2 Chỉ số chính quy của vành con Veronese
2.4 Ứng dụng của chỉ số chính quy của vành con Veronese trong vành
trong vành phân bậc liên kết
Mục đích của phần này là chúng tôi sẽ đưa ra một chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết bằng một phương pháp khác, đó là dùng vành con Veronese. Chặn phổ dụng có nghĩa là chặn trên không phụ thuộc vào iđêan tham số được xét.
Cho I là iđêan m-nguyên sơ của vành địa phương(A,m). Ta có thể xây dựng một vành phân bậc tương ứng mà ta gọi đó là vành phân bậc liên kết của vành A ứng với iđêan I, kí hiệu là GI(A) hay G(I) (nếu không có sự nhầm lẫn gì về vành A). Ở đây, chúng tôi xin nhắc lại khái niệm vành phân bậc liên kết.
Định nghĩa 2.4.1. Cho (A,m)là một vành địa phương và I là iđêanm-nguyên sơ của vành A. Khi đó, vành phân bậc liên kết của A ứng với iđêan I là một vành phân bậc được xác định bởi
GI(A) =M
n≥0
In/In+1,
trong đó tích hai phần tử x∗ =x+In+1 ∈ In/In+1 và y∗ =y+Im+1 ∈ Im/Im+1 là phần tử x∗y∗=xy+In+m+1 ∈In+m/In+m+1.
Bây giờ, ta giả sử (A,m) là vành địa phương Noether với trường thặng dư vô hạn k và I là một m-iđêan nguyên sơ của A. Ta kí hiệu RI(A) =Ln≥0In là đại số Rees của A ứng với iđêan I.
Hai vành RI(A) và GI(A) có mối quan hệ chặt chẽ với nhau và đóng một vai trò quan trọng trong hình học đại số. Vành RI(A) còn được gọi là đại số nổ và GI(A) được gọi là nón tiếp xúc của phổ Spec(A) theo I. Ooishi [14, Lemma 4.8] đã chứng minh rằng
reg(RI(A)) = reg(GI(A)).
Vì vậy để nghiên cứu chỉ số chính quy của đại số Rees, ta chỉ cần nghiên cứu chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết hoặc ngược lại.
Bổ đề 2.4.2. [15, Proposition 3.1]. Giả sử I = (x1, . . . , xd) là một iđêan tham số của A. Khi đó
regGI(A)≤regGI(A) +`(Hm0A),
trong đó A=A/Hm0A and I =IA.
Trước khi trình bày bổ đề tiếp theo, chúng tôi trình bày định nghĩa iđêan rút gọn và số mũ rút gọn.
Định nghĩa 2.4.3. (i) Cho R là một vành và J ⊆ I là các iđêan của R. Khi đó, iđêan J được gọi là một rút gọn của I nếu có một số nguyên không âm n sao cho In+1=J In.
(ii) Mỗi phần tử tối tiểu trong tập các rút gọn của I được gọi là rút gọn tối tiểu của I.
(iii) Số mũ rút gọn của I ứng với J là số n nhỏ nhất sao cho J In = In+1. Kí hiệu là rJ(I). Như vậy,
rJ(I) = min{n≥0 :In+1 =J In}.
(iv) Số nhỏ nhất trong các số mũ rút gọn rJ(I) với J chạy trên tập các rút gọn tối tiểu của I được gọi làsố mũ rút gọn của I. Kí hiệu làr(I). Như vậy, số mũ rút gọn của I là
r(I) = min{rJ(I)≥0 :J là rút gọn tối tiểu của I}.
Khái niệm số mũ rút gọn do Sally đưa ra để nghiên cứu tính Cohen-Macaulay của vành phân bậc liên kết. N.V.Trung đã chứng minh một kết quả về mối quan hệ giữa số mũ rút gọn và chỉ số chính quy. Bổ đề sau nói lên điều này.
Bổ đề 2.4.4. [18, Proposition 3.2]. Cho J là một rút gọn tối tiểu của I. Khi đó, ta có
Mệnh đề 2.4.5. [17, Mệnh đề 4.7)]. Cho J = (x1, . . . , xs) là một rút gọn của I
sao cho dãy x1, . . . , xs thỏa mãn điều kiện
[(x1, . . . , xi−1) :xi]∩Ir+1= (x1, . . . , xi−1)Ir, i= 1, . . . , s
với mỗi số nguyên cố định r ≥rJ(I). Khi đó, (i) Với mọi n ≥r+ 1, ta có
[(x1, . . . , xi−1) :xi]∩In+1 = (x1, . . . , xi−1)In, i= 1, . . . , s.
(ii) x1t, . . . , xst là một dãy lọc chính quy của RI(A).
(iii) x∗1, . . . , x∗s là một dãy lọc chính quy của GI(A).
(iv) regRI(A) = regGI(A) ≤ r, trong đó x∗i là dạng khởi đầu của xi trong
GI(A), i= 1,2, . . . , s.
Mệnh đề 2.4.6. Cho (A,m) là một vành Noether địa phương với depth(A)>0. Cho x là một phần tử của I\I2 sao cho xt là một phần tử lọc chính quy của
RI(A). Hơn nữa, giả sử In+1:x=In với mọi n≥r và regGI/(x)(A/(x))≤r. Khi đó, regGI(A)≤r.
Chứng minh. Giả sử I = (x1, . . . , xs) với x1 = x. Do regGI/(x)(A/(x)) ≤ r nên theo Mệnh đề 2.4.5, ta có
[(x1, . . . , xi−1) :xi]∩[(x) +Ir+1] = (x) + (x2, . . . , xi−1)Ir, i= 2, . . . , s. Lấy giao của Ir+1 với hai vế, ta có
[(x1, . . . , xi−1) :xi]∩Ir+1= (x)∩Ir+1+ (x2, . . . , xi−1)Ir, i= 2, . . . , s. Vì (x)∩Ir+1 =x(Ir+1:x) = xIr nên ta thu được
[(x1, . . . , xi−1) :xi]∩Ir+1= (x1, . . . , xi−1)Ir, i= 1, . . . , s. Theo Mệnh đề 2.4.5, ta có regGI(A)≤r.
Bây giờ, chúng tôi trình bày định nghĩa kiểu quan hệ reltype(I) của I. Cho RI(A) = L
n≥0In là đại số Rees của A ứng với iđêan I. Ta có thể biểu diễn RI(A) ∼= A[T]/J trong đó J là iđêan thuần nhất của vành đa thức A[T].
Kiểu quan hệ reltype(I) của I là bậc cực đại của hệ sinh tối tiểu thuần nhất bất kì của J, nghĩa là reltype(I) = d(J).
Bổ đề sau đây cho chúng ta biết mối quan hệ giữa reltype(I) và reg(GI(A)).
Chứng minh. Ta biết rằng reltype(I) = d(J)≤reg(J) (theo Định lý 1.10.8). Từ Bổ đề 1.10.11, ta có
reg(J) = reg(A[T]/J) + 1 = reg(RI(A)) + 1 = reg(GI(A)) + 1. Vậy reltype(I)≤reg(GI(A)) + 1.
Bây giờ, ta có bổ đề sau.
Bổ đề 2.4.8. Cho (A,m) là vành Noether địa phương d chiều và x1, . . . , xd là hệ tham số của A. Giả sử depthA >0 và x1 không là ước của không trong A. Nếu
regGq/(x1)(A/(x1))≤k−1
thì
(x2, . . . , xd)n :x1 = (x2, . . . , xd)n−k[(x2, . . . , xd)k :x1],
với mọi n≥k, trong đó q= (x1, . . . , xd).
Chứng minh. Ta có reltype(Gq/(x1)(A/(x1))) ≤regGq/(x1)(A/(x1)) + 1. Do đó reltype(Gq/(x1)(A/(x1)))≤k. Theo [20, Corollary 2.4], ta có (x2, . . . , xd)n :x1 = (x2, . . . , xd)n−k[(x2, . . . , xd)k :x1], với mọi n ≥k.
Bổ đề sau đây là một chặn trên của độ lệch Cohen-Macaulay.
Bổ đề 2.4.9. Cho (A,m) là một vành Cohen-Macaulay suy rộng với dim(A) = d. Khi đó, tồn tại m ∈N sao cho với bất kì một bộ phận của hệ tham số x1, . . . , xj
của A, ta có
I(A/qkj)≤m,
trong đó qj = (x1, . . . , xj) và k ≥1.
Chứng minh. Đặt B :=A/qkj. Giả sử xj+1, . . . , xd là hệ tham số bất kì của B. Rõ ràng
I(q, B) =`(B/qB)−e(q, B)
=`(B/qB)−[`(B/qB)−`(((xj+1, . . . , xd−1) :xd)/(xj+1, . . . , xd−1))] =`(((xj+1, . . . , xd−1) :xd)/(xj+1, . . . , xd−1)),
trong đó q= (xj+1, . . . , xd).
H. J. Wang [20, Theorem 3.3] đã chứng minh rằng tồn tạim =Ld,j(k, l0, . . . , ld−1)
với mọi k ≥1 sao cho
`(((xj+1, . . . , xd−1) :xd)/(xj+1, . . . , xd−1))≤m.
Sau đó, Linh-Trung [11, Theorem 1.2] đã đưa ra một chặn trên tường minh hơn cho độ lệch Cohen-Macaulay:
I(A/qkj)≤ n+i−1 i−1 I(A). Tóm lại, I(q, B)≤m.
Từ bổ đề trên, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.4.10. Cho (A,m) là vành Cohen-Macaulay suy rộng với dim(A) =d. Khi đó, tồn tại m∈N sao cho với bất kì một bộ phận của hệ tham số x1, . . . , xd
của A, ta có
mm[(x1, . . . , xd−1)k :xd]⊆(x1, . . . , xd−1)k,
với mọi k≥0.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.4.9, tồn tại m=Ld,d−1(k, l0, ..., ld−1) sao cho
I(A/qkd−1)≤m. Điều này suy ra rằng
`((qkd−1:xd)/qkd−1)≤m. Do đó
mm[(x1, . . . , xd−1)k :xd]⊆(x1, . . . , xd−1)k.
Chú ý:
(i) Với mỗi số nguyên m trong Hệ quả 2.4.10 thì mm là một iđêan chuẩn của A, tức là mỗi hệ tham số của A chứa trong mm là chuẩn. Do đó xm1 , . . . , xmd là một hệ tham số chuẩn của A.
(ii) Với mỗi số nguyên m trong Hệ quả 2.4.10 thì xm1 , x2, . . . , xd cũng là một hệ tham số của A. Do đó
mm[(x2, . . . , xd)k :xm1]⊆(x2, . . . , xd)k, với mọi k ≥0.
Bây giờ, lấy m trong Hệ quả 2.4.10, ta xét I = (x1, . . . , xd)m = qm và J = (xm1 , . . . , xmd ), trong đó q = (x1, . . . , xd). Rõ ràng J là một rút gọn của I và rJ(I)≤d≤m.
Bổ đề 2.4.11. Cho(A,m)là một vành Cohen-Macaulay suy rộng với depth(A)>
0. Giả sử x1, . . . , xd là một hệ tham số của A sao cho x1 không là ước của không trong A. Nếu
regGq0/(xm
1 )(A/(xm1 ))≤k−1
thì
In :xm1 =In−1,
với mọi n≥k+ 1, trong đó q0= (xm1 , x2, . . . , xd).
Chứng minh. Ta có xm1 , x2, . . . , xd là một hệ tham số của A.
In = (x1, . . . , xd)mn= [x1+ (x2, . . . , xd)]mn =xmn1 +x1mn−1(x2, . . . , xd) +. . .+x1(x2, . . . , xd)mn−1+ (x2, . . . , xd)mn. Do đó, theo Bổ đề 2.4.8, ta có In :xm1 =xn1 +x1mn−1−m(x2, . . . , xd) +. . .+x11−m(x2, . . . , xd)mn−1+ (x2, . . . , xd)mn :xm1 ⊆In−1+ (x2, . . . , xd)mn:xm1 =In−1+ (x2, . . . , xd)mn−k[(x2, . . . , xd)k :xm1 ],
với n ≥k+ 1. Do mn−n+ 1 ≥m nên theo Hệ quả 2.4.10, ta có
In :xm1 ⊆In−1+ (x2, . . . , xd)n−k−1(x2, . . . , xd)mn−n+1[(x2, . . . , xd)k :xm1 ]
⊆In−1+ (x2, . . . , xd)n−k−1(x2, . . . , xd)k. Suy ra
In :xm1 =In−1, với mọi n ≥k+ 1
Bằng phương pháp sử dụng chỉ số chính quy của vành con Veronese, chúng tôi đã thu được một chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết của vành Cohen-Macaulay suy rộng ứng với iđêan tham số.
Định lý 2.4.12. Cho(A,m)là một vành Cohen-Macaulay suy rộng vớidim(A) =
d≥1. Khi đó, tồn tại số tự nhiên N sao cho với bất kì hệ tham số x1, . . . , xd của
A, ta có
regGq(A)≤N,
Chứng minh. Đặt A =A/Hm0(A). Theo Bổ đề 2.4.2, ta có
regGq(A)≤regGq(A) +`(Hm0A).
Do vậy, thay A bởi A, ta giả sử depth(A) > 0 và x1 không là ước của không trong A. Ta cần chứng minh tồn tại N ∈N sao cho
regGq(A)≤N.
Lấy m trong Hệ quả 2.4.10, ta đặt I = (x1, . . . , xd)m =qm và J = (xm1 , . . . , xmd ). Dễ thấy RI(A) là một vành con Veronese của Rq(A).
Trước hết, ta chứng minhregGI(A)≤dbằng quy nạp trên d. Xét trường hợp đầu tiên d = 1. Khi đó, A là vành Cohen-Macaulay. Do {xm1 } là d-dãy trong A nên regGI(A) = 0 <1 = d [19, Corollary 5.2]. Bây giờ, ta xét trường hợp d > 1. Đặt q0 = (xm1 , x2, . . . , xd) và ta giả sử
regGq0/(xm
1 )(A/(xm1))≤d−1.
Theo Bổ đề 2.4.11, ta có In+1 : xm1 = In với mọi n ≥ d. Điều này suy ra
regGI(A)≤d (theo Mệnh đề 2.4.6).
Bây giờ, ta đặt R =Rq(A). Khi đó, RI(A) = R(m) là một vành con Veronese của R. Theo Định lý 2.3.3, ta suy ra regRq(A) ≤m(d+ 1)−1. Hay regGq(A) ≤
m(d+ 1)−1.
Vậy tồn tại N ∈N sao cho với bất kì hệ tham số x1, . . . , xd của A, ta có
regGq(A)≤N.
Đây chính là một chặn trên cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết Gq(A). Nó không phụ thuộc vào iđêan tham số được xét.
KẾT LUẬN
Tóm lại, trong luận văn này, chúng tôi đã thu được những kết quả sau đây. - Thiết lập được một mối quan hệ giữa chỉ số chính quy của vành con Veronese và vành phân bậc ban đầu. Đó là nếu R(m) là một vành con Veronese của R và
regR(m) ≤r thì regR≤m(r+ 1)−1.
- Thiết lập được một chặn trên cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết bằng phương pháp dùng vành con Veronese.
Tác giả đã cố gắng nhưng với năng lực có hạn, do đó không tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy Cô giáo và các bạn.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
[2] Cao Huy Linh (2006),Chặn trên cho chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc liên kết, Luận án Tiến sĩ Toán học, Huế.
Tiếng Anh
[3] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company.
[4] J. Backelin and R. Frăoberg (1985), Koszul algebras, Veronese subrings and rings with linear resolutions, Rev. Roum. Math. Pures Appl. 30, 85-97. [5] F. Brenti and V. Welker (2009),The Veronese construction for formal power
series and graded algebras, Adv. Applied Math., 42, 545-556.
[6] M. Brodmann and C.H. Linh (2014), "Castelnuovo-Mumford regularity, re- lation types and postulation numbers", Journal of algebra 419, 129-140. [7] M. Brodmann and R.Y. Sharp (1980), Local cohomology - an algebraic in-
troduction with geometric applications, Cambridge University Press.
[8] W. Bruns and J. Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge Univer- sity Press.
[9] N. T. Cuong, P. Schenzel and N. V. Trung (1978), "Verallgemeinerte Cohen- Macaulay Module", Math. Nachr. 85, 57-73.
[10] C. H. Linh (2005), "Upper bound for Castelnuovo-Mumford regularity of associated graded modules", Comm. in Algebra 33, 1817-1831.
[11] C. H. Linh and N. V. Trung (2006), "Uniform bounds in generalized Cohen- Macaulay rings", Journal of algebra 304(2), 1147-1159.
[12] T. Marley, Graded rings and modules, math.unl.edu/ tmarley1/905notes.
[13] H. Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, Cambridge.
[14] A. Ooishi (1987), "Genera and arithmetic genera of commutative rings",
Hiroshima Math. J. 17, 47-66.
[15] M. E. Rossi, N. V. Trung and G. Valla (2003), "Castelnuovo-Mumford regu- larity and extended degree",Trans. Amer. Math. Soc.355, no. 5, 1773-1786. [16] R. Y. Sharp (2000), Steps in Commutative Algebra, Cambridge University
Press, Cambridge.
[17] N. V. Trung (1986), "Toward a theory of generalized Cohen-Macaulay mod- ules", Nagoya Math. J. 102, 1-49.
[18] N. V. Trung (1987), "Reduction exponent and degree bound for the defining equations of graded rings", Proc. Amer. Math. Soc 101, 229-236.
[19] N. V. Trung (1998), "The Castelnuovo-Mumford regularity of the Rees al- gebra and the associated graded ring", Trans. Amer. Math. Soc. 350, no. 3, 1167-1179.
[20] H. J. Wang (1997), "The Relation-Type Conjecture holds for rings with finite local cohomology", Comm. in Algebra 25, 785-801.
Email address: hoaithu11192@gmail.com
Tel: +841649791536