xác định đa thức một ẩn

Đề tài chuyên ngành GVHD: TH.S.Nguyễn Thị Kiều Nga Bộ giáo dục đào tạo Trờng ĐHSP Hà Nội Khoa Toán ***** Báo cáo thực tập chuyên ngành Xác định đa thức ẩn Giáo viên hớng dẫn Sinh viên thực Lớp : Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga : Phạm Thị Trang : K31 B Cử nhân Toán Hà Nội tháng năm 2009 Lời nói đầu Trong thời gian học tập khoa Toán trờng ĐHSP Hà Nội 2, đợc bảo tận tình thầy cô giáo em tiếp thu đợc nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm nh phơng pháp học tập bớc đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô giáo khoa Toán- ngời chăm lo dìu dắt chúng em trởng thành nh ngày hôm SV: Phạm Thị Trang K31B Cử nhân Toán Đề tài chuyên ngành GVHD: TH.S.Nguyễn Thị Kiều Nga Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn Thạc sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga ngời trực tiếp hớng dẫn bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian em làm đề tài Hà Nội, tháng 02 năm 2009 Sinh viên Phạm Thị Trang Phần I: Mở đầu I Lí chọn đề tài Đại số phận lớn toán học, môn học quan trọng thiếu nhà trờng Phổ Thông Khái niệm quan trọng đại số khái niệm đa thức Lí thuyết đa thức không áp dụng toán cao cấp, toán ứng dụng mà phần thiếu đợc toán phổ thông Nhiều toán dùng lý thuyết đa thức để giải ngắn gọn Đa thức ẩn phận đa thức Cách xác định đa thức ẩn dựa vào định lý, công thức toán học đặc trng quan trọng Chính em chọn đề tài Cách xác định dda thức ẩn để làm đề tài thực tập chuyên ngành II Mục đích nghiên cứu SV: Phạm Thị Trang K31B Cử nhân Toán Đề tài chuyên ngành GVHD: TH.S.Nguyễn Thị Kiều Nga Đa số phơng pháp xác định đa thức ẩn toán đa thức ẩn III Phơng pháp nghiên cứu Tham khảo taìi liệu, so sánh, phân tích, hệ thống hoá tập IV Đối tợng nghiên cứu Các toán đa thức V Nội dung Chia làm chơng Chơng I: Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa đa thức ẩn tổng quát Nghiệm đa thức Công thức Viet; Lợc đồ Hooc-ne Chơng II: Xác định đa thức Dạng 1: Dựa vào công thức Viet Dạng 2: Dựa vào tính chất số học nghiệm Dạng 3: Xác định đa thức theo đặc trng hàm Phần II: Nội dung Chơng I: Kiến bị thức chuẩn 1.1: Định nghĩa đa thức ẩn tổng quát Giả sử A vành giao hoán có đơn vị Kí hiệu P= { ( a0, a1,,an)/ aiA, ai= hầu hết với i=0, 1, } Trên P xác định hai quy tắc sau: Quy tắc cộng: (a0,a1,a2,,an,)+(b0,b1,b2,,bn,)=(a0+b0, a1+b1,a2+b2,,an+bn ) Quy tắc nhân (a0, a1, a2,,an,) (b0, b1, b2,,bn,) = (c0, c1, c2,,cn,) Với c0=a0b0, c1=a0b1+a1b0,,ck=a0bk+a1bk-1++akb Tập P với hai phép toán lập thành vành giao hoán có đơn vị ánh xạ f: A P a a (a, 0, 0, 0,0,) đơn cấu Do ta đồng phần tử a A với phần tử (a, 0, 0,,0,) P A vành P Ký hiệu x1= (0, 1, 0,) x2= (0, 0, 1,) 140, ,1, 43 0, ) xn= ( 0, n SV: Phạm Thị Trang K31B Cử nhân Toán Đề tài chuyên ngành GVHD: TH.S.Nguyễn Thị Kiều Nga Với P suy =(a0, a1, a2,,an,), ai=0 hầu hết tồn n N cho an+1= an+2= = suy = (a0, a1, a2,,an,0,) = ( a0, 0, 0) + (0, a1, ) + (0,an,) =a0+ a1x+ +anxn Khi với phần tử P dãy (a 0, a1, a2,,an,) với A, i= 0,1, viết dới dạng f(x)= a0+ a1x+ + anxn Vành P đợc gọi vành đa thức ẩn ký hiệu P= A[x], phần tử A[x] ký hiệu f(x), g(x) Bậc đa thức Nếu an (n 0) n đợc gọi bậc đa thức f(x).Ký hiệu deg f(x) Đa thức không đa thức bậc có bậc 1.2: nghiệm đa thức 1.2.1: Phép chia đa thức Định lý 1: Cho A[x] vành đa thức, A trờng Với hai đa thức f(x), g(x) A[x] g(x) tồn hai đa thức q(x) r(x) A[x] cho : f(x) = g(x).q(x) +r(x) với deg r(x) < deg g(x) r(x) d phép chia f(x) cho g(x) Nếu r(x)= ta nói f(x) chia hết cho g(x) ký hiệu f(x) Mg(x) 1.2.2: Nghiệm đa thức Định nghĩa 1: Cho K trờng đó, A trờng K Một phần tử K đợc gọi nghiệm đa thức f(x) A[x] f( ) =0 Ta nói nghiệm phơng trình đại số f(x)=0 K Nếu deg f(x) =n f(x) =0 gọi phơng trình đại số bậc n (n 1) Định nghĩa 2( nghiệm bội) Giả sử K số tự nhiên khác Một phần tử A gọi nghiệm bội K đa thức f(x) A[x] f(x) M (x- )K không chia hết cho (x- )K+1 K N* Tính chất: Mọi đa thức f(x) với hệ số phức bậc lớn có n nghiệm phức kể số bội nghiệm 1.2.3: Một số định lí tồn nghiêm đa thức Định lý 2: Số đợc gọi nghiệm đa thức f(x) f(x) chia hết cho (x- ) Định lý (Nghiệm đa thức hệ số nguyên) Nếu phân số tối giản p , (p,q)=1 nghiệm đa thức với hệ số q nguyên f(x)=a0+a1x++anxn p ớc a0 q ớc an Chứng minh p với (p,q)=1 nghiệm đa thức f(x) q p p p Khi ta có f( )=a0+a1( )++an( )n=0 q q q Giả sử phân số tối giản Từ ta có: a0qn=-p(anpn-1++a2qn-2p+a1qn-1) anpn=-q(an-1pn-1++a1qn-2p+a0qn-1) Từ (1) a0qn Mp mà (p,q)=1 ao Mp SV: Phạm Thị Trang (1) (2) K31B Cử nhân Toán Đề tài chuyên ngành GVHD: TH.S.Nguyễn Thị Kiều Nga Từ (2) anpn Mq mà (p,q)=1 an Mq Vậy p ớc a0; q ớc an p Hệ quả:Nu phân số tối giản q nghiệm đa thức với hệ số nguyên f(x)= a0+ a1x++anxn a, (p-mq) / f(m) với m Z b, (p-q) / f(1) (p+q) / f(-1) Định lý 4( Định lý D Alembert) Mọi đa thức bậc khác với hệ số phức có nghiệm phức Chứng minh Giả sử f(x) C[x], degf(x) >0 f(x)= a0+ a1x++anxn , C, i= 0, 1, 2, n; an f ( x) = a0 + a1 x + + an x n Trong liên hợp (i=0,1,,n) Xét đa thức g(x) = f(x) f ( x) Ta có: g(x)= b0+ b1x++b2nx2n, bk= aa i + j =k i i với k=0,1,,2n Vì bk = ai =bk nên hệ số bk số thực i + j =k Mà đa thức bậc lớn với hệ số thực có nghiệm phức nên g(x) có z= s + it thoả mãn g(z)= f(z) f ( z ) =0 f (z) = f (z) = Nếu f ( z ) = a0 + a1 z + + an z n = Lấy liên hợp vế ta đợc n a0 + a1 z + + an z = tức f ( z ) = hay z nghiệm f(x) Nếu f(z) =0 z nghiệm f(x) Nh z z nghiệm f(x) (đccm) Định lý 5: (Định lý Roll) Nếu đa thức f(x) A[x] liên tục [a, b] f(a)f(b) [...]... chuyên ngành GVHD: TH.S.Nguyễn Thị Kiều Nga Mục lục Chơng I: Kiến thức chuẩn bị 3 Định nghĩa đa thức một ẩn tổng quát.3 Nghiệm của đa thức4 Công thức Vi-et Lợc đồ Hooc-ne . 7 Chơng II: Xác định đa thức. 9 Dựa vào công thức Vi-et.. 9 Xác định đa thức dựa vào tính chất số học của nghiệm. 18 Xác định đa thức theo đặc trng hàm. 26 SV: Phạm Thị Trang 28 K31B Cử nhân Toán Đề tài chuyên ngành SV: Phạm Thị... 4a + 3b = 0 b = 4 Vậy đa thức cần tìm là f(x)= 3x4-4x3+1 Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm đa thức P(x) bậc 2, P(x) R[x] thoả mãn P(0)=19, P(1)=85, P(2)=1985 Bài 2: Xác định đa thức P(x) R[x] thoả mãn P(x) chia cho đa thức (x+3) còn d 1, Chia cho (x-4) còn d 8, chia cho (x+3)(x-4) đợc thơng là 3 và còn d Bài 3: Cho đa thức P(x) bậc 4 thoả mãn P(-1)=0 P(x-1)=x(x-1)(2x+1) Xác định đa thức P(x) và P(x)- Bài... =cx(x-1)(x-2)((x-2004) là đa thức cần tìm Ví dụ 2: Xác định đa thức f(x) R[x] sao cho khi chia đa thức f(x) cho (x-2) d 5, chia cho (x-3) d 7 và khi chia cho (x-2)(x-3) thì đợc thơng là 1-x2 và còn d Giải Theo giả thiết ta có: f(x) =(x-2)A(x) +5 (1) f(x)= (x-3)B(x) +7 (2) Gọi thơng của phép chia đa thức f(x) cho (x-2)(x-3) là R(x) Vì (x-2)(x-3) là đa thức bậc 2 nên đa thức d là đa thức 0 hoặc có bậc không... P(x-1)=x(x-1)(2x+1) Xác định đa thức P(x) và P(x)- Bài 4: Cho a, b R[x] Tìm tất cả các đa thức P(x) R[x] thoả mãn điều kiện: xP(x-a)= (x-b)P(x) với x R II.3: Xác định đa thức theo đặc trng hàm A: Cơ sở Đa thức là một hàm số nên dựa vào các tính chất của hàm số có thể xác định đợc đa thức B: Các ví dụ Ví dụ 1:Tìm tất cả các đa thức P(x) bậc n thoả mãn điều kiện: P(x2-y2)=P(x+y) P(x-y) (1) x, y R Giải: x... P3(x)=cx, P4(x)= x c Trong đó a, c là các hằng số khác 0 Thử lại ta thấy các hàm số thu đợc thoả mãn điều kiện bài cho Kết luận Đề tài Xác định đa thức một ẩn đã phân loại và đa ra một số phơng pháp xác định đa thức một ẩn Tuy nhiên các dạng bài toán còn cha nhiều, đa dạng Trên đây em mới chỉ dừng lại ở 3 phơng pháp Em rất mong nhận đợc sự giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài... của 2 nghiệm còn lại II.2.2: Dạng 2: Xác định đa thức bằng phép biến đổi ẩn A, Cách giải Đối với dạng bài tập này ta áp dụng các phép biến đổi ẩn hoặc cho ẩn những giá trị đặc biệt x=0,1, rồi tính giá trị của đa thức tại những giá trị đó Ta đợc hệ phơng trình mà ẩn là các hệ số của đa thức B, Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm tất cả các đa thức P(x) sao cho thoả mãn đẳng thức SV: Phạm Thị Trang 18 K31B Cử nhân... II.1.3: Các dạng bài tập áp dụng Bài 1: Xác định đa thức P(x) R[x] P(x)= x3 + 2 x 2 + x + thoả mãn điều kiện x12+x22=x3 với x1, x2,x3 là nghiệm của P(x) Bài 2: Xác định đa thức P(x) R[x] P(x)= x3 x 2 + 10 x 5 thoả mãn điều kiện x 1x2=x1+x2 với x1, x2, x3 là các nghiệm của đa thức P(x) Bài 3: Lập đa thức bậc 4 mà những nghiệm của nó 1 , 2 , 3 , 4 thoả mãn đẳng thức sau: 1 + 2 + 3 + 4 = 2 2 2... Phạm Thị Trang 16 K31B Cử nhân Toán Đề tài chuyên ngành GVHD: TH.S.Nguyễn Thị Kiều Nga II.2: Xác định đa thức dựa vào tính chất số học của nghiệm II.2.1: Dạng 1: Xác định đa thức nếu biết mối liên hệ giữa các nghiệm bội Ví dụ 1:Tìm a,b sao cho đa thức P(x)= x5+ax3+b có nghiệm bội khác 0 và có bậc lớn hơn 1 Giải Đa thức P(x) có nghiệm bội bậc lớn hơn 1 và khác 0 nếu tồn tại 0 sao P ( ) = 0 / P ( )... đợc 2 cặpp đa thức 2 ( x x 1) 2 ( x 3 + x 2 + x 1) Với n=3 ta thu đợc 2 cặp đa thức 3 2 ( x x x + 1) P ( x) = x 1 P ( x) = ( x 2 + x 1) Vậy các đa thức cần tìm là P( x) = ( x 2 x 1) P ( x) = ( x 3 + x 2 + x 1) P ( x) = ( x 3 x 2 x + 1) Ví dụ 7 :Xác định đa thức P(x) Q[x] sao cho P(x)= x3+ax2+ bx+c nhận a,b,c làm nghiệm Giải a + b + c = a ( 1) Ap dụng công thức Vi-et... Điển Đa thức và ứng dụng, NXBGD_2003 [2]: Phan Huy Khải Phơng rrình nghiệm nguyên, NXBGD_2006 [3]: Nguyễn Văn Mậu Đa thức và phân thức hữu tỷ, NXBGD_2007 [4]: Ngô Thúc Lanh Đại số và số học, NXBGD_1987 [5]: Tuyển chọn chuyên đề Toán học và tuổi trẻ, NXBGD_2007 SV: Phạm Thị Trang 27 K31B Cử nhân Toán Đề tài chuyên ngành GVHD: TH.S.Nguyễn Thị Kiều Nga Mục lục Chơng I: Kiến thức chuẩn bị 3 Định nghĩa đa thức ... Một số toán xác định đa thức 2.1: Dựa vào công thức Viet 2.1.1: Cách giải Để xác định đa thức ta tìm hệ số đa thức Để xác định hệ số đa thức ta tìm theo bớc sau _ Xác định dạng tổng quát đa thức. .. Chơng I: Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa đa thức ẩn tổng quát.3 Nghiệm đa thức4 Công thức Vi-et Lợc đồ Hooc-ne . Chơng II: Xác định đa thức. Dựa vào công thức Vi-et.. Xác định đa thức dựa vào tính... II: Xác định đa thức A Cơ sở lý luận Dùng ánh xạ đa thức: Cho đa thức f(x)= a0+ a1x++anxn sinh ánh xạ f: A A c a f(c)=a0+ a1c++ancn, f(c) A Gọi ánh xạ đa thức Ta thờng gặp toán xác định đa thức