Chỉ số chính quy của vành con veronese

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ HOÀI THU CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA VÀNH CON VERONESE Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS CAO HUY LINH HUẾ, 09/2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Dương Thị Hoài Thu ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn Thầy giáo, PGS TS Cao Huy Linh Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc kính trọng Thầy Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến q Thầy Khoa Tốn, Thầy Đại học Huế Viện Toán học dạy dỗ truyền đạt kiến thức cho suốt trình học tập Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế tạo điều kiện cho tơi suốt khóa học Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, anh chị Cao học Tốn khóa XXIII trường ĐHSP Huế chun ngành Đại số Lý thuyết số động viên, giúp đỡ trình học tập vừa qua Ngày tháng 10 năm 2016 Học viên thực Dương Thị Hồi Thu iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu Chỉ số quy Castelnouvo-Mumford 1.1 Iđêan nguyên tố chiều Krull 1.1.1 Iđêan nguyên tố 1.1.2 Chiều Krull vành môđun 1.2 Độ dài môđun 1.3 Vành phân thức vành địa phương 1.3.1 Vành phân thức 1.3.2 Vành địa phương 1.4 Dãy quy độ sâu mơđun 1.4.1 Dãy quy 1.4.2 Độ sâu môđun 1.5 Iđêan m-nguyên sơ iđêan tham số 1.5.1 Iđêan m-nguyên sơ 1.5.2 Iđêan tham số 1.6 Hệ bội biểu tượng bội 1.7 Đối đồng điều địa phương 1.7.1 Hàm tử xoắn 1.7.2 Đối đồng điều địa phương 1.8 Môđun Cohen-Macaulay Cohen-Macaulay suy 1.8.1 Môđun Cohen-Macaulay 1.8.2 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng rộng 5 10 11 11 14 15 15 16 17 17 17 18 18 18 20 25 25 26 1.9 Vành môđun phân bậc 1.9.1 Vành phân bậc 1.9.2 Môđun phân bậc 1.10 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford Chỉ 2.1 2.2 2.3 số quy vành Veronese Vành Veronese Chỉ số quy vành Veronese Mối quan hệ số quy vành Veronese vành phân bậc ban đầu 2.4 Ứng dụng số quy vành Veronese vành phân bậc liên kết 27 27 29 30 35 35 36 37 38 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 LỜI NÓI ĐẦU Cho E môđun phân bậc hữu hạn sinh đại số phân bậc chuẩn R = ⊕n≥0 Rn Lúc đó, số quy Castelnuovo-Mumford reg(E) E định nghĩa số m nhỏ cho HRi + (E)n = với n ≥ m − i + i ≥ 0, HRi + (E) đối đồng điều địa phương E với giá R+ = ⊕i>0 Ri Để gọn ta thường nói số quy thay cho số quy CastelnuovoMumford Với E R-môđun cho trước trên, R(k) = ⊕n≥0 Rnk gọi vành Veronese thứ k R E (k,s) = ⊕n∈Z Enk+s R(k) -môđun gọi môđun Veronese thứ (k, s) E Việc nghiên cứu vành môđun Veronese cho biết cấu trúc vành mơđun ban đầu nên thu hút nhiều nhà tốn học quan tâm (xem [4], [5], ) Cho (A, m) vành Noether địa phương, I iđêan m-nguyên sơ Kí hiệu I n /I n+1 GI (A) = n≥0 Người ta gọi GI (A) vành phân bậc liên kết A ứng với I Mục đích luận văn thiết lập mối quan hệ số quy vành Veronese vành ban đầu Từ đó, vận dụng kết để thiết lập chặn cho số quy vành phân bậc liên kết Việc tính số quy khơng hồn tồn đơn giản, người ta thường chặn cho số quy vành môđun phân bậc liên kết Vấn đề thu hút nhiều nhà toán học nước quan tâm Năm 2003, RossiTrung-Valla [15] thiết lập chặn cho số quy vành phân bậc liên kết ứng với iđêan cực đại theo bậc mở rộng Sau đó, Linh [10] (2005) mở rộng thành công kết Rossi-Trung-Valla cho lớp iđêan m-nguyên sơ Năm 2006, Linh-Trung [11] thiết lập chặn phổ dụng cho số quy vành Cohen-Macaulay suy rộng ứng với iđêan tham số Gần đây, Brodmann-Linh [6] thiết lập mối quan hệ cho số quy, số Hilbert kiểu quan hệ Như đề cập, báo [11], Linh-Trung thiết lập chặn phổ dụng cho số quy vành phân bậc liên kết vành CohenMacaulay suy rộng ứng với iđêan tham số Phương pháp mà Linh-Trung sử dụng dùng hàm Hilbert để ước lượng cho số quy Trong luận văn này, đưa phương pháp khác để chặn cho số quy vành phân bậc liên kết Đó dùng số quy vành Veronese Kết luận văn mà đạt thiết lập mối quan hệ số quy vành Veronese vành phân bậc ban đầu Định lý: Cho R = n≥0 Rn vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh vành địa phương Artin R0 với dim R = d Giả sử R(m) vành Veronese R Nếu reg R(m) ≤ r reg R ≤ m(r + 1) − Từ kết này, thu chặn phổ dụng cho số quy vành phân bậc liên kết vành Cohen-Macaulay suy rộng ứng với iđêan tham số Định lý: Cho (A, m) vành Cohen-Macaulay suy rộng với dim A = d ≥ Khi đó, tồn số tự nhiên N cho với hệ tham số x1 , , xd A, ta có reg Gq (A) ≤ N, q = (x1 , , xd ) Đây kết không sử dụng phương pháp khác với phương pháp Linh-Trung Bây giờ, xin vào chi tiết chương Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm hai chương Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức Đại số giao hốn nhằm mục đích hỗ trợ cho Chương Chương chương luận văn, gồm mục Mục 2.1, chúng tơi trình bày định nghĩa tính chất vành Veronese Tiếp theo, Mục 2.2 trình bày số quy vành Veronese Trong Mục 2.3, đưa mối quan hệ số quy vành Veronese vành phân bậc ban đầu Và cuối cùng, Mục 2.4, vận dụng kết số quy vành Veronese để thiết lập chặn cho số quy vành phân bậc liên kết Chương Chỉ số quy Castelnouvo-Mumford Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức đại số giao hoán Các kiến thức trình bày nhằm tham khảo cho nội dung chương sau Một số kết chương kinh điển, chúng tơi trình bày nội dung mà khơng trình bày phần chứng minh (phần chứng minh tham khảo tài liệu [3], [7], [8], [13], [16]) Trong suốt luận văn này, giả sử R vành giao hốn, có đơn vị = Trước hết, chúng tơi trình bày khái niệm iđêan nguyên tố chiều Krull 1.1 1.1.1 Iđêan nguyên tố chiều Krull Iđêan nguyên tố Định nghĩa 1.1.1 [3, tr.3] Cho p iđêan thực vành R, p gọi iđêan nguyên tố vành R với x, y ∈ R mà xy ∈ p x ∈ p y ∈ p Ví dụ 1.1.2 (i) Cho R = k[x] vành đa thức biến trường k , iđêan (f ), với f = f đa thức bất khả quy, iđêan nguyên tố vành R (ii) Cho vành số nguyên Z, iđêan nguyên tố Z có dạng pZ, với p = p số nguyên tố (iii) Cho D miền nguyên Khi đó, iđêan nguyên tố D Định nghĩa 1.1.3 [3, tr.3] Một iđêan m vành R gọi iđêan cực đại m phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm) tập hợp tất iđêan thực R; tức là, m J J iđêan R J = R Mệnh đề sau nêu lên tính chất đơn giản suy từ Định nghĩa 1.1.1 Định nghĩa 1.1.3 Mệnh đề 1.1.4 [1, Mệnh đề 3.2] Cho a iđêan vành R Khi đó, mệnh đề sau (i) a iđêan nguyên tố R/a miền nguyên (ii) a iđêan cực đại R/a trường (iii) Mọi iđêan cực đại R iđêan nguyên tố Chú ý mệnh đề ngược (iii) Mệnh đề 1.1.4 không Điều ta thấy ví dụ Ví dụ 1.1.5 Trong vành số nguyên Z iđêan nguyên tố không iđêan cực đại Chúng ta quan tâm đến tập hợp tất iđêan nguyên tố vành R Định nghĩa 1.1.6 [3, tr.12] Cho R vành giao hoán Tập hợp Spec(R) = {p ∈ R | p iđêan nguyên tố R} gọi phổ nguyên tố vành R Định nghĩa 1.1.7 Cho I iđêan vành R Tập hợp tất iđêan nguyên tố vành R mà chứa I gọi tập đại số xác định I Kí hiệu V (I) Như vậy, V(I) = {p ∈ Spec(R) | p ⊇ I} Ví dụ 1.1.8 (i) Cho vành R = Z, I = pZ (với p số nguyên tố) iđêan vành Z Khi đó, Spec(Z) = {0; pZ với p số nguyên tố} V(pZ) = {pZ} (ii) Cho số tự nhiên n = n = pa11 pakk phân tích thừa số nguyên tố n Lấy I = nZ iđêan vành Z Khi đó, V(nZ) = {p1 Z, , pk Z} Mệnh đề sau cho ta tính chất quan trọng tập V(I) Mệnh đề 1.1.9 [3, tr.12] (i) V(0) = Spec(R); V(R) = ∅ (ii) Cho I1 , , In iđêan vành R Khi đó, V(I1 ∩ ∩ In ) = V(I1 ) ∪ ∪ V(In ) Giả sử (Iλ )λ∈Λ họ tùy ý iđêan R Khi đó, V( Iλ ) = λ∈Λ (iii) V (I) = V (J) ⇔ √ I= V (Iλ ) λ∈Λ √ J Định lý sau cho ta kỹ thuật quan trọng, thường sử dụng Đại số giao hoán Định lý 1.1.10 (Định lý tránh nguyên tố) [1, Định lý 3.8] Các mệnh đề sau cho vành giao hoán R (i) Cho p1 , , pn iđêan nguyên tố a iđêan R Giả sử n a pi với i = 1, , n, a i=1 pi (ii) Cho a1 , , an iđêan p iđêan nguyên tố vành R Nếu n i=1 ⊆ p tồn số i cho ⊆ p Hơn nữa, n i=1 = p tồn số i cho = p Sau đây, chúng tơi trình bày định nghĩa iđêan ngun tố liên kết với mơđun M tính chất Định nghĩa 1.1.11 Cho M R-mơđun Một iđêan nguyên tố p vành R gọi iđêan nguyên tố liên kết với M tồn x ∈ M cho p = ann(x) với ann(x) = {r ∈ R | rx = 0} Tập iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR (M ) Ass(M ) Định lý 1.1.12 [13, Theorem 6.3] Cho R vành −→ M −→ M −→ M −→ dãy khớp ngắn R-mơđun Khi Ass(M ) ⊂ Ass(M ) ∪ Ass(M ) Chứng minh Từ giả thiết, ta thu dãy khớp dài môđun đối đồng điều địa phương i i i (L)n −→ (N )n −→ HR+ (M )n −→ HR+ −→ HR+ Giả sử r = max{reg(M ), reg(L)} Từ đó, (M ) + i ≤ r (L) + i ≤ r với i = 0, 1, Suy (M ) ≤ r − i (L) ≤ r − i với i = 0, 1, Với i (M ) = = H i (L) Suy H i (N ) = với n > r − i n > r − i, ta có HR+ n n n R+ R+ Do đó, (N ) ≤ r − i với i = 0, 1, Hay (N ) + i ≤ r với i = 0, 1, Vậy reg(N ) ≤ r Nếu z ∈ R1 phần tử M -chính quy, tức (0M : z) = 0, ta có dãy khớp ngắn z −→ M (−1) −→ M −→ M/zM −→ Áp dụng Mệnh đề 1.10.9, thu hệ sau Hệ 1.10.10 [2, Hệ 1.1.5] Nếu z ∈ R1 phần tử M -chính quy reg(M ) = reg(M/zM ) Nếu R = A[x1 , , xd ] vành đa thức d biến vành địa phương A reg(R) = [7, Example 12.4.1] Giả sử I iđêan thực R Lúc đó, số quy I R/I có mối quan hệ thể qua bổ đề sau Bổ đề 1.10.11 [2, Bổ đề 1.1.6] reg I = reg R/I + Chứng minh Từ dãy khớp ngắn −→ I −→ R −→ R/I −→ Ta thu dãy khớp dài môđun đối đồng điều địa phương i+1 i+1 i i · · · −→ HR+ (R)n −→ HR+ (R/I)n −→ HR+ (I)n −→ HR+ (R)n −→ · · · i (R) = với n ≥ −i + i ≥ Suy với n Do reg(R) = nên HR+ n i+1 i HR+ (R/I)n ∼ (I)n = HR+ (I) = nên reg(I) ≥ với n ≥ −i + i ≥ Do d(I) ≥ 0, d(R/I) = HR+ reg(R/I) ≥ Giả sử reg(R/I) = aj (R/I) + j với j ∈ {0, , d} Ta suy reg(I) = max{ai (R) + i} =aj+1 (R) + j + =aj (R/I) + j + = reg(R/I) + 33 Vậy ta có điều cần chứng minh 34 Chương Chỉ số quy vành Veronese Nội dung chương nghiên cứu vành Veronese vành phân bậc tổng quát thiết lập mối quan hệ số quy vành Veronese vành phân bậc ban đầu Từ đó, vận dụng kết để thiết lập chặn cho số quy vành phân bậc liên kết Trước tiên, chúng tơi trình bày định nghĩa số tính chất vành Veronese 2.1 Vành Veronese Trong suốt mục này, ta giả sử R = ⊕n≥0 Rn vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh vành địa phương Artin R0 Cho E R-mơđun phân bậc hữu hạn sinh Kí hiệu d(E) bậc cực đại phần tử sở E Định nghĩa 2.1.1 (i) Cho R = ⊕n≥0 Rn vành phân bậc Vành Veronese thứ m vành R vành phân bậc R, kí hiệu R(m) xác định R(m) = ⊕n≥0 Rmn Thành phần phân bậc thứ n (R(m) )n = Rmn với n ≥ (ii) Đặt M (m,s) = ⊕n∈Z Mmn+s Khi đó, M (m,s) R(m) -môđun gọi môđun Veronese thứ (m, s) M Thành phần phân bậc thứ n xác định (M (m,s) )n = Mmn+s Ta quy ước M (m) = M (m,0) (iii) Giả sử M = ⊕n∈Z Mn L = ⊕n∈Z Ln R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Đồng cấu f : M −→ L đồng cấu với thành phần phân bậc thứ n fn : Mn −→ Ln với n ∈ Z f (m,s) : M (m,s) −→ L(m,s) 35 đồng cấu R(m) -môđun Thành phần phân bậc thứ n xác định (f (m,s) )n = fmn+s : Mmn+s −→ Lmn+s với n ∈ Z Chúng ta có số nhận xét sau Nhận xét 2.1.2 (i) √ I (r) R = √ I (ii) Giả sử I iđêan vành R Do I phân bậc nên I (r) = I (r,0) iđêan phân bậc vành R(r) (iii) ΓI (r) (M (r,s) ) = (ΓI (M ))(r,s) Ví dụ 2.1.3 Cho R = k[x, y] vành đa thức biến trường k Lấy m = 2, vành Veronese thứ R R(2) = ⊕n≥0 R2n với phân bậc: (R(2) )0 = k (R(2) )1 = R2 = {ax2 + bxy + cy | a, b, c ∈ k} (R(2) )2 = R4 = {ax4 + bx3 y + cx2 y + dxy + ey | a, b, c, d, e ∈ k} Bổ đề 2.1.4 [7, Exercise 13.5.9] i (m,s) i HR )n ∼ (E))(m,s) )n = ((HR+ (m) + (E 2.2 Chỉ số quy vành Veronese Bổ đề 2.2.1 [2, Bổ đề 1.2.6] Cho m ∈ Z cho d(E) ≤ m Nếu E mchính quy yếu E m-chính quy Tức là, HRi + (E)m = d(E) ≤ m i (E) = với n ≥ m HR n + Bổ đề 2.2.2 Giả sử x phần tử không ước E Nếu reg E (m) ≤ r reg(E/xE)(m) ≤ r Chứng minh Từ dãy khớp ngắn R-môđun x −→ E(−1) −→ E −→ E/xE −→ Ta thu dãy khớp ngắn R(m) -môđun −→ (E(−1))(m) −→ E (m) −→ (E/xE)(m) −→ Khi đó, có dãy khớp dài môđun đối đồng điều địa phương i+1 i (m) i (m) (m) · · · −→ HR )n −→ HR )n −→ HR )n −→ · · · (m) + (E (m) + ((E/xE) (m) + ((E(−1)) với số nguyên n Theo giả thiết, reg E (m) ≤ r nên HRi (m) + (E (m) )n = với i (m) ) = với n ≥ r − i + n ≥ r − i + i ≥ Do HR n (m) + ((E/xE) (m) i ≥ Điều suy reg(E/xE) ≤ r 36 2.3 Mối quan hệ số quy vành Veronese vành phân bậc ban đầu Ta biết phần tử M -chính quy khơng phải tồn Do đó, người ta thường quan tâm đến khái niệm phần tử M -lọc quy Bây giờ, chúng tơi xin trình bày định nghĩa phần tử lọc quy số tính chất Định nghĩa 2.3.1 Phần tử z ∈ R gọi phần tử M -lọc quy (0M : z)n = với n Nếu (R0 , m0 ) vành địa phương với trường thặng dư R0 /m0 vô hạn ln ln tồn phần tử z ∈ R1 cho z M -lọc quy [7] Bổ đề 2.3.2 [2, Bổ đề 1.4.1] Cho x ∈ I\mI cho dạng khởi đầu x∗ x G = GI (A) phần tử GI (M )-lọc quy Khi đó, (i) xM ∩ I n M = xI n−1 M với n ≥ reg(GI (M )) + 1; (ii) I n+1 M : x = I n M + (0M : x) với n (iii) (0M : x) ∩ I n M = với n 0; Bây giờ, thiết lập mối quan hệ số quy vành Veronese vành phân bậc ban đầu Định lý 2.3.3 Cho R = n≥0 Rn vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh vành địa phương Artin R0 với dim R = d Giả sử R(m) vành Veronese R Nếu reg R(m) ≤ r reg R ≤ m(r + 1) − Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo d = dim R Xét trường hợp d = Theo giả thiết, reg R(m) ≤ r nên HRi (m) + (R(m) )n = (m) ) = với n ≥ r + với n ≥ r − i + i ≥ Suy HR n (m) + (R Theo Bổ đề 2.1.4, ta có (m) 0 HR )n ∼ (R))(m) )n = HR = ((HR+ (m) + (R)mn (m) + (R Suy HR0 (m) + (R)mn = với n ≥ r + Do đó, HR0 (m) + (R)m(r+1) = Mà d(R) = ≤ m(r + 1) nên theo Bổ đề 2.2.1, ta có HR0 (m) + (R)n = với n ≥ m(r + 1) Hay HR (m) + (R)n = với n ≥ m(r + 1) − + Suy reg(R) ≤ m(r + 1) − Vậy định lý chứng minh với d = Giả sử d > kết với tất vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh có số chiều nhỏ d Giả sử x phần tử thuộc R1 cho x R-lọc (R) Bằng phép chứng minh tương tự quy Khi đó, (0 : x) ⊆ HR+ 37 [15, Theorem 1.4], ta giả sử x phần tử quy R Theo giả thiết reg R(m) ≤ r nên theo Bổ đề 2.2.2, ta có reg(R/xR)(m) ≤ r Từ dãy khớp ngắn x −→ R(−1) −→ R −→ R/xR −→ 0, ta có dãy khớp dài môđun đối đồng điều địa phương i−1 i i i · · · −→ HR+ (R/xR)n −→ HR+ (R)n−1 −→ HR+ (R)n −→ HR+ (R/xR)n −→ · · · với số nguyên n Do reg(R/xR)(m) ≤ r nên theo giả thiết quy nạp, ta có i (R/xR) = với n ≥ m(r + 1) − − i + reg(R/xR) ≤ m(r + 1) − Suy HR+ n i i ≥ Hay HR+ (R/xR)n = với n ≥ m(r + 1) − i i ≥ Suy i−1 i (R) ∼ HR+ (R/xR)n = với n ≥ m(r + 1) − i + i ≥ Do đó, HR+ n−1 = i (R) với n ≥ m(r + 1) − i Mà H i (R) = với n HR+ 0, điều cho n n R+ i i ta HR+ (R)n = với n ≥ m(r + 1) − i Hay HR+ (R)n = với n ≥ m(r + 1) − − i + Vậy reg(R) ≤ m(r + 1) − 2.4 Ứng dụng số quy vành Veronese vành phân bậc liên kết Mục đích phần đưa chặn phổ dụng cho số quy vành phân bậc liên kết phương pháp khác, dùng vành Veronese Chặn phổ dụng có nghĩa chặn không phụ thuộc vào iđêan tham số xét Cho I iđêan m-nguyên sơ vành địa phương (A, m) Ta xây dựng vành phân bậc tương ứng mà ta gọi vành phân bậc liên kết vành A ứng với iđêan I , kí hiệu GI (A) hay G(I) (nếu khơng có nhầm lẫn vành A) Ở đây, xin nhắc lại khái niệm vành phân bậc liên kết Định nghĩa 2.4.1 Cho (A, m) vành địa phương I iđêan m-nguyên sơ vành A Khi đó, vành phân bậc liên kết A ứng với iđêan I vành phân bậc xác định I n /I n+1 , GI (A) = n≥0 tích hai phần tử x∗ = x + I n+1 ∈ I n /I n+1 y ∗ = y + I m+1 ∈ I m /I m+1 phần tử x∗ y ∗ = xy + I n+m+1 ∈ I n+m /I n+m+1 Bây giờ, ta giả sử (A, m) vành địa phương Noether với trường thặng dư vô hạn k I m-iđêan nguyên sơ A Ta kí hiệu RI (A) = n≥0 I n đại số Rees A ứng với iđêan I 38 Hai vành RI (A) GI (A) có mối quan hệ chặt chẽ với đóng vai trị quan trọng hình học đại số Vành RI (A) cịn gọi đại số nổ GI (A) gọi nón tiếp xúc phổ Spec(A) theo I Ooishi [14, Lemma 4.8] chứng minh reg(RI (A)) = reg(GI (A)) Vì để nghiên cứu số quy đại số Rees, ta cần nghiên cứu số quy vành phân bậc liên kết ngược lại Bổ đề 2.4.2 [15, Proposition 3.1] Giả sử I = (x1 , , xd ) iđêan tham số A Khi reg GI (A) ≤ reg GI (A) + (Hm A), A = A/Hm0 A and I = IA Trước trình bày bổ đề tiếp theo, chúng tơi trình bày định nghĩa iđêan rút gọn số mũ rút gọn Định nghĩa 2.4.3 (i) Cho R vành J ⊆ I iđêan R Khi đó, iđêan J gọi rút gọn I có số nguyên không âm n cho I n+1 = JI n (ii) Mỗi phần tử tối tiểu tập rút gọn I gọi rút gọn tối tiểu I (iii) Số mũ rút gọn I ứng với J số n nhỏ cho JI n = I n+1 Kí hiệu rJ (I) Như vậy, rJ (I) = min{n ≥ : I n+1 = JI n } (iv) Số nhỏ số mũ rút gọn rJ (I) với J chạy tập rút gọn tối tiểu I gọi số mũ rút gọn I Kí hiệu r(I) Như vậy, số mũ rút gọn I r(I) = min{rJ (I) ≥ : J rút gọn tối tiểu I} Khái niệm số mũ rút gọn Sally đưa để nghiên cứu tính Cohen-Macaulay vành phân bậc liên kết N.V.Trung chứng minh kết mối quan hệ số mũ rút gọn số quy Bổ đề sau nói lên điều Bổ đề 2.4.4 [18, Proposition 3.2] Cho J rút gọn tối tiểu I Khi đó, ta có rJ (I) ≤ reg(GI (A)) 39 Mệnh đề 2.4.5 [17, Mệnh đề 4.7)] Cho J = (x1 , , xs ) rút gọn I cho dãy x1 , , xs thỏa mãn điều kiện [(x1 , , xi−1 ) : xi ] ∩ I r+1 = (x1 , , xi−1 )I r , i = 1, , s với số nguyên cố định r ≥ rJ (I) Khi đó, (i) Với n ≥ r + 1, ta có [(x1 , , xi−1 ) : xi ] ∩ I n+1 = (x1 , , xi−1 )I n , i = 1, , s (ii) x1 t, , xs t dãy lọc quy RI (A) (iii) x∗1 , , x∗s dãy lọc quy GI (A) (iv) reg RI (A) = reg GI (A) ≤ r, x∗i dạng khởi đầu xi GI (A), i = 1, 2, , s Mệnh đề 2.4.6 Cho (A, m) vành Noether địa phương với depth(A) > Cho x phần tử I\I cho xt phần tử lọc quy RI (A) Hơn nữa, giả sử I n+1 : x = I n với n ≥ r reg GI/(x) (A/(x)) ≤ r Khi đó, reg GI (A) ≤ r Chứng minh Giả sử I = (x1 , , xs ) với x1 = x Do reg GI/(x) (A/(x)) ≤ r nên theo Mệnh đề 2.4.5, ta có [(x1 , , xi−1 ) : xi ] ∩ [(x) + I r+1 ] = (x) + (x2 , , xi−1 )I r , i = 2, , s Lấy giao I r+1 với hai vế, ta có [(x1 , , xi−1 ) : xi ] ∩ I r+1 = (x) ∩ I r+1 + (x2 , , xi−1 )I r , i = 2, , s Vì (x) ∩ I r+1 = x(I r+1 : x) = xI r nên ta thu [(x1 , , xi−1 ) : xi ] ∩ I r+1 = (x1 , , xi−1 )I r , i = 1, , s Theo Mệnh đề 2.4.5, ta có reg GI (A) ≤ r Bây giờ, chúng tơi trình bày định nghĩa kiểu quan hệ reltype(I) I Cho RI (A) = n≥0 I n đại số Rees A ứng với iđêan I Ta biểu diễn RI (A) ∼ = A[T ]/J J iđêan vành đa thức A[T ] Kiểu quan hệ reltype(I) I bậc cực đại hệ sinh tối tiểu J , nghĩa reltype(I) = d(J) Bổ đề sau cho biết mối quan hệ reltype(I) reg(GI (A)) Bổ đề 2.4.7 [2, Bổ đề 1.3.1] reltype(I) ≤ reg(GI (A)) + 40 Chứng minh Ta biết reltype(I) = d(J) ≤ reg(J) (theo Định lý 1.10.8) Từ Bổ đề 1.10.11, ta có reg(J) = reg(A[T ]/J) + = reg(RI (A)) + = reg(GI (A)) + Vậy reltype(I) ≤ reg(GI (A)) + Bây giờ, ta có bổ đề sau Bổ đề 2.4.8 Cho (A, m) vành Noether địa phương d chiều x1 , , xd hệ tham số A Giả sử depth A > x1 không ước không A Nếu reg Gq/(x1 ) (A/(x1 )) ≤ k − (x2 , , xd )n : x1 = (x2 , , xd )n−k [(x2 , , xd )k : x1 ], với n ≥ k , q = (x1 , , xd ) Chứng minh Ta có reltype(Gq/(x1 ) (A/(x1 ))) ≤ reg Gq/(x1 ) (A/(x1 )) + Do reltype(Gq/(x1 ) (A/(x1 ))) ≤ k Theo [20, Corollary 2.4], ta có (x2 , , xd )n : x1 = (x2 , , xd )n−k [(x2 , , xd )k : x1 ], với n ≥ k Bổ đề sau chặn độ lệch Cohen-Macaulay Bổ đề 2.4.9 Cho (A, m) vành Cohen-Macaulay suy rộng với dim(A) = d Khi đó, tồn m ∈ N cho với phận hệ tham số x1 , , xj A, ta có I(A/qkj ) ≤ m, qj = (x1 , , xj ) k ≥ Chứng minh Đặt B := A/qkj Giả sử xj+1 , , xd hệ tham số B Rõ ràng I(q, B) = (B/qB) − e(q, B) = (B/qB) − [ (B/qB) − (((xj+1 , , xd−1 ) : xd )/(xj+1 , , xd−1 ))] = (((xj+1 , , xd−1 ) : xd )/(xj+1 , , xd−1 )), 41 q = (xj+1 , , xd ) H J Wang [20, Theorem 3.3] chứng minh tồn m = Ld,j (k, l0 , , ld−1 ) với k ≥ cho (((xj+1 , , xd−1 ) : xd )/(xj+1 , , xd−1 )) ≤ m Sau đó, Linh-Trung [11, Theorem 1.2] đưa chặn tường minh cho độ lệch Cohen-Macaulay: I(A/qkj ) ≤ n+i−1 I(A) i−1 Tóm lại, I(q, B) ≤ m Từ bổ đề trên, ta có hệ sau Hệ 2.4.10 Cho (A, m) vành Cohen-Macaulay suy rộng với dim(A) = d Khi đó, tồn m ∈ N cho với phận hệ tham số x1 , , xd A, ta có mm [(x1 , , xd−1 )k : xd ] ⊆ (x1 , , xd−1 )k , với k ≥ Chứng minh Theo Bổ đề 2.4.9, tồn m = Ld,d−1 (k, l0 , , ld−1 ) cho I(A/qkd−1 ) ≤ m Điều suy ((qkd−1 : xd )/qkd−1 ) ≤ m Do mm [(x1 , , xd−1 )k : xd ] ⊆ (x1 , , xd−1 )k Chú ý: (i) Với số nguyên m Hệ 2.4.10 mm iđêan chuẩn m A, tức hệ tham số A chứa mm chuẩn Do xm , , xd hệ tham số chuẩn A (ii) Với số nguyên m Hệ 2.4.10 xm , x2 , , xd hệ tham số A Do k mm [(x2 , , xd )k : xm ] ⊆ (x2 , , xd ) , với k ≥ 42 Bây giờ, lấy m Hệ 2.4.10, ta xét I = (x1 , , xd )m = qm J = m (xm , , xd ), q = (x1 , , xd ) Rõ ràng J rút gọn I rJ (I) ≤ d ≤ m Bổ đề 2.4.11 Cho (A, m) vành Cohen-Macaulay suy rộng với depth(A) > Giả sử x1 , , xd hệ tham số A cho x1 không ước không A Nếu reg Gq /(xm (A/(xm )) ≤ k − 1 ) n−1 , I n : xm =I với n ≥ k + 1, q = (xm , x2 , , xd ) Chứng minh Ta có xm , x2 , , xd hệ tham số A I n = (x1 , , xd )mn = [x1 + (x2 , , xd )]mn mn−1 = xmn (x2 , , xd ) + + x1 (x2 , , xd )mn−1 + (x2 , , xd )mn + x1 Do đó, theo Bổ đề 2.4.8, ta có mn−1−m n I n : xm (x2 , , xd ) + + x1−m (x2 , , xd )mn−1 + (x2 , , xd )mn : xm = x1 + x 1 ⊆ I n−1 + (x2 , , xd )mn : xm = I n−1 + (x2 , , xd )mn−k [(x2 , , xd )k : xm ], với n ≥ k + Do mn − n + ≥ m nên theo Hệ 2.4.10, ta có n−1 I n : xm + (x2 , , xd )n−k−1 (x2 , , xd )mn−n+1 [(x2 , , xd )k : xm ⊆I ] ⊆ I n−1 + (x2 , , xd )n−k−1 (x2 , , xd )k Suy n−1 I n : xm , =I với n ≥ k + Bằng phương pháp sử dụng số quy vành Veronese, chúng tơi thu chặn phổ dụng cho số quy vành phân bậc liên kết vành Cohen-Macaulay suy rộng ứng với iđêan tham số Định lý 2.4.12 Cho (A, m) vành Cohen-Macaulay suy rộng với dim(A) = d ≥ Khi đó, tồn số tự nhiên N cho với hệ tham số x1 , , xd A, ta có reg Gq (A) ≤ N, q = (x1 , , xd ) 43 Chứng minh Đặt A = A/Hm0 (A) Theo Bổ đề 2.4.2, ta có reg Gq (A) ≤ reg Gq (A) + (Hm A) Do vậy, thay A A, ta giả sử depth(A) > x1 không ước không A Ta cần chứng minh tồn N ∈ N cho reg Gq (A) ≤ N m Lấy m Hệ 2.4.10, ta đặt I = (x1 , , xd )m = qm J = (xm , , xd ) Dễ thấy RI (A) vành Veronese Rq (A) Trước hết, ta chứng minh reg GI (A) ≤ d quy nạp d Xét trường hợp d = Khi đó, A vành Cohen-Macaulay Do {xm } d-dãy A nên reg GI (A) = < = d [19, Corollary 5.2] Bây giờ, ta xét trường hợp d > Đặt q = (xm , x2 , , xd ) ta giả sử reg Gq /(xm (A/(xm )) ≤ d − 1 ) n Theo Bổ đề 2.4.11, ta có I n+1 : xm = I với n ≥ d Điều suy reg GI (A) ≤ d (theo Mệnh đề 2.4.6) Bây giờ, ta đặt R = Rq (A) Khi đó, RI (A) = R(m) vành Veronese R Theo Định lý 2.3.3, ta suy reg Rq (A) ≤ m(d + 1) − Hay reg Gq (A) ≤ m(d + 1) − Vậy tồn N ∈ N cho với hệ tham số x1 , , xd A, ta có reg Gq (A) ≤ N Đây chặn cho số quy vành phân bậc liên kết Gq (A) Nó khơng phụ thuộc vào iđêan tham số xét 44 KẾT LUẬN Tóm lại, luận văn này, thu kết sau - Thiết lập mối quan hệ số quy vành Veronese vành phân bậc ban đầu Đó R(m) vành Veronese R reg R(m) ≤ r reg R ≤ m(r + 1) − - Thiết lập chặn cho số quy vành phân bậc liên kết phương pháp dùng vành Veronese Tác giả cố gắng với lực có hạn, khơng tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý quý Thầy Cô giáo bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn! 45 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình đại số đại, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Cao Huy Linh (2006), Chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford mơđun phân bậc liên kết, Luận án Tiến sĩ Toán học, Huế Tiếng Anh [3] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company [4] J Backelin and R Frăoberg (1985), Koszul algebras, Veronese subrings and rings with linear resolutions, Rev Roum Math Pures Appl 30, 85-97 [5] F Brenti and V Welker (2009), The Veronese construction for formal power series and graded algebras, Adv Applied Math., 42, 545-556 [6] M Brodmann and C.H Linh (2014), "Castelnuovo-Mumford regularity, relation types and postulation numbers", Journal of algebra 419, 129-140 [7] M Brodmann and R.Y Sharp (1980), Local cohomology - an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [8] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [9] N T Cuong, P Schenzel and N V Trung (1978), "Verallgemeinerte CohenMacaulay Module", Math Nachr 85, 57-73 [10] C H Linh (2005), "Upper bound for Castelnuovo-Mumford regularity of associated graded modules", Comm in Algebra 33, 1817-1831 [11] C H Linh and N V Trung (2006), "Uniform bounds in generalized CohenMacaulay rings", Journal of algebra 304(2), 1147-1159 46 [12] T Marley, Graded rings and modules, math.unl.edu/ tmarley1/905notes [13] H Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, Cambridge [14] A Ooishi (1987), "Genera and arithmetic genera of commutative rings", Hiroshima Math J 17, 47-66 [15] M E Rossi, N V Trung and G Valla (2003), "Castelnuovo-Mumford regularity and extended degree", Trans Amer Math Soc 355, no 5, 1773-1786 [16] R Y Sharp (2000), Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press, Cambridge [17] N V Trung (1986), "Toward a theory of generalized Cohen-Macaulay modules", Nagoya Math J 102, 1-49 [18] N V Trung (1987), "Reduction exponent and degree bound for the defining equations of graded rings", Proc Amer Math Soc 101, 229-236 [19] N V Trung (1998), "The Castelnuovo-Mumford regularity of the Rees algebra and the associated graded ring", Trans Amer Math Soc 350, no 3, 1167-1179 [20] H J Wang (1997), "The Relation-Type Conjecture holds for rings with finite local cohomology", Comm in Algebra 25, 785-801 Email address: hoaithu11192@gmail.com Tel: +841649791536 Typed by LATEX 47 ... số quy vành Veronese Vành Veronese Chỉ số quy vành Veronese Mối quan hệ số quy vành Veronese vành phân bậc ban đầu ... bày số quy vành Veronese Trong Mục 2.3, đưa mối quan hệ số quy vành Veronese vành phân bậc ban đầu Và cuối cùng, Mục 2.4, vận dụng kết số quy vành Veronese để thiết lập chặn cho số quy vành phân... chặn cho số quy vành phân bậc liên kết Đó dùng số quy vành Veronese Kết luận văn mà chúng tơi đạt thiết lập mối quan hệ số quy vành Veronese vành phân bậc ban đầu Định lý: Cho R = n≥0 Rn vành phân