2 Chỉ số chính quy của vành con Veronese
2.3 Mối quan hệ giữa chỉ số chính quy của vành con Veronese và vành
và vành phân bậc ban đầu
Ta biết rằng phần tử M-chính quy không phải bao giờ cũng tồn tại. Do đó, người ta thường quan tâm đến khái niệm phần tử M-lọc chính quy. Bây giờ, chúng tôi xin trình bày định nghĩa phần tử lọc chính quy và một số tính chất của nó.
Định nghĩa 2.3.1. Phần tử z ∈ R được gọi là phần tử M-lọc chính quy nếu
(0M :z)n = 0 với n 0.
Nếu (R0,m0) là vành địa phương với trường thặng dư R0/m0 vô hạn thì luôn luôn tồn tại phần tử z ∈R1 sao cho z là M-lọc chính quy [7].
Bổ đề 2.3.2. [2, Bổ đề 1.4.1]. Cho x ∈ I\mI sao cho dạng khởi đầu x∗ của x
trong G=GI(A) là phần tử GI(M)-lọc chính quy. Khi đó,
(i) xM ∩InM =xIn−1M với n ≥reg(GI(M)) + 1;
(ii) In+1M :x=InM + (0M :x) với n0; (iii) (0M :x)∩InM = 0 với n 0.
Bây giờ, chúng tôi sẽ thiết lập một mối quan hệ giữa chỉ số chính quy của vành con Veronese và vành phân bậc ban đầu.
Định lý 2.3.3. Cho R = L
n≥0Rn là vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành địa phương Artin R0 với dimR =d. Giả sử R(m) là một vành con Veronese của R. Nếu regR(m) ≤r thì regR ≤m(r+ 1)−1.
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo d= dimR.
Xét trường hợp đầu tiênd= 0. Theo giả thiết,regR(m) ≤rnênHRi(m)+(R(m))n = 0 với mọi n≥r−i+ 1 và i≥0. Suy ra HR0(m)+(R(m))n = 0 với mọi n≥r+ 1.
Theo Bổ đề 2.1.4, ta có
HR0(m)+(R(m))n ∼= ((H0
R+(R))(m))n =HR0(m)+(R)mn.
Suy ra HR0(m)+(R)mn = 0 với mọi n ≥ r + 1. Do đó, HR0(m)+(R)m(r+1) = 0. Mà d(R) = 0 ≤ m(r+ 1) nên theo Bổ đề 2.2.1, ta có HR0(m)+(R)n = 0 với mọi n≥m(r+ 1). Hay HR0(m)+(R)n = 0 với mọi n≥m(r+ 1)−1 + 1. Suy ra reg(R)≤
m(r+ 1)−1. Vậy định lý được chứng minh với d= 0.
Giả sử d > 0 và kết quả đúng với tất cả các vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh có số chiều nhỏ hơn d. Giả sử x là phần tử thuộc R1 sao cho x là R-lọc chính quy. Khi đó, (0 :x)⊆HR0+(R). Bằng phép chứng minh tương tự như trong
[15, Theorem 1.4], ta giả sử rằngx là phần tử chính quy trongR. Theo giả thiết
regR(m) ≤r nên theo Bổ đề 2.2.2, ta có reg(R/xR)(m) ≤r. Từ dãy khớp ngắn
0−→R(−1)−→x R −→R/xR−→0, ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
· · · −→HRi−+1(R/xR)n −→HRi+(R)n−1−→HRi+(R)n −→HRi+(R/xR)n −→ · · ·
với mỗi số nguyên n. Do reg(R/xR)(m) ≤ r nên theo giả thiết quy nạp, ta có
reg(R/xR)≤m(r+ 1)−1. Suy raHRi+(R/xR)n = 0 với mọin≥m(r+ 1)−1−i+ 1
và i ≥ 0. Hay HRi+(R/xR)n = 0 với mọi n ≥ m(r + 1)− i và i ≥ 0. Suy ra HRi−+1(R/xR)n = 0 với mọi n ≥ m(r+ 1)−i+ 1 và i ≥ 0. Do đó, HRi+(R)n−1 ∼=
HRi+(R)n với mọi n ≥ m(r+ 1)−i. Mà HRi+(R)n = 0 với n 0, điều này cho ta HRi+(R)n = 0 với mọi n ≥ m(r + 1)− i. Hay HRi+(R)n = 0 với mọi n ≥
m(r+ 1)−1−i+ 1. Vậy reg(R)≤m(r+ 1)−1.