xác định đa thức một ẩn

Bộ giáo dục và đào tạoTrờng ĐHSP Hà Nội 2 Khoa Toán Lời nói đầu Trong thời gian học tập tại khoa Toán trờng ĐHSP Hà Nội 2, đợc sựchỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo em đã tiếp thu đ

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Khoa Toán

Lời nói đầu

Trong thời gian học tập tại khoa Toán trờng ĐHSP Hà Nội 2, đợc sựchỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo em đã tiếp thu đợc nhiều tri thức khoahọc, kinh nghiệm cũng nh phơng pháp học tập mới và bớc đầu làm quen vớicông việc nghiên cứu khoa học

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới các thầy cô giáotrong khoa Toán- những ngời luôn chăm lo dìu dắt chúng em trởng thành nhngày hôm nay

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn Thạc sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga

ng-ời đã trực tiếp hớng dẫn chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thng-ờigian em làm đề tài này

Hà Nội, tháng 02 năm 2009

Sinh viên

Đa thức một ẩn là một bộ phận của đa thức Cách xác định đa thứcmột ẩn dựa vào các định lý, các công thức toán học đặc trng là quan trọng.Chính vì thế em đã chọn đề tài “ Cách xác định dda thức một ẩn” để làm đềtài thực tập chuyên ngành của mình

II Mục đích nghiên cứu

Đa ra một số phơng pháp xác định đa thức một ẩn và các bài toán về

đa thức một ẩn

III Ph ơng pháp nghiên cứu

Tham khảo taìi liệu, so sánh, phân tích, hệ thống hoá các bài tập

IV Đối t ợng nghiên cứu

Các bài toán cơ bản về đa thức

Dạng 1: Dựa vào công thức VietDạng 2: Dựa vào tính chất số học của nghiệm Dạng 3: Xác định đa thức theo đặc trng hàm

Phần II: Nội dung

Chơng I: Kiến bị thức chuẩn

1.1: Định nghĩa đa thức một ẩn tổng quát

Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị 1

Kí hiệu P={ ( a0, a1,…,an)/ ai∈A, ai= 0 hầu hết với i=0, 1, 2 }

Trên P xác định hai quy tắc sau:

Với α ∈P suy ra α =(a 0 , a 1 , a 2 ,…,a n ,…), a i =0 hầu hết thì tồn tại n∈N sao cho

Nếu an ≠ 0 (n≥0) thì n đợc gọi là bậc của đa thức f(x).Ký hiệu deg f(x)

Đa thức không là đa thức không có bậc hoặc có bậc là∞

1.2: n ghiệm của đa thức

1.2.1: Phép chia đa thức

Định lý 1: Cho A[x] là một vành đa thức, A là một trờng Với hai đa

thức bất kỳ f(x), g(x)∈ A[x] và g(x)≠0 tồn tại và duy nhất hai đa thức q(x) và r(x) ∈A[x] sao cho : f(x) = g(x).q(x) +r(x) với deg r(x) < deg g(x)

r(x) là d của phép chia f(x) cho g(x)

Nếu r(x)= 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) ký hiệu f(x)Mg(x)

1.2.2: Nghiệm của đa thức

Định nghĩa 1: Cho K là một trờng nào đó, A là một trờng con của K Một

phần tửα ∈K đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x)∈A[x] nếu và chỉ nếu

f(α ) =0

Ta cũng có thể nói α là nghiệm của phơng trình đại số f(x)=0 trong K

Nếu deg f(x) =n thì f(x) =0 gọi là phơng trình đại số bậc n (n≥1)

Định nghĩa 2( nghiệm bội)

Giả sử K là một số tự nhiên khác 0 Một phần tử α ∈Agọi là nghiệmbội K của đa thức f(x)∈A[x] nếu và chỉ nếu f(x) M (x-α ) K và không chia hếtcho (x-α ) K+1 K∈N *

Tính chất: Mọi đa thức f(x) với hệ số phức bậc lớn hơn hoặc bằng 1

có đúng n nghiệm phức kể cả số bội của nghiệm

1.2.3: Một số định lí về sự tồn tại nghiêm của đa thức

Định lý 2: Số α đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi f(x) chia

hết cho (x-α )

Định lý 3 (Nghiệm của đa thức hệ số nguyên)

nguyên f(x)=a 0 +a 1 x+…+a n x n thì p là ớc của a 0 và q là ớc của a n.

Chứng minh

Giả sử phân số tối giản p

q với (p,q)=1 là nghiệm của đa thức f(x)Khi đó ta có f( p

q )=a 0 +a 1 ( p

q )+…+a n ( p

q ) n =0

Từ đó ta có: a 0 q n =-p(a n p n-1 +…+a 2 q n-2 p+a 1 q n-1 ) (1)

a n p n =-q(a n-1 p n-1 +…+a 1 q n-2 p+a 0 q n-1 ) (2)

Từ (1)⇒ a 0 q nMp mà (p,q)=1⇒a oMp

Tõ (2)⇒ a n p nMq mµ (p,q)=1⇒a nMq

VËy p lµ íc cña a0; q lµ íc cña an

a +a z+ +a z = tøc lµ f z( ) 0 = hay z lµ nghiÖm cña f(x)

NÕu f(z) =0 th× z lµ nghiÖm cña f(x)

Nh vËy z hoÆc z lµ nghiÖm cña f(x) (®ccm)

Chøng minh

• n=1 thì f(x)= a 0 x+a 1 khi đó f(x)=0 có nghiệm duy nhất α 1=- 1

Theo giả thiết ta có: Q x( ) =a x0( − α 2) (x− α 3) ( x− αn)

Trong đó α α2, , ,3 αn là các nghiệm của đa thức Q(x) Do đó f(x) có các

1.3.1: Sự liên hệ giữa các nghiệm

Định lý: Cho đa thức f(x)= a 0 x n + a 1 x n-1 +…+a n-1 x+ a n∈ A[x], a 0≠0 thì

f(x)= a 0(x− α 1) (x− α 2) ( x− αn) trong vành K[x], với α α1, 2, , αn

là các nghiệm của đa thức f(x) trong trờng mở rộng K của A

1.3.2: Công thức Viet

Cho f(x)= a 0 x n + a 1 x n-1 +…+a n-1 x+ a n lµ mét ®a thøc bÊt kú vµ

1 , 2 , , n

α α α lµ c¸c nghiÖm cña f(x) th× f(x)= a0(x− α 1) (x− α 2) ( x− αn) §ångnhÊt c¸c hÖ tö ta cã c«ng thøc Viet sau:

( )

( )

( ) ( )

a a

a a

a a a

x x x x x x

a d

Cho f(x)∈A[x], f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 +…+a n-1 x+ a n

Gi¶ sö th¬ng cña phÐp chia f(x) cho (x-α ) trong A[x] lµ

Bằng phơng pháp áp dụng định lý phép chia với d ta đợc:

f 1 (x)=f(x)-b 0 x n-1 (x-α )

Nghĩa là b 0 =a 0 ; b 1 =a 1 +α a0

Ta lại có: f 2 (x)=f 1 (x)-(a 1 +α b 1 )x n-2 (x-α )

=f(x)-b 1 x n-2 (x-α ) =(a 2 +αb 1 )x n-2 +a 3 x n-3 +…+a n

• Sử dụng mối liên hệ giữa các nghiệm( công thức Viet)

• Dựa vào tính chất số học của nghiệm

B: Một số bài toán xác định đa thức

2.1: Dựa vào công thức Viet

_ Từ điều kiện của bài toán tìm giá trị của các đa thức cơ bản

_ Từ giá trị của các đa thức cơ bản tìm giá trị các hệ số của đa thức cầnxác định Từ đó ta tìm đợc đa thức cần tìm

λ λ

18 80 0

λ λ

4 2

2

8 2

Ví dụ 5: Hãy lập đa thức bậc 3 mà nghiệm của nó thoả mãn đẳng thức sau:

32 2

k k k

• Với n=1 ta có đa thức cần tìm là P(x)= x+1 hoặc P(x)=x-1

• Với n≥2 thì theo giả thiết đa thức có các nghiệm x1, x2,…,xn đều thực

3

n

j j

1 Với n=2 ta thu đợc 2 cặpp đa thức ( )

2 2

1 1

Ví dụ 7:Xác định đa thức P(x) ∈Q[x] sao cho

P(x)= x3+ax2+ bx+c nhận a,b,c làm nghiệm

Giải

Ap dụng công thức Vi-et ta có :

( ) ( ) ( )

1 2 3

a b c a

ab bc ca b abc c

+) Trờng hợp 1: a+b=0

Từ (1),(2),(3) ta có

1 1

Ví dụ 8: Xác định đa thức f(x)∈R[x] sao cho

f(x)=x4+px+ q có 4 nghiệm tạo thành cấp số cộng

Giải

Đặt y=x2 Khi đó ta có đa thức

f(y)= y2+px+q

Đa thức f(x)=x4+px+ q có 4 nghiệm thực ⇔ đa thức f(y) có 2 nghiệm không

âm Nghĩa là p,q thoả mãn điều kiện:

Tõ c«ng thøc Vi-et vµ do c¸c nghiÖm lËp thµnh cÊp sè céng nªn ta cã :

(2) (3)

10

0,09 9

II.2: Xác định đa thức dựa vào tính chất số học của nghiệm

II.2.1: Dạng 1: Xác định đa thức nếu biết mối liên hệ giữa các nghiệm bội

Ví dụ 1:Tìm a,b sao cho đa thức P(x)= x5+ax3+b có nghiệm bội khác 0 và cóbậc lớn hơn 1

b = − a và a≠ 0,b≠ 0

Ví dụ 2: Tìm những giá trị của λ à , sao cho

P(x)= x4 − 3 λx3 + 5ix2 + à có nghiệm bội 2 bằng tổng của 2 nghiệm cònlại

λ α

⇔ = λ

⇒ là nghiệm bội 2 của đa thức đã cho Nghĩa là nó là một nghiệm của đạohàm bậc nhất của P(x) Từ đó ta suy ra

Bài 1: Tìm mối liên hệ giữa a, b, c sao cho đa thức

P(x)= x5+ 10ax3+5bx+c có nghiệm bội khác 0Bài 2: Tìm những giá trị của λ à , sao cho đa thức

P(x)= x4+10x3+λx2 + 36x+ à có nghiệm bội 2 bằng tổng nghịch

đảo của 2 nghiệm còn lại

II.2.2: Dạng 2: Xác định đa thức bằng phép biến đổi ẩn

Ví dụ 2: Xác định đa thức f(x) ∈R[x] sao cho khi chia đa thức f(x) cho (x-2)

d 5, chia cho (x-3) d 7 và khi chia cho

(x-2)(x-3) thì đợc thơng là 1-x2 và còn d

Giải

Theo giả thiết ta có: f(x) =(x-2)A(x) +5 (1)

f(x)= (x-3)B(x) +7 (2)

Gọi thơng của phép chia đa thức f(x) cho (x-2)(x-3) là R(x) Vì (x-2)(x-3) là

đa thức bậc 2 nên đa thức d là đa thức 0 hoặc có bậc không vợt quá 1

Do đó giả sử R(x)= ax+b a,b∈R

Theo giả thiết ta có: f(x)= (x-2)(x-3)(1-x2)+ax+b (3)

Vậy P(x) có dạng: P(x)= ax(x-1)(x-2)-5x(x-1)+2x+10

• Cho x=3 ta đợc P(3)= 30+6+10=14 Mà P(3)=1 nên suy ra 14=1⇒ a=15 5

6a-6 = 2

Vậy đa thức P(x) cần tìm là: P(x)= 5

2x(x-1)(x-2)-5x(x-1)+2x+10 hayP(x)=5 3 25 2

Từ đó ta có: P(1)=6, P(2)=6, P(3)=6

Giả sử P(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d,

Với a, b, c, d ∈R a, ≠ 0

Dùng định lý phép chia lấy d và lợc đồ Hooc-ne ta có:

f(x)=(x-1)[ax3+(a+b)x2+(a+b)x+a+b]+a+b+1

Bài 2: Xác định đa thức P(x)∈R[x] thoả mãn P(x) chia cho đa thức (x+3) còn

d 1, Chia cho (x-4) còn d 8, chia cho (x+3)(x-4) đợc thơng là 3 và còn dBài 3: Cho đa thức P(x) bậc 4 thoả mãn P(-1)=0 và P(x)-P(x-1)=x(x-1)(2x+1) Xác định đa thức P(x)

Bài 4: Cho a, b∈R[x] Tìm tất cả các đa thức P(x)∈R[x] thoả mãn điều kiện:xP(x-a)= (x-b)P(x) với x∈R

II.3: Xác định đa thức theo đặc tr ng hàm

Đặt u=v=0 Thế vào (2) ta đợc P(0)=0 hoặc P(0)=1

• Nếu P(0)=1 thì từ (2) Với v=0 ta thu đợc

P(0)=P(u) P(0) ⇒ P x( ) 1 ≡

• Nếu P(0)=0 thì x=1 là một nghiệm của P(x) nên P(x)=xQ(x), với Q(x)

là đa thức bậc n-1 Thế vào (2) ta thu đợc

uvQ(uv)=uvQ(u)Q(v) ∀u v R, ∈

Suy ra Q(uv)=Q(u) Q(v) (3) ∀u v R, ∈

Với Q(u)≡1 hoặc Q(x)= xQ1(x) , Q1(x) là đa thức bậc n-2

Tiếp tục quá trình này sau hữu hạn bớc ta thu đợc nghiệm của bài toánP(x) ≡1 và P(x)=xn, n∈N*

Thử lại ta thấy các nghiệm P(x)=1 và P(x)=xn thoả mãn điều kiện bài ra

Ví dụ 2: Tìm tất cả các đa thức f: R→R thoả mãn các điều kiện

Thử lại ta thấy hàm số f(x)=x2+ax thoả mãn điều kiện bài ra

Ví dụ 3:Cho f: Z→Z thoả mãn các điều kiện f(1)=a ∈Z và

f(x+y) +f(x-y)=2f(x)f(y) ∀x y Z, ∈ (1)Chứng minh rằng f(m)≡ Tm(a) ∀ ∈m Z

Giải:

Cho x=y=0 Thế vào (1) ta đợc f(0)=0 hoặc f(0)=1

• Nếu f(0)=0 thì thay y=0 vào (1) ta đợc 2f(0)=0 với ∀ ∈x Z

Do vậy f(x)≡0 và ứng với a=0

• Nếu f(0)=1 Cho x=y=1 ta thu đợc f(2)=2a2-1

Tiếp tục thay x=2, y=1 vào điều kiện (1) ta đợc f(3)=4a3-3a

Từ đó ta có dự đoán f(n)=Tn(a) với n≥1

Dự đoán đó đợc chứng minh dễ dàng bằng phơng pháp quy nạp

Mặt khác cho x=0 ta có f(y)+f(-y)= 2f(0)f(y)=2f(y)⇒f(-y)=f(y) Vậy f(x) làhàm chẵn

Ví dụ 4: Tìm tất cả các đa thức P1(x), P2(x), P3(x), P4(x) sao cho với x, y, z, t

∈R thoả mãn điều kiện xy-zt=1 thì P1(x)P2(y)-P3(z)P4(t)=1

Deg (P1(x)P2(N\x))=0Suy ra: P1(x)=axn; P2(x)=bxn

sự giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài của em đợchoàn thiện hơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thạc sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga

đã chỉ bảo và hớng dẫn tận tình, tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoànthành đề tài của mình

Hà Nội, tháng 04 năm 2009

Sinh viªn Ph¹m ThÞ Trang

Tµi liÖu tham kh¶o

[1]: NguyÔn H÷u §iÓn

Mục lục Chơng I: Kiến thức chuẩn bị……… ………3

Định nghĩa đa thức một ẩn tổng quát……….…………3

Nghiệm của đa thức………4

Công thức Vi-et Lợc đồ Hooc-ne……… ……….… 7

Chơng II: Xác định đa thức……….………… 9

Dựa vào công thức Vi-et……….….……… 9

Xác định đa thức dựa vào tính chất số học của nghiệm.… 18

Xác định đa thức theo đặc trng hàm……….… 26