Đa thức một ẩn

Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong khoa Toántrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy, trang bịcho chúng em những kiến thức cần thiết nhất trong suốt quá

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

HÀ NỘI - Năm 2017

Mục lục

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn 3

1.2 Bậc của đa thức 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.2.2 Tính chất 5

1.3 Phép chia đa thức 6

1.3.1 Phép chia hết 6

1.3.2 Phép chia với dư 6

1.4 Nghiệm và nghiệm bội 6

1.4.1 Nghiệm của đa thức 6

1.4.2 Sự tồn tại nghiệm của đa thức 7

1.5 Định lý Viete 7

1.5.1 Định lý Viete thuận 7

1.5.2 Định lý Viete đảo 8

MỤC LỤC

1.6 Lược đồ Horner 9

1.7 Đa thức đồng dư 9

1.7.1 Định nghĩa 9

1.7.2 Tính chất 10

2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC MỘT ẨN 12 2.1 Bài toán chia hết 12

2.1.1 Bài toán chứng minh chia hết 12

2.1.2 Tìm điều kiện của tham số để hai đa thức chia hết cho nhau 16

2.2 Xác định đa thức 20

2.2.1 Dựa vào công thức Viete 20

2.2.2 Dựa vào phép biến đổi ẩn 26

2.2.3 Dựa vào tính chất số học 29

2.3 Nghiệm của đa thức 32

2.3.1 Sự tồn tại nghiệm của đa thức 32

2.3.2 Tính chất nghiệm của đa thức 37

2.3.3 Đẳng thức, bất đẳng thức liên quan nghiệm của đa thức 40

2.4 Nghiệm bội của đa thức 44

Tài liệu tham khảo 48

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến cô giáo, TSNguyễn Thị Kiều Nga, người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tậntình trong suốt thời gian qua để em có thể hoàn thành khóa luậnnày Trong quá trình được cô hướng dẫn, em đã học hỏi được nhiềukiến thức bổ ích và kinh nghiệm quý báu làm nền tảng cho quátrình học tập, làm việc và nghiên cứu sau này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong khoa Toántrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy, trang bịcho chúng em những kiến thức cần thiết nhất trong suốt quá trìnhhọc tập và nghiên cứu tại trường và tạo mọi điều kiện giúp em thựchiện đề tài tốt nghiệp này

Do còn nhiều hạn chế về trình độ cũng như thời gian nên khóaluận không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được

sự chỉ bảo, góp ý của thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2017

Sinh viênNguyễn Ngọc Tú

Một số bài toán về đa thức một ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận "Đa thức một ẩn" là kết quả nghiêncứu của riêng em, không trùng với công trình nghiên cứu của tácgiả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2017

Sinh viênNguyễn Ngọc Tú

LỜI MỞ ĐẦU

Toán học là một ngành khoa học có vị trí rất quan trọng Toánhọc giúp học sinh học tốt các môn khác, là công cụ của nhiều ngànhkhoa học và cũng là công cụ để giải quyết nhiều vấn đề trong đờisống thực tiễn

Đại số là một môn quan trọng của Toán học, trong đó đa thức làmột khái niệm cơ bản và quan trọng trong Đại số Đa thức khôngnhững là đối tượng nghiên cứu của Đại số mà còn là công cụ đắclực của Giải tích Đa thức được giới thiệu ngay từ những năm họcđầu phổ thông ở các dạng đơn giản mà ta thường gọi là biểu thứcchứa chữ và xuyên suốt các bậc học Ngoài ra lý thuyết đa thứccòn sử dụng trong toán cao cấp, toán ứng dụng Trong các kỳ thihọc sinh giỏi thì các bài toán về đa thức cũng được đề cập nhiều vàđược xem như những dạng toán khó của bậc phổ thông Tuy nhiêncho đến nay, tài liệu về đa thức chưa nhiều, các bài tập, dạng toán

về đa thức chưa được phân loại và hệ thống một cách chi tiết Vớimong muốn tìm hiểu sâu hơn về đa thức cũng như các dạng bài tậpliên quan về đa thức, em đã chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp "Đathức một ẩn" nhằm phân loại, hệ thống một số bài toán về đa thức.Nội dung khóa luận được chia làm hai chương

Chương 1: Kiến thức đa thức một ẩn

Nội dung chương 1 là nhắc lại một số kiến thức cơ bản về đa thứcmột ẩn

Một số bài toán về đa thức một ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B

Chương 2: Một số bài toán về đa thức một ẩn

Nội dung chương 2 là phân loại một số dạng toán về đa thức một ẩnnhư: bài toán chia đa thức, xác định đa thức, nghiệm của đa thức,

Do thời gian và năng lực còn nhiều hạn chế nên nhiều dạng toán

về đa thức chưa được đề cập đến như đa thức bất khả quy, nghiệmnguyên của đa thức, đa thức và phương trình hàm, Đồng thờikhóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhậnđược sự chỉ bảo, góp ý của thầy cô và các bạn

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn

Cho A là vành giao hoán có đơn vị Đặt

P = {(a0, a1, , an, )|ai ∈ A, ai = 0 hầu hết, i = 1, 2, }.Trên P ta xác định hai quy tắc cộng và nhân như sau:

Phép cộng: (a0, a1, , an, ) + (b0, b1, , bn, ) = (a0 + b0, a1 +

b1, , an + bn, )

Phép nhân: (a0, a1, , an, ).(b0, b1, , bn, ) = (c0, c1, , cn, )trong đó ck = X

i+j=k

aibj.Hai quy tắc cộng và nhân ở trên là hai phép toán hai ngôi trên

P Khi đó P cùng với phép toán cộng và nhân ở trên lập thànhvành giao hoán có đơn vị 1 = (1, 0, , 0, ) gọi là vành đa thức,các phần tử của P gọi là các đa thức

Đặt x = (0, 1, 0, , 0, )

Theo quy tắc nhân ta có:

x2 = (0, 0, 1, 0, , 0, )

Một số bài toán về đa thức một ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B

x3 = (0, 0, 0, 1, 0, , 0, )

xn = (0, 0, , 0

| {z }n, 1, 0, , 0, )

Quy ước: x0 = (1, 0, 0, )

Xét ánh xạ f : A → P

a → (a, 0, , 0, )

Ta có: f (a+b) = (a+b, 0, ) = (a, 0, )+(b, 0, ) = f (a)+f (b),

f (ab) = (ab, 0, ) = (a, 0, ).(b, 0, ) = f (a).f (b)

Với mọi a, b ∈ A, f (a) = f (b) khi và chỉ khi (a, 0, ) = (b, 0, )

khi và chỉ khi a = b Nên f đơn cấu vành

Vì f là đơn cấu nên ta đồng nhất mỗi phần tử a ∈ A với f (a) ∈ Ptức a = f (a) = (a, 0, , 0, ) ∈ P Từ đó A là một vành con của

= (a0, 0, ).(1, 0, ) + (a1, 0, )(0, 1, 0, ) + + (an, 0, )(0, , 0

| {z }n, 1, 0, )

= a0x0 + a1x1 + · · · + anxn

= a0 + a1x + · · · + anxn.Khi đó thay cho P , ta viết A[x], các đa thức thuộc P ký hiệu

là f (x), g(x), và A[x] được gọi là vành đa thức một ẩn x Cho

f (x) =

nXi=0

aixi ∈ A[x] Trong đó aixi gọi là hạng tử thứ i, ai là hệ

tử thứ i, a0 là hạng tử tự do, an 6= 0 gọi là hệ tử cao nhất

Nếu f (x) 6= 0 thì ta gọi giá trị lớn nhất n sao cho an 6= 0 của

đa thức f (x) là bậc của đa thức Ký hiệu deg f (x) = n

1.2.2 Tính chất

Tính chất 1

Cho f (x), g(x) là hai đa thức khác không

i Nếu f (x)+g(x) 6= 0 thì deg(f (x)+g(x)) ≤ max(deg f (x), deg g(x))

ii Nếu f (x)g(x) 6= 0 thì deg[f (x).g(x)] ≤ deg f (x) + deg g(x)

Một số bài toán về đa thức một ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B

1.3 Phép chia đa thức

1.3.1 Phép chia hết

Định nghĩa 1.1 Cho hai đa thức f (x), g(x) ∈ A[x], g(x) 6= 0 Tanói rằng đa thức f (x) chia hết cho đa thức g(x) trong A[x] nếutồn tại đa thức s(x) ∈ A[x] sao cho f (x) = g(x)s(x) Ta ký hiệu

Định lý 1.1 Cho f (x), g(x) ∈ A[x], A là trường, g(x) 6= 0 Khi đótồn tại duy nhất những đa thức s(x), r(x) ∈ A[x] thỏa mãn điềukiện sau

f (x) = g(x)s(x) + r(x)

Trong đó deg r(x) < deg g(x), nếu r(x) 6= 0

1.4 Nghiệm và nghiệm bội

1.4.1 Nghiệm của đa thức

Định nghĩa 1.2 Cho A là vành giao hoán có đơn vị, A là vành concủa vành giao hoán có đơn vị K, f (x) ∈ A[x], α ∈ K gọi là nghiệm

của đa thức f (x) trên K nếu f (α) = 0 khi đó ta cũng nói α lànghiệm của phương trình đại số f (x) = 0 Nếu α ∈ A mà f (α) = 0thì ta nói α là nghiệm của f (x) trên A.

Định nghĩa 1.3 Cho f (x) ∈ A[x], α ∈ A, k là số nguyên dương,

ta gọi α là nghiệm bội bậc k của f (x) nếu

1.5 Định lý Viete

1.5.1 Định lý Viete thuận

Cho đa thức f (x) ∈ A[x], f (x) = a0xn + a1xn−1+ · · · + an−1x + an.Khi đó luôn tồn tại trường K ⊃ A để f (x) có n nghiệm trong K

Một số bài toán về đa thức một ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B

Gọi x1, x2, , xn là n nghiệm của f (x) Khi đó ta có

xi = −a1

a0

S2 = X1≤i≤j≤n

xixj = a2

a0

Sk = X1≤i 1 ≤i 2 ≤···≤i k ≤n

xi1xi2 xik = (−1)kak

a0.Với Sk là tổng các tích chập k của n số xi

Nếu có n phần tử x1, x2, , xnthỏa mãn hệ thức (∗) thì x1, , xn

là nghiệm của phương trình

Xn− S1Xn−1 + S2Xn−2 + · · · + (−1)n−1Sn−1X + (−1)nSn = 0

Cho đa thức f (x) = anxn+ · · · + a1x + a0 ∈ A[x], (A là trường).

Khi đó thương của f (x) cho (x − α) là một đa thức bậc n − 1 có

dạng g(x) = bn−1xn−1+ · · · + b1x + b0

Trong đó bi được xác định như sau

bn−1 = an;

bn−2 = αan + an−1;

bk = αbk+1+ ak+1, k = 0, n − 1

và dư r = a0 + αb0.Khi đó ta có bảng sau gọi là lược đồ Horner

Một số bài toán về đa thức một ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B

đa thức ϕ(x), nếu P (x) − Q(x) ϕ(x)

Ký hiệu P (x) ≡ Q(x) (mod ϕ(x))

1.7.2 Tính chất

Trong vành đa thức A[x], A - trường

∗ Cho ϕ(x) là đa thức khác 0 Với mọi đa thức P (x) thì P (x) ≡

∗ Cho đa thức P (x), Q(x), R(x) bất kì Nếu P (x) ≡ Q(x) (modϕ(x)) thì P (x).R(x) ≡ Q(x).R(x) (mod ϕ(x))

∗ Cho đa thức P1(x), , Pn(x), Q1(x), , Qn(x), R1(x), , Rn(x).Nếu Pi(x) ≡ Qi(x) (mod ϕ(x)), i = 1, n thì

R1(x).P1(x)+· · ·+Rn(x).Pn(x) ≡ R1(x).Q1(x)+· · ·+Rn(x).Qn(x)(mod ϕ(x))

∗ Cho đa thức P (x), Q(x), R(x) bất kì Nếu P (x) + Q(x) ≡ R(x)(mod ϕ(x)) thì P (x) ≡ R(x) − Q(x) (mod ϕ(x))

∗ Cho đa thức P1(x), , Pn(x), Q1(x), , Qn(x) Nếu Pi(x) ≡

Qi(x) (mod ϕ(x)), i = 1, n thì P1(x) Pn(x) ≡ Q1(x) Qn(x)(mod ϕ(x))

∗ Cho đa thức bất kì P (x), Q(x) và số tự nhiên t Nếu P (x) ≡Q(x) (mod ϕ(x)) thì Pt(x) ≡ Qt(x) (mod ϕ(x)).

∗ Cho đa thức P (x), Q(x), F (x) là các đa thức bất kỳ Nếu

P (x) ≡ Q(x) (mod ϕ(x)) thì F (P (x)) ≡ F (Q(x)) (mod ϕ(x))

Chương 2

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA

THỨC MỘT ẨN

2.1 Bài toán chia hết

2.1.1 Bài toán chứng minh chia hết

a Phương pháp chung

Để chứng minh hai đa thức chia hết cho nhau ta sử dụng

- Định nghĩa và tính chất của phép chia hết

- Hệ quả của định lý Bezout

- Đa thức đồng dư

- Dựa vào tính chất nghiệm

- Biến đổi để xuất hiện nhân tử, qui nạp,

b Ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1.1 Trong vành Q[x] chứng minh rằng với n ∈ N∗, đathức (x + 1)2n − x2n − 2x − 1 chia hết cho 2x + 1, x + 1, x

= 0, vậy f (x) chia hết cho 2x+1.Tương tự: f (−1) = 0 nên f (x) chia hết cho x + 1

f (0) = 0 nên f (x) chia hết cho x

Vậy trong vành Q[x], f (x) = (x + 1)2n − x2n − 2x − 1 chia hết cho2x + 1, x + 1, x

Ví dụ 2.1.2 Cho A là trường, giả sử p(x) ∈ A[x] bất khả quy trongA[x] Chứng minh rằng nếu f (x)g(x) chia hết cho p(x) thì f (x) chiahết cho p(x) hoặc g(x) chia hết cho p(x)

Lời giải

Giả sử p(x) là đa thức bất khả quy trong A[x] và giả thiết p(x)

là ước của f (x)g(x) Giả sử rằng f (x) không chia hết cho p(x) thì(f (x), p(x)) = 1 Do đó trong A[x] tồn tại đa thức r(x) sao cho

Một số bài toán về đa thức một ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B

Ta phải chứng minh f (x) ≡ 0 (mod g(x))

Vậy x3m+ x3n+1+ x3l+2 chia hết cho x2 + x + 1 (∀m, n, l ∈ N∗)

Cách 2: Biến đổi để xuất hiện nhân tử x2 + x + 1

Ta có

f (x) = x3m+ x3n+1+ x3l+2

= (x3m− 1) + (x3n+1− x) + (x3l+2 − x2) + x2 + x + 1

= (x3 − 1)f1(x) + x(x3 − 1)f2(x) + x2(x3 − 1)f3(x) + x2 + x + 1.với f1(x), f2(x), f3(x) ∈ Q[x]

Suy ra f (x) = (x2 + x + 1)h(x) hay f (x) g(x) trong Q[x]

Do đó f1(b) chia hết cho (b − a) (theo định lý Bezout).

Vậy f (b) = (b − a)f1(b) chia hết cho (b − a)2 Do đó với mọi n ∈ N,

n ≥ 2, với mọi a, b ∈ R thì b(bn−1− nan−1) + an(n − 1) chia hết cho(b − a)2

Ví dụ 2.1.5 Chứng minh rằng đa thức (x + 1)2n+1+ xn+2 chia hếtcho đa thức x2 + x + 1, với mọi n ∈ N∗

Một số bài toán về đa thức một ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B

Bài 3: Chứng minh rằng x3k+2+ x3k+1+ 1 chia hết cho x2 + x + 1trong Q[x]

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi a ∈ R và với mọi n ∈ N∗ thì

P = (a + 1)2n − a2n − 2a − 1 chia hết cho a(a + 1)(2a + 1)

Bài 5: Cho α ∈ R∗ và m, k ≥ 0, giả sử đa thức fn(x) bậc n thỏamãn fn(xm) chia hết cho (x − α)k Chứng minh rằng fn(xm) chiahết cho (xm − αm)k

2.1.2 Tìm điều kiện của tham số để hai đa thức chia hết

cho nhau

a Phương pháp chung

Bước 1: Biểu diễn f (x) dưới dạng f (x) = g(x).q(x) + r(x)

Bước 2: Theo định lý phép chia với dư thì f (x) g(x) khi và chỉ khir(x) = 0 Từ đó tìm điều kiện của tham số

Bước 3: Kết luận về giá trị của tham số

b Ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1.6 Tìm a, b ∈ R để f (x) = x4 − 3x3 + 2x2 + ax + b chiahết cho g(x) = x2 − x − 2

Lời giải

Cách 1: Vì R là trường nên tồn tại phép chia f (x) cho g(x)

Ta có f (x) = g(x)q(x) + r(x), trong đó r(x) = mx + n (vì deg r(x) <deg g(x)) Ta cần tìm a, b để r(x) = 0 tức m = n = 0

Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta được

r(x) = (a − 2)x + b + 4

Ví dụ 2.1.7 Tìm các giá trị của a, b ∈ R để P (x) = ax4 + bx3 + 1chia hết cho (x − 1)2.

Lời giải

Đặt P (x) = (x − 1)S1(x) + R1(x), S1(x) = (x − 1)S2(x) + R2(x).Khi đó P (x) = (x − 1)2S2(x) + R2(x)x + R1(x) − R2(x) Dư trongphép chia P (x) cho (x − 1)2 là R(x) = R2(x)x + R1(x) − R2(x).Suy ra

Một số bài toán về đa thức một ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B

• Với n = 3k + 2 thì

fn(x) = x6k+4+ x3k+2 + 1

= (x6k+4− x4) + (x3k+2− x2) + x4 + x2 + 1

= x4(x6k − 1) + x2(x3k − 1) + (x2 + x + 1)(x2 − x + 1).Suy ra fn(x) (x2 + x + 1)

Vậy với n ∈ N, n 6 3 thì (x2n + xn+ 1) (x2 + x + 1)

Ví dụ 2.1.9 Tìm n ∈ N để P (x) = (x + 1)n − xn− 1 chia hết cho(x2 + x + 1).

Một số bài toán về đa thức một ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B

Bài 4: Trong Q[x] tìm điều kiện của các số tự nhiên khác không

k, l, m để đa thức f (x) = x3k + x3l+1 + x3m+2 chia hết cho ϕ(x) =

x2 − x + 1

2.2 Xác định đa thức

2.2.1 Dựa vào công thức Viete

a Phương pháp chung

- Xác định dạng tổng quát của đa thức cần xác định

- Dùng định lý Viete xác định mối liên hệ giữa các nghiệm của

đa thức với các hệ số của nó

- Từ điều kiện của bài toán ta tìm được hệ số

Theo công thức Viete ta có α1 + α2 = −a, α1α2 = b

Theo giả thiết ta có:

9 = α12 + α22 = (α1 + α2)2 − 2α1α2 = a2 − 2b, (2.1)

27 = α31 + α32 = (α1 + α2)3 − 3α1α2(α1 + α2) = −a3 + 3ab (2.2)

2 .

Ví dụ 2.2.2 Tìm giá trị của tham số λ ∈ R sao cho nghiệm

α1, α2, α3 của đa thức P (x) = x3 + 2x2 + λx − 4 thỏa mãn điềukiện α21 + α22 = α23

Một số bài toán về đa thức một ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B

α4 1

+ 1

α4 2

+ 1

α4 3

= 1

Lời giải

Gọi đa thức phải tìm là P (x) = x3 + ax2 + bx + c

Theo công thức Viete ta có

+ 1

α2 2

+ 1

α2 3

= (α1α2 + α1α3 + α2α3)

2 − 2α1α2α3(α1 + α2 + α3)(α1α2α3)2

Ví dụ 2.2.4 Hãy tìm giá trị của λ ∈ R sao cho những nghiệm

α1, α2, α3, α4 của đa thức P (x) = x4 − x3 + λx2 − x − 6 thỏa mãnđiều kiện α1 + α2 = 1

Một số bài toán về đa thức một ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B

Một số bài toán về đa thức một ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B

2.2.2 Dựa vào phép biến đổi ẩn

a Phương pháp chung

- Dùng các phép biến đổi ẩn hoặc cho ẩn những giá trị đặc biệt

x = 0, 1, 2, rồi tính giá trị của đa thức tại những giá trị đó

- Từ đó ta được hệ phương trình mà ẩn là các hệ số của đa thức,giải hệ phương trình ta được hệ số của đa thức

Cho x = 1 suy ra f (1) = d hay d = 6

x = 2 suy ra f (2) = c + 6 hay c = 0

x = 3 suy ra f (3) = 6 + 2b hay b = 0

Suy ra f (x) = 6 + a(x − 1)(x − 2)(x − 3)

Cho x = −1 ⇒ f (−1) = 6 − 24a = −18 ⇒ a = 1

- Nếu b

a ∈ N thì x = a, x = 2a, , x = (n − 1)a là các nghiệmcủa f (x) Do vậy f (x) = (x − a)(x − 2a) (x − (n − 1)a).g(x)

Thay vào (2.5) ta được g(x − a) = g(x), ∀x ∈ R Do đó c = g(x) =

const Vậy đa thức cần tìm là

f (x) = c(x − a)(x − 2a) (x − (n − 1)a), c ∈ R

Ví dụ 2.2.7 Tìm tất cả các đa thức f (x) bậc n thỏa mãn điều

kiện f [(x + 1)2] = f (x2) + 2x + 1 với mọi x ∈ R

Lời giải

Đặt f (x)−x2 = g(x) Khi đó từ giả thiết, ta có g(x) = g(x + 1) + g(x − 1)

2 ,hay g(x) − g(x − 1) = g(x + 1) − g(x), ∀x ∈ R

Suy ra g(x) = g(x − 1) + a, với a là hằng số Đặt g(x) − ax = h(x)