này chúng tôi đa ra định lợng dựa trên đại số gia tử bằng cách xây dựng một cơ sở chặt chẽ cho hàm ngữ nghĩa định lợng. Dựa vào hàm ngữ nghĩa định lợng này ta sẽ có phơng pháp lập luận xấp xỉ bằng nội suy dựa trên đại số gia tử b1. Xây dựng hàm độ mờ - hàm ngữ nghĩa định lợng Giả sử ta có đại số gia tử mở rộng đầy đủ AX* = (X*, H, G, , , ) trong [2]. Định nghĩa 1: Một ánh xạ f đợc gọi là ánh xạ ngữ nghĩa định lợng (hay còn gọi làm hàm ngữ nghĩa định lợng) của X* nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: Q1) f là song ánh; Q2) f bảo toàn thứ tự trên X*, tức là x < y kéo theo f(x) < f(y), và f(0) = 0, f(1) = 1; Q3) x X*, f(x) = infimum f(H(x)) và f(x) = supremum f(H(x)). Q4) ()()() ()()() xHfd hxHfd = ()()() ()()( ) yHfd HyHfd với h H, x, y bất kỳ DOM (X*) Định nghĩa 2: Một hàm f m : X* [0,1] đợc gọi là một độ đo tính mờ của biến ngôn ngữ X*, nếu nó có các tính chất sau: F1) f m là một độ đo đầy đủ trên X*, nghĩa là f m (c - ) + f m (c + ) = 1 và u X*, {f Hh m (hu) : h H} = f m (u); F2) Nếu x là một khái niệm chính xác, nghĩa là H(x) = {x}, thì f m (x) = 0. Đặc biệt ta có: f m (0) = f m (W) = f m (1) = 0; F3) x, y X*, h H, ta có )x(f )hx(f m m = ( ) () yf hyf m m , nghĩa là tỷ số này không phụ thuộc vào một phần tử cụ thể nào và do đó ta có thể ký hiệu nó bằng (h) và đợc gọi là độ đo tính mờ của gia tử h. Từ định nghĩa 2 ta thấy f m có các tính chất sau: Mệnh đề: Mỗi một độ đo tính mờ f m của các khái niệm và (h) của các gia tử thoả mãn các tính chất sau: 1) f m (hx) = (h) f m (x), x X*; 2) f m (c - ) + f m (c + ) = 1; 3) f = p 0i,qi m (h i c) = f m (c), với c {c _ , c + }; 4) f = p 0i,qi m (h i x) = f m (x); 5) Độ đo tính mờ của gia từ phải thoả mãn các đẳng thức: (h = q 1i i ) = và (h = P 1i i ) = , với , > 0 và + = 1. Định nghĩa 3: (Hàm sign). Hàm dấu sign: X * {-1, 0, 1} là ánh xạ đợc định nghĩa đệ quy nh sau, trong đó h và h' là các gia tử bất kỳ và c {c _ , c + ): a) Sign(c _ ) = -1, Sign(c + ) = +1, b) Sign(h'hx) = -sign(hx) nếu h'hx hx và h' là âm tính đối với h (hoặc đối với c, nếu h = I và x = c); c) Sign(h'hx) = sign(hx) nếu h'hx hx và h' là dơng tính đối với h (hoặc đối với c, nếu h = I và x = c); d) Sign(h'hx) = 0 nếu h'hx = hx. Từ định nghĩa, dễ dàng thu đợc tính chất của hàm sign nh sau: Với mọi gia tử h H và x DOM(X*). Nếu sign(hx) = 1 thì hx > x và nếu sign(hx) = -1 thì hx < x. Định nghĩa 4: Cho các tham số f m (c + ), f m (c - ) và (h) với hH. (trong đó f m (x) là độ mờ của AX*). Hàm v: DOM(X*) [0,1] đợc xác định nh sau: i) v(w) = = f m (c - ); v(c - ) = - .f m (c - ); v(c + ) = + . f m (c + ) ii) v(h j x) = v(x) + sign(h j x) { f = j 1i m (h i x) - (h j x). f m (h j x)} với 1 j p và v(h j x) = v(x) + sign(h j x) f = j 1i m (h i x) - (h j x).f m (h j x)}với - q j -1. Trong đó (h j x) = 2 1 [1 + sign(h j x) sign(h p h j x) ( - )] {, } Định lý 1: i) Hàm v: DOM(X*) [0,1] là hàm ngữ nghĩa định lợng ii) Hàm độ mờ f m (x) của AX* thoả mãn: f m (x) = d[v(H(x))] Hệ quả: Với mọi hàm f m (x) là độ đo mờ của AX*, luôn tồn tại hàm ngữ nghĩa định lợng f: DOM(X*) [0,1] sao cho d f[H(x))] = f m (x). Định lý 2: Giả sử AX* = (X*, H, G, , , ) là đại số gia tử mở rộng đầy đủ, sinh tự do, (nghĩa là mọi x X*, mọi h H * thì hx x). ánh xạ f : X * [0,1] là hàm ngữ nghĩa định lợng. Khi đó f m (x) = d[f(H(x))] là hàm độ đo tính mờ của AX * . Dựa trên hàm ngữ nghĩa định lợng v trong định nghĩa 4 ta sẽ đa ra phơng pháp nội suy sau đây b2. Phơng pháp nội suy Xét mô hình đa điều kiện IV (b). Gọi là các đại số gia tử sinh ra từ các giá trị ngôn ngữ tơng ứng xuất hiện trong mô hình. Khi đó mỗi mệnh đề "nếu thì" sẽ xác định một điểm trong tích để các , và tập các điểm này sẽ thuộc đờng cong mờ trong không gian . Y ~ ,X ~ Y ~ xX ~ C ~ Y ~ xX ~ Gọi f x , f y là các hàm định lợng ngữ nghĩa tơng ứng của khi đó điểm ứng với mệnh đề thứ i trong mô hình đa điều kiện sẽ đợc định lợng tơng ứng với [0,1] x [0,1]. Và nh vậy đờng cong mờ chuyển thành đờng cong thực C trong không gian hai chiều R x R. Bài toán lập luận xấp xỉ mờ đợc chuyển về bài toán nội suy thông thờng thông qua hàm định lợng ngữ nghĩa trong đại số gia tử. Y ~ ,X ~ () ii y ~ ,x ~ Y ~ xX ~ ()()() ii y ~ f,x ~ f C ~ b3. So sánh hai phơng pháp (+) Phơng pháp nội suy dựa trên đại số gia tử cho ta một cách trực quan, rõ ràng về cách thức giải bài toán. Phơng pháp này cho sai số nhỏ. (+) Phơng pháp nội suy bằng lý thuyết mờ: có nhiều yếu tố gây sai số nh: xây dựng hàm thuộc, chọn giải nghĩa mệnh đề "nếu thì" bằng quan hệ mờ, chọn toán tử kết nhập các quan hệ, chọn phép tính hợp để có output, chọn phơng pháp khử mờ. V. Kết luận Các phơng pháp lập luận xấp xỉ đối với mô hình đa điều kiện mờ cho phép chúng ta xác định đợc giá trị của biến cần tìm một cách xấp xỉ dựa trên một loạt các dữ kiện không chính xác A i , B i . ứng dụng kết quả xấp xỉ B 0 thu đợc để điều khiển các quá trình tự động hoá trong thực tế - một mô hình không thể thiếu đợc trong thời đại công nghệ hoá thông tin hiện nay. Việc tìm kiếm các giải pháp xấp xỉ sao cho đạt hiệu quả cao là một vấn đề mà chúng ta luôn luôn đặt ra. Cùng với việc đó, bài báo đã trình bày tóm tắt các kết quả xây dựng hàm ngữ nghĩa định lợng và khẳng định quá trình lập luận toán học chặt chẽ mà các công trình trớc đây chỉ dừng lại ở mức trực cảm, áp đặt. Tài liệu tham khảo [1]. Trờng thu "hệ mờ và ứng dụng". Hà nội 8-2000. [2]. Làm đầy đủ đại số gia tử trên cơ sở bổ sung các phần tử giới hạn (Gửi đăng Tạp chí Tin học và Điều khiển học, tháng 12 năm 2002) Ă . lý thuyết tập mờ và ứng dụng của nó trong việc giải bài toán lập luận xấp xỉ ThS. nguyễn văn long Bộ môn Toán - ĐH GTVT Tóm tắt: Trong bi báo ny, chúng tôi nêu lên. ny, chúng tôi nêu lên một vi khái niệm cơ bản trong lý thuyết tập mờ v trình by ứng dụng của nó trong bi toán lập luận xấp xỉ thông qua việc tích hợp mờ đồng thời nêu lên những nét chính thu đợc. bằng lập luận xấp xỉ. IV. Lập luận xấp xỉ 1. Mô hình a) Mô hình lập luận mờ đơn điều kiện Giả thiết: Nếu quả ớt = đỏ thì quả ớt = chín Quả ớt = rất đỏ Kết luận: Quả ớt = rất chín Dựa vào