Đa thức một ẩn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN NGỌC TÚ ĐA THỨC MỘT ẨN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI - Năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN NGỌC TÚ ĐA THỨC MỘT ẨN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA HÀ NỘI - Năm 2017 Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn 1.2 Bậc đa thức 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất Phép chia đa thức 1.3.1 Phép chia hết 1.3.2 Phép chia với dư Nghiệm nghiệm bội 1.4.1 Nghiệm đa thức 1.4.2 Sự tồn nghiệm đa thức Định lý Viete 1.5.1 Định lý Viete thuận 1.5.2 Định lý Viete đảo 1.3 1.4 1.5 MỤC LỤC 1.6 Lược đồ Horner 1.7 Đa thức đồng dư 1.7.1 Định nghĩa 1.7.2 Tính chất 10 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC MỘT ẨN 2.1 12 Bài toán chia hết 12 2.1.1 Bài toán chứng minh chia hết 12 2.1.2 Tìm điều kiện tham số để hai đa thức chia hết cho 16 2.2 2.3 Xác định đa thức 20 2.2.1 Dựa vào công thức Viete 20 2.2.2 Dựa vào phép biến đổi ẩn 26 2.2.3 Dựa vào tính chất số học 29 Nghiệm đa thức 32 2.3.1 Sự tồn nghiệm đa thức 32 2.3.2 Tính chất nghiệm đa thức 37 2.3.3 Đẳng thức, bất đẳng thức liên quan nghiệm đa thức 40 2.4 Nghiệm bội đa thức 44 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 48 Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến cô giáo, TS Nguyễn Thị Kiều Nga, người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận Trong trình cô hướng dẫn, em học hỏi nhiều kiến thức bổ ích kinh nghiệm quý báu làm tảng cho trình học tập, làm việc nghiên cứu sau Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô giáo khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình giảng dạy, trang bị cho chúng em kiến thức cần thiết suốt trình học tập nghiên cứu trường tạo điều kiện giúp em thực đề tài tốt nghiệp Do nhiều hạn chế trình độ thời gian nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận bảo, góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Ngọc Tú Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận "Đa thức ẩn" kết nghiên cứu riêng em, không trùng với công trình nghiên cứu tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Ngọc Tú Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B LỜI MỞ ĐẦU Toán học ngành khoa học có vị trí quan trọng Toán học giúp học sinh học tốt môn khác, công cụ nhiều ngành khoa học công cụ để giải nhiều vấn đề đời sống thực tiễn Đại số môn quan trọng Toán học, đa thức khái niệm quan trọng Đại số Đa thức đối tượng nghiên cứu Đại số mà công cụ đắc lực Giải tích Đa thức giới thiệu từ năm học đầu phổ thông dạng đơn giản mà ta thường gọi biểu thức chứa chữ xuyên suốt bậc học Ngoài lý thuyết đa thức sử dụng toán cao cấp, toán ứng dụng Trong kỳ thi học sinh giỏi toán đa thức đề cập nhiều xem dạng toán khó bậc phổ thông Tuy nhiên nay, tài liệu đa thức chưa nhiều, tập, dạng toán đa thức chưa phân loại hệ thống cách chi tiết Với mong muốn tìm hiểu sâu đa thức dạng tập liên quan đa thức, em chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp "Đa thức ẩn" nhằm phân loại, hệ thống số toán đa thức Nội dung khóa luận chia làm hai chương Chương 1: Kiến thức đa thức ẩn Nội dung chương nhắc lại số kiến thức đa thức ẩn Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B Chương 2: Một số toán đa thức ẩn Nội dung chương phân loại số dạng toán đa thức ẩn như: toán chia đa thức, xác định đa thức, nghiệm đa thức, Do thời gian lực nhiều hạn chế nên nhiều dạng toán đa thức chưa đề cập đến đa thức bất khả quy, nghiệm nguyên đa thức, đa thức phương trình hàm, Đồng thời khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận bảo, góp ý thầy cô bạn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Cho A vành giao hoán có đơn vị Đặt P = {(a0 , a1 , , an , )|ai ∈ A, = hầu hết, i = 1, 2, } Trên P ta xác định hai quy tắc cộng nhân sau: Phép cộng: (a0 , a1 , , an , ) + (b0 , b1 , , bn , ) = (a0 + b0 , a1 + b1 , , an + bn , ) Phép nhân: (a0 , a1 , , an , ).(b0 , b1 , , bn , ) = (c0 , c1 , , cn , ) ck = b j i+j=k Hai quy tắc cộng nhân hai phép toán hai P Khi P với phép toán cộng nhân lập thành vành giao hoán có đơn vị = (1, 0, , 0, ) gọi vành đa thức, phần tử P gọi đa thức Đặt x = (0, 1, 0, , 0, ) Theo quy tắc nhân ta có: x2 = (0, 0, 1, 0, , 0, ) Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B x3 = (0, 0, 0, 1, 0, , 0, ) xn = (0, 0, , 0, 1, 0, , 0, ) n Quy ước: x0 = (1, 0, 0, ) Xét ánh xạ f : A → P a → (a, 0, , 0, ) Ta có: f (a+b) = (a+b, 0, ) = (a, 0, )+(b, 0, ) = f (a)+f (b), f (ab) = (ab, 0, ) = (a, 0, ).(b, 0, ) = f (a).f (b) Với a, b ∈ A, f (a) = f (b) (a, 0, ) = (b, 0, ) a = b Nên f đơn cấu vành Vì f đơn cấu nên ta đồng phần tử a ∈ A với f (a) ∈ P tức a = f (a) = (a, 0, , 0, ) ∈ P Từ A vành vành P Giả sử α = (a0 , a1 , , an , ) ∈ P Vì = hầu hết nên giả sử n số lớn để an = Ta có (a0 , a1 , , an , 0, ) = (a0 , 0, 0, ) + (0, a1 , 0, ) + · · · + (0, , 0, an , 0, ) n = (a0 , 0, ).(1, 0, ) + (a1 , 0, )(0, 1, 0, ) + + (an , 0, )(0, , 0, 1, 0, ) n = a0 x + a1 x + · · · + an x n = a0 + a1 x + · · · + an xn Khi thay cho P , ta viết A[x], đa thức thuộc P ký hiệu f (x), g(x), A[x] gọi vành đa thức ẩn x Cho Một số toán đa thức ẩn u v u+v u−v u v Nguyễn Ngọc Tú - K39B u+v u−v u v u+v u−v −1 −2 −2 −1 −3 −3 −2 −4 −4 −3 −5 −6 −5 12 13 11 −12 −11 −13 −1 − −1 −3 −1 −5 −2 −4 −1 − −5 −1 −7 −3 −5 −1 − −7 −5 −7 − − 3 − 3 − − Ta tính f (1) = f (−1) = 18 Nhận thấy số hữu 1 tỷ thỏa mãn 2; −3; ; − Như vậy, phương trình cho có 1 nghiệm hữu tỷ α α ∈ {2; −3; ; − } Mặt khác α nghiệm nên f (α) = f (α) (x − α) Áp dụng lược đồ Horner ta có: 35 Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B 19 −7 −26 12 31 55 84 180 −3 −10 Suy −3 nghiệm phương trình cho f (x) = (x + 3)(6x3 + x2 − 10x + 4) = (x + 3)g(x) 1 Giờ ta kiểm tra số −3; ; − xem có nghiệm g(x) không Dễ thấy −3 không nghiệm g(x) 1 Với , − ta sử dụng lược đồ Horner −10 −8 − − − 26 Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = −3, x2 = c Bài tập áp dụng Bài 1: Cho số tự nhiên n (n ≥ 2) Chứng minh phương trình x xn + + ··· + = nghiệm hữu tỷ 1! n! Bài 2: Tìm nghiệm hữu tỷ phương trình a x3 − 6x2 + 15x − 14, 36 Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B b x5 − 3x3 − 6x + Bài 3: Chứng minh rằng, với a ∈ Z, đa thức f (x) = x4 − 2003x3 + (2002 + a)x2 − 2001x + a có hai nghiệm nguyên 2.3.2 Tính chất nghiệm đa thức a Phương pháp chung Dựa vào định nghĩa nghiệm đa thức, định lý Viete, định lý nghiệm, điều kiện toán để đưa điều kiện nghiệm b Ví dụ minh họa p với p, q ∈ Z q nghiệm đa thức f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 ∈ Z[x] thì: Ví dụ 2.3.5 Chứng minh phân số tối giản a p|a0 ; q|an b (p − mq) ước f (m) với m ∈ Z Lời giải a Giả sử p nghiệm f (x) Khi q f p p = an q q n + · · · + a1 p + a0 = q Suy an pn + · · · + a1 pq n−1 + a0 q n = Suy an pn = −q(an−1 pn−1 + · · · + a0 q n−1 ) Hay an pn q, mà (pn , q) = nên an q hay q|an Tương tự ta có a0 q n p mà (q n , p) = Suy a0 p b Phân tích f (x) theo lũy thừa x − m ta 37 Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B f (x) = b0 + b1 (x − m) + · · · + bn (x − m)n = ϕ(x − m); bi ∈ Z, i = 1, n, f (m) = bn p p p p − mq =ϕ −m =ϕ = Thay x = ta f q q q q p − mq Suy nghiệm ϕ(x − m) q Vì (p, q) = nên (p − mq, q) = Từ phần a, ta có (p − mq)|f (m) = b0 Vậy p − mq ước f (m) Ví dụ 2.3.6 Giả sử a, b ∈ R hai nghiệm bốn nghiệm đa thức x4 + x3 − ∈ R[x] Chứng minh ab nghiệm đa thức x6 + x4 + x3 − x2 − ∈ R[x] Lời giải Giả sử a, b, c, d nghiệm  đa thức f (x) = x + x −  a + b + c + d = −1 Theo định lý Viete, ta có  abcd = −1 Để ab nghiệm đa thức g(x) = x6 + x4 + x3 − x2 − phải thỏa mãn (ab)6 + (ab)4 + (ab)3 − (ab)2 − = Điều xảy (ab)3 (ab)3 − 1 − + + ab = (ab)3 ab Hay (ab)3 + (cd)3 + ab + cd + = (do abcd = −1) Do ta chứng minh (ab)3 + (cd)3 + ab + cd + = 1 Thật vậy, từ f (a) = f (b) = có a3 = , b3 = 1+a 1+b 38 Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B (1 + c)(1 + d) = = −(1 + c)(1 + d) (1 + a)(1 + b) f (−1) Tương tự ta có (cd)3 = −(1 + a)(1 + b) Suy (ab)3 = Suy (ab)3 + (cd)3 + ab + cd + = − (1 + c)(1 + d) − (1 + a)(1 + b) + ab + cd + = − − a − b − c − d = Vậy ab nghiệm đa thức g(x) = x6 + x4 + x3 − x2 − Ví dụ 2.3.7 Hãy tìm tất ba số hữu tỷ (a, b, c) nghiệm đa thức f (x) = x3 + ax2 + bx + c ∈ R[x] Lời giải Theo định lý Viete ta có     a + b + c = −a (1)    (I) ab + bc + ca = b (2)       abc = −c (3) Nếu c = (1), (2) trở thành   2a + b =  ab = b Suy (a, b) (0; 0) (1; −2) Nếu c = ta xét trường hợp sau     c = −a    Trường hợp 1: Nếu a + b = (I) ⇔ ab = b      ab = −1 Suy (a, b, c) = (1, −1, −1) 39 (2.6) Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B Trường hợp 2: Nếu a+b = loại trừ b, c (I) ta 2a3 +2a2 −1 = nghiệm hữu tỷ Do nghiệm toán (0, 0, 0); (1, −2, 0); (1, −1, −1) c Bài tập áp dụng Bài 1: Cho đa thức bậc n với hệ số nguyên f (x) = a0 + · · · + an xn Chứng minh α nghiệm nguyên đa thức ψ(y) = α y n + an y n−1 + · · · + an nghiệm f (x) αn Bài 2: Cho f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ∈ Z[x] với ad lẻ bc chẵn Chứng minh f (x) có nghiệm không hữu tỷ Bài 3: Cho đa thức f (x) = x3 − 9x2 + 24x − 97 Chứng minh với n ∈ N, tồn số nguyên an cho f (an ) 3n 2.3.3 Đẳng thức, bất đẳng thức liên quan nghiệm đa thức a Phương pháp chung Dựa vào tính chất nghiệm đa thức, định lý Viete, điều kiện toán để có mối liên hệ nghiệm đa thức b Ví dụ minh họa Ví dụ 2.3.8 Chứng minh nghiệm đa thức x2 + px + α, β nghiệm đa thức x2 + qx + γ, δ ta có đẳng thức (α − γ)(β − γ)(α + δ)(β + δ) = q − p2 Lời giải Theo định lý Viete ta có   α + β = −p, αβ =  γ + δ = −q, γδ = Từ ta có 40 Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B (α − γ)(β − γ)(α + δ)(β + δ) = [αβ − (α + β)γ + γ ][αβ + (α + β)δ + δ ] = (1 + pγ + γ )(1 − pδ + δ ) = − pδ + δ + pγ − p2 γδ + pγδ + γ − pδγ + γ δ = γδ − pγ + δ + pγ − p2 + pδ + γ − pγ + γδ = q − p2 Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.3.9 Cho x1 , x2 nghiệm đa thức x2 +px+ , p ∈ 2p √ 4 R, p = Chứng minh x1 + x2 ≥ + Lời giải    x1 + x2 = −p Theo định lý Viete ta có   x1 x2 = 2p Khi x41 + x42 = (x1 + x2 )4 − 2x1 x2 [2(x1 + x2 )2 − x1 x2 ] 1 = p4 + 2p2 + p 2p √ 1 4 = p + + ≥ + p = + 2p 2p Vậy x41 + x42 ≥ + √ Ví dụ 2.3.10 Cho đa thức f (x) = x3 − ax2 + bx − c ∈ R[x] có ba nghiệm dương hệ số a, b, c thỏa mãn S = 2a3 + 3a2 − 7ab + 9c − 6b − 3a + = Chứng minh ≤ a ≤ Lời giải Giả sử x1 , x2 , x3 (xi > 0, i = 1, 3) ba nghiệm f (x) 41 Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B     x1 + x2 + x3 = a    Theo định lý Viete ta có x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 = b      x1 x2 x3 = c Đặt S1 = (x1 +x2 )(x1 −x2 )2 +(x2 +x3 )(x2 −x3 )2 +(x1 +x3 )(x3 −x1 )2 ≥ Ta có S1 = 2(x1 + x2 + x3 )3 − 7(x1 + x2 + x3 )(x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) + 9x1 x2 x3 ≥ Suy S1 = 2a3 − 7ab + 9c ≥ (1) Đặt S2 = (x1 − x2 )2 + (x2 − x3 )2 + (x3 − x1 )2 ≥ Ta có S2 = 2(x1 + x2 + x3 )2 − 6(x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) + 9x1 x2 x3 ≥ Suy S2 = 2a2 − 6b ≥ (2) Từ (1), (2) ta có S = S1 + S2 + a2 − 3a + = Do S1 ≥ 0, S2 ≥ nên để S = a2 − 3a + ≤ 0, ≤ a ≤ Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.3.11 Cho đa thức f (x) = a0 x2008 + a1 x2007 + · · · + a2008 ∈ R[x] có 2008 nghiệm phân biệt Chứng minh 2007a21 > 4016a0 a2 (1) Lời giải Vì f (x) có 2008 nghiệm phân biệt nên ta viết f (x) dạng f (x) = a0 (x − x1 )(x − x2 ) (x − x2008 ) a0 = Ta có (1) tương đương với a1 2007 a0 > 4016 42 a2 a0 (2) Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B Theo định lý Viete ta có  −a1   x1 + x2 + · · · + x2008 = = S1 a0 a2   x1 x2 + · · · + x1 x2008 + · · · + x2007 x2008 = = S2 a0 2008 Suy S12 x2i + 2S2 = i=1 Ta có (2) ⇔ 2007S12 > 4016S2 2008 x2i + 2S2 > 4016S2 ⇔ 2007 i=1 2008 x2i > 2S2 ⇔ 2007 i=1 2008 2008 x2i ⇔ 2008 i=1 x2i + 2S2 > i=1 ⇔ (1 + + · · · + 1)(x21 + x22 + · · · + x22008 ) > (x1 + x2 + · · · + x2008 )2 (3) Theo bất đẳng thức Bunhiacopski (3) Khi (1) Vậy 2007a21 > 4016a0 a2 Ví dụ 2.3.12 Chứng minh đa thức f (x) = x5 −10x2 +9x−1 ∈ R[x] có năm nghiệm x mà |x| < 11 Lời giải Ta có f (−10) = −90091 < 0, f (−2) = 39 > 0, f (0) = −1 < 0, 73 f = > 0, f (1) = −1 < 0, f (10) = 90089 > 32 Vì f (x) nhận giá trị liên tiếp trái dấu nên theo hệ định lý 43 Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B Rolle f (x) có nghiệm thực thuộc khoảng phân biệt (−10, −2); 1 (−2, 0); 0, ; , ; (1, 10) 2 Vậy f (x) = x5 − 10x2 + 9x − có nghiệm phân biệt thỏa mãn |x| < 11 c Bài tập áp dụng Bài 1: Cho a, b, c ∈ Z, a > 0, đa thức f (x) = ax2 + bx + c ∈ R[x] có hai nghiệm khác khoảng (0; 1) Chứng minh a > Bài 2: Cho đa thức f (x) = 1+x2 +x9 +xn1 +· · ·+xns +x1992 ∈ R[x] với n1 , n2 , , ns số tự nhiên cho trước thỏa mãn < n1 < · · · < ns < 1992 Chứng minh √ nghiệm đa thức f (x) 1− (nếu có) lớn Bài 3: Chứng minh với giá trị khác tùy ý α, β nghiệm x1 , x2 , x3 đa thức f (x) = αx3 − αx2 + βx + β ∈ R[x] thỏa mãn đẳng thức (x1 + x2 + x3 ) 1 + + = −1 x1 x2 x3 Bài 4: Chứng minh x0 nghiệm đa thức f (x) = x3 + x − ∈ R[x] x20 − x0 < Bài 5: Cho đa thức f (x) = x3 − x2 + ax + b ∈ R[x] có ba nghiệm thực x1 , x2 , x3 lớn Chứng minh 2a − 3b + ≤ a−b+2 2.4 Nghiệm bội đa thức a Phương pháp chung Sử dụng định nghĩa nghiệm, nghiệm bội đa thức, định lý 44 Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B Viete kết hợp điều kiện toán để xác định điều kiện có nghiệm bội đa thức b Ví dụ minh họa Ví dụ 2.4.1 Chứng minh số α nghiệm bội bậc m đa thức P (x) P (α) = P (α) = · · · = P (m−1) (α) = P m (α) = Lời giải ⇒ Theo giả thiết α nghiệm bội bậc m đa thức P (x), (m ≥ 2) nên P (x) (x − α)m Do P (x) chia hết cho (x − α) đạo hàm P (x), , P (m−1) (x) chia hết cho (x − α) ⇐ Ngược lại ta có   P (α) = P (α) = · · · = P (m−1) (α) =  P (m) (α) = Từ suy P (x) (x − α) đạo hàm P (x), P (x), , P (m−1) (x) chia hết cho (x − α) P m (x) (x − α) Do α nghiệm bội bậc m đa thức P (x) Ví dụ 2.4.2 Hãy tìm phụ thuộc giá trị a b cho đa thức P (x) = x5 + ax3 + b có nghiệm bội khác Lời giải Đa thức P (x) có nghiệm bội khác 0, tồn số α = cho P (α) = 0, P (α) = Ta có P (x) = 5x4 + 3ax2 Khi P (α) = 3a 9a2 3a2 α = − , a = (vì α = 0) Khi P (α) = α − + 5 25 25b Suy α = (b = a = 0) 6a 3a 625b2 Vậy − = α2 = hay 3125b2 + 108a5 = (a, b = 0) 36a 45 Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B Ví dụ 2.4.3 Hãy tìm giá trị λ µ cho P (x) = x4 − 3λx3 + 5ix2 + µ có nghiệm bội bậc 2, mà tổng hai nghiệm lại Lời giải Nếu α1 , α2 , α3 , α4 nghiệm đa thức cho theo điều kiện toán ta có α1 = α2 = α3 = α4 Khi áp dụng định lý Viete ta có 3λ = α1 + α2 + α3 + α4 = 3α1 Suy λ = α1 Vậy λ nghiệm bội bậc P (x), nghĩa λ nghiệm đạo hàm Suy λ4 − 3λ4 + 5iλ2 + µ = hay −2λ4 + 5iλ2 + µ = 4λ3 − 9λ3 + 10iλ = hay −5λ3 + 10iλ = Từ ta tìm giá trị λ µ   λ1 =  µ1 = ;   λ2 = + i  µ2 = ;   λ3 = − i  µ3 = c Bài tập áp dụng Bài 1: Hãy tìm nghiệm bội đa thức sau: α = 2; P (x) = x5 − 5x4 + 7x3 − 2x2 + 4x − 8; α = −2; P (x) = x5 + 7x4 + 16x3 + 8x2 − 16x − 16; α = 1; P (x) = x2n+1 − (2n + 1)xn+1 + (2n + 1)x − 1; α = 1; P (x) = x2n − n2 xn+1 + 2(n2 − 1)xn − n2 xn−1 + Bài 2: Hãy tìm phụ thuộc giá trị a, b, c cho đa thức P (x) = x5 + 10ax3 + 5bx + c có nghiệm bội khác 46 Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B Bài 3: Hãy tìm giá trị λ ∈ R µ ∈ R cho P (x) = x4 + 10x3 + λx2 + 36x + µ = có nghiệm bội bậc 2, mà tổng nghịch đảo hai nghiệm lại 47 Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B Kết luận Nội dung khóa luận nghiên cứu đa thức ẩn Cụ thể khóa luận phân loại số dạng toán đa thức như: toán chứng minh đa thức chia hết, xác định đa thức, nghiệm đa thức, Trong dạng toán đưa phương pháp chung để giải có ví dụ minh họa cụ thể Tuy nhiên, thời gian có hạn kiến thức hạn chế nên nhiều dạng toán đa thức chưa đề cập đến đa thức bất khả quy, nghiệm nguyên đa thức, đa thức phương trình hàm, Mong vấn đề mở để bạn sinh viên yêu thích đại số quan tâm có cách nhìn sâu hơn, rộng đa thức ẩn 48 Tài liệu tham khảo [1] Đậu Thế Cấp (2003), Đại số sơ cấp, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Hữu Điền (2003), Đa thức ứng dụng, NXB Giáo dục [3] Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số Số học (Tập 3), NXB Giáo dục [4] NXB Giáo Dục (1997), Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học tuổi trẻ [5] NXB ĐHQG TP HCM, Tuyển tập đề thi Olympic 30-4 [6] Nguyễn Văn Mậu (2001), Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo dục 49 ... toán đa thức Nội dung khóa luận chia làm hai chương Chương 1: Kiến thức đa thức ẩn Nội dung chương nhắc lại số kiến thức đa thức ẩn Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B Chương 2: Một số... số toán đa thức ẩn Nội dung chương phân loại số dạng toán đa thức ẩn như: toán chia đa thức, xác định đa thức, nghiệm đa thức, Do thời gian lực nhiều hạn chế nên nhiều dạng toán đa thức chưa... 1.7.1 Đa thức đồng dư Định nghĩa Trong vành đa thức A[x], A trường Cho ϕ(x) đa thức khác không Ta nói đa thức P (x) Q(x) đồng dư theo môđun Một số toán đa thức ẩn Nguyễn Ngọc Tú - K39B đa thức