Các định lí tổng quát và ứng dụng của nó trong việc giải các bài tập cơ học lí thuyết

Khoá luận tốt nghiệp Trờng đại học vinh khoa vật lý ---------- Phạm thị thùy vân Khóa luận tốt nghiệp đại học Đề tài: Các định lý tổng quát và ứng dụng của nó trong việc giải các bài tập cơ học lý thuyết Vinh, tháng 5 năm 2006 Phạm Thị Thuỳ Vân 1 Khoá luận tốt nghiệp Lời mở đầu Khoa học nghiên cứu các quy luật tổng quát của chuyển động và cân bằng của các vật và về sự tơng tác giữa chúng với nhau gọi là cơ học lý thuyết. Cơ học lý thuyết là một trong các cơ sở khoa học của các ngành kỹ thuật hiện đại. Cơ học theo nghĩa rộng là khoa học nhằm giải quyết các bài toán về chuyển động hay cân bằng của các vật thể và sự tơng tác của chúng. Cơ học lý thuyết là phần cơ học nghiên cứu các quy luật chung của chuyển động và sự t- ơng tác của các vật thể, tức là về các quy luật có thể áp dụng đợc cho cả chuyển động của trái đất xung quanh mặt trời cũng nh chuyển động của tên lửa và các quả đạn. Nhiệm vụ chính của cơ học lý thuyết là nghiên cứu các quy luật tổng quát của chuyển động và cân bằng của các vật thể dới tác dụng của lực đặt lên chúng. Do thời gian nghiên cứu ít cha có điều kiện để tìm hiểu kỹ bộ môn nên trong đề tài này tôi xin đề cập đến các địng lý tổng quát và ứng dụng của nó trong việc giải các bài tập cơ học lý thuyết. Các định lý tổng quát thờng đợc dùng để giải nhiều bài toán động lực học nhất là trong động lực học hệ thay cho phơng pháp tích phân các phơng trình vi phân chuyển động. Chúng là hệ quả của định luật cơ bản của động lực học. Giá trị của các định luật tổng quát là ở chỗ chúng cho ta các hệ thức giữa các đặc trng động lực cơ bản về chuyển động của các vật thể và mở ra những khả năng mới có thể dùng một cách rộng rãi để khảo sát chuyển động của các cơ hệ trong thực tiễn kỹ thuật cho phép ta nghiên cứu hiện tợng theo từng mặt riêng biệt có tầm quan trọng mà không cần khảo sát toàn bộ hiện tợng. Cuối cùng việc sử dụng các định lý tổng quát để giải bài tập, ta có thể tránh đợc các Phạm Thị Thuỳ Vân 2 Khoá luận tốt nghiệp phép tích phân, từ đó làm cho quá trình giải quyết đơn giản hơn. Mặt khác, nội dung của nó cũng rất sát thực với chơng trình phổ thông bổ sung kiến thức giúp ta có dịp tìm hiểu sâu hơn và nắm chắc các phần cơ bản ở vật lý phổ thông. Đó là lý do tôi chọn đề tài các định lý tổng quát và ứng dụng của nó trong việc giải các bài tập lý thuyết. Hi vọng đề tài này sẽ giúp cho ngời đọc có một cách nhìn tổng quát hơn. Nội dung của đề tài bao gồm những phần sau: Phần I: Cơ sở lý thuyết Phần II: Bài tập Phần III: Kết luận Đây là giai đoạn đầu của ngời mới tập sự làm nghiên cứu khoa học với kiến thức cha nhiều, vốn kinh nghiệm và thời gian còn ít nên chắc chắn khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đợc sự quan tâm, đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để khoá luận này đợc hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo Lê Thị Thai và các thầy cô giáo trong khoa vật lý đã giúp đỡ tôi rất nhiều, đã hớng dẫn, đóng góp cho tôi nhiều ý kiến quý báu, giúp tôi hoàn thành luận văn này. Phạm Thị Thuỳ Vân 3 Khoá luận tốt nghiệp I.Tóm tắt lý thuyết 1. Ph ơng trình chuyển động của hệ chất điểm Xét chuyển động của hệ chuyển động bất kỳ gồm M 1 , M 2 M N chất điểm. Lực tác dụng lên các chất điểm của hệ gồm nội lực và ngoại lực. Ký hiệu nội lực do chất do chất điểm M l tác dụng lên M k là kl F Nội lực do N-1 chất điểm tác dụng lên M k là i k F Ngoại lực tác dụng lên M k là e k F Phơng trình chuyển động : dt d ( ) kk vm = i k F + e k F = kl kl F + e k F Cho k=1,2,3N, ta đợc hệ gồm N phơng trình vi phân dt d ( ) kk vm = i k F + e k F (1.1) hoặc m k 2 2 dt rd k = i k F + e k F (1.2) gọi là phơng trình vi phân chuyển động của hệ chất điểm. 2. Định lí biến thiên và định luật bảo toàn xung l ợng của hệ a. Định lí biến thiên xung lợng của hệ Dạng đạo hàm P = k m k k v : Xung lợng của hệ e F = k e k F :Tổng ngoại lực tác dụng lên hệ. Ta có : dt Pd = e F (2.1) biểu diễn định lí biến thiên xung lợng của hệ : Đạo hàm theo thời gian của véc tơ xung lợng của hệ bằng tổng ngoại lực tác dụng lên hệ. Chiếu (2.1) lên các trục toạ độ Đề các Phạm Thị Thuỳ Vân 4 Khoá luận tốt nghiệp dt dP x =F x e dt dP y =F y e (2.2) dt dP z =F z e Trong đó P x = k kk xm , P y = k kk ym , P z = k kk zm F x e = k F kx e , F y e = k F ky e , F z e = k F kz e - Dạng hữu hạn (tích phân) Biến thiên xung lợng của hệ trong một khoảng thời gian nào đó bằng tổng hình học xung lợng của các ngoại lực tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian ấy 1 P - 0 P = dtF n k t t e k = 1 1 0 = = n k 1 e k S b.Định luật bảo toàn xung lợng của hệ Nếu e F = 0 dt Pd = 0 P = const (2.3) (2.3) biểu diễn định luật bảo toàn xung lợngcủa hệ. Nếu tổng ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không tại mọi thời điểm, xung lợng của hệ là một đại lợng bảo toàn. Hệ kín e k F =0 ; k e k F =0 Xung lợng hệ kín luôn bảo toàn. Từ (2.2), nếu hình chiếu lên một trục nào đó của ngoại lực tổng hợp tác dụng lên hệ bằng không tại mọi thời điểm thì hình chiếu lên trục đó của xung lợng của hệ bảo toàn. Giả sử F z e =0 P z = const. Phạm Thị Thuỳ Vân 5 Khoá luận tốt nghiệp 3. Khối tâm của hệ chất điểm và định lí chuyển động của khối tâm a, Khối tâm : Giả sử hệ có N chất điểm , chất điểm thứ k có khối lợng m k và bán kính véctơ k r . Khối tâm C của hệ là điểm: C r = k k k kk m rm = M rm k kk (3.1) Chiếu (3.1) lên các trục toạ độ, ta đợc các toạ độ khối tâm x C = M xm kk , y k = M ym kk , z k = M zm kk b, Định lí chuyển động của khối tâm : Khối tâm của hệ chuyển động giống nh một chất điểm có khối lợng bằng khối lợng của hệ chịu tác dụng của lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên hệ dt d ( ) C vm = e F (3.2) với P = C vm Chiếu (3.2) lên các trục toạ độ C xm = F x e C ym =F y e (3.3) biểu diễn chuyển động của khối tâm C zm =F z e Nếu e F = 0 , C vm = const C v = const - Nếu tổng ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không tại mọi thời điểm thì khối tâm của hệ đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. - Đối với hệ kín: khối tâm của hệ đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. - Nếu hình chiếu của ngoại lực tổng hợp tác dụng lên hệ trên một phơng nào đó bằng không tại mọi thời điểm thì theo phơng đó khối tâm của hệ đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. Phạm Thị Thuỳ Vân 6 Khoá luận tốt nghiệp 4. Định lí biến thiên và định luật bảo toàn mô men xung l ợng của hệ a. Định lí biến thiên mô men xung lợng của hệ Hệ chất điểm gồm M 1 , M 2 ,M N . Chọn điểm O cố định làm gốc toạ độ. Ta có L = k k r kk vm :Mô men xung lợng của hệ đối với điểm O. M = e kk Fr : Tổng mô men ngoại lực tác dụng lên hệ đối với điểm O. dt Ld = M (4.1) biễu diễn định lí biến thiên mô men xung lợng của hệ : Đạo hàm theo thời gian của véc tơ mô men xung lợng của hệ đối với điểm O cố định nào đó bằng tổng mô men ngoại lực tác dụng lên hệ đối với cùng điểm đó. Chiếu (4.1) lên các trục toạ độ , ta đợc : dt dL x =M x L x = k ( ) kkkkk yzzym dt dL y =M y L y = ( ) kkkk k k zxxzm (4.3) dt dL z =M z L z = ) k kkkkk xyyxm ( i j k k r kk vm = x k y k z k kk xm kk ym kk zm M x = ( ) e kyk e kzk FzFy M y = ( ) e kzk e kxk FxFz (4.4) M z = ( ) e kxk e kyk FyFx b. Định luật bảo toàn mô men xung lợng của hệ Nếu M =0, từ (4.1) suy ra L =const. Phạm Thị Thuỳ Vân 7 Khoá luận tốt nghiệp Nếu tổng mô men ngoại lực tác dụng lên hệ đối với điểm O cố định bằng không tại mọi thời điểm thì mô men xung lợng của hệ đối với điểm O đó bảo toàn. Đối với hệ kín M =0, L =const. Hệ kín: Mô men xung lợng đối với một điểm O bất kì là đại lợng bảo toàn. Nếu hình chiếu của tổng mô men ngoại lực tác dụng lên hệ lên một trục nào đó bằng không tại mọi thời điểm thì hình chiếu của mô men xung lợng của hệ lên một trục đó là một đại lợng bảo toàn: M z = 0, L z =const Chú ý: Định lí biến thiên mô men xung lợng của hệ chất điểm không những đúng cho điểm O cố định mà còn đúng cho điểm C là khối tâm của hệ. dt Ld C = C M C L = kk vmr : Mô men xung lợng của hệ đối với khối tâm C của hệ C M = e kk Fr : Tổng mô men ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ đối với khối tâm C. Với k r : Bán kính véc tơ kẻ từ khối tâm C đến chất điểm M k k v = dt rd k : Vận tốc của chất điểm M k đối với khối tâm. Nếu hệ chuyển động quay xung quanh một trục Oz cố định nào đó, mô men xung lợng của hệ đối với Oz: L z = k m k d k v k =m k d k 2 k Nếu tất cả các chất diểm cùng quay với một vận tốc nh nhau w k thì L z =m k d k 2 =J z với J z =m k d k 2 : Mô men quán tính của hệ đối với Oz. Nếu hệ là vật rắn J z = V dVd 2 với : mật độ khối lợng. Nếu hệ gồm nhiều vật quay quanh một trục thì L z =J 1z 1 + J 2z 2 ++ Jn z n Mô men quán tính: a. Mô men quán tính của vật rắn đối với trục quay Phạm Thị Thuỳ Vân 8 Khoá luận tốt nghiệp J = dmrrm i ii = 22 r: khoảng cách từ phần tử khối lợng dm của vật rắn tới trục quay. b. Mô men quán tính của chất điểm khối lợng m đối với trục quay J = mr 2 r: khoảng cách từ chất điểm tới trục quay c. Mô men quán tính của một thanh mảnh đồng chất khối lợng m, chiều dài l đối với trục thẳng góc với thanh và đi qua tâm thanh J = ml 2 /12 d. Mô men quán tính của đĩa tròn hoặc trụ đặc đồng chất khối lợng m, bán kính R đối với trục cuả đĩa: J = mR 2 /2 e. Mô men quán tính của vành tròn hoặc trụ rỗng đồng chất khối lợng m, bán kính R đối với trục của nó J = mR 2 f. Mô men quán tính của khối cầu đặc đồng chất khối lợng m, bán kính R đối với một đờng kính của nó J = 2 mR 2 /5 g. Mô men quán tính của vật rắn đối với một trục bất kì (định lí Stêne- Huyghen) J = J G +md 2 J G : Mô men quán tính của vật rắn đối với trục G // và đi qua khối tâm G. d: khoảng cách giữa hai trục và G . 5. Định lí biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của hệ a. Định lí biến thiên động năng dạng vi phân Xét hệ chất điểm gồm N chất điểm M 1 , M 2 ,,M N lực tác dụng lên M k gồm i k F và e k F i k F =-grad k U i =- k i rd dU (5.1) với U i =U( 1 r , 2 r ,, N r ) Phạm Thị Thuỳ Vân 9 Khoá luận tốt nghiệp Nội lực i k F thoã mãn (5.1) gọi là nội lực thế. Tơng ứng hàm vô hớng U i gọi là nội thế năng của hệ. dU i = = N k 1 i i r U k r =- k k i k rdF (5.2) Đại lợng A i = k i k A = k k i k rdF : Công nguyên tố của tất cả các nội lực tác dụng lên các chuyển động của hệ. dU i =-Ai. Mặt khác, ta có A i = k k i k rdF =- rdF k e k + dt d ( kk vm )d k r =- k k e k rdF +d( k 2 2 k k vm ) e k A = k e k rdF Công nguyên tố ngoại lực e k F trên dịch chuyển k rd e A = k e k A Công nguyên tố tất cả các ngoại lực. T= k 2 2 k k vm : động năng của hệ. dT= i A + e A (5.4) (5.4) biểu diễn định lí biến thiên động năng dạng vi phân . Vi phân động năng của hệ bằng tổng công nguyên tố của tất cả nội lực và ngoại lực tác dụng lên hệ. b. Định lí biến thiên động năng dạng tích phân - Lấy tích phân (5.4) dọc theo các đờng cong quỹ đạo của các chất điểm từ vị trí đầu đến vị trí cuối. t t dT 0 = k k r r i A 0 + k k r r e A 0 T-T o = k k k r r 0 i k F k rd + k k r r 0 e k F k rd =A i +A e (5.5) T, T o lần lợt là động năng của hệ tại thời điểm t và t o . A i , A e là tổng công của nội lực i k F và ngoại lực e k F trên quãng đờng từ k r 0 đến k r (5.5) biễu diễn định luật biến thiên động năng dạng tích phân. Độ biến thiên động năng của hệ trên một quãng đờng hữu hạn nào đó bằng tổng công của nội lựcvà ngoại lực tác dụng lên hệ trên cùng quãng đờng đó. Phạm Thị Thuỳ Vân 10