Định nghĩa 1.9.4. ChoR = L
n∈Z
Rn là vành phân bậc vàM là mộtR-môđun.M được gọi là R-môđun phân bậc (hay Z-phân bậc) nếu tồn tại một họ các nhóm con (Mn)n∈Z đối với phép cộng sao cho:
(i) M = L
n∈Z
Mn (như là nhóm cộng aben);
(ii) RmMn ⊆Mn+m với mọi n, m∈Z.
Từ định nghĩa môđun phân bậc, chúng ta có nhận xét sau.
Nhận xét 1.9.5. (i) Cho R = L n∈Z Rn là vành phân bậc, ta có thể xem R là R-môđun phân bậc. (ii) Cho M = L n∈Z
Mn là R-môđun phân bậc. Mỗi phần tử x của M được biểu diễn duy nhất dưới dạng x = x1 +. . .+xn. Phần tử xn ∈ Mn được gọi là
thành phần thuần nhất bậc n của x. Kí hiệu deg(xn) = n. Phần tử x ∈ M được gọi là phần tử thuần nhất nếu tồn tại n ∈Z sao cho x∈Mn.
Ví dụ 1.9.6. (i) Cho A là một vành giao hoán, I là một iđêan thực sự của vành A và M là một A-môđun. Khi đó,
RI(M) =M
n≥0
InM
là một RI(A)-môđun phân bậc và được gọi là môđun Rees.
(ii) Cho A là vành giao hoán có đơn vị, I là một iđêan thực sự của vành A và M là một A-môđun. Khi đó,
GI(M) =M
n≥0
InM/In+1M
là một GI(A)-môđun và được gọi là môđun phân bậc liên kết của M ứng với iđêan I.
(iii) Cho M là một R-môđun phân bậc, k ∈ Z. Đặt M(k)n = Mn+k, khi đó M(k) = L
n∈Z
M(k)n = L
n∈Z
Mn+k là R-môđun phân bậc và được gọi là môđun
dịch chuyển của M theo k đơn vị.
Sau đây, chúng tôi trình bày định nghĩa môđun con thuần nhất và iđêan thuần nhất.
Định nghĩa 1.9.7. (i) ChoM = L
n∈Z
Mn làR-môđun phân bậc vàN là môđun con của M. Lúc đó, N được gọi là môđun con thuần nhất (hay môđun con phân bậc) của M nếu N = L
n∈Z
(N ∩Mn).
(ii) IđêanI của vành phân bậcR được gọi là iđêan thuần nhất (hay iđêan phân bậc) nếu I là môđun con thuần nhất của R-môđun R.
Định lý sau nói lên tiêu chuẩn để kiểm tra một môđun con khi nào là môđun con thuần nhất.
Định lý 1.9.8. [12, Proposition 2.1]. Cho M là một R-môđun phân bậc và N
là môđun con của M. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: (i) N là môđun con thuần nhất của M;
(ii) N = L
n∈Z
(N ∩Mn);
(iii) Trong N tồn tại một hệ sinh thuần nhất (tức là mọi phần tử trong hệ sinh đó đều là phần tử thuần nhất).
Ví dụ 1.9.9. Cho R =k[x, y] là vành đa thức hai biến trên trường k. Khi đó, I = (x2, xy, y2) và J = (x3, x2y4, y5) là các iđêan thuần nhất của R. Tuy nhiên, K = (x2+y) không là iđêan thuần nhất của R.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm đồng cấu giữa các vành và môđun phân bậc. Khái niệm này đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh các định lý ở chương sau liên quan đến dãy khớp.
Định nghĩa 1.9.10. Cho M, N là các R-môđun phân bậc. Đồng cấu R-môđun f : M −→ N được gọi là đồng cấu thuần nhất bậc k (hay phân bậc bậc k) nếu f(Mn) ⊆ Nn+k với k ∈ Z. Khi k = 0, ta có f(Mn) ⊆ Nn, lúc này f được gọi là
đồng cấu thuần nhất.
Ví dụ 1.9.11. Cho R=k[x] là một vành phân bậc. Khi đó, đồng cấu f :R(−1)−→R a7−→ax là một đồng cấu thuần nhất. 1.10 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford Cho R= L n≥0
Rn là đại số phân bậc chuẩn trên vành cơ sở Noether địa phương R0 và M = L
n∈Z
Mn là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Kí hiệu R+ = L
n>0
là iđêan cực đại của R. Lúc đó, HRi +(M) = L n∈Z HRi +(M)n là R-môđun phân bậc Artin, suy ra HRi +(M)n = 0 với mọi n0. Kí hiệu ai(M) = ( max{n|HRi +(M)n 6= 0} nếu HRi +(M)6= 0, −∞ nếu HRi +(M) = 0.
Bây giờ, chúng ta có định nghĩa chỉ số chính quy cấp k của môđun M.
Định nghĩa 1.10.1. Chỉ số chính quy cấp k của môđun M, kí hiệu regk(M), là một số nguyên, được xác định bởi
regk(M) = max{ai(M) +i|i≥k}. Chúng ta có nhận xét sau.
Nhận xét 1.10.2. (i) reg0(M)≥reg1(M)≥reg2(M)≥. . .
(ii) Nếu d = dim(M) thì với k ≤d, ta có regk(M) = max{ai(M) +i|i=k, . . . , d}. Nếu k > d thì regk(M) =−∞.
(iii) Khik= 0, ta córeg(M) = reg0(M)được gọi làchỉ số chính quy Castelnuovo- Mumford của môđun M hay nói ngắn gọn là chỉ số chính quy của môđun M.
(iv) Nếu `(M)<+∞ (dim(M) = 0) thì M là R+-xoắn. Lúc đó, HR0
+(M) =M và HRi
+(M) = 0 với mọi i >0. Do đó, reg(M) = max{n∈Z|Mn 6= 0}.
(v) Khi k = 1, ta có reg1(M) = g-reg(M) được gọi là chỉ số chính quy hình học.
Khi reg(M)≤m thì ta nói rằng M là m-chính quy, điều này có nghĩa là M là m-chính quy khi và chỉ khi HRi
+(M)n = 0 với mọi n≥m−i+ 1 và i≥0.
Ta thường quan tâm đến một khái niệm yếu hơn khái niệm m-chính quy là m-chính quy yếu, được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.10.3.MôđunM được gọi làm-chính quy yếunếuHRi
+(M)m−i+1= 0 với mọi i≥0.
Ta thấy rằng nếu M là m-chính quy thì M là m-chính quy yếu. Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng.
Ví dụ 1.10.4. Giả sử M = R = k là một trường. Khi đó, HR0
+(M) = M và HRi
+(M) = 0 với i ≥1. Giả sử m ≤ −2, lúc đó, HRi
+(M)m−i+1 = 0 với mọi i≥ 0. Suy ra M là m-chính quy yếu nhưng không là m-chính quy.
Liên quan đến chỉ số chính quy của đa tạp, người ta thường quan tâm đến một khái niệm yếu hơn khái niệm m-chính quy, đó là khái niệm m-chính quy hình học.
Định nghĩa 1.10.5. [15]. Môđun M được gọi là m-chính quy hình học nếu HRi
+(M)n = 0 với mọi n≥m−i+ 1 và i≥1.
Định lý sau là một tính chất của chỉ số chính quy hình học.
Định lý 1.10.6. [7, Theorem 15.2.5]. M là m-chính quy hình học nếu và chỉ nếu HRi
+(M)m−i+1 = 0 với i≥1.
Từ định lý này, ta có mối quan hệ sau đây.
M là m-chính quy ⇒M là m-chính quy yếu ⇒M là m-chính quy hình học.
Ví dụ 1.10.7. Cho R=k[x1, . . . , xd] là vành đa thức d biến trên trường k, R+ = (x1, . . . , xd) và M =R. Khi đó, reg(M) = 0.
Thật vậy, theo Ví dụ 1.7.8, ta đã biết: HRi+(M) = ( R[x−11, . . . , x−d1]/R nếui=d, 0 nếui6=d. Mỗi phần tử thuộc HRd+(M) có dạng f = axα1 1 . . . xαd d với α1 +. . .+αd ≤ −d. Khi đó, ta có ai(R) = ( −d nếu i=d, −∞ nếu i6=d. Do đó, reg(M) = max{ai(M) +i|i= 0, . . . , d}=ad(M) +d=−d+d= 0.
Bậc cực đại của một hệ sinh tối tiểu thuần nhất của M, kí hiệu là d(M), là một bất biến. Định lý sau là một chặn trên của nó.
Định lý 1.10.8. [7, Định lý 15.3.1].
d(M)≤reg(M).
Mệnh đề sau cho chúng ta mối liên hệ giữa chỉ số chính quy của các môđun trong một dãy khớp.
Mệnh đề 1.10.9. [2, Bổ đề 1.1.4]. Giả sử
0−→M −→N −→L−→0
là dãy khớp ngắn các R-môđun hữu hạn sinh của các đồng cấu thuần nhất. Khi đó,
reg(N)≤max{reg(M),reg(L)}. Chúng tôi trình bày phần chứng minh mệnh đề này.
Chứng minh. Từ giả thiết, ta thu được dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
. . .−→HRi+(M)n −→HRi+(N)n −→HRi+(L)n −→. . .
Giả sử r= max{reg(M),reg(L)}. Từ đó, ai(M) +i≤r và ai(L) +i≤r với mọi i = 0,1, . . .. Suy ra ai(M) ≤ r−i và ai(L) ≤ r−i với mọi i = 0,1, . . .. Với mọi n > r−i, ta có HRi+(M)n = 0 =HRi+(L)n. Suy ra HRi+(N)n = 0 với mọin > r−i. Do đó, ai(N) ≤ r−i với mọi i = 0,1, . . .. Hay ai(N) +i ≤ r với mọi i = 0,1, . . .. Vậy reg(N)≤r.
Nếu z ∈R1 là phần tửM-chính quy, tức là (0M :z) = 0, khi đó ta có dãy khớp ngắn
0−→M(−1)−→z M −→M/zM −→0. Áp dụng Mệnh đề 1.10.9, chúng ta thu được hệ quả sau.
Hệ quả 1.10.10. [2, Hệ quả 1.1.5]. Nếu z ∈R1 là phần tử M-chính quy thì
reg(M) = reg(M/zM).
Nếu R = A[x1, . . . , xd] là vành đa thức d biến trên vành địa phương A thì
reg(R) = 0 [7, Example 12.4.1]. Giả sử I là iđêan thuần nhất thực sự của R. Lúc đó, chỉ số chính quy của I và R/I có mối quan hệ được thể hiện qua bổ đề sau.
Bổ đề 1.10.11. [2, Bổ đề 1.1.6].
regI = regR/I+ 1.
Chứng minh. Từ dãy khớp ngắn
0−→I −→R−→R/I −→0.
Ta thu được một dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
· · · −→HRi+(R)n −→HRi+(R/I)n −→HRi+1+(I)n −→HRi+1+(R)n −→ · · ·
với mọi n. Do reg(R) = 0 nên HRi+(R)n = 0 với mọi n≥ −i+ 1 và i≥0. Suy ra HRi+(R/I)n ∼=Hi+1
R+(I)n.
với mọi n≥ −i+ 1 và i≥0. Do d(I)≥0, d(R/I) = 0và HR0+(I) = 0 nênreg(I)≥0
và reg(R/I)≥0.
Giả sử reg(R/I) =aj(R/I) +j với j ∈ {0, . . . , d}. Ta suy ra
reg(I) = max{ai(R) +i}
=aj+1(R) +j+ 1 =aj(R/I) +j+ 1 = reg(R/I) + 1.
Chương 2
Chỉ số chính quy của vành con Veronese
Nội dung của chương này là nghiên cứu vành con Veronese của vành phân bậc tổng quát và thiết lập một mối quan hệ giữa chỉ số chính quy của vành con Veronese và vành phân bậc ban đầu. Từ đó, vận dụng các kết quả này để thiết lập một chặn trên cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết. Trước tiên, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của vành con Veronese.
2.1 Vành con Veronese
Trong suốt mục này, ta giả sử R =⊕n≥0Rn là một vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành địa phương Artin R0. Cho E là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Kí hiệu d(E) là bậc cực đại của các phần tử của cơ sở thuần nhất của E.
Định nghĩa 2.1.1. (i) Cho R = ⊕n≥0Rn là một vành phân bậc. Vành con Veronese thứ m của vành R là một vành con phân bậc của R, kí hiệu là R(m) và được xác định bởi R(m) = ⊕n≥0Rmn. Thành phần phân bậc thứ n của nó là (R(m))n =Rmn với mọi n≥0.
(ii) Đặt M(m,s) = ⊕n∈ZMmn+s. Khi đó, M(m,s) là R(m)-môđun và được gọi là
môđun con Veronese thứ (m, s) của M. Thành phần phân bậc thứ n của nó được xác định bởi (M(m,s))n =Mmn+s. Ta quy ước M(m) =M(m,0).
(iii) Giả sửM =⊕n∈ZMn vàL=⊕n∈ZLn là cácR-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Đồng cấu f : M −→ L là một đồng cấu thuần nhất với thành phần phân bậc thứ n của nó là fn :Mn −→Ln với mọi n∈Z. f(m,s) :M(m,s) −→L(m,s)
là một đồng cấu thuần nhấtR(m)-môđun. Thành phần phân bậc thứn của nó được xác định bởi (f(m,s))n =fmn+s :Mmn+s −→Lmn+s với mỗi n∈Z. Chúng ta có một số nhận xét như sau.
Nhận xét 2.1.2. (i) √I(r)R =√
I.
(ii) Giả sử I là iđêan của vànhR. Do I phân bậc nên I(r) =I(r,0) cũng là iđêan phân bậc của vành R(r).
(iii) ΓI(r)(M(r,s)) = (ΓI(M))(r,s).
Ví dụ 2.1.3. Cho R =k[x, y] là vành đa thức 2 biến trên trường k. Lấy m= 2, khi đó vành con Veronese thứ 2 của R là R(2)=⊕n≥0R2n với các phân bậc:
(R(2))0 = k. (R(2))1=R2 ={ax2+bxy+cy2|a, b, c∈k}. (R(2))2=R4 ={ax4+bx3y+cx2y2+dxy3+ey4|a, b, c, d, e∈k}. . . . Bổ đề 2.1.4. [7, Exercise 13.5.9]. HRi(m)+(E(m,s))n ∼= ((Hi R+(E))(m,s))n.
2.2 Chỉ số chính quy của vành con Veronese
Bổ đề 2.2.1. [2, Bổ đề 1.2.6]. Cho m ∈ Z sao cho d(E) ≤ m. Nếu E là m- chính quy yếu thì E là m-chính quy. Tức là, nếu HRi
+(E)m = 0 và d(E)≤ m thì
HRi
+(E)n = 0 với mọi n≥m.
Bổ đề 2.2.2. Giả sửxlà một phần tử không là ước của0trongE. NếuregE(m) ≤
r thì reg(E/xE)(m) ≤r.
Chứng minh. Từ dãy khớp ngắn các R-môđun
0−→E(−1)−→x E −→E/xE−→0. Ta thu được dãy khớp ngắn các R(m)-môđun
0−→(E(−1))(m) −→E(m) −→(E/xE)(m) −→0.
Khi đó, chúng ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
· · · −→HRi(m)+(E(m))n −→HRi(m)+((E/xE)(m))n −→HRi+1(m)+((E(−1))(m))n −→ · · ·
với mỗi số nguyên n. Theo giả thiết, regE(m) ≤r nênHRi(m)+(E(m))n = 0 với mọi n ≥ r−i+ 1 và i ≥ 0. Do đó HRi(m)+((E/xE)(m))n = 0 với mọi n ≥ r−i+ 1 và i≥0. Điều này suy ra rằng reg(E/xE)(m) ≤r.
2.3 Mối quan hệ giữa chỉ số chính quy của vành con Veronesevà vành phân bậc ban đầu và vành phân bậc ban đầu
Ta biết rằng phần tử M-chính quy không phải bao giờ cũng tồn tại. Do đó, người ta thường quan tâm đến khái niệm phần tử M-lọc chính quy. Bây giờ, chúng tôi xin trình bày định nghĩa phần tử lọc chính quy và một số tính chất của nó.
Định nghĩa 2.3.1. Phần tử z ∈ R được gọi là phần tử M-lọc chính quy nếu
(0M :z)n = 0 với n 0.
Nếu (R0,m0) là vành địa phương với trường thặng dư R0/m0 vô hạn thì luôn luôn tồn tại phần tử z ∈R1 sao cho z là M-lọc chính quy [7].
Bổ đề 2.3.2. [2, Bổ đề 1.4.1]. Cho x ∈ I\mI sao cho dạng khởi đầu x∗ của x
trong G=GI(A) là phần tử GI(M)-lọc chính quy. Khi đó,
(i) xM ∩InM =xIn−1M với n ≥reg(GI(M)) + 1;
(ii) In+1M :x=InM + (0M :x) với n0; (iii) (0M :x)∩InM = 0 với n 0.
Bây giờ, chúng tôi sẽ thiết lập một mối quan hệ giữa chỉ số chính quy của vành con Veronese và vành phân bậc ban đầu.
Định lý 2.3.3. Cho R = L
n≥0Rn là vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành địa phương Artin R0 với dimR =d. Giả sử R(m) là một vành con Veronese của R. Nếu regR(m) ≤r thì regR ≤m(r+ 1)−1.
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo d= dimR.
Xét trường hợp đầu tiênd= 0. Theo giả thiết,regR(m) ≤rnênHRi(m)+(R(m))n = 0 với mọi n≥r−i+ 1 và i≥0. Suy ra HR0(m)+(R(m))n = 0 với mọi n≥r+ 1.
Theo Bổ đề 2.1.4, ta có
HR0(m)+(R(m))n ∼= ((H0
R+(R))(m))n =HR0(m)+(R)mn.
Suy ra HR0(m)+(R)mn = 0 với mọi n ≥ r + 1. Do đó, HR0(m)+(R)m(r+1) = 0. Mà d(R) = 0 ≤ m(r+ 1) nên theo Bổ đề 2.2.1, ta có HR0(m)+(R)n = 0 với mọi n≥m(r+ 1). Hay HR0(m)+(R)n = 0 với mọi n≥m(r+ 1)−1 + 1. Suy ra reg(R)≤
m(r+ 1)−1. Vậy định lý được chứng minh với d= 0.
Giả sử d > 0 và kết quả đúng với tất cả các vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh có số chiều nhỏ hơn d. Giả sử x là phần tử thuộc R1 sao cho x là R-lọc chính quy. Khi đó, (0 :x)⊆HR0+(R). Bằng phép chứng minh tương tự như trong
[15, Theorem 1.4], ta giả sử rằngx là phần tử chính quy trongR. Theo giả thiết
regR(m) ≤r nên theo Bổ đề 2.2.2, ta có reg(R/xR)(m) ≤r. Từ dãy khớp ngắn
0−→R(−1)−→x R −→R/xR−→0, ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
· · · −→HRi−+1(R/xR)n −→HRi+(R)n−1−→HRi+(R)n −→HRi+(R/xR)n −→ · · ·
với mỗi số nguyên n. Do reg(R/xR)(m) ≤ r nên theo giả thiết quy nạp, ta có
reg(R/xR)≤m(r+ 1)−1. Suy raHRi+(R/xR)n = 0 với mọin≥m(r+ 1)−1−i+ 1
và i ≥ 0. Hay HRi+(R/xR)n = 0 với mọi n ≥ m(r + 1)− i và i ≥ 0. Suy ra HRi−+1(R/xR)n = 0 với mọi n ≥ m(r+ 1)−i+ 1 và i ≥ 0. Do đó, HRi+(R)n−1 ∼=
HRi+(R)n với mọi n ≥ m(r+ 1)−i. Mà HRi+(R)n = 0 với n 0, điều này cho ta HRi+(R)n = 0 với mọi n ≥ m(r + 1)− i. Hay HRi+(R)n = 0 với mọi n ≥
m(r+ 1)−1−i+ 1. Vậy reg(R)≤m(r+ 1)−1.
2.4 Ứng dụng của chỉ số chính quy của vành con Veronese
trong vành phân bậc liên kết
Mục đích của phần này là chúng tôi sẽ đưa ra một chặn phổ dụng cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết bằng một phương pháp khác, đó là dùng vành con Veronese. Chặn phổ dụng có nghĩa là chặn trên không phụ thuộc vào iđêan tham số được xét.
Cho I là iđêan m-nguyên sơ của vành địa phương(A,m). Ta có thể xây dựng một vành phân bậc tương ứng mà ta gọi đó là vành phân bậc liên kết của vành A ứng với iđêan I, kí hiệu là GI(A) hay G(I) (nếu không có sự nhầm lẫn gì về vành A). Ở đây, chúng tôi xin nhắc lại khái niệm vành phân bậc liên kết.
Định nghĩa 2.4.1. Cho (A,m)là một vành địa phương và I là iđêanm-nguyên sơ của vành A. Khi đó, vành phân bậc liên kết của A ứng với iđêan I là một vành phân bậc được xác định bởi
GI(A) =M
n≥0
In/In+1,
trong đó tích hai phần tử x∗ =x+In+1 ∈ In/In+1 và y∗ =y+Im+1 ∈ Im/Im+1 là phần tử x∗y∗=xy+In+m+1 ∈In+m/In+m+1.
Bây giờ, ta giả sử (A,m) là vành địa phương Noether với trường thặng dư vô hạn k và I là một m-iđêan nguyên sơ của A. Ta kí hiệu RI(A) =Ln≥0In là đại số Rees của A ứng với iđêan I.
Hai vành RI(A) và GI(A) có mối quan hệ chặt chẽ với nhau và đóng một vai trò quan trọng trong hình học đại số. Vành RI(A) còn được gọi là đại số nổ và GI(A) được gọi là nón tiếp xúc của phổ Spec(A) theo I. Ooishi [14, Lemma 4.8] đã chứng minh rằng
reg(RI(A)) = reg(GI(A)).
Vì vậy để nghiên cứu chỉ số chính quy của đại số Rees, ta chỉ cần nghiên cứu