Vành phân bậc

Một phần của tài liệu Chỉ số chính quy của vành con veronese (Trang 30 - 32)

Định nghĩa 1.9.1. (i) Một vành giao hoán R được gọi làvành phân bậc (hay

Z-phân bậc) nếu tồn tại một họ (Rn)n∈Z các nhóm con củaR (đối với phép cộng) sao cho:

(1) R= L

n∈Z

Rn (như là nhóm cộng aben);

(ii) Vành phân bậc R được gọi là vành phân bậc không âm (hay N-phân bậc) nếu Rn = 0 với mọi n <0, ta viết R = L

n≥0

Rn.

Từ định nghĩa vành phân bậc, chúng ta có nhận xét sau.

Nhận xét 1.9.2. (i) 1∈R0.

(ii) R0 là vành con của R và Rn là R0-môđun với mọi n∈Z.

(iii) Mỗi phần tử x∈R được biểu diễn duy nhất dưới dạng x=x1+. . .+xn với xn ∈ Rn và chỉ có hữu hạn các thành phần xn 6= 0 . Mỗi hạng tử xn ∈Rn được gọi là thành phần thuần nhất bậc n của x. Kí hiệu deg(xn) =n. Phần tử x∈R được gọi là phần tử thuần nhất nếu tồn tại n∈Z sao cho x∈Rn.

Ví dụ 1.9.3. (i) Xét vành đa thức hai biến R =k[x;y] trên trường k. Kí hiệu Rn là tập hợp các đa thức thuần nhất có bậc n.

Ta có R0 =k.

R1={ax+by|a, b∈k} chính là k-không gian vectơ sinh bởi {x, y}.

R2 = {ax2 +bxy +cy2|a, b, c ∈ k} chính là k-không gian vectơ sinh bởi

{x2, xy, y2}. . . .

Lúc đó, R = L

n≥0

Rn là vành phân bậc.

(ii) Cho Alà vành giao hoán, I là một iđêan thực sự của vành A. Khi đó, ta có

RI(A) = M

n≥0

In

là một vành phân bậc và được gọi là đại số Rees của A ứng với iđêan I.

(iii) Cho A là vành giao hoán, I là iđêan thực sự của vành A. Ta có

I ⊇I2⊇I3 ⊇. . . Gọi GI(A) = L n≥0 In/In+1 = L n≥0 Gn với Gn =In/In+1. Trong GI(A), ta định

nghĩa phép toán nhân như sau, với mọi x∗ = x+In+1 ∈ In/In+1, y∗ =

y+Im+1 ∈Im/Im+1 trong đó x∈In, y ∈Im, ta có

x∗y∗ = (x+In+1)(y+Im+1) =xy+In+m+1.

Khi đó, GI(A) là vành phân bậc và được gọi là vành phân bậc liên kết của

Một phần của tài liệu Chỉ số chính quy của vành con veronese (Trang 30 - 32)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(50 trang)