Lớp vành Cohen-Macaulay suy rộng lần đầu tiên được đưa ra bởi Cuong, Schenzel và Trung [9]. Lớp vành này có nhiều tính chất khá tốt. Trước hết, chúng tôi có định nghĩa môđun và vành Cohen-Macaulay suy rộng.
Định nghĩa 1.8.5. (i) Cho (R,m) là vành địa phương Noether và M 6= 0 là một R-môđun hữu hạn sinh với số chiều d. Môđun M được gọi là R-môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu `((Hmi(M))<∞.
(ii) Vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay suy rộng nếu R được xem là môđun Cohen-Macaulay suy rộng trên chính nó.
Giả sử x1, . . . , xd là hệ tham số của M và q= (x1, . . . , xd)là iđêan tham số của M. Ta đặt
I(q, M) :=`(M/qM)−e(q, M)
và
I(M) :={supI(q, M)|qlà iđêan tham số của M}.
Khi I(M) <∞ thì M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng và lúc này, I(M)
được gọi là độ lệch Cohen-Macaulay.
Định lý sau cho chúng ta một số đặc trưng của lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
Định nghĩa 1.8.6. [17, Lemma 1.1]. Cho M là R-môđun. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) M là R-môđun Cohen-Macaulay suy rộng;
(ii) I(M)<∞;
(iii) Tồn tại một số nguyên dương n sao cho
qi−1M :ai⊆qi−1M :mn
với mọi hệ tham số a1, . . . , ad của M và i= 1, . . . , d.
Bổ đề sau đây cho chúng ta tính chất địa phương hóa của một môđun Cohen- Macaulay suy rộng.
Bổ đề 1.8.7. [2, Bổ đề 3.1.3]. Nếu (R,m) là vành Noether địa phương và M
là R-môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì Mp là môđun Cohen-Macaulay và
dimMp = dimM −dimM/pM với mọi p∈Supp(M)\{m}.
Bây giờ, chúng tôi sẽ trình bày một công thức tường minh cho đại lượngI(M)
được đưa ra bởi Cuong, Schenzel và Trung [9].
Bổ đề 1.8.8. [17, Lemma 1.5]. Giả sử M làR-môđun Cohen-Macaulay suy rộng với chiều d. Khi đó, ta có
I(M) = d−1 X i=0 d−1 i `(Hmi(M)).
Hơn nữa, tồn tại một số nguyên dương n sao cho I(q, M) = I(M) với mỗi iđêan tham số q⊆mn của M.
Bổ đề 1.8.9. [17, Lemma 1.6]. Cho M là R-môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Lúc đó, M =M/Hm0(M) cũng là môđun Cohen-Macaulay suy rộng và
(i) Hm0(M) = 0 và Hmi(M)∼=Hi
m(M) với mọi i≥1; (ii) I(M) = I(M)−`(Hm0(M)).
Bổ đề 1.8.10. [17, Lemma 1.7]. Cho M là R-môđun Cohen-Macaulay suy rộng với số chiều d ≥ 2 và a là một bộ phận trong hệ tham số của M. Khi đó,
M1:=M/aM cũng là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng với
(i) `(Hmi(M1))≤`(Hmi(M)) +`(Hmi+1(M)) với mọi i= 0, . . . , d−2;
(ii) I(M1)≤I(M).
Hơn nữa, dấu "=" trong (i) và (ii) xảy ra khi và chỉ khi aHmi(M) = 0 với mọi
i= 0, . . . , d−1.