Một số tính chất của vành giao hoán artin

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN - TIN - NGƠ THỊ NGỌC LOAN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH GIAO HỐN ARTIN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học Phú Thọ, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN - TIN - NGÔ THỊ NGỌC LOAN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH GIAO HỐN ARTIN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS NGUYỄN VĂN NGHĨA Phú Thọ, 2018 LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu thực khóa luận với nỗ lực cố gắng thân, tơi cịn nhận giúp đỡ, động viên thầy giáo, cô giáo khoa Toán – Tin, Trường Đại học Hùng Vương tận tình bảo tơi suốt thời gian thực khóa luận Đặc biệt tơi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS Nguyễn Văn Nghĩa giành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tơi suốt thời gian thực khóa luận tốt nghiệp, đồng thời giúp tơi lĩnh hội kiến thức chuyên môn rèn luyện cho tác phong nghiên cứu khoa học Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo, giáo khoa Tốn – Tin, tới gia đình, bạn bè người ln sát cánh, giúp đỡ, chia sẻ, động viên suốt trình học tập nghiên cứu thực khóa luận Do thời gian lực thân hạn chế Hơn lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy bạn để khóa luận tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Việt Trì, tháng 04 năm 2018 Sinh viên Ngô Thị Ngọc Loan MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Vành iđêan 1.2 Module 13 1.3 Sự phân tích nguyên sơ 19 CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH GIAO HOÁN ARTIN 21 2.1 Điều kiện dây chuyền 21 2.2 Sự phân tích nguyên sơ vành Noether 30 2.3 Một số tính chất vành giao hốn Artin 32 CHƯƠNG BÀI TẬP VỀ VÀNH GIAO HOÁN ARTIN 38 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 1 Tính cấp thiết đề tài MỞ ĐẦU Trong năm vừa qua, xu tồn cầu hóa, hội nhập với giới, đất nước ta chuyển cơng đổi sâu sắc tồn diện, từ kinh tế tập trung quan liêu bao cấp sang kinh tế nhiều thành phần vận hành theo chế thị trường Song song với đổi Tốn học ngày phát triển Sở dĩ nói Tốn học coi cần thiết cho nghiên cứu khoa học hay kỹ thuật ứng dụng khác ngành y học, ngành kinh tế, Ngày nhu cầu học hỏi tốn nói chung đại số nói riêng sinh viên khoa Tốn ngày tăng Trong Đại số ngành chiếm vị trí quan trọng, phân nhánh lớn Tốn học, góp phần thúc đẩy phát triển Toán học Theo nghĩa chung nhất, Đại số việc nghiên cứu ký hiệu toán học quy tắc cho thao tác ký hiệu trên, chủ đề thống hầu hết tất lĩnh vực Toán học Như vậy, Đại số bao gồm tất thứ từ giải phương trình cấp tiểu học nghiên cứu trừu tượng nhóm, vành trường Tuy nhiên để sâu nghiên cứu mơn Đại số cần có hiểu biết cách sâu sắc cấu trúc đại số Hiện nay, nghiên cứu Đại số người ta coi đối tượng chủ yếu Đại số cấu trúc đại số như: Nhóm, vành, trường, module, Trong vành phần kiến thức quan trọng Đại số đại Đặc biệt vành giao hoán Artin xuất thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học Trên vành Artin có nhiều tính chất đặc trưng riêng biệt Vì vậy, việc nghiên cứu vành khơng túy đam mê Tốn học mà cịn lơi ứng dụng đa dạng vào ngành khoa học khác Lý thuyết vành xuất kỷ ngày phát triển cách phong phú bối cảnh Mục đích lý thuyết vành mơ tả cấu trúc vành Tuy nhiên, với định nghĩa trừu tượng nó, khơng thể đưa điều nhiều tính chất chung chung Chính vậy, muốn nghiên cứu cấu trúc vành cách sâu sắc người ta phải đặt điều kiện cụ thể tìm cách mơ tả chúng sở cấu trúc biết Do đề xuất “điều kiện cụ thể” mà xuất nhiều lớp vành như: Vành Artin, vành Noether, vành Goldie, Trong đó, vành giao hốn Artin vấn đề nhiều quan tâm nhiều nhà tốn học Vì từ lý mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Một số tính chất vành giao hốn Artin” với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn Đại số bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Mục tiêu nghiên cứu Tổng hợp hệ thống số tính chất đặc trưng vành giao hoán Artin, đồng thời xây dựng hệ thống tập vành giao hoán Artin Nhiệm vụ nghiên cứu  Tổng hợp hệ thống số kiến thức bản, tính chất vành giao hoán Artin  Hệ thống số ví dụ, tập minh họa nhằm làm rõ củng cố lại lý thuyết vành Artin Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu khóa luận nghiên cứu lý thuyết, phân tích, tổng hợp đánh giá Sử dụng kỹ thuật liên quan đến vành, iđêan kỹ thuật khác vận dụng chứng minh Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Vành giao hốn Artin Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất vành giao hoán Artin Ý nghĩa khoa học thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Góp phần làm phong phú thêm kết hiểu biết lớp vành giao hoán Artin, hiểu rõ khái niệm vành tính chất để vận dụng cho nhiều tốn nghiên cứu liên quan Đặc biệt, kết lớp vành giao hoán Artin hy vọng góp phần làm sáng tỏ giả thuyết Faith Ý nghĩa thực tiễn: Khi nghiên cứu số tính chất vành giao hốn Artin, khóa luận tài liệu tham khảo cho nhà nghiên cứu, học viên, cao học, sinh viên Bố cục khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, mục lục tài liệu tham khảo nội dung khóa luận gồm chương: Chương Các kiến thức 1.1 Vành iđêan 1.3 Sự phân tích nguyên sơ 1.2 Module Chương Một số tính chất vành giao hoán Artin 2.1 Điều kiện dây chuyền 2.2 Sự phân tích nguyên sơ vành Noether 2.3 Một số tính chất vành giao hốn Artin Chương Bài tập vành giao hoán Artin 1.1 Vành iđêan CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa 1.1.1 Một vành A tập hợp với hai phép tốn hai ngơi (phép cộng phép nhân) thỏa mãn: 1) A nhóm aben phép cộng, có phần tử trung hịa phần tử khơng (ký hiệu 0) 2) Phép nhân có tính kết hợp: (ab )c  a(bc) , phân phối phép cộng: a(b  c)  ab  ac,(b  c)a  ba  ca 3) Ta xét vành có tính giao hốn 4) ab  ba với a, b  A , có phần tử đơn vị (ký hiệu 1) 5)   A cho a.1  1.a  a với a  A Ví dụ 1.1: 1) Tập hợp số nguyên  với phép cộng phép nhân thông thường vành 2) Tập hợp ma trận vuông cấp n với phép cộng nhân ma trận vành 3) Tập đa thức với hệ số trường số thực vành Ghi chú:  Khái niệm “vành” dùng “vành giao hốn có đơn vị”, nghĩa vành thỏa mãn tiên đề từ (1) đến (4) cho  Nếu vành A ta có  A có phần tử Ta gọi A vành không, ký hiệu Mệnh đề 1.1.2 Cho vành A Khi đó:  Phần tử đơn vị vành  a.0  với a  A  (a )b  a (b )  (ab) với a, b  A  (a )(b)  ab với a, b  A  (na )b  a(nb )  n (ab) với a, b  A , n   n m  n   m        bj     aibj với a1, , an , b1, , bm  A  i 1  j 1  i 1 j 1  ab   a nb n với a, b  A , n   n  a  b   n n C a i 0 i n b với a, b  A , n   ■ n i i Định nghĩa 1.1.3 Một tập S vành A gọi vành A thỏa mãn: i) a  b  S với a,b  S ; ii) ab  S với a,b  S ; iii)  S Ví dụ 1.2: Cho A vành Ta ln có hai vành 0 A gọi vành tầm thường vành A Riêng A gọi vành không thực vành A Định nghĩa 1.1.4 Một đồng cấu vành ánh xạ f từ vành A vào vành B thỏa mãn: i) f (a  b )  f (a )  f (b ) với a, b  A ; ii) f (ab )  f (a )f (b ) với a, b  A ; iii) f (1)  Ví dụ 1.3: Cho vành A End A vành tự đồng cấu nhóm A,  Với phần tử x  A , xác định ánh xạ hx : A  A mà hx y   xz , z  A Ta có x  A hx  End A ánh xạ  : A  End A mà  x   hx , x  A đồng cấu vành Ghi chú:  Đồng cấu vành f gọi đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu ánh xạ f tương ứng đơn ánh, tồn ánh hay song ánh  Nếu có đẳng cấu vành từ vành A đến vành B ta nói hai vành A B đẳng cấu nhau, ký hiệu A  B Mệnh đề 1.1.5 Cho đồng cấu vành f : A  B Khi đó:  f (0)   f (a )  f (a ) với a  A  f (a  b )  f (a )  f (b) với a, b  A ■ Mệnh đề 1.1.6 Nếu f : A  B , g : B  C hai đồng cấu vành tích ( ánh xạ hợp) g  f : A  C đồng cấu vành ■ Định nghĩa 1.1.7 Một iđêan m vành A tập A thỏa mãn: i) m   ; ii) x  y  m với x , y  m ; iii) ax  m với a  A x  m Ví dụ 1.4: 1) Bộ phận 0 phận A hai iđêan vành A 2) Trong vành  n iđêan vành  với n   Định nghĩa 1.1.8 Cho m iđêan vành A Quan hệ hai  xác định A : a  b  a  b  m với a, b  A quan hệ tương đương Tập thương A/  ký hiệu A / m , lớp tương đương với a  A ký hiệu a  m Khi đó, tập thương A / m có cấu trúc vành với hai phép toán: 37 iii )  i ) Nếu dimk m / m  m  m , theo bổ đề Nakayama   (1.2.18) m  Do A có hai iđêan (tức A trường theo (1.1.13)) Nếu dimk m / m  , theo (1.2.19) m iđêan m  x   Gọi a iđêan A , khác A Ta có m  N , theo (2.3.4) m lũy linh; tồn số nguyên r thỏa mãn a  m r , a  m r 1 ; tồn y  a thỏa mãn y  ax r a  A , y  x r 1 ; a  x  m theo (1.1.19) a khả nghịch A Do x r  a 1ax r  a 1y  a , suy m r  x r  a mà a  m r  x r nên a  m r  x r Vậy a iđêan ■ 38 CHƯƠNG BÀI TẬP VỀ VÀNH GIAO HOÁN ARTIN 3.1 Bài tập có hướng dẫn giải: Bài 1: Chứng minh tự đơn cấu module Artin tự đẳng cấu Bài 2: Với A vành giao hốn có đơn vị, hỏi vành đa thức A X  vành Artin khơng? Bài 3: Cho A vành Artin có linh iđêan khơng Chứng minh A có số hữu hạn iđêan Bài 4: Chứng minh module N A  module M cực đại module thương M / N đơn Bài 5: Chứng minh M A  module Noether, tồn dãy module M M  M  M   M n  cho M k 1 / M k A  module đơn với k  Bài 6: Nếu B , C , D module R  module M C  B D  C   B  D  B   C Bài 7: Chứng minh vành số nguyên  xem   module Noether không Artin Bài 8: Chứng minh không gian vectơ hữu hạn chiều vừa module Noether vừa module Artin Bài 9: Chứng minh vành giao hốn R có đơn vị khác có iđêan cực đại R Bài 10: Cho vành giao hốn có đơn vị khác 0, R J iđêan R Chứng minh: i) J iđêan nguyên tố vành R vành thương R / J miền nguyên ii) 39 J iđêan cực đại vành R vành thương R / J trường Bài 11: Cho R vành, P iđêan nguyên tố,  ,  iđêan R Khi   P   P   P Bài 12: Cho R vành giao hốn có đơn vị Chứng minh điều kiện sau tương đương: i) R vành Noether ii) Trong tập khác rỗng iđêan R tồn phần tử iii) I  I  I   I k  I k 1 dãy tăng iđêan R bao cực đại tồn n để I n  I n 1  I n 2  Bài 13: Giả sử X vành giao hốn, có đơn vị Một iđêan A  X X gọi iđêan tối đại iđêan X chứa A X thân A Một iđêan P  X X gọi nguyên tố với u , v  X tích uv  P u  P v  P Chứng minh rằng: a) X b) X P A miền nguyên P iđêan nguyên tố trường A tối đại Bài 14: Cho f đồng cấu từ vành X đến vành Y ( X Y vành giao hốn có đơn vị) Chứng minh rằng: a) Nếu f toàn cấu I iđêan X f I  iđêan I Nếu f khơng tồn cấu tính chất cịn khơng? Tại sao? b) Nếu P iđêan nguyên tố Y f 1 P  iđêan nguyên tố X Kết cịn khơng thay giả thiết “nguyên tố” giả thiết “tối đại”? Tại sao? 40 Bài 15: Cho A vành giao hốn có đơn vị dãy khớp ngắn A  module  N  M  P  Khi đó, M module Artin N P module Artin Hướng dẫn giải: Bài 1: Giả sử f tự đồng cấu module Artin M Ta chứng minh có số n cho M  Im f n  Kerf n Thật vậy, xét dãy giảm module M Im f  Im f   Im f k  Do M Artin, ta tìm số n cho Im f n  Im f n 1  Khi với x M ta có f n x   Im f n  Im f 2n tức có y  M cho Im f n x   Im f 2n y  , hay f n x  f n y   , suy x  Im f n  Kerf n Như M  Im f n  Kerf n   Bây f đơn cấu, f n đơn cấu, M  Im f n Từ dễ dàng suy f tồn cấu, đẳng cấu Bài 2: Vành A X  khơng thể vành Artin có dãy giảm thật iđêan sau X   X    X   n Bài 3: Giả sử m , , m  n tập tất iđêan cực đại A Khi  m1   mn Bởi giả thiết  , ta có  m1   mn Vậy theo Định lý Trung Hoa dư, A  A /  mi   A / mi Chú ý iđêan vành n A / m i 1 i n n i 1 i 1 có dạng I   I n với I i iđêan A / mi có hai iđêan, ta suy vành A có tất 2n iđêan 41 Bài 4: N module cực đại M N  M khơng có module P M cho N  P  M , tức module thương M / N khác có hai module Theo định nghĩa, điều có nghĩa M / N module đơn Bài 5: Vì M module Noether nên tập module thực M có phần tử cực đại M Theo tập 4, M / M module đơn Lại M module Noether nên tập module thực M có phần tử cực đại M , mà theo tập 4, module thương M / M đơn Cứ tiếp tục vậy, ta xây dựng dãy module M nêu Bài 6: Giả sử d  c  b  D  C   B , b  B , c  C , d  D Khi d  b c  D  B Do D  C   B  D  B   C d  c  b  D  B   C Bởi Ngược lại, giả sử c  C , d  D Khi d  c  D  C , đồng thời d  c  B nên d  c  D  C   B Bởi vậy, D  B   C  D  C   B Bài 7: Thật vậy, a   , a  , a  1 a   a 2  a 3  chuỗi vô hạn Do   khơng Artin Mặt khác a   b  b ước a Bởi chuỗi tăng module tăng module  dừng, nghĩa   Noether Chú ý: Vành  Noether phải trái khơng Artin Tình ngược lại vành không sảy ra: sau ta chứng minh vành 42 Artin Noether Tuy nhiên có module Artin khơng Noether Bài 8: Thật vậy, giả sử VK không gian vectơ thể K e1, ,en  sở Khi  e1K  e1K  e2K   V dãy hợp thành V , thương dãy đơn Bài 9: Gọi F tập tất iđêan vành R khác R Khi  F nên F   Giả sử I i  i S họ tùy ý iđêan lồng F , xét I   I i i S I iđêan R  I , tồn i  S để  I i hay I i  R (khơng I i  F ) Vậy I  F I bị chặn họ I i  i S , theo bổ đề Zorn: “Cho tập S khác rỗng thứ tự phận Nếu tập T S thứ tự tồn phần có cận S S có phần tử cực đại” F với quan hệ bao hàm có phần tử cực đại Tóm lại R có iđêan cực đại Bài 10: i) Giả  sử J R /J  x  x J | x  R iđêan nguyên tố vành R,  vành thương vành R J Vì J nguyên tố nên J  R , R / J nhiều phần tử Đơn vị R / J   J với đơn vị vành R Do R vành giao hoán nên R / J vành giao hoán Giả sử x , y hai phần tử tùy ý vành R / J Nếu x y  xy  J Vì J iđêan nguyên tố nên x  J y  J Từ suy x  y  Vậy R / J khơng có ước khơng, R / J miền nguyên 43 Ngược lại, giả sử R / J miền nguyên Khi R / J có nhiều phần tử, J  R Nếu x , y hai phần tử thuộc R cho xy  J x y  xy  Vì R / J khơng có ước nên suy ra: x  y  Từ x  J y  J Vậy J iđêan nguyên tố ii) Giả sử J iđêan cực đại vành R , giả sử u  R / J , u  Thế tồn r  R / J cho u  r  r  J Khi J  rJ  R , đó:  y  Rx , y  J , x  R Từ đó:   r x , nghĩa r có nghịch đảo Vậy R / J trường Ngược lại, giả sử R / J trường Thế R / J khơng có iđêan thực Khi B iđêan R cho J  B  R B / J iđêan R / J Do R / J iđêan thực nên B / J  B / J  R / J , nghĩa B  J B  R Điều chứng tỏ J iđêan cực đại R Bài 11: Giả sử   P   P Khi tồn x   , y   cho x  P y  P Suy xy  P (vì P iđêan nguyên tố) Mặt khác xy    P suy x  P (vô lý) Vậy   P   P Bài 12: i)  ii) Gọi F tập khác rỗng iđêan R Giả sử I s  iđêan lồng F Khi I  s S I s S s họ tùy ý iđêan R Vì R Noether nên tồn a1, a 2, ,  I để I  a1, a2, ,  R Vì I s  s S 44 họ lồng nên tồn s để a1, a2 , ,  I s dẫn đến a1, a2 , ,  R  I s Bởi I s  I , nên I  I s ; I s  F iđêan chứa tất iđêan họ I  s s S Theo bổ đề Zorn: “ Cho tập S khác rỗng thứ tự phận Nếu tập T S thứ tự tồn phần có cận S S có phần tử cực đại” F tồn phần tử cực đại ii)  iii): họ Giả sử I  I  I  dãy tăng iđêan R Từ ii) suy I  i i 1 tồn phần tử cực đại, ta giả sử I n Lại I n  I n 1  I n 2  , nên I n  I n 1  I n 2  iii)  i): Giả sử phản chứng R khơng vành Noether, R tồn iđêan I khơng hữu hạn sinh Lấy a1  I a1R  I , tồn a2  I \ a1R ta có a1R  a1, a  R  I Lặp lại vô hạn vô hạn lần với ý I hữu hạn sinh, ta dãy vơ hạn iđêan thực lồng I  I  I   I n  I n 1  I n 2  Điều mâu thuẫn với iii) Do R Noether Bài 13: a) Giả sử P iđêan nguyên tố vành X ; X P  x  P | x  X  vành thương vành X P Vì P nguyên tố nên P  X X nhiều phần tử Đơn vị X vành giao hoán nên X P P P có e  P với e đơn vị X Do X vành giao hoán Bây giả sử x  P y  P hai phần tử tùy ý X P x  P y  P    P  P hay xy  P  P xy  P Vì 45 P nguyên tố x P x  P  P   P y  P suy y  P  P   P Vậy X có ước khơng, X Giả sử X P P miền nguyên miền nguyên Khi X P suy P khơng có nhiều phần tử, P  X Giả sử x , y hai phần tử thuộc X cho xy  P xy  P  x  P y  P   P   P Vì X P khơng có ước nên suy x  P  P hay x  P y  P  P hay y  P Vậy P iđêan nguyên tố b) Giả sử X A trường X A có nhiều phần tử A  X Giả sử I iđêan X cho I  A có phần tử x  I  A Ta xét x  A  X A Vì x  A nên x  A khả nghịch, nghĩa có phần tử x 0  A cho (x 0  A)(x  A)  x 0x  A  e  A , hay e  x 0x  a , a  A Vì x  I e  A  I nên e  I I  X Vậy A iđêan tối đại X Đảo lại, giả sử A iđêan tối đại X A  X X phần tử Vì X vành giao hốn có đơn vị nên X A A có nhiều vành giao hốn có đơn vị Bây giả sử x  A phần tử khác không hay x  A  A , x  A Xét iđêan I X mà I  A  xX Khi I  A x  I Vì A tối đại nên I  X suy e  I Do e  a  xx với a  A x  X hay e  A  a  xx   A  xx  A  x  Ax  a  Điều chứng tỏ x  A nghich đảo x  A Do X A trường 46 Bài 14: a) Trước hết ta có  f 0  f I  Giả sử a  , b   f I  tồn a , b  Y cho f a   a  , f b   b  Như a   b   f a   f b   f a  b   I Giả sử a   f I  , y  Y , a   f a  , a  I Vì f toàn cấu nên x  X cho f x   y Khi a y  f a  f x   f ax   I Vậy f I  iđêan Y Nếu f khơng tồn cấu khẳng định khơng cịn Chẳng hạn f :    n n ánh xạ nhúng tự nhiên từ vành số nguyên  vào trường số hữu tỉ  Tuy nhiên  iđêan  f  không iđêan  b) Ta biết P iđêan Y f 1 P  iđêan X Giả sử hai phần tử x , x thuộc X cho x 1x  f 1 P  ta có f x 1x   P hay f x  f x   P Vì P iđêan nguyên tố nên f x   P f x   P Nếu f x   P x  f 1 P  , f x   P x  f 1 P  Vậy f 1 P  iđêan nguyên tố X Nếu P iđêan tối đại Y kết luận f 1 P  iđêan tối đại X Chẳng hạn f :    n n ánh xạ nhúng tự nhiên từ vành số nguyên  vào trường số hữu tỉ  Tuy nhiên 0 iđêan tối đại  f 1 0  0 không iđêan tối đại  47 Bài 15: Ta coi N module M P  M / N Giả sử M Artin Khi dãy giảm module N dãy giảm module M , phải dừng, N Artin Vì dãy giảm P ảnh dãy giảm M qua tồn cấu tắc, dãy giảm M dừng, nên dãy giảm P phải dừng Vậy P Artin Ngược lại, giả sử N P Artin, cho M  M   M n  dãy giảm M Khi ta nhận hai dãy giảm: M  N  M  N   M n  N  , M  N / N  M  N / N   M n  N / N  module N P tương ứng Từ giả thiết N P Artin, ta suy tồn số tự nhiên t để M k  N  M k 1  N M k  N  M k 1  N với k t Khi đó, luật M k  M k  N   M k  M k 1  N   M k module ta nhận được:  M k 1  M k  N  M k 1  M k 1  N  M k 1 với k  t Vậy M Atrin 3.2 Bài tập khơng có hướng dẫn giải: Bài 1: Tập I vành A iđêan trái A I A  module A  module A Bài 2: Cho module M R Chứng minh điều sau tương đương: i) ii) iii) M module đơn Mọi đồng cấu khác không M  N đơn cấu Mọi đồng cấu khác khơng N  M tồn cấu Bài 3: Chứng minh rằng: 48 1) Nếu M   module xyclic hữu hạn tồn dãy khớp ngắn f g       M  2) Tồn dãy khớp   module          Bài 4: Cho X nhóm Chứng minh tập hợp tự đẳng cấu X với phép nhân ánh xạ nhóm Bài 5: Cho X vành giao hốn có đơn vị, I iđêan thực vành X Chứng minh tồn iđêan tối đại X chứa I Bài 6: Giả sử Rn vành ma trận vuông cấp n với hệ tử vành R Chứng minh Rn Artin phải (tương ứng Noether phải) R Artin phải (tương ứng Noether phải) Bài 7: Chứng minh module M R Noether thỏa mãn điều kiện tối đại với module hữu hạn sinh Bài 8: Chứng minh vành thương vành Noether phải (tương ứng Artin phải) Noether phải (tương ứng Artin phải) Bài 9: Chứng minh vành Artin có phân tích nguyên sơ cho iđêan Bài 10: Cho A vành Noether Đặt S  A \  P Ass A P Chứng minh tất phần tử Ass A cực tiểu, S 1A vành Artin Bài 11: Cho M A  module hữu hạn sinh Chứng minh M Noether A / Ann M  vành Noether Bài 12: Cho A vành Lấy ví dụ A khơng phải Noether Spec A Noether 49 Bài 13: Cho M A  module Noether hữu hạn sinh Chứng minh M A  module Artin vành thương A / Ann M  vành Artin Bài 14: Cho M A  module hữu hạn sinh Chứng minh M Noether A / Ann M  vành Noether 50 KẾT LUẬN Khóa luận tập trung nghiên cứu số vấn đề liên quan đến vành giao hoán Artin, bao gồm:  Trong chương 1, khóa luận trình bày định nghĩa vành, vành con, iđêan, module, module thương, đồng cấu vành, … số tính chất liên quan (Định nghĩa 1.1.1, 1.1.4, 1.2.1, 1.2.5, Mệnh đề 1.1.5, 1.1.6, 1.1.13, 1.2.9, 1.2.13, ) Đồng thời, khóa luận chứng minh số định lý mệnh đề phân tích nguyên sơ vành Noether để sử dụng chứng minh tính chất vành Artin có liên quan đến vành Noether  Tiếp theo chương 2, khóa luận trình bày điều kiện dây chuyền (Mệnh đề 2.2.1), phân tích nguyên sơ vành Noether (Bổ đề 2.2.1, 2.2.2) để từ định nghĩa module Artin (module Noether), định nghĩa vành Artin (vành Noether) (Định nghĩa 2.1.2, 2.1.7) chứng minh số tính chất vành giao hốn Artin (Mệnh đề 2.3.1, 2.3.3, 2.3.9), mối liên hệ vành Artin vành Noether (Định lý 2.3.6)  Cuối chương 3, khóa luận trình bày số tập để củng cố cho phần lý thuyết Trong đó, tập chia thành hai phần: phần tập có hướng dẫn giải tập củng cố Các dạng tập chủ yếu vành, iđêan, module, module Noether, module Artin Mỗi khái niệm định nghĩa rõ ràng, xác Sau định nghĩa có ví dụ minh họa làm sáng tỏ định nghĩa, vấn đề đưa Các mệnh đề định lý có chứng minh nhằm cung cấp thêm cho tính chất đặc trưng khái niệm 51 Tiếng Việt: TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tự Cường (2007), Giáo trình đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môdun vành, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [3] Hồng Xn Sính (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Tiếng Anh: [4] Atiah M.F., Macdonald I.G (1996), Introductionto commutative algebra, Addison – Wesley Publishing Company [5] Masumura H (1890), Commutative algebra, The Benjamin/Cummings Publishing Company [6] Masumura H (1989), Commutative ring theory, Cambridge University Press ... 1.1 Vành iđêan 1.3 Sự phân tích nguyên sơ 1.2 Module Chương Một số tính chất vành giao hốn Artin 2.1 Điều kiện dây chuyền 2.2 Sự phân tích nguyên sơ vành Noether 2.3 Một số tính chất vành giao hoán. .. lớp vành như: Vành Artin, vành Noether, vành Goldie, Trong đó, vành giao hoán Artin vấn đề nhiều quan tâm nhiều nhà tốn học Vì từ lý mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: ? ?Một số tính chất vành giao. .. tập vành giao hoán Artin Nhiệm vụ nghiên cứu  Tổng hợp hệ thống số kiến thức bản, tính chất vành giao hốn Artin  Hệ thống số ví dụ, tập minh họa nhằm làm rõ củng cố lại lý thuyết vành Artin