Matroid và ứng dụng của nó trong bài toán chặn trên cho chỉ số chính quy của tập các điểm béo

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN ĐỨC KHOA MATROID VÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ TRONG BÀI TỐN CHẶN TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP CÁC ĐIỂM BÉO Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHAN VĂN THIỆN Thừa Thiên Huế, năm 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Huế, ngày tháng năm 2019 Học viên thực Trần Đức Khoa i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Phan Văn Thiện Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên, giúp đỡ thầy; tận tình giảng dạy, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi thầy Khoa Tốn, Phịng Đào tạo Sau đại học - Trường ĐHSP - Đại học Huế Đồng thời, tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè tập thể lớp Cao học Toán Đại Số lý thuyết số K26 - Trường ĐHSP Huế động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Do lần thực công việc nghiên cứu, nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy, bạn để luận văn hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Huế, ngày tháng năm 2019 Học viên thực Trần Đức Khoa ii MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1.1 1.2 Khái niệm matroid 1.1.1 Định nghĩa matroid 1.1.2 Matroid vòng 1.1.3 Cơ sở matroid 1.1.4 Hạng matroid 1.1.5 Bao đóng matroid 1.1.6 Matroid đối ngẫu Chỉ số quy tập điểm béo 10 1.2.1 Vành phân bậc môđun phân bậc 10 1.2.2 Hàm Hilbert đa thức Hilbert 11 1.2.3 Vành tọa độ xác định tập điểm 12 1.2.4 Chỉ số quy tập điểm béo 13 Chương 2.1 Các khái niệm Ứng dụng matroid 15 Các kết chặn cho số quy tập điểm béo trước kết Uwe Nagel Bill Trok [24] 16 2.2 2.1.1 Một số kết trước năm 1996 16 2.1.2 Giả thuyết Ngô Việt Trung số kết đạt 17 Ứng dụng matroid báo Uwe Nagel Bill Trok [24] 19 2.2.1 Matroid phân hoạch 19 2.2.2 Kỹ thuật quy nạp 20 2.2.3 Ứng dụng matroid toán chặn cho số quy tập điểm béo 21 KẾT LUẬN 24 MỞ ĐẦU Lý thuyết matroid giới thiệu lần đầu Hassler Whitney vào năm 1935 B L Van Der Wearden đưa sau cách độc lập, tên matroid xuất phát từ việc nghiên cứu tính độc lập cột ma trận Lý thuyết matroid nghiên cứu gắn kết cấu trúc hình học mang tính chất trừu tượng với cấu trúc hình học mang tính cụ thể Mặc dù đời muộn việc nghiên cứu matroid phát triển trở thành lý thuyết hồn chỉnh có nhiều ứng dụng với lý thuyết đồ thị Từ năm 1961 đến nay, việc tìm chặn cho số quy tập điểm béo vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm Để tìm chặn tốt cho số quy tập điểm béo tùy ý vấn đề khó, người ta thường giải tốn chặn cho tập điểm béo có điều kiện Năm 1996, N V Trung đưa giả thuyết chặn cho số quy tập điểm béo tùy ý Pn , giả thuyết tổng quát kết nghiên cứu trước Giả thuyết: Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo Pn Khi reg (Z) ≤ max {Tj |j = 1, 2, , n} Với Tj = max mi1 + + miq + j − j |Pi1 , , Piq nằm j- phẳng Giả thuyết N V Trung nhiều nhà toán học quan tâm, hầu hết chứng minh giả thuyết cho không gian xạ ảnh chiều thấp trường hợp đặc biệt tập điểm béo Cho đến năm 2018, Uwe Nagel Bill Trok [24] vận dụng lý thuyết matroid để chứng minh giả thuyết N.V.Trung trường hợp tổng quát giải tốn chặn cho số quy tập điểm béo cách hiệu Trong luận văn chúng tơi trình bày lại khái niệm matroid tính chất nó, sau chúng tơi nghiên cứu cách sử dụng matroid để giải toán chặn cho số quy tập điểm béo Uwe Nagel Bill Trok [24] Ngoài phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn trình bày chương sau: Chương Các khái niệm Chương Ứng dụng matroid toán chặn cho số quy tập điểm béo Trong chương 1, chúng tơi trình bày khái niệm matroid số quy tập điểm béo Trong chương 2, chúng tơi trình bày kết chặn cho số quy tập điểm béo trước kết Uwe Nagel Bill Trok; chúng tơi trình bày tường minh ứng dụng matroid báo Uwe Nagel Bill Trok [24] Đây kết luận văn Do thời gian lực thân nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhân góp ý, giúp đỡ quý thầy cô bạn đọc Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Chương trình bày số khái niệm ví dụ matroid như: matroid vòng; hạng matroid; bao đóng matroid; matroid đối ngẫu Các khái niệm đưa sau dựa tập độc lập tập E Quy ước chung chương: Khi loại bỏ phần tử e khỏi tập X, tơi sử dụng kí hiệu X − {e}, tức X − {e} = X \ {e} Với tập hợp X, Y ta ký hiệu X − Y = X \ Y = {x ∈ X : x ∈ / Y } Ký hiệu V (r, F ) không gian vectơ r−chiều trường F , với r số tự nhiên Các khái niệm, ví dụ trình bày chương có tài liệu tham khảo [1], [4], [14], [25], [26] 1.1 1.1.1 Khái niệm matroid Định nghĩa matroid Định nghĩa 1.1.1 ([25, trang 8]) Một matroid M cặp (E, I) gồm tập hữu hạn E họ I tập E thỏa mãn điều kiện sau: M (1i) ∅ ∈ I M (2i) Nếu I ∈ I I ⊆ I I ∈ I M (3i) Nếu I1 , I2 ∈ I |I1 | < |I2 | tồn phần tử e ∈ I2 − I1 cho I1 ∪ {e} ∈ I Nếu M matroid (E, I), M gọi matroid E Các phần tử I tập độc lập M , E gọi tập sở M Chúng ta thường viết I(M ) cho I E(M ) cho E, trường hợp matroid M xác định Một tập E không nằm I gọi tập phụ thuộc Tên matroid đặt Whitney (1935) lớp ví dụ đối tượng phát sinh từ ma trận theo cách sau Mệnh đề 1.1.1 ([25, Mệnh đề 1.1.1]) Cho E tập hợp gồm nhãn cột ma trận [A]mxn trường F gọi I tập tập X E mà cột có nhãn X độc lập tuyến tính khơng gian vectơ V (m, F ) Khi (E, I) matroid Matroid thu từ ma trận A gọi matroid vectơ A ký hiệu M [A] 1.1.2 Matroid vòng Một tập phụ thuộc tối tiểu matroid M gọi vòng M ký hiệu tập vòng M C C (M ) Một vịng M có n phần tử gọi n-vòng Các phần tử tập I(M ) tập E(M ) khơng chứa phần tử C (M ) Do matroid xác định tập vịng C Bây chúng tơi giới thiệu số tính chất C Ta có tính chất sau: Bổ đề 1.1.2 ([25, Bổ đề 1.1.3]) Tập vịng C matroid có tính chất sau: C(1i) ∅ ∈ / C C(2i) Nếu C1 , C2 ∈ C C1 ⊆ C2 C1 = C2 C(3i) Nếu C1 , C2 ∈ C , C1 = C2 e ∈ C1 ∩ C2 tồn C3 ∈ C , C3 ⊆ (C1 ∪ C2 ) − {e} Điều kiện C(3i) gọi tiên đề khử vòng loại, tiên đề khử vòng loại yếu Định lý 1.1.3 ([25, Định lý 1.1.4]) Cho tập hợp E C họ tập E thỏa mãn điều kiện C(1i) − C(3i) Gọi I họ tập E khơng chứa phần tử C , (E, I) matroid có C họ vịng Mệnh đề 1.1.4 ([25, Hệ 1.1.5]) Cho tập hữu hạn E C họ tập E Khi C tập vòng matroid M E thỏa mãn điều kiện sau: C(1i) ∅ ∈ / C C(2i) Nếu C1 , C2 ∈ C C1 ⊆ C2 C1 = C2 C(3i) Nếu C1 , C2 ∈ C , C1 = C2 e ∈ C1 ∩ C2 tồn C3 ∈ C , C3 ⊆ (C1 ∪ C2 ) − {e} Mệnh đề 1.1.5 ([25, Mệnh đề 1.1.7]) Cho E tập cạnh đồ thị G C tập tập cạnh chu trình G Khi C tập vịng matroid E 1.1.3 Cơ sở matroid Cho matroid M = (E, I) Ta gọi tập độc lập lớn M sở M Xét họ khơng rỗng B có phần tử tập độc lập lớn E M Vì phần tử B tập độc lập nên B họ tập độc lập M hay B họ sở M Bổ đề 1.1.6 ([25, Bổ đề 1.2.1]) Nếu B1 , B2 sở matroid M |B1 | = |B2 | Bổ đề 1.1.7 ([25, Bổ đề 1.2.2]) Nếu M matroid B tập hợp sở B thỏa mãn điều kiện sau: B(1i) B = ∅ B(2i) Nếu B1 B2 sở B x ∈ B1 − B2 có phần tử y ∈ B2 − B1 cho (B1 − {x}) ∪ {y} ∈ B Điều kiện B(2i) tiên đề đổi sở lý thuyết matroid Định lý 1.1.8 ([25, Định lý 1.2.3]) Cho tập E B hợp tập E thỏa mãn điều kiện B(1i) B(2i) Gọi I = {I ⊆ B|B ∈ B } Khi (E, I) matroid có B hợp sở Bổ đề 1.1.9 ([25, Bổ đề 1.2.4]) Các phần tử B có lực lượng Hệ 1.1.10 ([25, Hệ 1.2.6]) Cho B sở matroid M Nếu e ∈ E(M ) − B, B ∪ {e} chứa vịng C(e, B) Hơn nữa, e ∈ C(e, B) Chúng ta gọi C(e, B) vòng e B Mệnh đề 1.1.11 ([25, Mệnh đề 1.2.8]) Cho M matroid đồ thị Khi M ∼ = M (G) với G liên thông Mệnh đề 1.1.27 ([26, Mệnh đề 3.3]) Cho G đồ thị có tập cạnh E(G) Khi tập liên kết G tập vòng matroid E(G) Bổ đề 1.1.28 ([25, Bổ đề 2.1.10]) Cho I I ∗ tập phân biệt E(M ) cho I độc lập I ∗ đối độc lập Khi M có sở B đối sở B ∗ , cho I ⊆ B, I ∗ ⊆ B ∗ B, B ∗ phân biệt Mệnh đề 1.1.29 ([25, Mệnh đề 2.1.9]) Với tập X tập E matroid M , ta có: 1.2 r∗ (X) = |X| − r(M ) + r(E − X) Chỉ số quy tập điểm béo Trong phần này, ký hiệu Pn := PnK không gian xạ ảnh n−chiều trường đóng đại số K, R = K[x0 , x1 , , xn ] vành đa thức theo biến x0 , x1 , , xn với hệ tử K Các vành xem xét luận văn vành giao hốn có đơn vị = Các khái niệm định lý sau tìm thấy [1], [3], [10], [23] nhiều sách khác Hình học đại số hay Đại số giao hoán 1.2.1 Vành phân bậc môđun phân bậc Định nghĩa 1.2.1 Vành S gọi vành phân bậc S thỏa mãn hai điều kiện sau: i) S = ⊕ Sd , tổng trực tiếp nhóm aben Sd d∈Z ii) Với d, e Sd Se ⊆ Sd+e Mỗi phần tử s ∈ Sd gọi phần tử bậc d Nếu Sd = với d < S gọi phân bậc dương Ta thấy vành đa thức R = K[x0 , x1 , , xn ] vành phân bậc dương với R = ⊕ Rd , d≥0 αc0 cn xc00 xcnn , Rd = {f ∈ R|f = αc0 cn ∈ K} c0 +c1 + +cn =d Định nghĩa 1.2.2 Một iđêan I vành phân bậc S sinh phần tử S gọi iđêan Cho f ∈ R đa thức nhất, ta định nghĩa hàm sau: 11 f: Pn −→ {0, 1} P −→ f (P ) =   0 f (a0 , a1 , , an ) =  1 f (a0 , a1 , , an ) = Định nghĩa 1.2.3 Cho Y tập Pn Iđêan I(Y ) = {f ∈ R|f đa thức f (P ) = 0, ∀P ∈ Y } gọi iđêan Y R Định lý 1.2.1 Cho I iđêan vành phân bậc S, điều kiện sau tương đương: 1i) I 2i) Bất kì a ∈ I thành phần ak a thuộc I(k ∈ Z) 3i) S/I vành phân bậc với phân bậc {(S/I)k }k ∈ Z, {(S/I)k := (Sk + I)/I Định nghĩa 1.2.4 Cho S vành phân bậc, S−môđun M gọi môđun phân bậc M thỏa mãn hai điều kiện sau đây: 1i) M = ⊕ Mn Mn nhóm aben n∈Z 2i) Với m, n ∈ Z Sn Mm ⊆ Mm+n Các phần tử Mn gọi phần tử bậc n Từ định nghĩa vành R = K[x0 , x1 , , xn ] vành phân bậc nên R R−môđun phân bậc với R = ⊕ Rd d≥0 1.2.2 Hàm Hilbert đa thức Hilbert Định nghĩa 1.2.5 Một đa thức số đa thức P (z) ∈ Q[z] cho P (n) ∈ Z với n đủ lớn, n ∈ Z Định nghĩa 1.2.6 Cho M R−môđun phân bậc hữu hạn sinh, M = ⊕ Mt , t∈Z Mt K−không gian vectơ hữu hạn chiều Hàm Hilbert M định nghĩa là: HM (t) =dimK Mt , t ∈ Z Định lý 1.2.2 Cho M R−mơđun phân bậc hữu hạn sinh Khi có đa thức số PM (z) ∈ Q[z] cho HM (t) = PM (t) với số nguyên t đủ lớn 12 Định nghĩa 1.2.7 Đa thức PM xác định định lý gọi đa thức Hilbert M Định lý 1.2.3 Cho M = R−môđun phân bậc hữu hạn sinh có chiều d đa thức Hilbert PM (t) có bậc d − viết dạng: d−1 (−1)i ei PM (t) = i=0 1.2.3 t+d−i−1 d−i−1 , với e0 , , ed−1 ∈ Z Vành tọa độ xác định tập điểm Định nghĩa 1.2.8 Cho f đa thức vành R = K[x0 , x1 , , xn ] Tập Z(f ) = {P ∈ Pn |f (P ) = 0} gọi tập không điểm f Định nghĩa 1.2.9 Cho T tập phần tử vành R = K[x0 , x1 , , xn ] Tập Z(T ) = {P ∈ Pn |f (P ) = 0, ∀f ∈ T } gọi tập không điểm T Định nghĩa 1.2.10 Một tập Y Pn gọi tập đại số tồn tập T cho Y = Z(T ) Mệnh đề 1.2.4 Hợp hai tập đại số tập đại số Giao họ tùy ý tập đại số tập đại số Pn ∅ tập đại số Định nghĩa 1.2.11 Cho Y tập đại số Khi đó, A(Y ) := R/I(Y ) gọi vành tọa độ Y Định nghĩa 1.2.12 Cho X = {P1 , , Ps } tập hợp điểm phân biệt Pn ℘1 , , ℘s iđêan R xác định điểm P1 , , Ps tương ứng Cho ms m1 , , ms ∈ N∗ , đặt I = ℘m ∩ ∩ ℘s Khi đó, tập X với iđêan I gọi tập s điểm béo Pn , ký hiệu Z = m1 P1 + + ms Ps Đây tập điểm béo siêu mặt R có số bội mi Pi , i = 1, , s Nếu m1 = m2 = = ms = Z gọi tập điểm kép Pn 13 Vành tọa độ Z A := R/I gọi vành tọa độ Z Vành A = ⊕ At vành phân bậc Cohen-Macaulay 1−chiều có số bội là: t≥0 s ( mi +n−1 ) n e0 = i=1 Định nghĩa 1.2.13 Tập điểm X = {P1 , , Ps } Pn gọi vị trí tổng quát khơng có h + điểm X nằm h−phẳng, với h < n Tập điểm X = {P1 , , Ps } Pn gọi không suy biến X không nằm siêu phẳng 1.2.4 Chỉ số quy tập điểm béo Định nghĩa 1.2.14 Xét tập điểm béo Z = m1 P1 + + ms Ps có vành tọa độ A Do R vành phân bậc nên A = R/I vành phân bậc, A = ⊕ At t≥0 Xét hàm Hilbert A HA (t) =dimK At Người ta chứng minh hàm Hilbert HA (t) =dimK At tăng chặt đạt số bội s ) dừng (xem[13]) e0 = ⊕ ( mi +n−1 n i=1 Định nghĩa 1.2.15 Số nguyên t bé cho HA (t) = e0 gọi số quy tập điểm béo Z, ký hiệu reg(Z) Sau số khái niệm đối đồng điều địa phương Cho R vành giao hốn có đơn vị a iđêan R Ta có (1i) Với R−môđun M ta định nghĩa Γa (M ) = (0 :M an ), tập phần n≥0 tử M bị linh hóa lũy thừa iđêan a R Khi Γa (M ) môđun M (2i) Với R−môđun M, N f : M → N đồng cấu R−môđun, ta định nghĩa Γa (f ) : Γa (M ) → Γa (N ) x → f (x) Lúc Γa (f ) đồng cấu R−môđun 14 (3i) Ký hiệu Mod(R) phạm trù R−môđun Xét tương ứng Γa : Mod(R) → Mod(R) M → Γa (M ) Γa (f ) f M→ − N → Γa (M ) −−−→ Γa (N ) x −→ f (x) Khi Γa hàm tử hiệp biến, khớp trái phạm trù R−môđun Mod(R) gọi hàm tử a−xoắn (xem [12]) (4i) Xét giải thức nội xạ tối tiểu môđun M sau d0 ı d2 d1 → → A2 − → A1 − (A∗ ): −→ M → − A0 − Áp dụng hàm tử Γa vào giải thức ta thu phức Γa (d0 ) Γa (d1 ) Γa (d2 ) −→ Γa (A ) −−−−→ Γa (A ) −−−−→ Γa (A ) −−−−→ Đối đồng điều địa phương thứ i môđun M ứng với iđêan a ký hiệu Hai (M ) định nghĩa Hai (M ) := Ker(Γa (di )) Im(Γa (di−1 )), với i ≥ ms Cho tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Pn , I = ℘m ∩ ∩ ℘s , A = R/I Ta thấy R = K[x0 , , xn ] = ⊕ Ri đại số phân bậc chuẩn A = ⊕ At t≥0 i≥0 R-môđun phân bậc, R+ = ⊕ Ri iđêan R i>0 Với i > ta đặt   max{n ∈ N|H i (A)n = 0} R+ (A) =  −∞ HRi + (A) = HRi + (A) = Khi đó, reg(A) = max{ai (A) + i|i ≥ 0} số quy Castelnuovo-Mumford A Người ta chứng minh rằng: reg(Z) = reg(A) 15 Chương ỨNG DỤNG CỦA MATROID TRONG BÀI TOÁN CHẶN TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP CÁC ĐIỂM BÉO Trong Chương ký hiệu Pn := PnK không gian xạ ảnh n−chiều trường đóng đại số K, R = K[x0 , x1 , , xn ] vành đa thức theo biến x0 , x1 , , xn với hệ tử K Các vành xem xét luận văn vành giao hốn có đơn vị = Chúng ký hiệu: rk(M ) hạng matroid M rM hàm hạng matroid M (Xem Chương 1, Mục 1.1.4 Hạng matroid) Xét matroid M tập E, hạng tập A E lực lượng lớn tập độc lập A ký hiệu rkM (A) đơn giản rk(A) matroid M rõ Bao đóng tập A ⊆ E tập ClM (A) = {e ∈ E|rk(A + e) =rk(A)}, đó, chúng tơi sử dụng ký hiệu A + e = A ∪ {e}; Tài liệu tham khảo chương [24] 16 C − e = C \ {e} 2.1 Các kết chặn cho số quy tập điểm béo trước kết Uwe Nagel Bill Trok [24] 2.1.1 Một số kết trước năm 1996 Cho Z = m1 P1 + + ms Ps tập điểm béo Kết chặn số quy tập điểm béo B Segre (xem [27]): reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, (m1 + + ms ) , với m1 ≥ m2 ≥ ≥ ms cho tập s điểm béo đủ tổng quát Z = m1 P1 + + ms Ps P2 Sau đó, Fulton [22] chứng minh kết sau chặn cho tập điểm béo tùy ý Z = m1 P1 + + ms Ps P2 : s reg(Z) ≤ mi − i=1 s mi −1 lớn, nên chưa phải chặn tốt cho Chúng ta thấy chặn i=1 reg(Z) Sau E Davis Geramita [15] mở rộng kết cho tập s điểm béo tùy ý Pn chứng minh dấu đẳng thức xảy tất điểm nằm đường thẳng Hơn nữa, E Davis Geramita đưa chặn cho trường hợp tập điểm béo vị trí tổng quát P2 với m1 = m2 = = ms = m sau: reg(Z) ≤ sm Năm 1991, Catalisano [20] chứng minh:   s     m    i=1 i   reg(Z) ≤max m1 + m2 − 1,         cho tập điểm béo vị trí tổng quát P2 với m1 ≥ m2 ≥ ≥ ms Kết sau tác giả Catalisano, Trung, Valla [14] mở rộng cho chặn tập điểm béo Z = m1 P1 + + ms Ps vị trí tổng quát Pn vào năm 1993 sau: mi + n − reg(Z) ≤max m1 + m2 − 1, n 17 Năm 1994, Fatabbi [19] chứng minh chặn sau cho tập điểm béo Z = m1 P1 + + ms Ps tùy ý P2 : reg(Z) ≤max h − 1, m1 + + ms , với q mij | với Pi1 , , Piq h =max cộng tuyến j=1 2.1.2 Giả thuyết Ngô Việt Trung số kết đạt Năm 1996, N.V Trung đưa giả thuyết sau (xem [30]): Giả thuyết: Cho Z = m1 P1 + + ms Ps tập điểm béo tùy ý Pn Khi reg(Z)≤max{Tj |j = 1, , n}, q l=1 mil Tj =max j +j−2 |Pi1 , , Piq nằm j-phẳng Chặn N.V Trung mở rộng kết Segre [27] Trong tài liệu [24], Nagel Trok đặt Seg(Z) = max wL (Z) + dimL − |L ⊆ Pn khơng gian dimL tuyến tính chiều dương , với wL (Z) = Pi ∈L mi trọng số L, chặn N.V Trung Chặn Segre chứng minh không gian xạ ảnh với số chiều n = 2, n = (xem [28], [29]) cho tập điểm kép Z = 2P1 + + 2Ps P4 (xem [30]) Thiện; trường hợp n = 2, n = 3, Fatabbi Lorenzini đưa số chứng minh độc lập khác (xem [19], [20]) Năm 2012, Benedetti, Fatabbi Lorenzini chứng minh chặn Segre cho tập gồm n + điểm béo không suy biến Z = m1 P1 + + mn+2 Pn+2 Pn (xem [11]) Năm 2013, Tú Hùng chứng minh chặn Segre cho tập gồm n + điểm hầu đồng bội không suy biến Pn (xem [33]) 18 Năm 2016, Ballico, Dumitrescu Postinghel chứng minh chặn Segre cho trường hợp n + điểm béo không suy biến Z = m1 P1 + + mn+3 Pn+3 Pn (xem [10]) Năm 2016 Nagel Trok [24] chứng minh chặn cho số quy tập điểm béo X tùy ý Pn , kết nhận đăng tạp chí Annali della Scuola Normale Superore vào năm 2018 Một vấn đề khác nhiều nhà tốn học quan tâm tính giá trị reg(Z) Tuy nhiên tốn khó, việc tính giá trị reg(Z) đạt cho số tập điểm béo với điều kiện định Trong điều kiện cụ thể, điểm béo Z = m1 P1 + + ms Ps nằm đường thẳng Pn , năm 1984, Davis Geramita (xem [15]) chứng minh reg(Z)= m1 + + ms − Một đường cong hữu tỷ chuẩn Pn đường cong có phương trình tham số: x0 = tn , x1 = tn−1 u, , xn−1 = tun−1 , xn = un Cho tập điểm béo Z = m1 P1 + + ms Ps Pn , với m1 ≥ m2 ≥ ≥ ms Năm 1993, Catalisano, Trung Valla công thức tính reg(Z) hai trường hợp sau (xem [14]): Nếu s ≥ P1 , , Ps nằm đường cong hữu tỷ chuẩn Pn (xem [8, s Hệ 7]), reg(Z) = max m1 + m2 − 1, mi + n − /n i=1 Nếu n ≥ 3, ≤ s ≤ n + 2, ≤ m1 ≥ m2 ≥ ≥ ms > P1 , , Ps nằm vị trí tổng quát Pn (xem [8, Hệ 8]), reg(Z)=m1 + m2 − Năm 2012, Thiện (xem [31, Định lý 3.4]) tính số quy reg(Z) cho tập s + điểm béo cho chúng không nằm (s − 1)−phẳng Pn với s ≤ n: reg(Z) = max{Tj |j = 1, , n}, 19 Tj =max q l=1 mil +j−2 j |Pi1 , , Piq nằm j-phẳng , j = 1, , n Năm 2017, Thiện Sinh [32] tính chặn cho số quy reg(Z) tập s điểm béo không nằm (r − 1)−phẳng, s ≤ r + 3: reg(Z) = max{Tj |j = 1, , n}, Tj =max 2.2 2q + j − |Pi1 , , Piq nằm j-phẳng , j = 1, , n j Ứng dụng matroid báo Uwe Nagel Bill Trok [24] 2.2.1 Matroid phân hoạch Định lý 2.2.1 ([24, Định lý 2.1]) Cho matroid M1 , , Ms tập E với hàm hạng rk1 , , rks , có phân hoạch E = I1 với tập A ⊆ E, ta có |A| ≤ Is cho Ij độc lập Mj s j=1 rkj (A) Hệ 2.2.2 ([24, Hệ 2.2]) Cho matroid M , có phân hoạch tập E thành s tập độc lập với tập A ⊆ E, ta có |A| ≤ rk(A) · s Bổ đề 2.2.3 ([24, Bổ đề 2.4]) Nếu C vòng M (f ) e ∈ C e ∈ ClM (C) |C| = s · rkM (C) − p + Mệnh đề 2.2.4 ([24, Mệnh đề 2.5]) Cho M matroid E = ∅, lấy s, p số nguyên không âm Giả sử |A| ≤ (s + 1) · rk(A) − (p + 1) (2.1) với tập ∅ = A ⊆ E hạng Ms,p thỏa mãn rkMs,p (E) ≥ |E| − rk(E) + Định nghĩa 2.2.1 ([24, Định nghĩa 2.6]) Cho M matroid E ˜ E ˜ Với e ∈ E˜ \ E, xác (1i) Giả sử M matroid matroid M định matroid M/e E hàm hạng rkM/e (A) = rkM˜ (A + e) − 1, với A ⊆ E 20 gọi thương sơ cấp M Chú ý rằng, tập độc lập M/e độc lập M mà bao khơng chứa phần tử e (2i) Gọi S tập E, xem hợp rời E S (E, 0)∪(S, 1) Ký hiệu M+S matroid mà tập độc lập có dạng (I1 , 0) ∪ (I2 , 1), rkM (I1 ∪ I2 ) = |I1 | + |I2 | Matroid M+S gọi mở rộng song song M S Ta thấy M+S matroid hạng M+S hạng M Tổng quát hơn, A = (A1 , 0)∪(A2 , 1) tập E S, rkM+S (A) = rkM (A1 ∪A2 ) ˜ matroid E˜ = ∅ cho M Hệ 2.2.5 ([24, Hệ 2.7]) Cho M ˜ Giả sử, với số nguyên không matroid cảm sinh tập E = ∅ E âm s, p tập ∅ = A ⊆ E, ta có: |A| ≤ (s + 1) · rk(A) − (p + 1) ˜ tồn tập I ⊂ E cho e ∈ Khi đó, với e ∈ E, / Cl(I) |B| ≤ s · rk(B) − p, với ∅ = B ⊆ E − I ˜ matroid E˜ = ∅, cho s, p Định lý 2.2.6 ([24, Định lý 2.3]) Cho M số nguyên không âm Giả sử có tập E = ∅ E˜ cho |A| ≤ s · rkM˜ (A) − p với tập không rỗng A ⊆ E, số nguyên cố định q với ≤ q ≤ p, Khi đó, với (e1 , , eq ) ∈ E˜q , có tập độc lập rời I˜1 , , I˜q ∈ E có tính chất sau: Nếu (a1 , , ap ) ∈ E˜p với = ei , ≤ i ≤ q; có phân hoạch E = I1 Is thành tập độc lập cho aj ∈ / Cl(Ij ), ≤ j ≤ p, Ij = I˜j với j = 1, , q 2.2.2 Kỹ thuật quy nạp Trong phần này, chúng tơi trình bày kết cần thiết để áp dụng cho việc chứng minh phần luận văn Bổ đề 2.2.7 ([24, Bổ đề 3.1]) Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo Pn , đặt X = n1 P1 + · · · + ns Ps với ≤ ni ≤ mi ; i = 1, , s, gọi tập điểm béo Z Gọi A = ⊕ Aj vành tọa độ Z Khi đó, j∈Z reg(X) ≤ reg(Z) 21 Bổ đề 2.2.8 ([24, Bổ đề 3.2]) Cho Z ⊂ Pn tập điểm béo P ∈ Pn điểm không nằm giá Z, với số nguyên m ≥ 1, ta có: reg(Z + mP ) = max{m − 1, reg(Z), + reg(R/(IZ + IPm ))}, reg(R/(IZ +IPm )) số quy Castelnuovo-Mumford vành R/(IZ + IPm ) Bổ đề 2.2.9 ([24, Bổ đề 3.3]) Cho Z ⊂ Pn tập điểm béo F ⊂ Pn siêu mặt xác định dạng f ∈ R Ký hiệu ∅ = W ⊂ Pn phần dư Z với quan hệ F (xác định IZ : f ) Nếu Z ∩ F = ∅ ta có: reg(Z) ≤ max{reg(W ) + deg(F ), reg(Z ∩ F )} Nếu siêu mặt F định nghĩa dạng f ta viết Resf (Z) thay cho ResF (Z) Bổ đề 2.2.10 ([24, Bổ đề 3.4]) Cho Z ⊂ Pn tập điểm béo cho P ∈ Pn điểm không nằm giá Z, số nguyên m, k cố định với ≤ k ≤ m − Đặt t= n−1+k k Giả sử có đa thức g1 , , gt ∈ R f1 , , ft ∈ R cho IPk = (g1 , , gt ), fi (P ) = 0, reg(Resgi fi (Z + mP )) ≤ b − k − degfi , ∀i ∈ {1, 2, , t}, ∃b ≥ m − Nếu reg(Z + (m − 1)P ) ≤ b reg(Z + mP ) ≤ b 2.2.3 Ứng dụng matroid tốn chặn cho số quy tập điểm béo Định nghĩa 2.2.2 ([24, Định nghĩa 4.1]) (i) Cho điểm P Pn số nguyên m ≥ 1, ký hiệu [P ]m ma trận (n + 1)xm có m cột vectơ v ∈ K n+1 , v đại diện điểm P s (ii) Đặt X = i=1 mi Pi ⊂ Pn tập điểm béo Ta viết AX := ⊕si=0 [Pi ]mi cho ghép ma trận [Pi ]mi Định nghĩa matroid X tập cột EX AX , ký hiệu MX , matroid vectơ ma trận AX Do ta có |VX | = Bổ đề 2.2.11 ([24, Bổ đề 4.4]) Nếu X = s i=1 mi Pi s i=1 mi tập điểm béo có giá bao gồm hai điểm phân biệt mi ≤ Seg(X), ∀i Seg(X) ≥ mi + mj − với i = j 22 Định lý 2.2.12 ([24, Định lý 4.6]) Cho Z ⊂ Pn tập điểm béo thỏa mãn reg(Z) ≤ Seg(Z) Khi đó, với điểm P ∈ Pn khơng nằm giá Z, ta có: reg(Z + P ) ≤ Seg(Z + P ) Hệ 2.2.13 ([24, Hệ 4.7]) Nếu X tập điểm béo ứng với số bội Pn , reg(X) ≤ Seg(X) Bổ đề 2.2.14 ([24, Bổ đề 5.1]) Xét matroid vectơ M cho tập điểm béo Z = s j=1 mj Pj tập cột EZ Khi đó, tập S ⊂ EZ với rk(S) ≥ 2, ta có: |S| ≤ Seg(Z) · {rk(S) − 1} + Mệnh đề 2.2.15 ([24, Mệnh đề 5.2]) Cho Z ⊂ Pn tập điểm béo thỏa mãn reg(Z) ≤ Seg(Z) Khi đó, với điểm P ∈ Pn không nằm giá Z số nguyên m ≥ 1, ta có: reg(Z + mP ) ≤ Seg(Z + mP ) (3.4) Định lý 2.2.16 ([24, Định lý 5.3]) Nếu X tập điểm béo Pn , reg(X) ≤ Seg(X) Mệnh đề 2.2.17 ([24, Mệnh đề 5.6]) Cho tập điểm béo X = s i=1 mi Pi ⊆ Pn số nguyên d ≥ bất kỳ, số quy X ràng buộc giới hạn: −1 + pi ∈Y mi reg(X) ≤ max d · |Y ⊆ Supp(X), |Y | ≥ (3.9) dimK [R/IY ]d − Ví dụ sau trường hợp mà số quy tập điểm béo bé Seg(X) s i=1 mPi Ví dụ 2.2.1 ([24, Ví dụ 5.7]) Cho X = ⊂ Pn tập điểm béo, tất điểm có số bội m Giả sử giá X bao gồm điểm tùy ý ( d+n n ) n điểm tổng quát với số d ≥ Do đó, s = + ( d+n n ) Đặt L ⊂ P không gian tuyến tính k−chiều, với ≤ k < n Khi đó, |L ∩ Supp(X)| ≤ k + Điều có nghĩa là, với d (hoặc n đủ lớn) ta có: Seg(X) = max (k + 4)m − , k d+n n 23 +5 m−1 |1 ≤ k < n n = d+n n m + 5m − n Xét tập Y ⊂ Supp(X) t ≥ điểm Vì d ≥ nên ta có:   t t ≤ ( n+d n ) dimK [R/IY ]d =  ( n+d n ) trường hợp lại Theo Mệnh đề 2.2.18, ta kết quả: tm − [( d+n n ) + 5]m − reg(X) ≤ d · max , |1 ≤ t ≤ ( d+n n ) t−1 ( d+n ) − n [( d+n n ) + 5]m − = d · max 2m − 1, ( d+n n )−1 Nghĩa d (hoặc n) đủ lớn, ta có reg(X) ≤ d(2m − 1) 24 KẾT LUẬN Dưới hướng dẫn, dạy tận tình chu đáo thầy giáo, PGS.TS Phan Văn Thiện, với cố gắng nổ lực thân, tơi hồn thành xong luận văn Trong luận văn này, chúng tơi làm vấn đề sau: 1) Trình bày khái niệm matroid tính chất 2) Trình bày số quy tập điểm béo 3) Trình bày kết chặn cho số quy tập điểm béo trước kết Uwe Nagel Bill Trok [24] 4) Trình bày tường minh ứng dụng matroid để chặn cho số qui tập điểm béo báo Uwe Nagel Bill Trok [24] Trong trình thực luận văn, cố gắng làm việc cẩn thận, nghiêm túc Tuy nhiên hạn chế mặt thời gian lực thân nên kết luận văn khiêm tốn Trong thời gian tới có điều kiện để học tập nghiên cứu, tơi hy vọng tiếp tục phát triển đề tài Mặc dù thân có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót mặt nội dung hình thức Kính mong q thầy bạn đọc đóng góp ý kiến cho tơi để luận văn hồn chỉnh Cuối cùng, lần xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo, PGS.TS Phan Văn Thiện tận tình hướng dẫn động viên giúp đỡ suốt thời gian qua 25 ... + i|i ≥ 0} số quy Castelnuovo-Mumford A Người ta chứng minh rằng: reg(Z) = reg(A) 15 Chương ỨNG DỤNG CỦA MATROID TRONG BÀI TỐN CHẶN TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP CÁC ĐIỂM BÉO Trong Chương... toán chặn cho số quy tập điểm béo cách hiệu Trong luận văn chúng tơi trình bày lại khái niệm matroid tính chất nó, sau chúng tơi nghiên cứu cách sử dụng matroid để giải toán chặn cho số quy tập. .. 11 1.2.3 Vành tọa độ xác định tập điểm 12 1.2.4 Chỉ số quy tập điểm béo 13 Chương 2.1 Các khái niệm Ứng dụng matroid 15 Các kết chặn cho số quy tập điểm béo trước