Định nghĩa 1.9.1. (i) Một vành giao hoán R được gọi làvành phân bậc (hay
Z-phân bậc) nếu tồn tại một họ (Rn)n∈Z các nhóm con củaR (đối với phép cộng) sao cho:
(1) R= L
n∈Z
Rn (như là nhóm cộng aben);
(ii) Vành phân bậc R được gọi là vành phân bậc không âm (hay N-phân bậc) nếu Rn = 0 với mọi n <0, ta viết R = L
n≥0
Rn.
Từ định nghĩa vành phân bậc, chúng ta có nhận xét sau.
Nhận xét 1.9.2. (i) 1∈R0.
(ii) R0 là vành con của R và Rn là R0-môđun với mọi n∈Z.
(iii) Mỗi phần tử x∈R được biểu diễn duy nhất dưới dạng x=x1+. . .+xn với xn ∈ Rn và chỉ có hữu hạn các thành phần xn 6= 0 . Mỗi hạng tử xn ∈Rn được gọi là thành phần thuần nhất bậc n của x. Kí hiệu deg(xn) =n. Phần tử x∈R được gọi là phần tử thuần nhất nếu tồn tại n∈Z sao cho x∈Rn.
Ví dụ 1.9.3. (i) Xét vành đa thức hai biến R =k[x;y] trên trường k. Kí hiệu Rn là tập hợp các đa thức thuần nhất có bậc n.
Ta có R0 =k.
R1={ax+by|a, b∈k} chính là k-không gian vectơ sinh bởi {x, y}.
R2 = {ax2 +bxy +cy2|a, b, c ∈ k} chính là k-không gian vectơ sinh bởi
{x2, xy, y2}. . . .
Lúc đó, R = L
n≥0
Rn là vành phân bậc.
(ii) Cho Alà vành giao hoán, I là một iđêan thực sự của vành A. Khi đó, ta có
RI(A) = M
n≥0
In
là một vành phân bậc và được gọi là đại số Rees của A ứng với iđêan I.
(iii) Cho A là vành giao hoán, I là iđêan thực sự của vành A. Ta có
I ⊇I2⊇I3 ⊇. . . Gọi GI(A) = L n≥0 In/In+1 = L n≥0 Gn với Gn =In/In+1. Trong GI(A), ta định
nghĩa phép toán nhân như sau, với mọi x∗ = x+In+1 ∈ In/In+1, y∗ =
y+Im+1 ∈Im/Im+1 trong đó x∈In, y ∈Im, ta có
x∗y∗ = (x+In+1)(y+Im+1) =xy+In+m+1.
Khi đó, GI(A) là vành phân bậc và được gọi là vành phân bậc liên kết của (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});