Môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Một phần của tài liệu Chỉ số chính quy của vành con veronese (Trang 29 - 30)

Lớp vành Cohen-Macaulay suy rộng lần đầu tiên được đưa ra bởi Cuong, Schenzel và Trung [9]. Lớp vành này có nhiều tính chất khá tốt. Trước hết, chúng tôi có định nghĩa môđun và vành Cohen-Macaulay suy rộng.

Định nghĩa 1.8.5. (i) Cho (R,m) là vành địa phương Noether và M 6= 0 là một R-môđun hữu hạn sinh với số chiều d. Môđun M được gọi là R-môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu `((Hmi(M))<∞.

(ii) Vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay suy rộng nếu R được xem là môđun Cohen-Macaulay suy rộng trên chính nó.

Giả sử x1, . . . , xd là hệ tham số của M và q= (x1, . . . , xd)là iđêan tham số của M. Ta đặt

I(q, M) :=`(M/qM)−e(q, M)

I(M) :={supI(q, M)|qlà iđêan tham số của M}.

Khi I(M) <∞ thì M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng và lúc này, I(M)

được gọi là độ lệch Cohen-Macaulay.

Định lý sau cho chúng ta một số đặc trưng của lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng.

Định nghĩa 1.8.6. [17, Lemma 1.1]. Cho M là R-môđun. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) M là R-môđun Cohen-Macaulay suy rộng;

(ii) I(M)<∞;

(iii) Tồn tại một số nguyên dương n sao cho

qi−1M :ai⊆qi−1M :mn

với mọi hệ tham số a1, . . . , ad của M và i= 1, . . . , d.

Bổ đề sau đây cho chúng ta tính chất địa phương hóa của một môđun Cohen- Macaulay suy rộng.

Bổ đề 1.8.7. [2, Bổ đề 3.1.3]. Nếu (R,m) là vành Noether địa phương và M

là R-môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì Mp là môđun Cohen-Macaulay và

dimMp = dimM −dimM/pM với mọi p∈Supp(M)\{m}.

Bây giờ, chúng tôi sẽ trình bày một công thức tường minh cho đại lượngI(M)

được đưa ra bởi Cuong, Schenzel và Trung [9].

Bổ đề 1.8.8. [17, Lemma 1.5]. Giả sử M làR-môđun Cohen-Macaulay suy rộng với chiều d. Khi đó, ta có

I(M) = d−1 X i=0 d−1 i `(Hmi(M)).

Hơn nữa, tồn tại một số nguyên dương n sao cho I(q, M) = I(M) với mỗi iđêan tham số q⊆mn của M.

Bổ đề 1.8.9. [17, Lemma 1.6]. Cho M là R-môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Lúc đó, M =M/Hm0(M) cũng là môđun Cohen-Macaulay suy rộng và

(i) Hm0(M) = 0 và Hmi(M)∼=Hi

m(M) với mọi i≥1; (ii) I(M) = I(M)−`(Hm0(M)).

Bổ đề 1.8.10. [17, Lemma 1.7]. Cho M là R-môđun Cohen-Macaulay suy rộng với số chiều d ≥ 2 và a là một bộ phận trong hệ tham số của M. Khi đó,

M1:=M/aM cũng là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng với

(i) `(Hmi(M1))≤`(Hmi(M)) +`(Hmi+1(M)) với mọi i= 0, . . . , d−2;

(ii) I(M1)≤I(M).

Hơn nữa, dấu "=" trong (i) và (ii) xảy ra khi và chỉ khi aHmi(M) = 0 với mọi

i= 0, . . . , d−1.

Một phần của tài liệu Chỉ số chính quy của vành con veronese (Trang 29 - 30)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(50 trang)